Ba bài toán cơ bản về tiếp tuyến - Vũ Thành Trung

Ba bài toán cơ bản về tiếp tuyến
Cho hàm số y= y(x) (1)
Các câu hỏi về phương trình tiếp tuyến thường được đặt ra dưới ba dạng cơ bản sau đây:
1) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của(1) tại điểm M(x0,y0) cho trước (nằm trên đồ thị).(Khi đó hiển nhiên M là tiếp điểm).
2) Qua điểm M(x0,y0) viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của(1).
3) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của(1) với hệ số góc cho trước (Hệ số góc này có thể cho trực tiếp hoặc gián tiếp).
I.Bài toán thứ nhất:Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của(1) tại điểm M(x0,y0)cho trước.
 Giả sử rằng hs y=y(x) có đạo hàm tại x0.Khi đó phương trình tiếp tuyến với đồ thị của(1) tại điểm M(x0,y0) là:
 y-y0 =y'(x0)(x-xo)
Ví dụ 1: Cho hàm số y=x3-3x2+1
a)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm U(1;-1).
b)Chứng minh rằng:Trong các tiếp tuyếp với đồ thị,tiếp tuyến tại U(1;-1) có hệ số góc nhỏ nhất.
GIảI: 
a)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm U(1;-1).
 Cách 1: Tính y'(x)=3x2-6x.
 y'(1) =-3 
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm U(1;-1) là y+1 = -3(x-1)
 y = -3x + 2
Chú ý:Trong nhiều bài toán ta sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị hàm số y=f(x) và y=g(x) như sau:
Đồ thị của y=f(x) tiếp xúc với đồ thị y=g(x) khi và chỉ khi :
 có nghiệm.
Giá trị x,nghiệm của hệ phương trình này chính là hoành độ các tiếp điểm.
Các đồ thị ấy cũng tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi phương trình f(x) = g(x) có nghiệm kép và nghiệm kép đó chính là hoành độ tiếp điểm.Điều kiện này thường dùng trong các bài toán mà phương trình f(x) = g(x) có nghiệm dễ tìm.
Trên cơ sở đó chúng ta có thể giải câu a của VD1 bằng cách sau đây:
Cách 2: Gọi tiếp tuyến cần tìm là y = ax +b.
Vì tiếp tuyến này đi qua điểm U(1;-1) nên y=a(x-1) -1.
Đường thẳng đó tiếp xúc với đồ thị nếu hệ sau có nghiệm: 
Giải hệ phương trình ta tìm được x=1 => a= -3.Tìm được b=2
Vậy tiếp tuyến cần tìm là y = -3x + 2.
Cách 3: Gọi tiếp tuyến cần tìm tại điểm U(1;-1) là y = ax +b.vì đường thẳng này tiếp xúc với đồ thị tại U(1;-1) nên a = y'(1) =-3 
Mặt khác U(1;-1) nằm trên đường thẳng nên -1= a+b hay b = - a - 1,do đó b =2.
Vậy tiếp tuyến cần tìm là y = -3x + 2.
b) Chứng minh rằng:Trong các tiếp tuyếp với đồ thị,tiếp tuyến tại U(1;-1) có hệ số góc nhỏ nhất
Tại U(1;-1) có y'(1) =-3 
Xét y'(x)=3x2-6x =3(x-1)2 -3 -3 () .Vậy y'(x) y'(1) ()
Do đó tiếp tuyến tại U(1;-1) có hệ số góc nhỏ nhất.
II.Bài toán thứ hai: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị y=y(x) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua M(x0,y0) cho trước.
Có nhiều cách giải bài toán này,trong đó có hai cách cơ bản sau:
Cách thứ nhất : Nội dung cơ bản là xác định hệ số góc của tiếp tuyến 
*)Viết phương trình đường thẳng đi qua M(x0,y0) cho trước có hệ số góc k : y -y0 = k(x-x0) (*)
*)Từ điều kiện đường thẳng (*) tiếp xúc với đồ thị hàm số y= y(x) sẽ tìm được giá trị k thích hợp rồi thay vào (*).Có bao nhiêu giá trị k thích hợp tìm được thì qua M(x0,y0) có thể kẻ được bấy nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho. 
Cách thứ hai: Nội dung cơ bản là xác định tiếp điểm của tiếp tuyếnvới đồ thị 
*)Gọi (x1 , y1) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm đối với đồ thị..Khi đó tiếp tuyến tại (x1 , y1) là 
 y - y(x1) = y'(x1) (x-x1) (**)
*) Vì tiếp tuyến này đi qua M(x0,y0) nên : y0 - y(x1) = y'(x1) (x0-x1) (***)
Chúng ta giải được phương trình với ẩn số x1 (hoành độ tiếp điểm).Giải phương trình (***) sẽ tìm được x1 rồi thay vào (**) sẽ được phương trình tiếp tuýen cần tìm.(Phương trình (***) cho bao nhiêu nghiệm thì qua M(x0,y0) có thể kẻ được không quá bấy nhiêu tiếp tuyến với đường cong đã cho).
Nhận xét:trong hai cách giải trên thì cách thứ nhất rất thuận lợi trong việc giải các bài toán liên quan đến tiếp tuyến vuông góc với nhau..
Ví dụ 2: Qua điểm (0 ; -) hãy viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x3 - 2x2 + 3x - 
Giải:
Cách 1: Phương trình đường thẳng đi qua (0 ; -) với hệ số góc k là y =kx - .
Đường thẳng này phải tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho nên phương trình:
 x3 - 2x2 + 3x - = kx - phải có nghiệm kép.
 x có nghiệm kép.
Suy ra =3k = 0 hay k = 0 hoặc phương trình x2 - 6x + 3(3-k) = 0 phải có nghiệm x = 0 k=3.
Vậy qua (0 ; -) có hai tiếp tuyến với đồ thị là y = - và y = 3x - 
Cách 2: Gọi hoành độ tiếp điểm là x1 .Khi đó tung độ : y1 = x - 2x + 3x1 - .
Phương trình tiếp tuyến tại (x1 , y1) là 
 y - (x - 2x + 3x1 - ) = (x - 4x1 + 3)(x- x1)
Vì tiếp tuyến này đi qua (0 ; -) nên 
 - - (x - 2x + 3x1 - ) = (x - 4x1 + 3)(- x1)
Giải phương trình ta được : x1 = 0 và x1 = 3.
Vậy qua (0 ; -) có hai tiếp tuyến với đồ thị là y = - và y = 3x - 
Ví dụ 3: Cho hs y = x4 - 2x2 .Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị,biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm (0 , -1)
Giải:
Giả sử (x1 , y1) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị khi đó phương trình tiếp tuyến tại (x1 , y1) là:
 y - (x - 2x ) = (4 - 4x1)(x-x1) (*)
Vì tiếp tuyến này đi qua điêmt (0;-1) nên:
 -1 - (x - 2x ) = (4 - 4x1)(-x1) 
Giải phương trình này ta được: x1 = 1 và x1 = - 1.
Thay các giá trị này vào (*) ta sẽ tìm được tiếp tuyến là y = -1 (Hai tiếp tuyến trùng nhau).
Chú ý: Ta có thể dùng phương pháp thứ nhất :
Đường thẳng đi qua (0 , -1) là y = kx -1, khi đó .
Giải hệ này sẽ được x = và k = 0.Vậy chỉ có một tiếp tuyến qua (0 , -1) là y= -1
III.Bài toán thứ ba: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = y(x) với hệ số góc k cho trước.
Gọi hoành độ tiếp điểm là x1 .Theo ý nghĩa hình học của tiếp tuyến ta có : y'(x1) = k 
Đây là phương trình với ẩn số x1 .Sau khi giải phương trình này,ta tìm được x1 ,rồi tính y1 = y(x1).
Phương trình tiếp tuyến là y -y1 = k(x - x1) hay y = k(x - x1) + y1 .
Chú ý: Việc cho hệ số góc k có thể cho theo hai cách:
a)Cách cho trực tiếp: Các khái niệm sau đây tương đương:
*)Hệ số góc của tiếp tuyến.
*)Độ dốc ( độ nghiêng ) của tiếp tuyến.
*)Tg,trong đó là góc mà tiếp tuyến lập với chiều dương của trục hoành.
b)Cách cho gián tiếp:
*)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = y(x) biết rằng tiếp tuyến này song song với đường thẳng y = ax + b.trong trường hợp này hệ số góc của tiếp tuyến sẽ là k = a.
*)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = y(x) biết rằng tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng y = ax + b (a 0).trong trường hợp này hệ số góc của tiếp tuyến sẽ là k = -
Ví dụ 4: Cho hàm số y = 
a)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị,biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2.
b)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị,biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = x -1.
c)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị,biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = - x + 7
Giải: Ta viết hàm số dưới dạng : y = x - 1 - .
a) Tính y'(x) = 1 + 
Cách 1: Gọi x1 là hoành độ tiếp điểm,khi đó : y'(x) = 1 + = 2 hay (x1 - 2)2 = 1 .
Từ đây ta được x1 = 3 và x1 = 1.
Với x1 = 3 y1 = 1 , tiếp tuyến là y = 2x - 5
Với x1 = 1 y1 = 1 , tiếp tuyến là y = 2x - 1.
Cách 2: Tiếp tuyến cần tìm có dạng y = 2x +b.
Đường thẳng này phải tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho
 = 2x +b phải có nghiệm kép x2
 x2 + (b - 1)x -(2b + 1) = 0 phải có nghiệm kép x2
Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn đầu bài là y = 2x - 5 và y = 2x - 1.
b) Tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng y = x -1 vậy nó có hệ số góc k =1.
Cách 1: Gọi x1 là hoành độ tiếp điểm, khi đó y'(x) = 1 + = 1 hay = 0
Phương trình này vô nghiệm.Vậy không có tiếp tuyến nào song song với đường thẳng y = x -1 .
Cách 2: Tiếp tuyến cần tìm có dạng y = x +b.
Đường thẳng này phải tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho
 = x +b phải có nghiệm kép x2
 (b + 1)x - (2b + 1) = 0 phải có nghiệm kép x2
Điều này là không thể xảy ra vì đây là phương trình bậc nhất nên không thể có nghiệm kép.
Vậy không có tiếp tuyến nào song song với đường thẳng y = x -1 .
c) Tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đường thẳng y = - x + 7 .Vậy nó có hệ số góc k =.
Có thể áp dụng 1 trong 2 phương pháp trình bày ở trên.Chúng ta tìm được hai tiếp tuyến là
 y = x - và y = x - 
Bài Tập:
Bài 1: Cho hàm số y =.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị,biết tiếp tuyến ấy đi qua (4;3)
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = , biết tt đó vuông góc với đường thẳng y = x+ 2.
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = 4x3 -3x,biết tiếp tuyến ấy đi qua (3;99)
Bài 4: Cho hàm số y = x4 - 2x2 + 2.Chứng minh rằng: Qua điểm (0;2) ta có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị.Viết pt tới đồ thị.Viết phương trình các tiếp tuyến đó.
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = ,biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = - 2x + 1.