Bài giảng luyện thi Hình học 10

$ 1 . VEC TƠ, CÁC PHÉP TOÁN VỀ VEC TƠ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1) Các định nghĩa: - Véc tơ
	- Hai véc tơ cùng phương, cùng hướng
	- Véc tơ – không
	- Độ dài véc tơ, hai véc tơ bằng nhau.
2) Các quy tắc: 
3) Các tính chất:
II. Bài tập.
BT 1. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi ?
Suy ra: hai đoạn thẳng AC, BD có chung trung điểm khi .
BT 2. Cho ngũ giác ABCDE. Trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE lần lượt là M, N, P, Q. I là trung điểm MP, J là trung điểm NQ. Chứng minh rằng .
Hướng dẫn:
BT 3. Gọi H, O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng
HD. 
- Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua O. CMR AB’CH là hình bình hành?
- Gọi D là trung điểm của BC. 
 CMR AH= 2OD?
Suy ra: 
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có
Từ (1), (2) suy ra đpcm cho b).
BT 4. Cho tam giác ABC trọng tâm G, M tùy ý. A1, B1, C1 lần lượt là các điểm đối xứng của M qua các trung điểm I, J, K của các cạnh BC, CA, AB.
CMR AA1, BB1, CC1 đồng quy tại trung điểm O của mỗi đoạn?
CMR M, O, G thẳng hàng?
BT 5. Cho tam giác ABC, M là điểm tùy ý trên cạnh BC. Chứng minh rằng: .
BT 6. Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N lần lượt thuộc các đoạn AD, BC sao cho 
 . Chứng minh rằng .
.
BT 9. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho 
Giải.
	Vậy tập hợp M là đường tròn tâm I, bán kính EA.
Vậy tập hợp M là đường trung trực của đoạn GH.
BT 11.Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với AB, BC, CA lần lượt tại M, N, P. CMR: 
BT 12. Cho tam giác ABC, điểm M bất kì trong tam giác. Đặt S(MBC)= Sa , S(MCA)= Sb ,
 S(MAB) = Sc. CMR: 
Gọi H là giao điểm của MA với BC. Ta có
 BT 13. Cho tam giác đều ABC tâm O, M bất kì nằm trong tam giác. D, E, F lần lươt là chân đường cao hạ từ M xuống BC, CA, AB và H, I, K lần lượt là điểm đối xứng với M qua BC, CA, AB. CMR:
a) 
b) Tam giác ABC và tam giác HIK có cùng trọng tâm?
Gọi AT, BS, CV là ba đường cao của tam giác ABC. Đặt S(MBC)= Sa , S(MCA)= Sb ,
S(MAB) = Sc , S(ABC)= S ta có (1)
Mặt khác 
b) suy ra O là trọng tâm tam giác HIK.
BT 14. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’; A’’, B’’, C’’ theo thứ tự là trọng tâm các tam giác BCA’, CAB’, ABC’. G, G’, G’’ theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ABC, A’B’C’, A’’B’’C’’. CMR G, G’, G’’ thẳng hàng.
BT 15. Cho tứ giác ABCD; X, Y, Z, T theo thứ tự là trọng tâm các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC. CMR: AX, BY, CZ, DT đồng quy tại trọng tâm của tứ giác.
BT 16. Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp các điểm M sao cho
 $2. PHÂN TÍCH MỘT VÉC TƠ THEO HAI VÉC TƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG
I. Kiến thức.
II. Bài tập.
Bài 1. Cho hình thang ABCD (BC, AD là hai đáy), . Phân tích véc tơ .
Bài 2. Cho tam giác ABC có trọng tâm G, H đối xứng với B qua G.
CMR: 
M là trung điểm BC. CMR: .
a) 
Bài 3. Cho tam giác ABC. D, I là các điểm xác định bởi hệ thức và 
 .
Tính .
CMR: A, I, D thẳng hàng.
M là trung điểm của AB, N là điểm sao cho . Xác định k để AD, MN, BC đồng quy?
HD:
a) 
b) 
Bài 4. Cho tam giác ABC, trên BC lấy điểm D sao cho , gọi E là điểm thỏa mãn hệ thức .
Tính .
CMR: A, E, D thẳng hàng.
F là điểm sao cho . Xác định k để B, E, F thẳng hàng?
Hãy xác định điểm I và số thực m sao cho: 
$3. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ
I. Kiến thức. 
	1. Định nghĩa. 
	2. Tính chất. 
I. Bài tập. 
Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = 2.a, AC = a, góc A = 1200. M là trung điểm AC.
Tính BC và BM?
Gọi N là điểm trên BC sao cho BN = x. Tính ?
Tìm x để AN vuông góc với BM?
c) 
Bài 2. Cho tam giác ABC đều, độ dài cạnh 3.a. Lấy M, N, P lần lượt trên các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = a, CN = 2.a, AP = x (0 < x < 3.a).
Tính ?
Tìm x để AM vuông góc với PN?
Bài 3. Cho tam giác ABC đều, nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R.
	a) 
	b) 
	c) Tìm M trên (O) để P đạt GTLN, GTNN. Tìm các giá trị đó?
Bài 4. Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
Bài 5. Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
Bài 6. Cho hình chữ nhật ABCD. H là hình chiếu của A lên BD; M, N lần lượt là trung điểm của BH, CD. CMR: MA vuông góc với MN.
Bài 7. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R).
CMR: H là trực tâm khi và chỉ khi 
Khi tam giác ABC không đều. Tìm điểm M thuộc (O, R) sao cho đạt GTLN, GTNN.
Bài 8. Tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). D là trung điểm AB, E là trọng tâm tam giác ADC. CMR: OE vuông góc với CD.
Bài 9. Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. H, K lần lượt là trực tâm tam giác AOB và COD. I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC. CMR: HK vuông góc với IJ.
HD
Từ (1), (2), (3) ta có đpcm.
Bài 10. Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm BC, H là hình chiếu của M trên AC và E là trung điểm MH. CMR: AE vuông góc với BH.
HD.
(đpcm).
Bài 11. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Điểm E xác định bởi . Tìm trên AC điểm M sao cho BM vuông góc với CE.
HD.
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = a. Gọi M, N, P là ba điểm lần lượt thuộc ba cạnh AB, BC, CA sao cho . CMR: 
.
Bài 13. Cho hình thang vuông ABCD đường cao AB = h, cạnh đáy AD = a, BC = b. Tìm mối liên hệ giữa a, b, h để:
AC vuông góc với DB.
IA vuông góc với IB với I là trung điểm của CD.
Bài 14. Cho tứ giác ABCD. M, N lần lượt là trung điểm AC, BD; P, Q lần lượt là trung điểm của BC, AD. CMR: .
Bài 15. Cho tứ giác ABCD có các đường chéo vuông góc với nhau, nội tiếp trong đường tròn (O,R). Gọi M là trung điểm của AB, S là giao của hai đường chéo. CMR: 
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BD và AC;
Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và BC;
$ 4. TOÁN QUỶ TÍCH
I. Kiến thức.
	- Chọn đối tượng cố định cho trước,
	- Biểu diễn các vấn đề liên quan đến điểm cần tìm quỷ tích qua đối tượng cố định.
	- Kết luận.
II. Bài tập.
 Bài 1. Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
Bài 2. 
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
Gọi O là giao của hai đường chéo, ta có.
Kết luận.
 Kết luận.
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = c, AC = b, BC = a.
Tìm điểm I thoả mãn hệ thức 
Tìm tập hợp điểm M thoả mãn hệ thức 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC , ta có:
Bài 4. Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ 
Bài 5. Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a.
Bài 6. Cho tam giác ABC không nhọn. Tìm tập hợp các điểm M sao cho 
$ 5. TOÁN TÍNH TOÁN VÀ CHỨNG MINH HỆ THỨC HÌNH HỌC.
1. Kiến thức:
	* Các phép toán véc tơ và các tính chất.
	* Các quy tắc đã học.
	* Hệ thức lượng trong tam giác, chú ý trong tam giác vuông.
	* Cách xác định góc giữa hai véc tơ, hai đường thẳng.
2. Bài tập.
Bài 1. Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
Bài 2. Trên đáy của AB của tam giác cân ABC cho điểm P. Chứng minh rằng:
Bài 3. Cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng: 
HD: Dựng hình bình hành IA2CB2, ta có
Bài 4. Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. H là trưc tâm và (O,R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác; I, J lần lượt là trung điểm của HA, BC.
a) Gọi B’ đối xứng với B qua O.
- C/M AHCB’ là hình bình hành.
- C/M 2.OJ= CB’= HA= 2HI
- Kết luận.
Bài 5. Cho tam giác ABC, trên cạnh AC lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm N sao cho :
 AM = 3MC, NC = 2NB. O là giao điểm của AN và BM. Tính diện tích tam giác ABC
 biết diện tích tam giác OBN bằng 1.
$.6. TOÁN VỀ BĐT, GTLN, GTNN CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG HÌNH HỌC.
I. Kiến thức.
- Nắm các quy tắc đã học
- Các bất đẳng thức trong tam giác, bất đẳng thức trị tuyệt đối và các bất đẳng thức cổ điển đã học.
	- Hệ thức lượng trong tam giác.
II. Bài tập. 
Bài 1.
Bài 2. .
Bài 3. 
Bài 4. 
Bài 5. 
Bài 6.