Bài giảng môn Toán Lớp 10 sách Kết nối tri thức - Bài: Ôn tập chương IV

CHƯƠNG I 
§7. Các khái niệm mở đầu 
§8. Tổng và hiệu của hai vectơ 
§9. Tích của một vectơ với một số 
§10. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ 
§11. Tích vô hướng của hai vectơ 
Bài tập cuối chương 4 
CHƯƠNG I V . VECTƠ 
CHƯƠNG I 
CHƯƠNG I V . VECTƠ 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
A 
TỰ LUẬN 
B 
BÀI TẬP THÊM 
C 
HÌNH HỌC 
➉ 
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV 
BÀI TẬP VỀ NHÀ 
D 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 và . 
 và . 
 và 
 và 
4.27 
Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương? 
Có: . 
Suy ra và cùng phương. 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
A 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 và . 
 và . 
 và . 
 và . 
4.28 
Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau? 
Có: 
Suy ra . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
4.29 
Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng ? 
Có: 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
4.30 
Góc giữa vectơ và vectơ có số đo bằng: 
Có: 
 . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
4.31 
Khẳng định nào sau đây là đúng? 
Chọn D 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 và 
4.32 
Cho hình vuông có cạnh Khẳng định nào sau đây là đúng? 
Có: . 
 . 
Bài giải 
4.33 
Trên cạnh của tam giác lấy điểm sao cho . 
a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ và . 
b) Biểu thị vectơ theo hai vectơ và . 
a) . 
b) Gọi là trung điểm . 
Có: 
TỰ LUẬN 
B 
 . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 và cùng hướng. 
 và nằm trên hai đường thẳng hợp với nhau một góc . 
 và ngược hướng. 
A, B, C đều sai. 
Câu 1 
Biết , và . Câu nào sau đây đúng 
Ta có 
 nên và ngược hướng 
DẠNG 1. CÁC CÂU HỎI LÝ THUYẾT 
C. BÀI TẬP THÊM 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
Câu 2 
Cho hai véctơ và đều khác vectơ . Đẳng thức nào sau đây là sai ? 
  Chọn C 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 và cùng chiều 
 và cùng phương 
Câu 3 
Tích vô hướng của hai véctơ và cùng khác là số âm khi: 
Chọn D  
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 là trung điểm của . 
 là đường phân giác của góc . 
 . 
A, B, C đều sai. 
Câu 4 
Cho tam giác . Lấy điểm trên sao cho .Câu nào sau đây đúng 
Ta có 
 nên . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 5 
Cho 2 vec tơ , tìm biểu thức sai: 
  Chọn C 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 1 
Cho hình vuông . Tính góc : 
+) Hai vectơ cùng hướng, do đó 
+) Hai vectơ ngược hướng, do đó 
DẠNG 2. TÍNH GÓC GIỮA HAI VECTO BẰNG ĐỊNH NGHĨA 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 2 
Cho tam giác ABC đều. G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó góc giữa và bằng: 
Ta có: 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 3 
Cho tam giác đều có đường cao . Góc và góc . 
Ta có . 
Vẽ . 
Khi đó 
 . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 4 
Cho tam giác vuông tại có Tính côsin của góc giữa hai vectơ và . 
Ta có: . 
Mà nên . 
Vậy 
hay . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 5 
Cho hình thoi có góc A là . Tính 
Vì là hình thoi nên là phân giác góc . 
Ta có: 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 1 
Cho hình vuông tâm có độ dài cạnh là . Giá trị của là : 
Ta có: 
 . 
DẠNG 3. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO THEO ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 2 
Cho hình thoi tâm , cạnh và . Tính . 
Chọn D 
Ta có nên . 
 . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 3 
Cho tam giác vuông tại biết , . Tính . 
Ta có: 
 . 
Ta có: tam giác vuông tại nên 
nên 
Nên . Suy ra . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 4 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai vector thỏa mãn đồng thời các điều kiện và . Tính giá trị của : 
Chọn B 
Ta có: 
 . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 5 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai vector thỏa mãn đồng thời các điều kiện và . Tính . 
Ta có: 
 . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 1 
Trong mặt phẳng , cho hai vectơ , , khi đó: 
 . 
DẠNG 4. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO BẰNG BIỂU THỨC TỌA ĐỘ 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 2 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai vectơ , , khi đó bằng: 
Ta có: . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 , . 
 , . 
 , 
 , . 
Câu 3 
Trong mặt phẳng tọa độ , cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau: 
Ta có: , 
thì . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 4 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho , , , giá trị là: 
Ta có: . 
Ta có: . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 5 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho ba điểm , , , có bao nhiêu giá trị để tam giác vuông tại : 
Ta có: . 
Để tam giác vuông tại 
 . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
0 
Câu 1 
Cho nửa đường tròn đường kính AB= 2R. Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại E. khi đó giá trị của bằng 
Ta có 
Vì AB là đường kính nên 
Suy ra 
Do đó . 
DẠNG 5. CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
Câu 2 
Cho tam giác với ba trung tuyến AD, BE, CF. Đẳng thức nào sau đây đúng ? 
Sử dụng các đẳng thức về trung điểm 
Ta có: 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
Câu 3 
Cho tam giác đều cạnh a nội tiếp đường tròn (O).M là điểm bất kỳ nằm trên đường tròn . Khi đó bằng 
Ta có 
Tương tự : 
Suy ra 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
Câu 4 
Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính . Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN. Khi đó giá trị của bằng 
Ta có: 
 (Vì ) 
Từ đó ta có : 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
Câu 5 
Cho hình bình hành . Gọi M là một điểm tùy ý. Đẳng thức nào sau đây đúng ? 
Gọi O là tâm hình bình hành khi đó 
+) 
 +) 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
Câu 1 
Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ và . Tính cosin của góc giữa hai vectơ và 
Ta có 
DẠNG 6. ỨNG DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI VECTO 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
Câu 2 
	 Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ và Tìm để vectơ tạo với vectơ một góc 
Ta có 
Yêu cầu bài toán 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
0 
1 
Câu 3 
Cho hai véc tơ và biết . Tính . 
Ta có 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
Câu 4 
Cho hình thang vuông ABCD có hai đáy , đường cao . Góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng 
Ta có : 
Suy ra góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng 90 0 . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 5 
Cho biết ; . Độ dài của véctơ góc bằng 
Ta có 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
Câu 1 
Trong mặt phẳng tọa độ, cho . 
Vectơ nào sau đây không vuông góc với vectơ ? 
DẠNG 7. ỨNG DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG CHỨNG MINH VUÔNG GÓC 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
Câu 2 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai vectơ và . 
Giá trị của để là 
Từ giải thiết suy ra . 
Để 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
Hình chữ nhật. 
Hình thoi. 
Hình bình hành. 
Hình vuông. 
Câu 3 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho bốn điểm và . 
Tứ giác là hình gì? 
Ta có: 
 Tứ giác là hình vuông. 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
Câu 1 
Tác dụng lực không đổi 150N theo phương hợp với phương ngang một góc vào vật có khối lượng 80kg làm vật chuyển động được quãng đường 20m. Công của lực tác dụng bằng 
DẠNG 8. ỨNG DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
Câu 2 
Một vật có trọng lượng 50N được thả rơi tự do từ độ cao m xuống một hồ nước sâu 2m. Công của trọng lực khi vật rơi tới đáy hồ bằng 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
Câu 3 
Một thang máy có trọng lượng 8000N chuyển động thẳng đứng lên trên cao 10m. Nếu thang máy đi lên đều thì công của động cơ kéo thang máy đi lên bằng 
Thang máy đi lên đều nên N 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
Câu 4 
Một đầu tàu kéo một đoàn tàu chuyển động từ ga A tới ga B trong phút với vận tốc km/h. Tại ga B đoàn tàu được mắc thêm toa và do đó chuyển động đều từ ga B đến ga C với vận tốc nhỏ hơn trước km/h. Thời gian đi từ ga B đến ga C là 30 phút. Biết rằng lực kéo của đầu tàu không đổi là 40000N, công của lực kéo của đầu tàu sinh ra bằng 
Khoảng cách từ ga A đến ga B bằng: 
Khoảng cách từ ga B đến ga C bằng: 
Công của lực kéo đầu tàu bằng: 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 1 
Cho tam giác có , , . 
Tìm tọa độ trực tâm của tam giác . 
Gọi là tọa độ cần tìm. . Nên . 
 . Suy ra . 
Từ và ta có hệ phương trình . 
Vậy là tọa độ cần tìm. 
DẠNG 9. TÌM TỌA ĐỘ CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 2 
Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác có , và 
Gọi là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính 
Gọi là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho khi đó ta có: 
 . 
 . 
Từ đó ta có hệ phương trình . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 3 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho có , , . 
Xác định tọa độ trực tâm của . 
Gọi . Ta có . 
Vì là trực tâm nên . 
Vậy . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 4 
Cho có . Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp là 
 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác khi và chỉ khi: 
 . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 1 
Trên mặt phẳng tọa độ , cho , , và . 
Khi đó tọa độ điểm là 
Do , đặt 
suy ra , . 
Vì . 
Suy ra 
 . 
Vậy . 
DẠNG 7. ỨNG DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG CHỨNG MINH VUÔNG GÓC 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 2 
	Cho ba điểm , và . Tìm điểm trên đường thẳng để góc . 
	 Giả sử suy ra . 
Vì suy ra 
 (*). 
Mặt khác M thuộc đường thẳng BC nên hai vectơ cùng phương. 
Suy ra thế vào (*) ta được: 
 hoặc . 
+ Với , ta có 
 . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 2 
Cho ba điểm , và . 
Tìm điểm trên đường thẳng để góc . 
Khi đó (không thỏa mãn). 
+ Với , 
 . 
Khi đó . 
Vậy là điểm cần tìm. 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 3 
Cho hai điểm . Tìm điểm thuộc trục và có hoành độ dương để tam giác vuông tại . 
 (theo giả thiết thì ) 
Ta có . 
Tam giác vuông tại 
 (nhận ) 
Như vậy . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 và . 
 . 
 . 
 . 
Câu 4 
Trong mp tọa độ cho 2 điểm . Tìm tọa độ điểm trên sao cho tam giác vuông tại ? 
Ta có nên và 
Do tam giác vuông tại nên 
 . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
Câu 1 
[NB] Trong mặt phẳng tọa độ , cho vectơ . Độ dài của vectơ bằng 
Áp dụng công thức tính độ dài của vectơ ta có : 
DẠNG 11. TÍNH ĐỘ DÀI VECTO KHI BIẾT ĐỘ DÀI VECTO 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
Câu 2 
[TH] Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm , . Điểm nằm trên trục sao cho tam giác cân tại . Khi đó tọa độ điểm là 
Điểm thuộc trục nên tọa độ điểm . 
Vì tam giác cân tại nên ta có : 
Vậy 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
Câu 3 
[VD] Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm , , là một điểm nằm trên trục . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ? 
Nhật xét hai điểm và nằm cùng phía so với trục 
Gọi là điểm đối xứng với qua trục , kho đó . 
Khi đó 
Vậy GTNN của , 
đạt được khi ba điểm thẳng hàng theo thứ tự này. 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
Đường thẳng vuông góc với . 
Đường tròn đường kính . 
Đoạn thẳng vuông góc với . 
Kết quả khác. 
Câu 1 
Cho 2 điểm và có . Tập hợp những điểm M sao cho là: 
 nên và vuông góc 
hay điểm nằm trên đường tròn đường kính . 
DẠNG 12. TÌM TẬP HỢP ĐIỂM 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
Đường tròn đường kính . 
Đường thẳng đi qua và vuông góc với . 
Đường thẳng đi qua và vuông góc với . 
Đường thẳng đi qua và vuông góc với . 
Câu 2 
Cho ba điểm , , phân biệt. Tập hợp những điểm mà là 
Ta có . Suy ra tập hợp các điểm là đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
một điểm. 
đường thẳng. 
đoạn thẳng. 
đường tròn. 
Câu 3 
Cho tam giác . Tập hợp các điểm thỏa mãn là 
Gọi là trung điểm 
Ta có 
Biểu thức chứng tỏ hay nhìn đoạn dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm là đường tròn đường kính 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
Câu 1 
Cho đoạn thẳng AB cố định và . Gọi M là điểm thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn là 
Ta có: 
Do đó điểm nằm trên đường thẳng d vuông góc với tại B 
Vậy AM nhỏ nhất 
 M là hình chiếu vuông góc của A lên d 
 .Khi đó 
DẠNG 13. CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
2a. 
Câu 2 
Cho đoạn AB có độ dài bằng . Một điềm di động sao cho . Gọi là hình chiếu của lên AB. Tính độ dài lớn nhất của đoạn thẳng . 
Gọi O là trung điểm của AB. Khi đó . 
Ta có: 
Do đó nằm trên đường tròn tâm đường kính AB. 
Từ đó MH lớn nhất khi trùng với tâm hay . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
Câu 1 
Cho hình chữ nhật biết và thì độ dài bằng: 
Ta có: 
 . 
Chọn A 
 BÀI TẬP VỀ NHÀ 
D 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
Câu 2 
Cho hình vuông cạnh , độ dài vectơ bằng: 
Giải. 
Ta có: 
	 . 
Chọn A 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
Câu 3 
Cho tam giác có là trung điểm của Tính theo và 
Ta có 
Chọn C 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
Câu 4 
Cho tam giác , gọi là trung điểm và là một điểm trên cạnh sao cho . Gọi là trung điểm của . Khi đó 
Giải. 
Ta có 
	 . 
Chọn C 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 5 
Cho . Hai vectơ và cùng phương nếu số là 
 cùng phương 
	 . 
Chọn D 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 6 
Cho 3 điểm điểm thỏa mãn là hình bình hành. Khi đó giá trị biểu thức là 
Ta có 
 là hình bình hành 
Chọn A 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 7 
Trong mặt phẳng , cho các điểm . Tọa độ điểm thỏa mãn là 
Ta có: 
 . 
Chọn C 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
88. 
44 . 
20. 
 . 
Câu 8 
Cho tam giác có , . Tính 
Ta có . 
Chọn B 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 9 
Cho tam giác có , . Tích vô hướng bằng 
Vì nên vuông cân ở 
Do đó 
 . 
Chọn A 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 10 
Cho hai véc tơ ; . Góc giữa hai véc tơ , là 
Áp d ụng công thức: 
Suy ra g óc giữa hai véc tơ , bằng . 
Chọn D 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 11 
Trong mặt phẳng tọa độ cho . T ính . 
Ta có: . 
Chọn D 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
 . 
 . 
 . 
 . 
Câu 12 
Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai vectơ và . Tìm để hai vectơ và vuông góc với nhau. 
Ta có và . 
Vì và vuông góc với nhau nên 
 . 
CHƯƠNG I 
CHƯƠNG I V . VECTƠ 
BÀI TẬP SKG 
1 
BÀI TẬP THÊM 
2 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
3 
TOÁN HÌNH HỌC 
➉ 
ÔN CHƯƠNG IV 
4.34. Cho hình bình hành . Chứng minh rằng với mọi điểm ta có: . 
1 . B ÀI TẬP 
 Hướng dẫn: 
Ta có: 
 . 
Vì là hình bình hành nên 
4.35. Trong mặt phẳng tọa độ , cho ; và . 
Tìm tọa độ của các vectơ và . 
Chứng minh rằng , , là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó. 
1 . B ÀI TẬP 
 Hướng dẫn: 
a. ; . 
b. Ta thấy nên 2 vec-tơ và không cùng phương suy ra 3 điểm , , không thẳng hàng do đó chúng là 3 đỉnh của 1 tam giác. 
Lại có: nên suy ra vuông tại . 
4.35. Trong mặt phẳng tọa độ , cho ; và . 
Tìm tọa độ trọng tâm của . 
Tìm tọa độ của điểm sao cho tứ giác là một hình bình hành. 
1 . B ÀI TẬP 
 Hướng dẫn: 
 ; 
 ; 
 . 
 (đvdt) 
Chu vi tam giác bằng 
 (đvcv). 
4.35. Trong mặt phẳng tọa độ , cho ; và . 
c. Tìm tọa độ trọng tâm của . 
d. Tìm tọa độ của điểm sao cho tứ giác là một hình bình hành. 
1 . B ÀI TẬP 
 Hướng dẫn: 
c. là trọng tâm của tam giác nên 
Vậy . 
4.35. Trong mặt phẳng tọa độ , cho ; và . 
c. Tìm tọa độ trọng tâm của . 
d. Tìm tọa độ của điểm sao cho tứ giác là một hình bình hành. 
1 . B ÀI TẬP 
 Hướng dẫn: 
d. Gọi . Do là một tam giác nên tứ giác là hình bình hành 
 . 
Vậy . 
4.36. Trong mặt phẳng tọa độ , cho ; ; và . 
a. Tìm tọa độ của vec-tơ và . 
b. Hãy giải thích vì sao các vec-tơ và cùng phương. 
c. Giả sử là điểm có tọa độ . Tìm để các vec-tơ và cùng phương. 
1 . B ÀI TẬP 
 Hướng dẫn: 
a. ; . 
b. Ta thấy nên 2 vec-tơ và cùng phương. 
c. ; . 
 và cùng phương 
 . 
4.36. Trong mặt phẳng tọa độ , cho ; ; và . 
c. Giả sử là điểm có tọa độ . Tìm để các vec-tơ và cùng phương. 
d. Với vừa tìm được, hãy biểu thị vec-tơ theo các vectơ và . 
1 . B ÀI TẬP 
 Hướng dẫn: 
d. Khi thì . 
Giả sử tồn tại bộ thỏa mãn 
 . 
Vậy . 
4.37. Cho vectơ . Chứng minh rằng (hay còn được viết là ) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ . 
1 . B ÀI TẬP 
 Hướng dẫn: 
Ta có: và nên là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ . 
4.38. Cho ba vectơ với và . Xét một hệ trục với các vectơ đơn vị . Chứng minh rằng: 
a) Vectơ có toạ độ là . 
b) . 
1 . B ÀI TẬP 
 Hướng dẫn: 
Giả sử: . 
Ta có: 
Vậy vectơ có toạ độ là và . 
4.39. Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng với vận tốc có độ lớn bằng . Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng, nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng . 
1 . B ÀI TẬP 
 Hướng dẫn: 
Gọi là vận tốc dòng nước; là vận tốc ca nô có sức cản của nước; là vận tốc riêng của ca nô. 
Từ đề bài ta có 
 ; 
 và . 
4.39. Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng với vận tốc có độ lớn bằng . Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng, nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng . 
1 . B ÀI TẬP 
 Hướng dẫn: 
Ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng thì . 
Suy ra 
 . 
Suy ra . 
4.39. Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng với vận tốc có độ lớn bằng . Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng, nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng . 
1 . B ÀI TẬP 
 Hướng dẫn: 
Suy ra . 
Vậy Cano đi một mình theo hướng với vận tốc: . 
Bài 1. Chứng minh rằng điểm là trung điểm của đoạn thẳng khi và chỉ khi . 
2 . B ÀI TẬP THÊM 
 Hướng dẫn: 
Nếu là trung điểm của đoạn thẳng thì và hai vec tơ ngược hướng. Vậy . 
Ngược lại, nếu thì và hai vec tơ ngược hướng. Do đó thẳng hàng. 
Vậy là trung điểm của đoạn thẳng . 
Bài 2. Cho tam giác có trọng tâm . Gọi là trung điểm của . Dựng điểm sao cho . 
a) Chứng minh rằng . 
b) Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng . 
2 . B ÀI TẬP THÊM 
 Hướng dẫn: 
Vì là trung điểm của nên 
 và cùng hướng với do đó hai vectơ , bằng nhau hay . 
b) Ta có và . Do đó cùng hướng. (1) 
Vì là trọng tâm tam giác nên 
 , là trung điểm suy ra 
 . Vì vậy . (2) 
Từ (1) và (2) ta có . 
Bài 3. Cho tam giác có là trực tâm và là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi là điểm đối xứng của qua . Chứng minh 
 . 
2 . B ÀI TẬP THÊM 
 Hướng dẫn: 
Vì là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác nên 
 . 
Do đó và 
Suy ra tứ giác là hình bình hành 
Vậy . 
Bài 4. Cho năm điểm . Chứng minh rằng: 
	a) .	b) . 
2 . B ÀI TẬP THÊM 
 Hướng dẫn: 
a) Biến đổi vế trái ta có 
  . 
b) Đẳng thức tương đương với 
(đúng với mọi (đpcm). 
Bài 5. Cho và . Tìm để 
	a) . 
	b) . 	 
2 . B ÀI TẬP THÊM 
 Hướng dẫn: 
Ta có . 
a) . 
b) và . 
Do đó 
 . 
Bài 6. Trong mặt phẳng toạ độ cho các điểm . 
Chứng minh ba điểm không thẳng hàng. 
Tính góc và diện tích của tam giác . 
2 . B ÀI TẬP THÊM 
 Hướng dẫn: 
a) Ta có . 
Vì nên không cùng phương, suy ra ba điểm không thẳng hàng. 
b) Ta có 
 . 
Vậy . 
Hạ đường cao ta có . 
Bài 7. Trong mặt phẳng toạ độ cho các điểm , . Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác . 
2 . B ÀI TẬP THÊM 
 Hướng dẫn: 
Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp , ta có: 
 và . 
Vậy tâm . 
Bán kính . 
Bài 8. Trong mặt phẳng toạ độ cho tam giác với . 
a) Tìm toạ độ điểm để tứ giác là hình bình hành. 
b) Tìm toạ độ chân đường cao vẽ từ đỉnh của tam giác . 
2 . B ÀI TẬP THÊM 
 Hướng dẫn: 
Tứ giác là hình bình hành khi 
 . 
Vậy . 
Bài 8. Trong mặt phẳng toạ độ cho tam giác với . 
a) Tìm toạ độ điểm để tứ giác là hình bình hành. 
b) Tìm toạ độ chân đường cao vẽ từ đỉnh của tam giác . 
2 . B ÀI TẬP THÊM 
 Hướng dẫn: 
b) Gọi là chân đường cao của tam giác . Ta có (*) 
 . 
Hệ (*) . 
Vậy . 
Câu 1. Cho tam giác . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Hỏi cặp véctơ nào sau đây cùng hướng? 
	 A. và .	 B. và .	 
	 C. và .	 D. và . 	 
3 . B ÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
 Hướng dẫn: 
Chọn A. 
Câu 2. Cho hình chữ nhật có . Độ dài của véctơ là 
	A. .	 B. .	 
	C. .	 D. . 
3 . B ÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
 Hướng dẫn: 
 . 
Chọn D. 
Câu 3. Cho hình bình hành với là giao điểm của 2 đường chéo. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? 	 
A. 	 B. .	 
C. .	 D. . 
3 . B ÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
 Hướng dẫn: 
 và không cùng phương nên sai. 
Chọn C. 
Câu 4. Cho tam giác Gọi và lần lượt là trung điểm của và Trong các mệnh đề sau tìm mệnh đề sai ? 	 
	 A . .	 B . .	 
	 C . .	 D . . 	 
3 . B ÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
 Hướng dẫn: 
Ta có: và cùng hướng nên . 
Chọn C. 
Câu 5. Cho tam giác , điểm thoả mãn: . Nếu thì cặp số bằng 	 A. 	 B. 
 	 C. 	 D. . 	 Hướng dẫn: 
3 . B ÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Ta phân tích được 
 . 
Chọn B. 
Câu 6. Cho hai điểm và . Nếu là điểm đối xứng với điểm qua điểm thì có tọa độ là 	 
	 A. .	 B. .	 
	 C. .	 D. . 
3 . B ÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
 Hướng dẫn: 
Giả sử . 
Vì là điểm đối xứng với điểm qua điểm , ta có: 
Vậy 
Chọn A. 
Câu 7. Véc-tơ đối của 
 là 	 
 A. .	 
	 B. .	 
	 C. .	 
	 D. . 
3 . B ÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
 Hướng dẫn: 
Vec-tơ đối của vecto là 
 . 
Chọn A. 
Câu 8. Trong mặt phẳng , cho hai điểm . Tìm tọa độ điểm thỏa là 	 
	 A. .	 B. .	 
	 C. .	 D. . 
3 . B ÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
 Hướng dẫn: 
Gọi . 
Ta có: 
Vậy . 
Chọn D. 
Câu 9. Trong mặt phẳng , cho . Tìm giá trị của để thẳng hàng 
	 A. .	 B. .	 
	 C. .	 D. . 
3 . B ÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
 Hướng dẫn: 
Do thẳng hàng nên cùng phương với 
 . 
Khi đó : 
Chọn B. 
Câu 10. Cho tam giác có , , . Toạ độ chân đường phân giác trong của góc là 
	 A. .	 B. .	 
	C. .	 D. . 
3 . B ÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
 Hướng dẫn: 
TN: Biểu diễn toạ độ các điểm trên mặt phẳng toạ độ, bằng trực quan ta chọn được ngay đáp án B. 
Tự luận: Gọi là chân đường phân giác trong của góc thì 
Do nằm trong đoạn nên 
 . 
Chọn B.