Bài giảng môn Toán Lớp 10 sách Kết nối tri thức - Chương II - Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN. 
1 
BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ. 
2 
TOÁN 
➉ 
BÀI TẬP 
3 
§3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
	Các bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn xuất hiện nhiều trong nhiều bài toán kinh tế, như là những ràng buộc trong các bài toán sản xuất, bài toán phân phối hàng hóa, 
	Chương này cung cấp cách biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ. 
§3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
THUẬT NGỮ 
 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 
 Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 
KIẾN THỨC, KỸ NĂNG 
Nhận biết bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 
Biết biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ. 
Vận dụng kiến thức về bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào bài toán thực tiễn. 
§3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
Nhân ngày quốc tế Thiếu nhi , một rạp chiếu phim phục vụ các khán giả một bộ phim hoạt hình. Vé được bán ra có hai loại: 
Loại (dành cho trẻ từ tuổi): đồng/vé; 
Loại (dành cho người trên tuổi): đồng/vé. 
Người ta tính toán rằng, để không phải bù lỗ thì số tiền vé thu được ở rạp chiếu phim này phải đạt tối thiểu triệu đồng. Hỏi số vé bán được trong trường hợp nào thì rạp chiếu phim phải bù lỗ? 
Bài giải 
Số tiền vé thu được ở rạp chiếu phim đó theo và là: 
 (nghìn đồng) 
Trong tình huống mở đầu, gọi là số vé loại 1 bán được và là số vé loại 2 bán được. Viết biểu thức tính số tiền bán vé thu được (đơn vị nghìn đồng) ở rạp chiếu phim đó theo và 
HĐ1. 
Bài giải 
Các số nguyên không âm và phải thỏa mãn điều kiện thì số tiền bán vé thu được đạt tối thiểu triệu đồng. 
Nếu số tiền bán vé thu được nhỏ hơn 20 triệu đồng thì và phải thỏa mãn . 
 Mỗi hệ thức liên hệ giữa và thu được trong HĐ1a và HĐ1b được gọi là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 
Các số nguyên không âm x và phải thỏa mãn điều kiện gì để số tiền bán vé thu được đạt tối thiểu 20 triệu đồng? 
Nếu số tiền bán vé thu được nhỏ hơn 20 triệu đồng thì và phải thỏa mãn điều gì? 
HĐ1. 
1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là: 
trong đó là những số thực đã cho và không đồng thời bằng ; và là các ẩn số. 
Bài giải 
Bất phương trình là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 
Bất phương trình không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa . 
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn? 
Ví dụ 1. 
Bài giải 
Cặp số thỏa mãn bất phương trình . 
 Vậy rạp chiếu phim sẽ phải bù lỗ nếu bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2. 
Trả lời câu hỏi tương tự với cặp số . 
Cặp số thỏa mãn bất phương trình . 
 Vậy rạp chiếu phim sẽ không phải bù lỗ nếu bán được vé loại và vé loại . 
	Cặp số thỏa mãn bất phương trình bậc nhất hai ẩn nào trong hai bất phương trình thu được ở HĐ1? Từ đó cho biết rạp chiếu phim có phải bù lỗ hay không nếu bán được vé loại 1 và vé loại 2 
HĐ 2. 
1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
	Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là: 
trong đó là những số thực đã cho và không đồng thời bằng ; và là các ẩn số. 
	Cặp số gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn nếu bất đẳng thức đúng. 
Bài giải 
	a) Vì nên cặp số là một nghiệm của bất phương trình đã cho. 
	b) Vì nên cặp số không phải là một nghiệm của bất phương trình đã cho. 
	Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn . Cặp số nào sau đây là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên? 
	a) 	b) . 
Ví dụ 2. 
Bài giải 
a) Vì nên cặp số là một nghiệm của bất phương trình. 
 Vì nên cặp số là một nghiệm của bất phương trình. 
b) Với , BPT trở thành 
 Vậy có vô số giá trị của thỏa mãn bất phương trình đã cho. 
Nhận xét. Bất phương bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm. 
Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn . 
a) Hãy chỉ ra ít nhất hai nghiệm của bất phương trình trên. 
b) Với có bao nhiêu giá trị của thỏa mãn bất phương trình đã cho? 
Luyện tập 1. 
2.	BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 
Bài giải 
a) Các điểm , và thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng . 
Tại điểm giá trị biểu thức là: ; 
Tại điểm giá trị biểu thức là: ; 
Tại điểm giá trị biểu thức là: 	 . 
Cho đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ ( H.2.1 ). Đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. 
a) Các điểm , và có thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng không? 
Tính giá trị của biểu thức tại các điểm đó và so sánh với 4. 
HĐ 3. 
Bài giải 
b) Các điểm và thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng . 
Tại điểm giá trị của biểu thức là:	 ; 
Tại điểm giá trị của biểu thức là: 	 . 
Cho đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ ( H.2.1 ). Đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. 
b) Trả lời câu hỏi tương tự như câu a với các điểm và . 
HĐ 3. 
2.	BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 
Trong mặt phẳng tọa độ tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó. 
Người ta chứng minh được rằng đường thẳng có phương trình chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng bờ 
Một nửa mặt phẳng (không kể bờ ) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn 
Nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ ) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn 
Bờ gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn 
Bài giải 
Ta biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn như sau: 
Bước 1: Vẽ đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ 
Bước 2: Lấy một điểm bất kỳ không thuộc trên mặt phẳng rồi thay vào biểu thức . Chẳng hạn, lấy , ta có: . 
Do đó miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng bờ không chứa gốc tọa độ (miền không bị gạch). 
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ. 
Ví dụ 3. 
2.	BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 
Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn . 
Vẽ đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ 
Lấy một điểm không thuộc . 
Tính và so sánh với . 
Nếu thì nửa mặt phẳng bờ chứa là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu thì nửa mặt phẳng bờ không chứa là miền nghiệm của bất phương trình 
Bài giải 
Bước 1: Vẽ đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ 
Bước 2: Lấy không thuộc và thay , vào biểu thức ta được . 
	Do đó miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng bờ chứa điểm (miền không bị gạch). 
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ. 
Ví dụ 4. 
2.	BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 
Chú ý: 
 Miền nghiệm của bất phương trình là miền nghiệm của bất phương trình bỏ đi đường thẳng và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt. 
Bài giải 
Bước 1: Vẽ đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ 
Bước 2: Lấy không thuộc và thay , vào biểu thức ta được (thỏa mãn). 
	 Do đó miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng bờ chứa điểm , không kể đường thẳng (miền không bị gạch). 
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ. 
Luyện tập 2. 
Bài giải 
Giải bài toán ở tình huống mở đầu . 
Ví dụ 5 . 
Gọi là số lượng vé loại 1 bán được và là số lượng vé loại 2 bán được 
thì số tiền bán vé thu được là (nghìn đồng). 
Người ta sẽ phải bù lỗ trong trường hợp số tiền bán vé nhỏ hơn triệu đồng, tức là: hay . 
Như vậy, việc giải quyết bài toán mở đầu dẫn đến việc đi tìm miền nghiệm của bất phương trình . 
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn này được xác định như sau: 
Bước 1: Vẽ đường thẳng . 
Bước 2: Ta lấy gốc toạ độ và tính . 
Bài giải 
Giải bài toán ở tình huống mở đầu . 
Ví dụ 5 . 
Miền tam giác gồm các điểm bên trong và các điểm trên ba cạnh của tam giác 
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ chứa gốc toạ độ không kể đường thẳng (H.2.4). 
Bài giải 
Giải bài toán ở tình huống mở đầu. 
Ví dụ 5 . 
Vậy, nếu bán được số vé loại 1 là và số vé loại 2 là mà : 
- Điểm nằm trong miền tam giác không kể cạnh thì rạp chiếu phim sẽ phải bù lỗ. 
- Nếu điểm nằm trên đoạn thẳng thì rạp chiếu phim hòa vốn. 
Nhận xét 
Nếu bán được vé loại 1 và vé loại 2 thì rạp chiếu phim có lãi . 
Nếu bán được vé loại 1 và vé loại 2 thì rạp chiếu phim hoà vốn . 
Nếu bán được vé loại 1 và vé loại 2 thì rạp chiếu phim phải bù lỗ . 
Bài giải 
	 Gọi là số phút gọi nội mạng và là số phút gọi ngoại mạng 
 Một công ty viễn thông tính phí nghìn đồng mỗi phút gọi nội mạng và nghìn đồng mỗi phút gọi ngoại mạng. Em có thể sử dụng bao nhiêu phút gọi nội mạng và bao nhiêu phút gọi ngoại mạng trong một tháng nếu em muốn số tiền phải trả ít hơn nghìn đồng? 
Vận dụng 
thì số tiền cần phải trả là (nghìn đồng). 
Vì đề bài yêu cầu số tiền phải ít hơn nghìn đồng nên ta có 
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn này được xác định như sau: 
Bước 1: Vẽ đường thẳng . 
Bước 2: Ta lấy gốc toạ độ và tính . 
Bài giải 
 Một công ty viễn thông tính phí nghìn đồng mỗi phút gọi nội mạng và nghìn đồng mỗi phút gọi ngoại mạng. Em có thể sử dụng bao nhiêu phút gọi nội mạng và bao nhiêu phút gọi ngoại mạng trong một tháng nếu em muốn số tiền phải trả ít hơn nghìn đồng? 
Vận dụng 
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình  là nửa mặt phẳng bờ chứa gốc toạ độ không kể đường thẳng . 
Mặt khác bài toán có nên miền nghiệm của bài toán là miền tam giác . 
Bài giải 
 Một công ty viễn thông tính phí nghìn đồng mỗi phút gọi nội mạng và nghìn đồng mỗi phút gọi ngoại mạng. Em có thể sử dụng bao nhiêu phút gọi nội mạng và bao nhiêu phút gọi ngoại mạng trong một tháng nếu em muốn số tiền phải trả ít hơn nghìn đồng? 
Vận dụng 
Khi đó, 
Đ iểm với nằm trong miền tam giác không kể cạnh thì số tiền phải trả ít hơn (nghìn đồng). 
Điểm nằm trên đường thẳng thì số tiền phải trả là (nghìn đồng). 
3.	 BÀI TẬP 
3. BÀI TẬP 
2.1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn? a) ;	b) ;	c) . 2.2. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ: a) ;	b) . 2.3. Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần. Giá thuê xe được cho như bảng sau: 
Phí cố định 
(nghìn đồng/ngày) 
Phí theo quãng đường di chuyển(nghìn đồng / kilômét) 
Thứ H ai đến thứ S áu 
Thứ B ảy và C hủ nhật 
	a) Gọi và lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối tuần. Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa và sao cho tổng số tiền ông An phải trả không quá triệu đồng. 
	b) Biểu diển miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng toạ độ. 
Bài giải 
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn? a) ;	b) ;	c) . 
BÀI TẬP 2.1 
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là và 
Bất phương trình không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa . 
Bài giải 
Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ: a) ;	b) . 
BÀI TẬP 2.2 
a) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 
Bước 1: Vẽ đường thẳng . 
Bước 2: Ta lấy gốc toạ độ 
và tính (vô lí). 
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ không chứa gốc toạ độ và kể đường thẳng . 
Bài giải 
Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ: a) ;	b) . 
BÀI TẬP 2.2 
b) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 
Bước 1: Vẽ đường thẳng . 
Bước 2: Ta lấy điểm 
và tính (vô lí). 
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ không chứa điểm không kể đường thẳng 
Bài giải 
Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần. Giá thuê xe được cho như bảng sau: 
BÀI TẬP 2.3 
Phí cố định 
(nghìn đồng/ngày) 
Phí theo quãng đường di chuyển(nghìn đồng / kilômét) 
Thứ H ai đến thứ S áu 
Thứ B ảy và C hủ nhật 
a) Gọi và lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối tuần. Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa và sao cho tổng số tiền ông An phải trả không quá triệu đồng. 
a) Gọi và lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối tuần (điều kiện ) 
Số tiền ông An phải trả từ thứ hai đến thứ sáu là 
 (nghìn đồng) 
Bài giải 
Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần. Giá thuê xe được cho như bảng sau: 
BÀI TẬP 2.3 
Phí cố định 
(nghìn đồng/ngày) 
Phí theo quãng đường di chuyển(nghìn đồng / kilômét) 
Thứ H ai đến thứ S áu 
Thứ B ảy và C hủ nhật 
a) Gọi và lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối tuần. Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa và sao cho tổng số tiền ông An phải trả không quá triệu đồng. 
Số tiền ông An phải trả hai ngày cuối tuần là (nghìn đồng) 
Vì đề bài yêu cầu tổng số tiền ông An phải trả không quá triệu đồng nên ta có (nghìn đồng) 
Bài giải 
BÀI TẬP 2.3 
b) Biểu diển miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng toạ độ. 
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được xác định như sau: 
Bước 1: Vẽ đường thẳng . 
Bước 2: Ta lấy gốc toạ độ 
và tính . 
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ chứa gốc toạ độ, kể đường thẳng