Bài giảng môn Toán Lớp 10 sách Kết nối tri thức - Chương IV - Bài 11: Tích vô hướng của hai Vecto

CHƯƠNG I 
§7. Các khái niệm mở đầu 
§8. Tổng và hiệu của hai vectơ 
§9. Tích của một vectơ với một số 
§10. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ 
§11. Tích vô hướng của hai vectơ 
Bài tập cuối chương 4 
CHƯƠNG I V . VECTƠ 
CHƯƠNG I 
CHƯƠNG I V . VECTƠ 
GÓC GIỮA HAI VECTƠ 
1 
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 
2 
BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG 
3 
TOÁN ĐẠI SỐ 
➉ 
11 
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 
1. GÓC GIỮA HAI VECTƠ 
HĐ1. Trong hình 4.39 , số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa vectơ và . Hãy tìm số đo các góc giữa và , và 
Cho hai vectơ và khác vec tơ . Từ một điểm A tuỳ ý , vẽ các vec tơ và 
 (H 4.40). Khi đó, số đo của góc BAC được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ và hay đơn giản là góc giữa hai vectơ , kí hiệu là 
Hình 4.39 
Hình 4.40 
Chú ý 
 Quy ước rằng góc giữa hai vectơ và có thể nhận một giá trị tuỳ ý từ đến 
 Nếu vectơ thì ta nói rằng và vuông góc với nhau, kí hiệu là hoặc 
Đặc biệt vectơ được coi là vuông góc với mọi véctơ. 
? Khi nào thì góc giữa hai vec tơ bằng , bằng 
Giải: 
Góc giữa hai vec tơ bằng khi hai vec tơ cùng hướng. 
Góc giữa hai vec tơ bằng khi hai vec tơ ngược hướng. 
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A và . 
Tính 
Giải ( H 4. 41) 
Ta có: 
Luyện tập 1. Cho tam giác đều ABC, tính 
Giải: Vẽ vectơ Ta có 
Hình 4.41 
2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 
Trong Vật lí, nếu lực không đổi tác dụng vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ M tới N , thì công A của lực được tính theo công thức: 
Trong đó là độ lớn của lực (theo đơn vị Newton); 
 là độ dài của vectơ MN (theo đơn vị mét); 
 góc giữa hai vec tơ và 
Toán học gọi giá trị A (không kể đơn vị đo) trong biểu thức nói trên là tích vô hướng của hai vec tơ và 
Tích vô hướng của hai vectơ và là một số , kí hiệu là , được xác định bởi công thức sau: 
? Khi nào tích vô hướng của hai vectơ , là một số dương? Là một số âm? 
Giải: 
Tích vô hướng của hai vectơ , là một số dương khi góc giữa hai vectơ đó là góc nhọn ( hoặc bằng ). 
Tích vô hướng của hai vectơ , là một số âm khi góc giữa hai vectơ đó là góc tù 
( hoặc bằng ). 
Chú ý 
 . còn được viết là và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ . 
Ta có 
? Khi nào thì 
 Giải: 
Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng.Tính các tích vô hướng sau: 
Giải: Vì nên 
Hình vuông có cạnh bằng nên có đường chéo là 
Mặt khác, , do đó 
Hình 4.43 
Chú ý 
Hình vuông có cạnh bằng a nên đường chéo là 
Luyện tập 2. Cho tam giác ABC có 
Hãy tính theo 
Giải: 
Từ định lí Cô sin trong tam giác ABC , 
suy ra 
Ta có: 
3. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG 
HĐ2: Cho hai vectơ cùng phương và . Hãy kiểm tra công thức theo từng trường hợp sau: 
a) 
b) và 
c) và 
Giải: 
a) Khi ta có . Vậy công thức đã cho đúng. 
b) Khi và thì công thức đã cho không đúng vì sẽ xảy ra trường hợp 
c) Khi và thì công thức đã cho không đúng vì sẽ xảy ra trường hợp 
HĐ3: Trong mặt phẳng toạ độ , cho hai vectơ không cùng phương và 
a) Xác định toạ độ của các điểm A và B sao cho 
b) Tính theo toạ độ của A và B . 
c) Tính theo toạ độ của A , B . 
Giải: 
a) Ta có 
b) Ta có 
HĐ3: Trong mặt phẳng toạ độ , cho hai vectơ không cùng phương và 
a) Xác định toạ độ của các điểm A và B sao cho 
b) Tính theo toạ độ của A và B . 
c) Tính theo toạ độ của A , B . 
Giải: 
Tích vô hướng của hai vectơ và được tính theo công thức: 
Nhận xét: 
 Hai vectơ và vuông góc với nhau khi và chỉ khi 
 Bình phương vô hướng của vectơ là 
 Nếu và thì 
c) Ta có 
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tính tích vô hướng của các cặp vectơ sau: 
a) và 
b) Hai vec tơ đơn vị và tương ứng của các trục Ox , Oy . 
Giải 
a) Ta có: 
b) Vì và nên 
Luyện tập 3. Tính tích vô hướng và góc giữa hai vec tơ 
Giải: 
Ta có: 
* 
* 
HĐ4: Cho ba vectơ 
a) Tính theo toạ độ của các vectơ 
b) So sánh và 
c) So sánh và 
Giải: 
Ta có 
Suy ra: 
b) Ta có 
Suy ra: 
c)Ta có và . 
Suy ra: 
CHƯƠNG I 
CHƯƠNG I V . VECTƠ 
GÓC GIỮA HAI VECTƠ 
1 
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 
2 
BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG 
3 
TOÁN HÌNH HỌC 
➉ 
 11 
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 
3. Tính chất của tích vô hướng 
Với ba vectơ bất kì và mọi số thực k, ta có: 
 (tính chất giao hoán); 
 (tính chất phân phối đối với phép cộng); 
Chú ý: Từ các tính chất trên, ta có thể chứng minh được: 
 (tính chất phân phối đối với phép trừ); 
Cho điểm M thay đổi trên đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác đều ABC cho trước. Chứng minh rằng không đổi . 
Ví dụ 4. ( Ứng dụng của vectơ trong bài toán hình học) 
Cách 1: (Dùng tọa độ). 
Xét hệ trục tọa độ có gốc trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi tọa độ của các điểm là 
Do đó và 
Vì nên 
Vậy 
Tương tự và 
Do đó 
= 
 (không đổi). 
Vì tam giác ABC đều nên tâm đường tròn ngoại tiếp đồng thời là trọng tâm của tam giác. 
Lời giải 
Cho điểm M thay đổi trên đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác đều ABC cho trước. Chứng minh rằng không đổi. 
Ví dụ 4. ( Ứng dụng của vectơ trong bài toán hình học) 
Vì tam giác ABC đều nên tâm O của đường tròn ngoại tiếp đồng thời là trọng tâm của tam giác. Vậy 
Cách 2: (Dùng tích vô hướng). (H.4.44) 
Giả sử (O) có bán kính R. Ta có: 
Vậy không đổi khi M thay đổi trên (O). 
Lời giải 
 O 
A 
 B 
 C 
 R 
 Hình 4.44 
 M 
Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác. 
a) Chứng minh rằng và 
b) Tìm tọa độ điểm H. 
c) Giải tam giác ABC 
Luyện tập 4. 
Lời giải 
 Vì là trực tâm tam giác nên và 
do đó suy ra 
b ) Giả sử ta có 
Vì là trực tâm tam giác nên 
A 
 B 
 C 
 H 
 K 
 Hình 4.45 
Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác. 
a) Chứng minh rằng và 
b) Tìm tọa độ điểm H. 
c) Giải tam giác ABC 
Luyện tập 4. 
Lời giải 
A 
 B 
 C 
 H 
 K 
 Hình 4.45 
c) 
Một lực không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực được phân tích thành hai lực thành phần là và 
Vận dụng 
Ta có: 
  . 
b) Gọi là góc tạo bởi và 
 . 
a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực và 
Lời giải 
b) Giả sử các lực thành phần , tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực và lực . 
4.21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ và trong mỗi trường hợp sau: 
a) 
b) 
c) 
a) 
b) 
c) 
BÀI TẬP 
Lời giải 
Vận dụng công thức tính góc giữa hai 
véc tơ 
4.22. Tìm điều kiện của để: 
 a) 
 b) 
4.23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm Gọi là một điểm thuộc trục hoành. 
 a) Tính theo t. 
 b) Tìm t để 
BÀI TẬP 
Lời giải 
a) Ta có do đó để thì hay và cùng hướng . 
b) Ta có do đó để thì hay và ngược hướng. 
Lời giải 
Ta có 
4.23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm Gọi là một điểm thuộc trục hoành. 
 a) Tính theo t. 
 b) Tìm t để 
4.24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng 
a) Giải tam giác ABC. 
b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC . 
BÀI TẬP 
b) Để thì . Vậy với 
thì 
Lời giải 
Lời giải 
BÀI TẬP 
Lời giải 
4.25. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có: 
4.26. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có: 
BÀI TẬP 
Ta có 
Hay 
Vậy 
Lời giải 
Lời giải 
Bài giải 
 . 
B 
 . 
A 
 . 
C 
 . 
D 
CÂU 1 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
 Áp dụng công thức: Độ dài của vectơ được tính theo công thức . 
Ta có: 
 . 
Trong mặt phẳng tọa độ, độ dài của là 
III 
D 
Bài giải 
 . 
B 
 . 
A 
 . 
C 
 . 
D 
CÂU 2 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
 Áp dụng công thức: Khoảng cách giữa hai điểm và được tính theo công thức . 
Ta có: và 
 . 
Trong mặt phẳng tọa độ, khoảng cách giữa hai điểm và là 
III 
D 
Bài giải 
 . 
B 
 . 
A 
 . 
C 
 . 
D 
CÂU 3 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
 Áp dụng công thức: N ếu và đều khác thì ta có 
	 . 
Ta có: . 
Vậy: . 
Trong mặt phẳng tọa độ, góc giữa hai vectơ và là 
III 
A 
C 
D 
Bài giải 
Câu 4 
 Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng . Tính theo . 
Ta có 
	 . 
B 
A 
C 
C 
D 
Bài giải 
Câu 5 
 Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác có , , . Xác định tọa độ trực tâm của tam giác . 
Gọi . Ta có 
 . 
Vì là trực tâm nên 
B 
A 
A 
A 
 B 
 C 
 H 
. Vậy . 
Bài giải 
 . 
B 
 . 
A 
 . 
C 
 . 
D 
CÂU 6 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
 Ta có 
 . 
Cho tam giác vuông tại và . Độ dài cạnh bằng ? 
III 
C 
Bài giải 
 . 
B 
 . 
A 
 . 
C 
 . 
D 
CÂU 7 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
 Ta có: 
Mà: Nên góc giữa 2 vectơ và bằng . 
 Cho 2 vectơ biết và . Tính góc giữa 2 vectơ và . 
III 
B 
C 
D 
Bài giải 
Câu 8 
Cho hình thang cân biết đáy lớn , và . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên cạnh . Tính . 
Có là hình bình hành và 
Có: 
B 
A 
A 
Bài giải 
 . 
B 
 . 
A 
 . 
C 
 . 
D 
CÂU 9 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
 Giả sử suy ra 
Vì suy ra 
 (*) 
Mặt khác M thuộc đường thẳng BC nên hai vectơ cùng phương. Suy ra thế vào (*) ta được hoặc 
+ Với , ta có 
Khi đó (không thỏa mãn) 
+ Với , . Khi đó . Vậy là điểm cần tìm. 
 Cho ba điểm , và . Tìm điểm trên đường thẳng để góc . 
III 
A 
C 
D 
Bài giải 
Câu 10 
 Cho điểm . Lấy điểm nằm trên trục hoành có hoành độ không âm và điểm trên trục tung có tung độ dương sao cho tam giác vuông tại . Tìm toạ độ điểm để tam giác có diện tích lớn nhất. 
Gọi với , . Suy ra 
Theo giả thiết ta có tam giác vuông tại nên 
Ta có 
Vì nên . Xét hàm số với 
Bảng biến thiên 
B 
A 
D 
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số với là khi . Do đó diện tích tam giác lớn nhất khi và chỉ khi , suy ra . 
Vậy là điểm cần tìm.