Bài giảng môn Toán Lớp 10 sách Kết nối tri thức - Chương IV - Bài 7: Các khái niệm mở đầu

CHƯƠNG I 
§7. Các khái niệm mở đầu 
§8. Tổng và hiệu của hai vectơ 
§9. Tích của một vectơ với một số 
§10. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ 
§11. Tích vô hướng của hai vectơ 
Bài tập cuối chương 4 
CHƯƠNG I V . VECTƠ 
CHƯƠNG I 
CHƯƠNG I V . VECTƠ 
KHÁI NIỆM VECTƠ 
I 
HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU 
II 
3 
TOÁN ĐẠI SỐ 
➉ 
7 
CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 
THUẬT NGỮ 
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG 
● Vectơ 
● Vectơ-không 
● Độ dài của vectơ 
● Hai vectơ cùng phương 
● Hai vectơ cùng hướng 
● Hai vectơ bằng nhau 
● Nhận biết khái niệm vectơ, hai vectơ cùng phương, hai vectơ cùng hướng, hai vectơ bằng nhau, vectơ-không. 
● Biểu thị một số đại lượng như lực, vận tốc bằng vectơ. 
Nhiệt độ và gió là hai yếu tố luôn cùng được đề cập trong các bản tin dự báo thời tiết. Tuy nhiên, nhiệt độ là đại lượng chỉ có độ lớn, còn gió có cả hướng và độ lớn. Với một đơn vị đo, ta có thể dùng số để biểu diễn nhiệt độ. Đối với các đại lượng gồm hướng và độ lớn như vận tốc gió thì sao? Ta có thể dùng đối tượng toán học nào để biểu diễn chúng? 
KHÁI NIỆM VECTƠ 
I 
Nếu từ đảo , tàu đi thẳng (không đổi hướng) tới đảo , thì phải đi theo hướng đông nam và quãng đường phải đi là: . 
Ta có thể gắn cho quãng đường thẳng từ đảo tới đảo đồng thời hai yếu tố, đó là độ dài và hướng (hướng đi thẳng từ đảo tới đảo ). 
Bài giải 
HĐ1: Một con tàu khỏi hành từ đảo , đi thẳng về hướng đông rồi đi thẳng tiếp về hướng nam thì tới đảo (H.4.2). Nếu từ đảo , tàu đi thẳng (không đổi hướng) tới đảo , thì phải đi theo hướng nào và quãng đường phải đi dài bao nhiêu kilômét? 
W 
N 
E 
S 
A 
. 
. 
B 
10 km 
10 km 
Hình 4.2 
● Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là, trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm đầu, điểm cuối. 
● Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. 
Từ thực tế này, ta đi tới khái niệm toán học sau: 
Chú ý 
● Vectơ có điểm đầu và điểm cuối được kí hiệu là , đọc là vec tơ (H.4.3) 
● Để vẽ một vectơ, ta vẽ đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối của nó, rồi đánh dấu mũi tên ở điểm cuối (H.4.3). 
● Vectơ còn được kí hiệu là (H.4.4).   
● Độ dài của vectơ , tương ứng được 	 
kí hiệu là . 
Bài giải 
Ví dụ 1. 
KHÁI NIỆM VECTƠ 
I 
, 
, 
. 
Cho hình vuông với cạnh có độ dài bằng 1. 
Tính độ dài các vectơ 
Vì cạnh của hình vuông có độ dài bằng 1 nên các đường chéo của hình vuông này có độ dài bằng . 
Vậy , , . 
Bài giải 
Luyện tập 1. 
KHÁI NIỆM VECTƠ 
I 
. 
Cho tam giác đều với cạnh có độ dài bằng . Hãy chỉ ra các vectơ có độ dài bằng và có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của tam giác . 
Các vectơ có độ dài bằng và có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của tam giác là: . 
II 
HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU 
HĐ2: Quan sát các làn đường trong hình 4.5 và cho biết những nhận xét nào sau đây là đúng. 
a) Các làn đường song song với nhau. 
b) Các xe chạy theo cùng một hướng. 
c) Hai x e bất kì đ ều chạy theo cùng một hướng hoặc 
 hai hướng ngược nhau. 
Giải 
a) Các làn đường song song với nhau là nhận xét đúng. 
b) Các xe chạy theo cùng một hướng là nhận xét sai. 
C ) Hai xe bất kì đều chạy theo cùng một hướng hoặc 
 hai hướng ngược nhau là nhận xét đúng. 
II 
HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU 
Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó. 
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. 
Trong cùng Hình 4.7, mỗi cặp vectơ trong các vectơ đều cùng phương, 
 nhưng vectơ không cùng ph ương với mỗi 
vectơ trên. 
KHÁI NIỆM VECTƠ 
I 
Bài giải 
HĐ3: Xét các vectơ cùng phương trong Hình 4.7. Hai vectơ và được gọi là cùng hướng, còn hai vectơ và được gọi là ngược hướng. 
Hãy chỉ ra các vectơ cùng hướng với vectơ và các vectơ ngược hướng với vectơ . 
Các vectơ cùng hướng với vectơ là: . 
các vectơ ngược hướng với vectơ là: 
Hai vec tơ và được gọi là bằng nhau, kí hiệu , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. 
II 
HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU 
Đối với hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. 
II 
HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU 
Chú ý : 
● Ta cũng xét các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau (chẳng hạn ), 
 gọi là các vectơ-không. 
● Ta quy ước vectơ-không có độ dài bằng 0, cùng hướng (do đó cùng phương) với mọi vectơ. 
● Các vectơ-không có cùng độ dài và cùng hướng nên bằng nhau và được kí hiệu chung là . 
● Với mỗi điểm và vectơ cho trước, có duy nhất điểm sao cho (H.4.8). 
● 
O 
A 
Hình 4.8 
Bài giải 
Ví dụ 2. 
KHÁI NIỆM VECTƠ 
I 
Cho hình chữ nhật . Hãy chỉ ra mối quan hệ về độ dài, phương, hướng giữa các cặp vectơ: và , và , và . 
Những cặp vectơ nào trong các cặp vectơ trên là bằng nhau? 
● Hai vectơ và có cùng độ dài và cùng hướng. Do đó, hai vectơ và bằng nhau. 
● Hai vectơ và có cùng độ dài và ngược hướng, Do đó, hai vectơ và không bằng nhau. 
● Hai vectơ và có cùng độ dài nhưng không cùng phương nên không cùng hướng. Do đó, hai vectơ và không bằng nhau. 
Vậy trong các cặp vectơ đang xét, 
chỉ có cặp vectơ và là bằng nhau . 
CHƯƠNG I 
CHƯƠNG I V . VECTƠ 
KHÁI NIỆM VECTƠ 
1 
HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU 
2 
BÀI TẬP 
3 
TOÁN ĐẠI SỐ 
➉ 
7 
CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 
Luyện tập 2. Cho hình thang cân với hai đáy , (H.4.10). Hãy chỉ ra mối quan hệ về độ dài, phương, hướng giữa các cặp vectơ và , và , và . Có cặp vectơ nào trong các cặp vectơ trên bằng nhau không? 
Lời giải: 
Hai vectơ và cùng độ dài nhưng không cùng phương. 
Hai vectơ và cùng phương nhưng ngược hướng và chúng có độ dài khác nhau. 
Hai vectơ và cùng độ dài nhưng không cùng phương. 
Vậy trong các cặp vectơ trên không có cặp vectơ nào bằng nhau. 
2. HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU 
Ví dụ 3. Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ và cùng phương. 
Lời giải: 
Giả sử ba điểm thẳng hàng. Khi đó chúng cùng thuộc một đường thẳng . Vậy hai vectơ , có cùng giá là đường thẳng . Suy ra chúng cùng phương. 
Giả sử hai vectơ , cùng phương. Khi đó, chúng cùng giá hoặc có hai giá song song với nhau. Mặt khác, giá của các vectơ trên đều đi qua điểm A nên chúng trùng nhau. Vậy thẳng hàng. 
Nhận xét: Ba điểm thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ , cùng phương. 
Luyện tập 3. Trong các điều kiện dưới đây, chọn điều kiện cần và đủ để một điểm M nằm giữa hai điểm phân biệt và . 
a) và ngược hướng.	b) và cùng phương. 
c) và cùng hướng.	d) và ngược hướng. 
Lời giải: 
a) Sai, do khi điểm nằm giữa hai điểm phân biệt và thì hai vectơ và cùng hướng. 
b) Sai, do khi hai vectơ và cùng phương thì chỉ suy ra được ba điểm thẳng hàng. 
c) Sai, do khi hai vectơ và cùng hướng thì suy ra điểm nằm giữa hai điểm phân biệt và hoặc điểm nằm giữa hai và . 
d) Đúng. Do khi điểm nằm giữa hai điểm phân biệt và thì hai vectơ và ngược hướng. Và ngược lại, khi hai vectơ và ngược hướng thì suy ra ba điểm thẳng hàng và điểm nằm giữa hai điểm phân biệt và . 
Chú ý: Ta có thể dùng vectơ để biểu diễn các đại lượng như lực, vận tốc, gia tốc. Hướng của vectơ chỉ hướng của đại lượng, độ dài của vectơ thể hiện cho độ lớn của đại lượng và được lấy tỉ lệ với độ lớn của đại lượng. 
Ví dụ 4. Một vật A được thả chìm hoàn toàn dưới đáy một cốc chất lỏng. Biết rằng trong ba cách biểu diễn lực đẩy Archimedes ( Ác-si-mét) và trọng lực tác động lên vật A ở Hình 4.11 có một cách biểu diễn đúng. 
Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa trọng lượng riêng của vật A và trọng lượng riêng của chất lỏng trong cốc. 
Lời giải: 
Lực đẩy Archimedes và trọng lực đều tác động lên vật A theo phương thẳng đứng, hai lực này cùng phương nhưng ngược hướng. Do đó Hình 4.11a không đúng. Vật A chìm xuống đáy nên trọng lực P (có hướng từ trên xuống) lớn hơn lực đẩy Archimedes F (có hướng từ dưới lên). Do vậy, Hình 4.11c không đúng. 
Ví dụ 4. Một vật A được thả chìm hoàn toàn dưới đáy một cốc chất lỏng. Biết rằng trong ba cách biểu diễn lực đẩy Archimedes ( Ác-si-mét) và trọng lực tác động lên vật A ở Hình 4.11 có một cách biểu diễn đúng. 
Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa trọng lượng riêng của vật A và trọng lượng riêng của chất lỏng trong cốc. 
Lời giải: 
Vậy hình biểu diễn đúng là Hình 4.11b. Theo đó, vectơ biểu diễn lực có độ dài gấp 3 lần độ dài của vectơ biểu diễn lực . Độ lớn của trọng lực và lực đẩy Archimedes tác dụng lên A là: , . Trong đó V (m 3 ) là thể tích của vật A và (N/m 3 ) tương ứng là trọng lượng riêng của vật A và của chất lỏng. Do ( theo H.4.11b) nên . Vậy trọng lượng riêng của vật A gấp 3 lần trọng lượng riêng của chất lỏng trong cốc. 
Vận dụng. Hai ca nô và chạy trên sông với các vận tốc riêng có cùng độ lớn là 15 km/h. Tuy vậy, ca nô chạy xuôi dòng còn ca nô chạy ngược dòng. Vận tốc của dòng nước trên sông là 3 km/h. 
a) Hãy thể hiện trên hình vẽ, vectơ vận tốc của dòng nước và các vectơ vận tốc thực tế của ca nô A, B. 
b) Trong các vectơ những cặp vectơ nào cùng phương và những cặp vectơ nào ngược hướng? 
Lời giải: 
Trong các vectơ : 
Những cặp vectơ cùng phương là: và ; và ; và . 
Những cặp vectơ ngược hướng là: và ; và . 
Bài 4.1 
Cho ba vectơ đều khác vectơ . Những khẳng định nào sau đây là đúng? 
a) đều cùng phương với vectơ . 
b) Nếu không cùng hướng với thì ngược hướng với . 
c) Nếu và đều cùng phương với thì và cùng phương. 
d) Nếu và đều cùng hướng với thì và cùng hướng. 
Hướng dẫn giải: 
Đúng 
b) Sai 
c) Đúng 
d) Đúng 
3. BÀI TẬP 
Bài 4.2 
Trong Hình 4.12, hãy chỉ ra các vectơ cùng phương, các cặp vectơ ngược hướng và các cặp vectơ bằng nhau. 
Hướng dẫn giải: 
Các vec tơ cùng phương: 
Cặp vec tơ ngược hướng: và ; và . 
Cặp vectơ bằng nhau: . 
Bài 4.3 
Chứng minh rằng, tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi . 
Hướng dẫn giải: 
 Giả sử tứ giác là hình bình hành. Ta có 
 nên cùng phương và . 
Dựa vào hình vẽ ta thấy hai vectơ cùng chiều. Vậy . 
 Giả sử cùng hướng và 
 Tứ giác là hình bình hành. 
Bài 4.4 
Cho hình vuông có hai đường chéo cắt nhau tại O. Hãy chỉ ra tập hợp S chứa tất cả các vectơ khác vectơ , có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp . 
Hãy chia tập S thành các nhóm sao cho hai vectơ thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi chúng bằng nhau. 
Hướng dẫn giải: 
Các cặp vectơ bằng nhau trong tập S: 
Bài 4.5 
Trên mặt phẳng tọa độ , hãy vẽ các vectơ với . 
a) Chỉ ra mối liên hệ giữa hai vectơ trên. 
b) Một vật thể khởi hành từ M và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vectơ . 
Hỏi vật thể đó có đi qua N hay không? Nếu có thì sau bao lâu vật sẽ tới N ? 
Hướng dẫn giải: 
a) Dựa vào hình vẽ , nhận thấy giá của vectơ song song với giá của vec tơ và độ dài đoạn , chiều đi từ O đến A cùng chiều đi từ M đến N. 
b) Một vật thể khởi hành từ M và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vectơ . 
Vật thể có đi qua và sau 3 giờ vật sẽ tới . 
Bài 1 
Cho hình bình hành tâm . Xác định các vec tơ có điểm đầu và điểm cuối từ các điểm . 
a) Cùng phương với vec tơ 
b) Bằng vectơ 
Hướng dẫn giải: 
a) Vectơ cùng phương với vectơ : 
b) Vectơ bằng vectơ 
Vấn đề 1: Xác định vectơ, các vectơ cùng phương, cùng hướng 
Bài 2 
Xác định các vec tờ cùng phương, các cặp vec tơ bằng nhau, cặp vec tơ cùng hướng trong hình vẽ dưới đây: 
Hướng dẫn giải: 
Các vec tơ cùng phương: và ; và ; và . 
Các vec tơ cùng hướng: và ; và . 
Các vec tơ bằng nhau: và . 
Vấn đề 1: Xác định vectơ, các vectơ cùng phương, cùng hướng 
Bài 3 
Cho tứ giác . Chứng minh rằng nếu thì 
Hướng dẫn giải: 
Cho tứ giác có nên và chiều từ A đến B cùng chiều từ D đến C nên tứ giác là hình bình hành. 
Suy ra . 
Vấn đề 2: Chứng minh vectơ bằng nhau 
Bài 4 
Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của . Chứng minh rằng . 
Hướng dẫn giải: 
Do E, F lần lượt là trung điểm của AC và AB nên EF là đường trung bình của tam giác ABC và . 
Mà D là trung điểm của BC nên . Do đó và . 
Do cùng hướng và nên . 
Vấn đề 2: Chứng minh vectơ bằng nhau 
Bài 5 
Cho tam giác . Dựng điểm D sao cho . 
Hướng dẫn giải: 
Ta có nên và cùng hướng 
Vậy điểm D xác định là duy nhất thỏa mãn D nằm trên đường thẳng qua A và song song với BC thỏa mãn và chiều từ A đến D cùng chiều từ B đến C . 
Vấn đề 3: Xác định điểm 
Bài giải 
 Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác thì cùng phương. 
B 
 Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác thì cùng hướng. 
A 
B 
CÂU 1 
Mệnh đề nào sau đây đúng: 
 . 
C 
Hai vectơ ngược hướng với một vectơ thứ ba thì cùng hướng. 
D 
A Sai vì hai vectơ đó có thể ngược hướng. 
B Đúng, vectơ cùng phương nên giá song song (hai đường thẳng cùng song song với đường thứ ba thì song song với nhau) 
C Sai vì thiếu điều kiện khác 
D Sai vì thiếu điều kiện khác 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
Bài giải 
 Vectơ đối của là 
B 
 Vectơ đối của là 
A 
A 
CÂU 2 
Cho lục giác đều tâm . Khẳng định đúng là: 
Vectơ đối của là 
C 
Vectơ đối của là 
D 
A Đúng. 
B Sai vì và là hai vecto bằng nhau. 
C Sai vì và là hai vecto bằng nhau.	 
D Sai vì và là hai vecto bằng nhau 
Bài giải 
 . 
B 
 . 
A 
 . 
C 
 . 
D 
C 
CÂU 3 
 Phân tích các phương án: 
A. : đúng vì chúng cùng hướng và cùng độ dài. 
B. : đúng vì chúng cùng hướng và cùng độ dài. 
D. : đúng vì chúng cùng hướng và cùng độ dài. 
C. : sai vì chúng ngược hướng. 
Gọi là giao điểm của hai đường chéo và của hình bình hành . Đẳng thức nào sau đây sai? 
III 
Bài giải 
 và cùng hướng. 
B 
 và cùng phương. 
A 
CÂU 4 
Hãy chọn mệnh đề sai: 
Từ suy ra: 
 . 
C 
 là hình bình hành. 
D 
Từ suy ra là hình bình hành là một khẳng định sai vì có thể bốn điểm cùng nằm trên một đường thẳng. 
Các mệnh đề còn lại đều là các mệnh đề đúng từ định nghĩa hai vectơ bằng nhau. 
D 
C 
D 
Bài giải 
D 
Câu 5 
Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh của tam giác đều . 
Hỏi đẳng thức nào dưới đây đúng? 
Phân tích: 
A. sai vì chúng ngược hướng. 
B. sai vì chúng không cùng phương. 
C. sai vì . 
D. đúng. 
B 
A 
Bài giải 
C âu 6 
Cho hình chữ nhật có . Tính độ dài của vectơ 
Ta có: Xét tam giác vuông tại . 
Phân tích phương án nhiễu: 
Phương án B: Sai do HS quên lấy căn bậc hai của số . 
Phương án C: Sai do HS hiểu được 
và HS tính . 
Phương án D: Sai do HS tính được 
do HS ghi sai đỉnh của hình chữ nhật thành 
C 
D 
B 
A 
A