Bài giảng môn Toán Lớp 10 sách Kết nối tri thức - Chương IV - Bài 8: Tổng và hiệu của hai Vecto

CHƯƠNG I 
§7. Các khái niệm mở đầu 
§8. Tổng và hiệu của hai vectơ 
§9. Tích của một vectơ với một số 
§10. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ 
§11. Tích vô hướng của hai vectơ 
Bài tập cuối chương 4 
CHƯƠNG I V . VECTƠ 
CHƯƠNG I 
CHƯƠNG I V . VECTƠ 
TỔNG CỦA HAI VECTƠ 
1 
HIỆU CỦA HAI VECTƠ 
2 
BÀI TẬP 
3 
TOÁN HÌNH 
➉ 
8 
TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ 
Một con tàu chuyển động từ bờ bên này sang bờ bên kia của một dòng sông với vận tốc riêng không đổi. Giả sử vận tốc dòng nước là không đổi và đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng đến vận tốc thực tế của tàu. Nếu không quan tâm đến điểm đến thì cần giữ lái cho tàu tạo với bờ sông một góc bao nhiêu để tàu sang bờ bên kia được nhanh nhất ? 
1. TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ 
 HĐ1: Với hai vectơ và cho trước. Lấy một điểm tùy ý, 
 vẽ . Lấy điểm khác và cũng vẽ các véc tơ 
 . Hỏi hai véc tơ và có mối quan hệ gì? 
Lời giải 
Ta thấy hai véc tơ và bằng nhau. 
1. TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ 
Cho hai vectơ và . Lấy một điểm tùy ý, vẽ (H4.13). Vectơ được gọi là tổng của hai vectơ và và được kí hiệu là 
Phép lấy tổng của hai véc tơ được gọi là phép cộng véc tơ. 
1. TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ 
 HĐ2: Cho hình bình hành . 
 Tìm mối quan hệ giữa hai véc tơ và . 
Lời giải 
 Do là hình bình hành nên . 
 Suy ra . 
 Vậy 
1. TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ 
Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì , ta có . 
Quy tắc hình bình hành: Nếu là một hình bình hành thì 
	 . 
1. TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ 
 HĐ3: a) Trong hình 4.14a, hãy chỉ ra véc tơ và véc tơ 
 b) Trong hình 4.14b, hãy chỉ ra véc tơ và véc tơ 
. 
Lời giải 
Dựa vào hình 4.14a ta có : 
 ; . 
Dựa vào hình 4.14b ta có: 
1. TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ 
Với ba véc tơ tùy ý: 
Tính chất giao hoán: 
Tính chất kết hợp: 
Tính chất của véc tơ – không: 
Chú ý. Do các véc tơ và bằng nhau, nên ta còn viết chúng dưới dạng và gọi là tổng của ba véc tơ . Tương tự, ta cũng có thể viết tổng của một số véc tơ mà không cần dùng dấu ngoặc 
1. TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ 
 Ví dụ 1. Cho hình vuông với độ dài cạnh bằng . Tính độ dài của các véc tơ , 
Lời giải 
 Do nên . 
 Vậy 
 T a có 
 Do đó: 
1. TỔNG CỦA HAI VÉC TƠ 
 Luyện tập 1. Cho hình thoi với cạnh có độ dài bằng và . Tính độ dài của các véc tơ , . 
Lời giải 
 Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có 
 Do hình thoi có nên đều. 
 Vậy 
 Ta có 
 . 
 Do đó 
2. HIỆU CỦA HAI VÉC TƠ 
 HĐ4: Thế nào là hai lực cân bằng? Nếu dùng hai véc tơ để biểu diễn hai lực cân bằng thì hai véc tơ này có mối liên hệ gì với nhau? 
Lời giải 
Hai lực cân bằng là hai lực cùng đặt lên một vật, có cường độ bằng nhau, phương nằm trên cùng một đường thẳng, ngược chiều nhau. 
Nếu dùng hai véc tơ để biểu diễn hai lực cân bằng thì hai véc tơ đó có cùng điểm đầu, ngược hướng và có cùng độ lớn. 
2. HIỆU CỦA HAI VÉC TƠ 
Véc tơ có cùng độ dài và ngược hướng với véc tơ được gọi là véc tơ đối của véc tơ . 
Véc tơ đối của véc tơ được kí hiệu là . 
Véc tơ được coi là véc tơ đối của chính nó. 
Chú ý. Hai véc tơ đối nhau khi và chỉ khi tổng của chúng bằng 
CHƯƠNG I 
CHƯƠNG I V . VECTƠ 
KHÁI NIỆM VECTƠ 
1 
HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU 
2 
BÀI TẬP 
3 
TOÁN ĐẠI SỐ 
➉ 
7 
CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 
Vectơ được gọi là hiệu của hai vec tơ và và được kí hiệu là . Phép lấy hiệu hai vec tơ được gọi là phép trừ vec tơ. 
Ví dụ 2: Cho Hình bình hành ABCD và một điểm O bất kì. Chứng minh rằng 
Lời giải 
Áp dụng quy tắc hiệu, 
 ta có 
Mặt khác 
 nên 
Chú ý. Nếu thì . 
Với ba điểm O, M, N tùy ý, ta có 
Quy tắc hiệu: Với ba điểm O, M, N, ta có 
Ví dụ 3: 
a) Chứng minh rằng nếu là trung điểm của thì 
b) Chưng minh rằng nếu là trọng tâm của tam giác ABC thì 
Lời giải 
a) (H4.15) Khi I là trung điểm của AB, thì hai vec tơ và có cùng độ dài và ngược hướng. 
Do đó, và đối nhau, suy ra 
Ví dụ 3: 
a) Chứng minh rằng nếu là trung điểm của thì 
b) Chưng minh rằng nếu là trọng tâm của tam giác ABC thì 
Lời giải 
b) (H4.16) Trọng tâm G của tam giác ABC thuộc trung tuyến AI và . Lấy điểm D đối xứng với G qua I. 
Khi đó tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình bình hành. 
Ta có 
Hai vec tơ và có cùng độ dài và ngược hướng nên chúng là hai vec tơ đối nhau, do đó 
Trong hình bình hành , ta có 
Vậy 
Luyện tập 2. 
Cho tứ giác . Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh , và O là trung điểm của . Chứng minh rằng 
Lời giải 
Ta có 
Chú ý: 
Phép cộng vec tơ tương ứng với các quy tắc tổng hợp lực, tổng hợp vận tốc. 
Nếu hai lực cùng tác động vào chất điểm và được biểu diễn bởi các vec tơ , thì hợp lực tác dộng vào được biễu diễn bởi vec tơ . 
Nếu một con thuyền di chuyển trên sông với vận tốc riêng( vận tốc so với dòng nước) được biễu diễn bởi vec tơ và vận tốc của dòng nước( so với bờ) biễu diễn bởi vec tơ thì vận tốc thực tế của thuyền (so với bờ) được biểu diễn bởi vec tơ . 
Ví dụ 4: 
Cho tứ giác . Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh , và O là trung điểm của . Chứng minh rằng 
Lời giải 
Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song , (H4.17) 
Giả sử tàu xuất phát từ và bánh lái , luôn được giữ để tàu tạo với bờ góc . Gọi và lần lượt là vec tơ vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi là các điểm sao cho và . 
Khi đó tàu chuyển chuyển động với vec tơ vận tốc thực tế là 
Gọi tương ứng là giao điểm của với . Tàu chuyền động thẳng từ đến với vận tốc thực tế , do đó thời gian cần thiết kế để tàu sang được bờ là 
Ví dụ 4: 
Cho tứ giác . Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh , và O là trung điểm của . Chứng minh rằng 
Mặt khác không đổi nên nhỏ nhất nhỏ nhất 
Vậy để tàu sang được bờ bên kia nhanh nhất, ta cần giữ bánh lái để tàu luôn vuông góc với bờ. 
Vận dụng: 
Tính lực kéo cần thiết để kéo một khẩu pháo có trọng lượng ( ứng với khối lượng xấp xỉ ) lên một con dốc nghiêng so với phương nằm ngang (H.4.18). Nếu lực kéo của mỗi người bằng , thì cần tối thiểu bao nhiêu người để kéo pháo? 
Chú ý: 
Ta coi khẩu pháo chịu tác động của ba lực: Trọng lực ( có độ lớn , có phương vuông góc với phương nằm ngang và hướng xuống dưới), phản lực ( có độ lớn , có phương vuông góc với mặt dốc và hướng lên trên) và lực kéo ( theo phương dốc, hướng từ chân dốc lên đỉnh dốc). 
Lời giải 
Ta có 
Trọng lực có độ lớn , có phương vuông góc với phương nằm ngang và hướng xuống dưới 
Phản lực có độ lớn , 
có phương vuông góc với mặt dốc và hướng lên trên) 
Vận dụng: 
Tính lực kéo cần thiết để kéo một khẩu pháo có trọng lượng ( ứng với khối lượng xấp xỉ ) lên một con dốc nghiêng so với phương nằm ngang (H.4.18). Nếu lực kéo của mỗi người bằng , thì cần tối thiểu bao nhiêu người để kéo pháo? 
Chú ý: 
Ta coi khẩu pháo chịu tác động của ba lực: Trọng lực ( có độ lớn , có phương vuông góc với phương nằm ngang và hướng xuống dưới), phản lực ( có độ lớn , có phương vuông góc với mặt dốc và hướng lên trên) và lực kéo ( theo phương dốc, hướng từ chân dốc lên đỉnh dốc). 
Lời giải 
Gọi ta có 
Để kéo được khẩu pháo lên dốc thì , 
 nghĩa là số người kéo pháo phải lớn hơn 
Vậy cần tối thiểu 12 người để kéo pháo. 
Bài tập: 
4.6. Cho bốn điểm bất kỳ , , , . Hãy chứng minh rằng 
a) .	 
b) 
Lời giải 
a) Ta có 
 . 
b) Ta có 
nên . 
Bài tập: 
4.7. Cho hình bình hành . Hãy tìm điểm để . Tìm mối quan hệ giữa hai vec tơ và . 
Lời giải 
Ta có thep quy tắc hình bình hành 
 nên là đỉnh thứ tư của hình bình hành ( như hình vẽ). 
Bài tập: 
4.8. Cho tam giác đều cạnh . Tính độ dài các vec tơ . 
Lời giải 
a) Tính độ dài vectơ 
Ta có 
nên 
b) Tính độ dài vectơ 
Gọi là trung điểm của Suy ra 
Dựng là điểm sao cho tứ giác là hình thoi. 
Ta lại có 
Bài tập: 
 4.9. Hình 4.19 biểu diễn hai lực cùng tác động lên một vật, cho 
 . Tính độ lớn của hợp lực 
 . 
Lời giải 
Gọi 
Ta có 
Xét tam giác 
Vậy 
Bài tập: 
4.10. Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này để sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng nhau. Hai tàu luôn được giữ lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn ( hình vẽ). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng đến vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước? 
Lời giải 
Gọi tàu thứ nhất là tàu hướng xuống hạ lưu có vận tốc thực tế là 
 tàu thứ hai là tàu hướng lên thượng nguồn có vận tốc thực tế là 
Ta thấy nên tàu thứ nhất sẽ sang bờ bên kia trước. 
Bài tập trắc nghiệm: 
Câu 1. Cho hình bình hành và là giao điểm của và . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? 
A. .	 
B. . 
C. .	 
D. . 
Lời giải 
Phương án C sai vì theo quy tắc hình bình hành thì . 
Bài tập trắc nghiệm: 
Câu 2. Cho 4 điểm . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? 
A. .	 
B. . 
C. .	 
D. . 
Lời giải 
Ta có 
Bài tập trắc nghiệm: 
Câu 3 . Cho bốn điểm . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đún g ? 
A. .	 
B. . 
C. .	 
D. . 
Lời giải 
Ta có 
 . 
Bài tập trắc nghiệm: 
Câu 4 . Cho với điểm bất kì , , , . Chọn khẳng định đúng ? 
A. .	 B. . 
C. .	 D. . 
Lời giải 
Ta có 
Bài tập trắc nghiệm: 
Câu 5. Cho tam giác Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? 
A. .	 B. . 
C. .	 D. . 
Lời giải 
Xét các đáp án: 
 Đáp án. A. Ta có (với là điểm thỏa mãn là hình bình hành). Suy ra A sai. 
 Đáp án. B. Ta có 
 . Suy ra B đúng. 
 Đáp án. C. Ta có 
 (với là điểm thỏa mãn là hình bình hành). Suy ra C sai. 
 Đáp án. D. Ta có 
 . Suy ra D sai. 
Bài tập trắc nghiệm: 
Câu 6 . Cho hình vuông có cạnh bằng . Tính độ dài vectơ theo . 
A. .	 
B. . 
C. .	 
D. . 
Lời giải 
Ta có 
Suy ra 
Bài tập trắc nghiệm: 
Câu 7. Cho tam giác . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Khi đó bằng véctơ nào trong các vectơ sau? 
A. .	B. .	 
C. .	D. . 
Lời giải 
Ta có 
Bài tập trắc nghiệm: 
Câu 8. Cho ba điểm thuộc đường tròn tâm thỏa mãn Tính góc 
A. .	B. . 
C. .	D. . 
Lời giải 
Do nên là trọng tâm tam giác . 
Mà là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nên tam giác là tam giác đều. 
Suy ra 
Bài tập trắc nghiệm: 
Câu 9. Cho hình vuông có cạnh bằng . Khi đó bằng 
A. .	B. .	 
C. .	D. . 
Lời giải 
Dựng hình bình hành tâm . 
Ta có 
 . 
Bài tập trắc nghiệm: 
Câu 10. Cho hình thang và có hai đường chéo vuông góc với nhau. Biết . Tính . 
A. .	B. .	 
C. .	D. . 
Lời giải 
Dựng hình bình hành và hình bình hành . 
Vì nên . Do đó hình bình hành là hình chữ nhật. Khi đó