Bài giảng môn Toán Lớp 10 sách Kết nối tri thức - Chương IV - Bài 9: Tích của một vecto với một số

CHƯƠNG I 
§7. Các khái niệm mở đầu 
§8. Tổng và hiệu của hai vectơ 
§9. Tích của một vectơ với một số 
§10. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ 
§11. Tích vô hướng của hai vectơ 
Bài tập cuối chương 4 
CHƯƠNG I V . VECTƠ 
CHƯƠNG I 
CHƯƠNG I V . VECTƠ 
TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ 
1 
CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ 
2 
BÀI TẬP 
3 
TOÁN ĐẠI SỐ 
➉ 
9 
TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ 
Với mỗi cặp vật đặt trên hai đầu của một cánh tay đòn , luôn có duy nhất một điểm thuộc để nếu đặt trụ đỡ tại thì cánh tay đòn ở trạng thái cân bằng (H.4.20). Điều trên còn đúng trong những trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn, cánh tay đòn được thay bởi một tấm ván hình đa giác đỉnh , tại mỗi đỉnh có đặt một vật năng (kg). Ở đây, ta coi cánh tay đòn, tấm ván là không có trọng lượng. Trong Vật lý, điểm như trên được gọi là điểm khối tâm của hệ chất điểm ứng với các khối lượng (kg). 
1. TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ 
 Cho vectơ . Hãy xác định điểm sao cho . 
 Tìm mối quan hệ giữa và . 
Vectơ có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài đối với vectơ ? 
 Giải: 
Ta có 
 Do đó, cùng hướng và độ dài vectơ gấp đôi độ dài vectơ . 
 Hay cùng hướng và độ dài vectơ gấp đôi độ dài vectơ . 
 Do cùng hướng và độ dài vectơ gấp đôi độ dài vectơ . 
 Suy ra vectơ cùng hướng với vectơ và độ dài của vectơ gấp đôi độ dài của vectơ . 
HĐ1: 
 và có bằng nhau hay không? 
 Giải: 
 và có bằng nhau nên = 
Tích của một vectơ với một số thực là một vectơ, kí hiệu là , cùng hướng với và có độ dài bằng . 
Trên một trục số, gọi tương ứng biểu thị các số . Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vectơ với vectơ . Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vectơ và . 
 Giải: 
 Ta có vectơ cùng hướng với vectơ và độ dài vectơ bằng lần độ dài vectơ . Vectơ ngược hướng với vectơ và độ dài vectơ bằng lần độ dài vectơ . 
 Ta có 
Hình 4.22 
 HĐ2: 
Chú ý: Ta quy ước nếu hoặc . 
Trong Hình 4.24, hai trung tuyến và của tam giác cắt nhau tại . 
 Ta có 
Tích của một vectơ với một số thực là một vectơ, kí hiệu là , ngược hướng với và có độ dài bằng . 
Hình 4.24 
Nhận xét: Vectơ có độ dài bằng và cùng hướng với nếu 
 , ngược hướng nếu và . 
 và có mối quan hệ gì? 
 Giải 
 Vectơ và có cùng hướng và cùng độ dài 
 Nên . 
Chứng minh rằng hai vectơ và cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số để . 
 Giải 
 Thật vậy, nếu thì và cùng phương. Ngược lại, giả sử và cùng phương. 
 Ta lấy nếu và cùng hướng và lấy nếu và ngược hướng. 
 Khi đó . 
Ví dụ 1. 
 Điểm thuộc đường thẳng khi và chỉ khi tồn tại số để . 
 Với điểm bất kì, ta luôn có . 
 Điểm thuộc tia đối của tia khi và chỉ khi tồn tại số để . 
 Giải 
 Những khẳng định đúng là a); c). 
Luyện tập 1. 
Cho đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt và (H.4.25). Những khẳng định nào sau đây là đúng? 
Hình 4.25 
2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ 
Với và hai số thực những khẳng định nào sau đây là đúng? 
 Hai vectơ và có cùng độ dài bằng . 
 Nếu thì cả hai vectơ , cùng hướng với . 
 Nếu thì cả hai vectơ , ngược hướng với . 
 Giải 
Những khẳng định đúng là a); b); c). 
 HĐ3: 
2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ 
Hãy chỉ ra trên hình 4.26 hai vectơ và . Từ đó, nêu mối quan hệ giữa và . 
 Giải 
 Ta có: 
 . 
Hình 4.26 
 HĐ4: 
Cho đoạn thẳng có trung điểm . Chứng minh rằng với điểm tùy ý, ta có: . 
 Giải 
 Vì là trung điểm của nên 
 (Ví dụ 3a, Bài 8). 
 Do đó 
 . 
Với hai vectơ , và hai số thực ta luôn có: 
 ;	 
 ; 
 ; 
 ; 
 ; . 
Ví dụ 2. 
Cho tam giác có trọng tâm . Chứng minh rằng với điểm tùy ý, ta có . 
 Giải 
 là trọng tâm tam giác khi và chỉ khi (Ví dụ 3b, Bài 8). 
 Ta có: 
Nhận xét: 
Điểm là trung điểm của đoạn thẳng khi và chỉ khi . 
Điểm là trọng tâm của tam giác khi và chỉ khi . 
Luyện tập 2. 
Trong hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vectơ theo hai vectơ tức là tìm các số để , 
 . 
 Giải 
 Ta có: . 
Chú ý: Cho hai vectơ không cùng phương (H.4.28). 
Khi đó, mọi vectơ đều biểu thị (phân tích) được một cách duy nhất theo hai vectơ , nghĩa là có duy nhất cặp số sao cho . 
Luyện tập 3. 
Hình 4.27 
 Cho tam giác . Hãy xác định điểm để . 
Lời giải 
Đẳng thức vectơ đã cho tương đương với: 
Lấy điểm là trung điểm của và điểm thuộc cạnh sao cho . 
Khi đó và . Vì vậy . 
Suy ra là đỉnh thứ tư của hình bình hành . 
Ví dụ 3. 
Ta trở lại vấn đề đã được nêu trong phần đầu bài học. Điểm khối tâm của hệ các chất điểm với các khối lượng tương ứng được xác định bởi đẳng thức vectơ 
 . 
Vì vậy, việc xác định điểm khối tâm được quy về xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vec tơ tương ứng. 
 Cho hình bình hành . Gọi là trung điểm của cạnh . Hãy biểu thị theo hai vectơ và . 
Lời giải 
Ta có 
Bài tập 4.11. 
 Cho tứ giác . Gọi tương ứng là trung điểm của các cạnh . Chứng minh rằng . 
Lời giải 
Ta có 
Bài tập 4.12. 
 Cho hai điểm phân biệt và . 
a) Hãy xác định điểm sao cho . 
b) Chứng minh rằng với mọi điểm , ta có . 
a) 
Vậy sao cho . 
b) Ta có: 
Bài tập 4.13. 
 Cho tam giác . 
a) Hãy xác định điểm để . 
b) Chứng minh rằng với mọi điểm , ta có . 
a) 
Gọi sao cho . 
 là trung điểm của 
Suy ra là điểm thứ 4 của hình bình hành . 
b) 
Bài tập 4.14. 
 Chất điểm chịu tác động của ba lực như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là ). Tính độ lớn của các lực , biết có độ lớn là 20 N. 
Lời giải 
Ta có: 
 ; 
Vậy . 
 Hình 4.30 
Bài tập 4.15. 
Em có biết ? 
Ta hãy dùng kiến thức về vectơ để phân tích các lực chính tác động tới sự chuyển động của thuyền buồm trong trường hợp này. Lực do gió tác động vào cánh buồm được phân tích thành lực cùng phương với cánh buồm và lực vuông góc với cánh buồm. 
Do cánh buồm mỏng nên lực chỉ trượt đi mà không tác động lên cánh buồm. Ta lại phân tích lực thành lực cùng phương với sống thuyền và lực có phương vuông góc với sống thuyền. Thuyền buồm có sống thuyền sâu (mũi nhọn) nên nó chịu một lực cản đáng kể của nước, vuông góc với sống thuyền. Người ta điều chỉnh hướng thuyền (hướng sống thuyền), phương của cánh buồm để lực cản của nước (lực này không phụ thuộc vào sự điều chỉnh) thắng lực (có thể điều chỉnh độ lớn). Cuối cùng, dưới tác động của lực thuyền di chuyển và sau một khoảng thời gian, nó lại được điều chỉnh hướng, để đi đến đích theo đường dích dắc. 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 
1. Cho tứ giác . Gọi lần lượt là trung điểm của và , là trung điểm của .Chứng minh rằng: 
 	 b) 
c) với M là điểm bất kì 
Lời giải 
a) Theo quy tắc ba điểm ta có 
Tương tự 
Mà I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên 
Vậy (đpcm) 
b) Theo hệ thức trung điểm ta có 
Mặt khác là trung điểm nên . 
Suy ra (đpcm) 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 
1. Cho tứ giác . Gọi lần lượt là trung điểm của và , là trung điểm của .Chứng minh rằng: 
 	 b) 
c) với M là điểm bất kì 
Lời giải 
c) Theo câu b ta có do đó với mọi điểm thì 
 (đpcm) 
2. Cho hai tam giác và có cùng trọng tâm G. Gọi lần lượt là trọng tâm tam giác . 
	Chứng minh rằng . 
Lời giải 
Vì là trọng tâm tam giác nên 
Tương tự lần lượt là trọng tâm tam giác suy ra 
 và 
Công theo vế với vế các đẳng thức trên ta có 
Mặt khác hai tam giác và có cùng trọng tâm G nên 
 và 
Suy ra . 
3. Cho tam giác . Gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng minh rằng 
	a) 
	b) với O là điểm bất kỳ. 
Lời giải 
a) 
b) 
4. Cho tam giác và một điểm tùy ý. Chứng minh rằng . 
Lời giải 
Ta có 
5. Cho 4 điểm . Gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng minh . 
Lời giải 
 . 
6. Xác định điểm biết . 
Lời giải 
Gọi lần lượt là trung điểm và . Khi đó ta có 
Vậy điểm cần tìm thuộc đoạn sao cho . 
7. Cho tam giác có thuộc cạnh sao cho . Phân tích vectơ theo hai vectơ và . 
Lời giải 
Ta có 
 . 
8. Cho tam giác có thuộc cạnh sao cho và là trung điểm của . 
 Phân tích theo 2 vectơ 
Lời giải 
Ta có 
 . 
9. Cho tam giác có lần lượt là trung điểm . 
Phân tích qua hai vectơ và . 
Lời giải 
 . 
10. Cho có trung tuyến . Gọi là trung điểm và là điểm thuộc sao cho . Chứng minh ba điểm thẳng hàng. 
Lời giải 
Ta có 
Ta có 
Từ (1)&(2)   B, I, K thẳng hàng. 
11. Cho tam giác có trực tâm , trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp . Chứng minh rằng 
	a) 	 b) 
	c) . 
Lời giải 
a) Dễ thấy nếu tam giác vuông. 
Nếu tam giác không vuông gọi D là điểm đối xứng của A qua O khi đó 
 (vì cùng vuông góc với AC) 
 (vì cùng vuông góc với AB) 
Suy ra là hình bình hành, do đó theo quy tắc hình bình hành thì (1) 
Mặt khác vì O là trung điểm của AD nên 
 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
11. Cho tam giác có trực tâm , trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp . Chứng minh rằng 
	a) 	 b) 
	c) . 
Lời giải 
b) Theo câu a) ta có 
 đpcm 
c) Vì G là trọng tâm tam giác nên 
Mặt khác theo câu b) ta có 
Suy ra . 
Bài giải 
CÂU 1 
 Trên đường thẳng lấy điểm sao cho . Điểm được xác định đúng trong hình vẽ nào sau đây? 
Vì nên nằm giữa và . 
Chọn C 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
C 
D 
C 
A 
B 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
A 
 Chọn A 
Vì nằm giữa và nên . 
CÂU 2 
 Đẳng thức nào sau đây mô tả đúng hình vẽ bên: 
Bài giải 
CÂU 3 
 Cho đoạn thẳng và điểm I thỏa mãn . Hình nào sau đây mô tả đúng giả thiết này? 
Vì nên nằm giữa và . 
Chọn D 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ 
C 
D 
D 
A 
B 
Bài giải 
B 
 Hai vectơ bằng nhau. 
A 
CÂU 4 
Cho vectơ . Khẳng định nào sau đây sai? 
C 
D 
Chọn C 
C 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
D 
CÂU 5 
 Chọn D 
Gọi là giao điểm hai đường chéo và của hình bình hành . Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức sai? 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
A 
CÂU 6 
 Chọn A 
Cho hình vuông cạnh . Tính ? 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
D 
CÂU 7 
 Chọn D 
Cho hình bình hành , điểm thoả mãn: . Khi đó là trung điểm của: 
Nên là trung điểm của . 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
B 
CÂU 8 
 Chọn B 
Cho tam giác có là trọng tâm và là trung điểm Khẳng định nào sau đây sai ? 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
C 
CÂU 9 
 Chọn C 
Cho tam giác vuông tại là trung điểm của Khẳng định nào sau đây đúng ? 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
C 
CÂU 10 
 Chọn C 
Cho tam giác Gọi và lần lượt là trung điểm của và Khẳng định nào sau đây sai ? 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
A 
CÂU 11 
 Chọn A 
Cho tam giác đều cạnh . Tính 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
A 
CÂU 12 
 Chọn A 
Cho tam giác vuông cân tại có . Tính 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
B 
CÂU 13 
 Chọn B 
Tam giác có và . Tính 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
D 
CÂU 14 
 Chọn D 
Cho tam giác đều cạnh là trung điểm của . Tính 
Bài giải 
B 
A 
C 
D 
A 
CÂU 15 
 Chọn A 
Cho hai lực và có điểm đặt vuông góc với nhau. Cường độ của hai lực và lần lượt là . Cường độ tổng hợp lực của hai lực đó là