Bài giảng môn Toán Lớp 10 sách Kết nối tri thức - Chương VI - Bài 16: Hàm số bậc hai

CHƯƠNG I 
CHƯƠNG VI . HÀM SỐ - ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG 
1 
2 
4 
1 
2 
3 
TOÁN ĐẠI SỐ 
➉ 
16 
HÀM SỐ BẬC 2 
 KHÁl NIỆM HÀM SỐ BẬC HAI 
ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI 
BÀI TẬP 
Mở đầu 
 I. KHÁl NIỆM HÀM SỐ BẬC HAI 
Bác Việt có một tấm lưới hình chữ nhật dài 20 m. Bác muốn dùng tấm lưới này rào chắn ba mặt áp bên bờ tường của khu vườn nhà mình thành một mảnh đất hình chữ nhật để trồng rau . 
 Hỏi hai cột góc hàng rào cần phải cắm cách bờ tường bao xa để mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích lớn nhất? 
 I. KHÁl NIỆM HÀM SỐ BẬC HAI 
HĐ1: Xét bài toán rào vườn ở tình huống mở đầu. Gọi mét là khoảng cách từ điểm cắm cọc đến bờ tường . Hãy tính theo : 
a) Độ dài cạnh của mảnh đất 
b) Diện tích của mảnh đất được rào chắn. 
Lời giải . 
Ở đây ta tính được . 
Đây là một hàm số cho bởi công thức 
và gọi là một hàm số bậc hai của biến số . 
 I. KHÁl NIỆM HÀM SỐ BẬC HAI 
Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai? 
A. 
B. 
C. 
D . 
 X ét hàm số bậc hai . Thay dấu "?" bằng các số thích hợp đề hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số. 
Ví dụ 1. 
x 
0 
2 
4 
5 
6 
8 
10 
y 
? 
? 
? 
? 
? 
? 
? 
 X ét hàm số bậc hai . Thay dấu "?" bằng các số thích hợp đề hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số. 
Ví dụ 1. 
x 
0 
2 
4 
5 
6 
8 
10 
y 
0 
32 
48 
50 
48 
32 
0 
Lời giải 
Ta có +5x-2 
Vậy hàm số đã cho là hàm số bậc hai với 
Thay lần lượt hai giá trị này của vào phương trình đã cho, ta thấy 
Luyện tập 1. 
	 Cho hàm số 
Hàm số đã cho có phải là hàm số bậc hai không? Nếu có, hãy xác định các hệ số 
Thay dấu "?" bằng các số thích hợp để hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số đã cho. 
x 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
4 
y 
? 
? 
? 
? 
? 
? 
? 
x 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
4 
y 
-24 
-10 
-2 
0 
-4 
-14 
-30 
Vận dụng 1 . 
Lời giải 	 
Một viên bi rơi tự do từ độ cao 19,6 m xuống mặt đất. Độ cao (mét) so với mặt đất của viên bi trong khi rơi phụ thuộc vào thời gian (giây) theo công thức: 19,6-4,9 
a) Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi rơi viên bi chạm đất? 
b) Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số . 
Ở lớp 9 , ta đã biết dạng đồ thị của hàm số . Trong mục này ta sẽ tìm hiểu đồ thị của hàm số bậc hai 
 . 
c) Thực hiện phép biến đổi 
Hãy cho biết giá trị lớn nhất của diện tích mảnh đất được rào chắn. Từ đó suy ra lời giải của bài toán ở phần mở đầu 
Hoạt động 2 . 
	 Cho hàm số 
a) Trên mặt phẳng toạ độ , biểu diễn toạ độ các điểm trong bảng giá trị của hàm số lập được ở V í dụ 1. Nối các điểm đã vẽ lại ta được dạng đồ thị hàm số trên khoảng như trong Hình 6.10. Dạng đồ thị của hàm số có giống với đồ thị của hàm số hay không? 
b) Quan sát dạng đồ thị của hàm số trong Hình 6.10, tìm toạ độ điểm cao nhất của đồ thị. 
Hoạt động 3 . 
Hàm số 
Hệ số a 
Tính chất đồ thị 
Bề lõm của đồ thị (quay lên/quay xuống) 
Tọa độ điểm cao nhất/điểm thấp nhất 
Trục đối xứng 
1 
Quay lên 
 1 
? 
? 
? 
? 
2. TỔNG QUÁT 
Ta thấy điểm thuộc đồ thị hàm số bậc hai và là một điểm đặc biệt, nó đóng 
vai trò như điểm của đồ thị hàm số. Cụ thể: 
 Đồ thị hàm số bậc hai là một parabol . 
 C ó đỉnh là điểm , có trục đối xứng là đường thẳng 
 Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a>0, xuống dưới nếu a<0 . 
2. TỔNG QUÁT 
 1 . Xác định toạ độ đỉnh 
 2 . Vẽ trục đối xứng 
 3 . Xác định toạ độ các giao điểm của parabol với trục tung, trục hoành (nếu có) và một vài điểm 
 đặc biệt trên parabol; 
 4 . Vẽ parabol. 
CÁCH VẼ PARABOL 
Bài giải 
Ví dụ 2 
a) Vẽ parabol 
b) Từ đồ thị, hãy tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị lớn nhất của hàm số . 
a) Ta có nên parabol quay bề lõm xuống dưới. 
Đỉnh . 
Trục đối xứng . 
Giao điểm của đồ thị với trục Oy là . 
Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là và 
Điểm đối xứng với qua trục đối xứng là . 
ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI 
4 
2 
b) Từ đồ thị ta thấy: 
- Hàm số đồng biến trên , nghịch biến trên ; 
- Giá trị lớn nhất của hàm số là , khi . 
Bài giải 
Luyện tập 2 
Vẽ parabol . Từ đó tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị nhỏ nhất của hàm số . 
ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI 
4 
2 
Nhận xét 
Từ đồ thị hàm số , ta suy ra tính chất của hàm số 
Với 
Hàm số nghịch biến trên khoảng 
Hàm số đồng biến trên khoảng 
 là giá trị nhỏ nhất của hàm số. 
ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI 
4 
2 
Với 
Hàm số đồng biến trên khoảng ; 
Hàm số nghịch biến trên khoảng 
 là giá trị lớn nhất của hàm số. 
Vận dụng 2 
Bạn Nam đứng dưới chân cầu vượt ba tầng ở nút giao ngã ba Huế, thuộc thành phố Đà Năng để ngắm cầu vượt (H.6.13). Biết rằng trụ tháp cầu có dạng đường parabol, khoảng cách giữa hai chân trụ tháp khoảng , chiều cao của trụ tháp tính từ điểm trên mặt đất cách chân trụ tháp là . Hãy giúp bạn Nam ước lượng độ cao của đỉnh trụ tháp cầu (so với mặt đất). 
ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI 
4 
2 
Hướng dẫn 
Chọn hệ trục toạ độ sao cho một chân trụ tháp đặt tại gốc toạ độ, chân còn lại đặt trên tia . Khi đó trụ tháp là một phần của đồ thị hàm số dạng . 
BÀI TẬP LUYỆN TẬP 
5 
Vẽ các đường parabol sau: 
a) ; 
b) ; 
c) ; 
d) . 
BÀI 6.7 
Từ các parabol đã vẽ ở Bài tập 6.7, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của mỗi hàm số bậc hai tương ứng. 
BÀI 6.8 
5 
Xác định parabol , trong mỗi trường hợp sau: 
a) Đi qua hai điểm và ; 
b) Đi qua điểm và có trục đối xứng ; 
c) Có đỉnh ; 
d) Đi qua điểm và có tung độ đỉnh . 
BÀI 6.9 
Xác định parabol , biết rằng parabol đó đi qua điểm và có đỉnh là . 
BÀI 6.10 
Gọi là đồ thị hàm số bậc hai . Hãy xác định dấu của hệ số và biệt thức , trong mỗi trường hợp sau: 
a) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành; 
b) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành; 
c) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía dưới trục hoành; 
d) tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành. 
BÀI 6.11 
Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau. 
An nói: Tớ đọc ở một tài liệu thấy nói rằng cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (H.6.14) có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng là 2,93 m. Từ đó tór tính ra được chiểu cao của cổng parabol đó là . 
Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn tính ra ở trên là không chính xác. 
Dựa vào thông tin mà An đọc được, em hãy tính chiều cao của cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội để xem kết quả bạn An tính được có chính xác không nhé! 
BÀI 6.12 
Bác Hùng dùng 40 m lưới thép gai rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau. 
a) Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng (mét) của nó. 
b) Tìm kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà bác Hùng có thể rào được. 
BÀI 6.13 
Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc (được chọn là điểm ném) trong mặt phẳng toạ độ Oxy là một parabol có phương trình , trong đó (mét) là khoảng cách theo phương ngang trên mặt đất từ vị trí của vật đến gốc (mét) là độ cao của vật so với mặt đất (H.6.15). 
a) Tìm độ cao cực đại của vật trong quá trình bay. 
b) Tính khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc . Khoảng cách này gọi là tầm xa của quỹ đạo. 
BÀI 6.14 
Một số mô hình toán học sử dụng hàm số bậc hai. 
Hàm số bậc hai được sử dụng trong nhiều mô hình thực tế. Dưới đây ta xét một số mô hình đơn giản thường gặp. 
- Phương trình chuyển động của vật chuyển động thẳng biến đổi đều 
trong đó là toạ độ ban đầu của vật, là vận tốc ban đầu của vật và a là gia tốc của vật (a cùng dấu với vo nếu vật chuyển động nhanh dần đều và ngược dấu với nếu vật chuyển động chậm dần đều). Như vậy toạ độ của vật là một hàm số bậc hai của thời gian . 
Em có biết 
Nói riêng, khi bỏ qua sức cản của không khí, nếu ném một vật lên trên theo phương thẳng đứng thì chuyển động của vật sẽ chỉ chịu ảnh hưởng của trọng lực và vật sẽ có gia tốc bằng gia tốc trọng trường. Khi đó độ cao (so với mặt đất) của vật tại thời điểm cho bởi phương trình 
trong đó (mét) là độ cao ban đầu của vật khi ném lên, là vận tốc ban đầu của vật và là gia tốc trọng trường . 
Em có biết 
Đặc biệt, khi bỏ qua sức cản không khí, nếu một vật rơi tự do từ độ cao (mét) so với mặt đất thì độ cao (mét) của nó tại thời điểm (giây) cho bởi công thức 
- Phương trình chuyển đông của vật ném xiên . 
Một vật được ném từ độ cao (mét) so với mặt đất, với vận tốc ban đầu hợp với phương ngang một góc . Khi đó quỹ đạo chuyển động của vật tuân theo phương trình 
ở đó (mét) là khoảng cách vật bay được theo phương ngang tính từ mặt đất tại điểm ném, (mét) là độ cao so với mặt đất của vật trong quá trình bay, là gia tốc trọng trường. Như vậy quỹ đạo chuyển động của một vật ném xiên là một parabol. 
Em có biết 
Tương tự, đường đi của quả bóng khi được cầu thủ đá lên không trung, quỹ đạo của viên đạn pháo khi bắn ra khỏi nòng pháo, tia lửa hàn, hạt nước bắn lên từ đài phun nước, .. đều có dạng đường parabol (H.6.16). 
Em có biết 
- Doanh thu bán hàng 
Trong kinh tế, doanh thu bán hàng là số tiền nhận được khi bán một mặt hàng. Doanh thu bằng đơn giá của mặt hàng (tức là giá bán của một sản phẩm) nhân với số lượng sản phẩm đã bán được, tức là . 
Định luật nhu cầu khẳng định rằng giữa và n có mối liên hệ với nhau: Khi cái này tăng thì cái kia sẽ giảm. Phương trình liên hệ giữa và gọi là phương trình nhu cầu. Nếu phương trình nhu cầu là liên hệ bậc nhất, tức là là những hằng số dương) thì doanh thu bán hàng sẽ là hàm số bậc hai của đơn giá 
Khi đó người ta thường quan tâm đến việc tìm giá bán để doanh thu đạt cực đại, hoặc tìm giá bán để doanh thu vưọt một mức nào đó. 
Em có biết