Bài tập Bất phương trình toán học

GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
BÀI TP BT PHuchoaNG TRÌNH 
I -- BT PHuchoaNG TRÌNH A THuchoasacC 
A - LÝ THUYT 
Phương pháp giải : 
• Vân dụng ñịnh lí dấu tam thức bậc 2(ñịnh lí ñảo dấu tam thức bậc 2 ) 
• Tính chất của hàm số bậc nhất và bậc 2 
B - BÀI TP 
Bài 1: Tìm a ñể bất pt : ax 4 0+ > ñúng với mọi x thỏa mãn ñiều kiện 4x < 
Bài giải : 
ðặt f(x) = ax +4 
Ta có : ( )4;4( ) ax 4 0 ∈ −= + > ∀xf x 
( 4) 0 4 4 0 1
 (4) 0 4 4 0 1
− ≥ − + ≥ ≤  
⇔ ⇔ ⇔  ≥ + ≥ ≥ −  
f a a
f a a 
Vậy giá trị cần tìm là : 1 1a− ≤ ≤ 
Bài 2: Cho bpt : 2 2( 4) ( 2) 1 0m x m x− + − + < (1) 
1) Tìm m ñể bpt vô nghiệm 
2) Tìm m ñể bpt có nghiệm x = 1 
Bài giải : 
1) 
TH1: 2
2
4 0
2
m
m
m
= −
− = ⇔ 
=
• Với m = -2 : 1(1) 4 1 0 2
4
x x m⇔ − + ⇒ = − (ktm) 
• Với m = 2 : (1) 1 0⇔ < vô nghiệm 2⇒ =m thỏa mãn . 
TH2: 2m ≠ ± 
(1) vô nghiệm 2 2( 4) ( 2) 1 0,⇔ − + − + ≥ ∀xm x m x 
2
2 2
4 0 2 2
 ( 2)(3 10) 0( 2) 4( 4) 0
 − > 
⇔ ⇔ 
− + ≥∆ = − − − ≤ 
m m m
m mm m 
2 2 10
 310 2 23
  ≤ − ⇔ ⇔
− ≤ ∪ ≥ > 
m m
m
m m
m
Từ 2 trường hợp trên ta thấy giá trị cần tìm là : 10 2
3
m m≤ − ∪ ≥ 
2) Bất phương trình (1) có một nghiệm x = 1 
2 2 1 21 1 21( 4).1 ( 2).1 1 0 5 0 
2 2
− − − +
⇔ − + − + < ⇔ + − < ⇔ < <m m m m m 
Bài 3: ðịnh m ñể bpt : 2 22 1 0x x m− + − ≤ (1) thỏa mãn 1;2  ∈∀x 
Bài giải: 
Cách 1 : 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
2 2(1) 2 1 (2)⇔ − ≤ −x x m 
Xét f(x) = x2 – 2x trên [1;2] 
(2) thỏa mãn với mọi x thuộc [1;2] khi và chỉ khi Max f(x) 2 1m≤ − (3) 
Lập bảng bt của f(x) suy ra Maxf(x) = 0: 
Vậy (3) 2 10 1
1
m
m
m
≤ −
≤ − ⇔  ≥
Cách 2 : 
ðặt f(x) = x2 – 2x + 1 – m2, 
Ta có : f(x) 0≤ [ ]1;2x∈∀ 
2
2
2
1. (1) 0 1 2.1 1 0 1
 1 0
1. (2) 0 14 2.2 1 0
≤ − + − ≤ ≤ − 
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ⇔  ≤ ≥
− + − ≤ 
f m m
mf mm
Bài 4: Với giá trị nào của a thì bất pt sau nghiệm ñúng với mọi giá trị của x : 
2 2( 4 3)( 4 6) (1)x x x x a+ + + + ≥ 
Bài giải : 
ðặt : 2 24 3 4 6 3t x x x x t= + + ⇒ + + = + 
Ta có: 2( 2) 1 1 1 ( 3) (3)= + − ≥ − ⇒ ≥ − ⇔ + ≥t x t t t a 
Xét hàm số : f(t) = 2 3 , ( 1)t t t+ ≥ − 
(3) inf ( )M t a⇔ ≥ 
Lập bảng biến thiên của f(t): 
Suy ra Mìn(t) = -2 Vậy (3) 2a ≤ − 
Bài 5: Tìm m ñể bất phương trình sau ñúng với mọi x: 
2
2
23 2(1)
1
x mx
x x
+ −
− ≤ ≤
− +
Bài giải : 
Ta có : 2 1 0, xx x− + > ∀ 
Do ñó (1) 
2 2 2
2 2 2
3( 1) 2 4 ( 3) 1 0(2)
2 2( 1) ( 2) 4 0(3)
 − − + ≤ + − + − + ≥ 
⇔ ⇔ 
+ − ≤ − + − + + ≥  
x x x mx x m x
x mx x x x m x
(1) ñúng với mọi x 
2
(2)
2
(3)
( 3) 16 0 1 7
 1 2
6 2( 2) 16 0
∆ = − − ≤
− ≤ ≤
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ 
− ≤ ≤∆ = + − ≤ 
m m
m
mm
BÀI TP V NHÀ 
Bài 1: Tìm m ñể bpt sau nghiệm ñúng với mọi x thỏa mãn ñiều kiên : 2 1x− ≤ ≤ 
2 ( 1) 2( 1) 0m x m x x+ + − − > (1) 
Bài giải : 
2(1) ( 2) 2 0(2)m m x m⇔ + − + + > 
ðặt f(x) = (m2 + m – 2 )x + m + 2 
Bài toán thỏa mãn: 
2 2
2 2
3( 2) 0 ( 2)( 2) 2 0 2 6 0 2 3
 02(1) 0 2( 2)(1) 2 0 2 0 2 0
 − > + − − + + > − − + > − < <   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < <   
> + − + + > + >     
f m m m m m m
mf m m m m m
m m
Bài 2: Tìm m ñể bpt sau nghiệm ñúng với mọi x : 2 22 1 0x x m− + − > 
Bài giải : 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Do a = 1 > 0 Vậy bài toán thỏa mãn: 2 2 2' 1 1 0 2 0
2
 < −
⇔ ∆ = − + < ⇔ − < ⇔ 
>
m
m m
m
Bài 3: Tìm a nhỏ nhất ñể bpt sau thỏa mãn [ ]0;1x∈∀ : 
2 2 2( 1) ( 1)a x x x x+ − ≤ + + (1) 
Bài giải : 
ðăt : 2 1t x x= + + = f(x) 
Lập bbt f(x) trên [0;1] Suy ra f(x) 1 3t⇒ ≤ ≤ 
2 2
 1;3 1;3(1) ( 2) 2 0 (2)      ∈ ∈⇔ − ≤ ∀ ⇔ − + ≥ ∀t ta t t t at a 
ðặt f(t) = t2 – at + 2a 
2 8 0
2 8 0
(2) 1. (1) 0 1 9
1
2 2
2 8 0
1. (3) 0
3
2 2





















∆ = − ≤
∆ = − >
⇔ ≥ ⇔ − ≤ ≤
−
= <
∆ = − >
≥
−
= >
a a
a a
f a
b a
a
a a
f
b a
a
Suy ra a cần tìm là : a = -1 
BÀI TP TUYN SINH 
Bài 1:Tìm a ñể hai bpt sau tương ñương :( a-1).x – a + 3 > 0 (1) và (a+1).x – a + 2 >0 (2) 
Bài giải : 
TH1: a = 1± thay trực tiếp vào (1) và (2) thấy không tương ñương. 
TH2: a > 1 : 1 2
3 2(1) ; (2)
1 1
− −
⇔ > = ⇔ > =
− +
a a
x x x x
a a
(1) 1 2(2) 5x x a⇔ ⇔ = ⇔ = 
TH3: a < -1 : 
1
2
(1)
(2)
x x
x x
⇔ <
⇔ <
 ðể 1 2(1) (2) 5x x a⇔ ⇔ = ⇔ = ( loại) 
TH4: -1 < a < 1 : (1) Và (2) không tương ñương 
Kết luận :a = 5 thỏa mãn bài toán . 
Bài 2: (ðHLHN): Cho f(x) = 2x2 + x -2 . Giải BPT f[f(x)] < x (1) 
Bài giải : 
Vì f[f(x)] – x = f[f(x)] – f(x) +f(x) – x = [2f2(x) + f(x) -2] – (2x2 + x – 2) + f(x) – x = 
= 2[f2(x) – x2 ] + 2 [f(x) – x ] = 2 [f(x) – x ][f(x) + x +1] = 2(2x2 – 2)( 2x2 +2x-1) 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Vậy (1) 2 2
1 3 1
22(2 2)(2 2 1) 0 
1 3 1
2

− −
< < −
⇔ − + − < ⇔

− +
< <

x
x x x
x
Bài 3: (ðHKD-2009). Tìm m ñể ñường thẳng (d) : y = -2x + m cắt ñường cong (C): y = 
2 1x x
x
+ −
 tại 
2 ñiểm pb A ,B sao cho trung ñiểm I của ñoạn AB thuộc oy 
Bài giải : 
Xét pt hoành ñộ : 
2 12 (1)x xx m
x
+ −
− + = 
ðể (d) cắt (C) tại 2 ñiểm pb (1)⇔ có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 0 
2(1) 3 (1 ) 1 0 ( )x m x f x⇔ + − − = = 
Do a .c = -3 <0 ,f(0) = -1 Vậy (1) luôn có 2 nghiệm phân biêt khác 0 . 
ðể I thuộc oy 1 2 10 0 1
2 6
x x m
m
+ −
⇔ = ⇔ = ⇔ = 
Bài 4: Tìm m ñể (d) : y = -x + m cắt (C )y = 
2 1x
x
−
 tại 2 ñiểm pb A,B sao cho AB = 4. 
Bài giải : 
Xét pt hoành ñộ :
2 1x
x m
x
−
− + = (1) 
ðể (d) cắt (C ) tại 2 ñiểm pb (1)⇔ có 2 nghiệm pb khác 0 22 1 ( ) 0x mx f x⇔ − − = = có 2 nghiệm pb 
khác 0. 
Do a.c = -2 < 0 , f(0) = -1 Vậy (1) luôn có 2 nghiệm pb x1 , x2 khác 0. 
ðể AB = 4 2 2 22 1 2 116 ( ) ( ) 16AB x x y y⇔ = ⇔ − + − = 
2
2 2
2 1 2 1 1 2
12( ) 16 2 ( ) 4 2( 4.( )) 16 2 6
4 2
 ⇔ − = ⇔ + − = − − = ⇔ = ± 
m
x x x x x x m 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
II -- BT PHuchoaNG TRÌNH CHuchoasacA TR TUYT  I 
A - LÝ THUT 
1.
2.
3. ( )( ) 0
A B B A B
A B
A B
A B
A B A B A B
< ⇔ − < <
>
> ⇔  < −
> ⇔ − + >
Các tính chất : 
,
,
1.
2. . 0
3. ,
4. ( ). 0
A B
A B
A B A B
A B A B A B
A B A B
A B A B A B B
+ ≤ + ∀
+ < + ⇔ <
− ≥ − ∀
− > − ⇔ − >
B - BÀI TP 
Bài 1:Giải các bpt sau : 
2 2 2
2
2
1) 2 3 3 3 2) 3 2 2
5 43) 2 5 7 4 4) 1
4
− − ≤ − − + + >
− +
+ > − ≤
−
x x x x x x x
x x
x x
x
Bài giải : 
2 2
2 2
2 3 3 3 6 0 3 2(1) 2 5
0 52 3 3 3 5 0
 − − ≥ − + + − ≥ ≤ − ∪ ≥ 
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤   ≤ ≤
− − ≤ − − ≤   
x x x x x x x
x
xx x x x x
2 2 2
2 2
2 2
3 2 2 2 5 2 0(2) 3 2 2 
2 03 2 2
1 12
 2 2
2 2
 − + > −  − + >
⇔ − + > − ⇔ ⇔ 
− >
− + < − 
 
 < ⇔ ⇔
 
> > 
x x x x x x
x x x x
xx x x x
x x x
x x
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
[ ][ ]2 2 2 2(3) (2 5) (7 4 ) (2 5) (7 4 ) 0 (2 5) (7 4 ) (2 5) (7 4 ) 0
1(12 2 )(6 2) 0 (6 )(3 1) 0 6
3
⇔ + > − ⇔ + − − > ⇔ + + − + − − >
⇔ − − > ⇔ − − > ⇔ < <
x x x x x x x x
x x x x x
(4). ðk: x 2≠ ± 
2 2 2 2 2 2 2(4) 5 4 4 ( 5 4) ( 4) (8 5 )(2 5 ) 0
80
5
5
2
⇔ − + ≤ − ⇔ − + ≤ − ⇔ − − ≤
 ≤ ≤
⇔ 
 ≥

x x x x x x x x x
x
x
Bài 2:Giải các bpt sau : 
2
2 2
2
4 3
1) 1 2) 1 2 8
5
− +
≥ − ≤ − +
+ −
x x
x x x
x x
Bài giải: 
1) Bảng xét dấu : 
x −∞ 0 +∞ 
 4 5 
X2 – 4x + - + + 
X - 5 - - - + 
+) Xét : 0
4 5
x
x
<
 ≤ <
2
2 2
4 3 3 2 2(1) 1 0 
5 5 3
− + +
⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ −
− + − +
x x x
x
x x x x
 (do 2 5 0, x Rx x ∈− + > ∀ ) 
+) Xét : 0 4x≤ < : 
2
2
2
4 3 1(1) 1 2 5 2 0 2
5 2
− + +
⇔ ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
− +
x x
x x x
x x
+) Xét : 5x ≥ : 
2
2 2
4 3 5 8 1 21 8 1 21(1) 1 0 
5 5 2 5 2
− + − − − − +
⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ∪ ≤ ≤
+ − + −
x x x
x x
x x x x
 (ktm) 
Vậy nghiệm bpt là :
2
3
1 2
2
x
x
− ≤

 ≤ ≤

2. ðặt t = , 0x t ≥ : 
2
2 2
2 2
2 2
2 2 7 02 8 1 9(2) 1 2 8 9 21 2 8
2
 − + ≥− + − ≤ − 
⇔ − ≤ − + ⇔ ⇔ ⇔ ≤ 
≤− ≤ − + 

t tt t t
t t t t
tt t t
Vì 9 9 9 90 0 
2 2 2 2
≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤t x x 
Bài 3: Giải và biện luận bpt sau : 2 23 4 (1)x x m x x m− − ≤ − + 
Bài giải: 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 2 2(1) 3 4 2 7 2 0 2 7 2 0⇔ − − ≤ − + ⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤x x m x x m x x x m x x x m 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Ta có : 7(2 7)( 2 ) 0 2 0
2
x x x m x m x x− − = ⇔ = ∪ = ∪ = 
+) Nếu 2m < 0 : Có trục xác ñịnh dấu: 
Kết luận :
2
70
2
x m
x
≤

 ≤ ≤

+) Nếu 2m = 0 
Kết luận: 7
2
x ≤ 
+) Nếu 7 70 2 0
2 4
m m< < ⇔ < < 
Kết luận:
0
72
2
x
m x
≤

 ≤ ≤

+) Nếu 2m = 7
2
7
4
m⇔ = 
Kết luận:
0
7
2
x
x
≤

 =

+) Nếu 7 72
2 4
m m> ⇔ > 
Kết luận:
0
7 2
2
x
x m
≤

 ≤ ≤

B - BÀI TP V NHÀ 
Bài 1: Giải các bpt sau : 
2
2 2
2
1) 1 2
2) 1 4 2 1
3) 2 2 2 2
4) 3 3 9 2
− <
− ≥ +
+ − ≤ − −
− − > −
x x
x x
x x x x
x x x
Bài giải : 
Kết quả : 
1.) 1 2 1 2x− + < < + 
2.) 0
1
x
x
≤
 ≥
3.) 2
0 1
x
x
= −
 ≤ ≤
4.) 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
2
2
2
2
2
3 9 2 3
3 3 9 2 
3 3 9 2
4 19
3 8 1 0 3
3 10 5 0 4 19
3
− + − < −
⇔ − < − + ⇔ 
− < − +

−
 ⇔ ⇔

− + 

x x x
x x x
x x x
x
x x
x x
x
Bài 2: Giải các bpt sau : 
2
2
4
21) 1
2 3
2) 1
1
3) ( 3)( 1) 5 ( 1) 11
≤ −
−
≤
+
+ − − ≤ + −
x
x
x
x
x x x
Bài giải : 
1.ðặt : 2 , 0x t t= > . Ta ñược : 
2 2
2 2
2 2 02 21 2 0 1
2 2 0
 − ≤ − + − ≤
−≤ − ⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ⇔ ⇔ < ≤ 
− ≥ − + ≤ 
t t t tt
t t t t t
t t t t t t
Vậy 2
1 1
0 1
0
x
x
x
− ≤ ≤
< ≤ ⇔ 
≠
2.ðk : 1x ≠ − 
TH1 : 0≥x 
2 2
2
2 3(2) 1 2 3 1 (2 3 ) (1 )
1
1 38 14 3 0 
4 2
−
⇔ ≤ ⇔ − ≤ + ⇔ − ≤ +
+
⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
x
x x x x
x
x x x
 (tm) 
TH2: 
0
1
x
x
<

≠ −
2 2
2
2 3(2) 1 2 3 1 (2 3 ) (1 )
1
3 18 10 3 0 
4 2
+
⇔ ≤ ⇔ + ≤ + ⇔ + ≤ +
+
⇔ + + ≤ ⇔ − ≤ ≤ −
x
x x x x
x
x x x
( tm ) 
3. 2 4 2 4(3) 2 3 5 ( 1) 11 ( 1) 9 ( 1) 11⇔ + − − ≤ + − ⇔ + − ≤ + −x x x x x 
ðặt : 2( 1) , 0t x t= + ≥ . Ta ñược : 
2 2
2
2 2
9 11 2 0
9 11 
11 9 20 0
1 2 5
5 4 4
 − ≤ − − − ≥ 
− ≤ − ⇔ ⇔ 
− + ≤ − + − ≥  
≤ − ∪ ≥ ≤ − 
⇔ ⇔ ≤ − ∪ ≥ ≥ 
t t t t
t t
t t t t
t t t
t t t
Vậy 4t ≥ ( tm ) 2 1( 1) 4 ( 1)( 3) 0 
3
≥
⇔ + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔  ≤ −
x
x x x
x
Bài 3: Giải và biện luận bpt sau theo tham số m. 2 22 3x x m x x m− + ≤ − − 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Bài giải : 
( ) ( )
( )
2 22 2
2
(3) 2 3
2 (2 5 ) 0
(2 5)( 2 ) 0
 ... 
3) 2 3 5 2
4) ( 3) 4 9
+ ≥ −
+ + > −
+ − − < −
− − ≤ −
x x
x x x
x x x
x x x
Bài giải : 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
1. 
2
2 2 2
2( 1) 0 1 1
1
1 0 1 
1 3
2( 1) ( 1) 2 3 0
 − ≥ ≤ − ∪ ≥
= − 
⇔ + ≥ ⇔ ≥ − ⇔   ≤ ≤ 
− ≤ + − − ≤
x x x
x
x x
x
x x x x
. 
2. 
2
2
14( 1) 0 54( 5)(3 4) 0 5 43
 1
31 0 1
1 4( 5)(3 4) 16( 1) 13 51 4 0
 <
 − <  ≤ −
  + + ≥ ≤ − ∪ ≥ −  ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ <
− ≥   ≥  ≤ − 
− − <
x
x x
x x x x
x
x
x
xx x x
x x
Kết luận : 45 4
5
x x≤ − ∪ − ≤ < 
3. ðk: 
2 0
53 0 2
2
5 2 0
x
x x
x
+ ≥

− ≥ ⇔ − ≤ ≤

− ≥
25 2 3 2 2 11 15 2 3Bat phuong trinh ⇔ − + − > + ⇔ − + > −x x x x x x (*) 
+) Xét : 32
2
x− ≤ < (*) luôn ñúng. 
+) Xét : 3 5
2 2
x≤ ≤ 2 2 2 3; (*) 2 11 15 (2 3) 2 6 0 2
2
⇔ − + > − ⇔ − − < ⇔ − < <x x x x x x 
Do 3 5
2 2
x≤ ≤ nên nghiệm của bpt là : 3 2
2
x≤ < 
Kết luận : 2 2x− ≤ < 
4. ðk: 2 4 0 2 2x x x− ≥ ⇔ ≤ − ∪ ≥ 
Nhận xét x = 3 là nghiệm bpt . 
+) Xét x > 3: ( )22 2 13 4 3 4 3 
6
Bat phuong trinh ⇔ − ≤ + ⇔ − ≤ + ⇔ ≥ −x x x x x 
Suy ra x > 3 là nghiệm bpt 
+) Xét : 2 2 3x x≤ − ∪ ≤ < 
( )
2
22 2
3 03 0
 4 3 
4 0 4 3
33 3 13
 132 2 6 13 0 63
6
Bat phuong trinh
+ >+ ≤ 
⇔ − ≥ + ⇔ ∪ 
− ≥ − ≥ + 
≤ −≤ − > −  ⇔ ∪ ⇔ ⇔ ≤ −  ≤ − ≥ + ≤ − < ≤ − 

∪
xx
x x
x x x
x
x x
x
x x x x
Vậy kêt luận : 
13
6
3
x
x
 ≤ −

≥
BÀI TP V NHÀ 
Bài 1: Giải các bpt sau : 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
2
2
1) 2 1 8
2) 2 6 1 2 0
3) 6 5 8 2
4) 3 2 8 7
5) 2 1
− ≤ −
− + − + >
− + − > −
+ ≥ − + −
+ − + <
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
Bài giải : 
1. 
2
2
88 0
1 1(1) 2 1 0 5
2 2
2 1 (8 ) 18 65 0
≤
 − ≥ 
 
⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ ≤ 
 
− ≤ − 
− + ≥
x
x
x x x
x x
x x
2. 
( ) ( )2 222
2
2 02 0(2) 2 6 1 2 
2 6 1 22 6 1 0
2
3 7 2 3 7
 32 22 3 0
3 7
2
− ≥
− < 
⇔ − + > − ⇔ ∪ 
− + > −− + ≥ 
<


− ≥
− ≤⇔ ∪ ⇔ ≤ ∪ > 
− − > + ≥

xx
x x x
x x xx x
x
xx
x x
x x
x
3. 
Tương tự : 3 5x< ≤ 
4. 
ðk:
3 0
2 8 0 4 7
7 0
x
x x
x
+ ≥

− ≥ ⇔ ≤ ≤

− ≥
( ) ( ) ( ) ( )( )2
2 2
(4) 3 2 8 7 3 1 2 2 8 7 2 2 8 7
5
4 2 22 56 11 30 0 
6
⇔ + ≥ − + − ⇔ ≥ − + − − ⇔ ≥ − −
≤
⇔ ≥ − + − ⇔ − + ≥ ⇔  ≥
x x x x x x x
x
x x x x
x
Kết luận : 4 5
6 7
x
x
≤ ≤
 ≤ ≤
5. 
ðkiện :
2 0
1 0 0
0
x
x x
x
+ ≥

+ ≥ ⇔ ≥
 ≥
( )2
(5) 2 1 2 2 1 2 ( 1) 1 2 ( 1)
3 2 3 3 2 3
1 01 3 3
 1 
0 1 4 ( 1) 3 2 3 3 2 31
3 3
⇔ + < + + ⇔ + < + + + ⇔ − < +
 + +
< − < − 
− ≥
− ∪ ⇔ ≥  − < +
− + − +  < ≤ < 
 
x x x x x x x x x x
x xxx o
x
x x x x
x x
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Kết luận : 3 2 3
3
x
− +
> 
Bài 2: Giải các bpt sau : 
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
1) ( 3 ). 2 3 2 0
22) 21 3) 4
3 9 2 1 1
− − − ≥
 −
− + + +
x x x x
x x
x x
x x
Bài giải : 
1. 
2
2
2
122 3 2 0 21(1) 22 3 2 0 2
33 0 1
2
2
0 3





= ≤ − 
− − =
 
⇔ ⇔ = − ⇔ = − − > 
  ≥
− ≥ 
 
 ≤ ∪ ≥
x x
x x
x xx x
xx x
x
x
x x
2. 
ðk :
99 2 0
2
3 9 2 0 0
x x
x
x
+ ≥ ≥ − 
⇔ 
− + ≠  ≠
Khi ñó : 
( )22
2
2 3 9 2 7(2) 21 9 2 4 
4 2
+ +
⇔ < + ⇔ + < ⇔ <
x x
x x x
x
Kết luận : 
9 7
2 2
0
x
x

− ≤ <

 ≠
3. 
ðk: 1 0 1x x+ ≥ ⇔ ≥ − 
Nhận xét : x = 0 là nghiệm của bpt 
+) Xét 0x ≠ : 
( ) ( )
22
2
2
1 1
(3) 4 1 1 4 2 2 1 4
1 3 1 9 8
− +
⇔ > − ⇔ − + > − ⇔ − + > −
⇔ + < ⇔ + < ⇔ <
x x
x x x x
x
x x x
Kết luận : 1 8x− ≤ < 
Chú ý : Dạng 
( ) 0
( ). ( ) 0 ) ) 0
( ) 0
 =

≥ ⇔ >
 ≥
g x
f x g x g x
f x
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Bài 3: Giải bpt sau : 
23 4 2 2− + + + <x x
x
Bài giải : 
ðk :
41
3
0
x
x

− ≤ ≤

 ≠
: 
+) Xét : 40
3
x< ≤ : 
2
23 4 2 2 3 4 2 2Bpt − + + +⇔ < ⇔ − + + < −x x x x x
x
( )2 22
2 2 0 1 9
77 9 03 4 2 2
− ≥ ≥
⇔ ⇔ ⇔ > 
− >− + + < − 
x x
x
x xx x x
Vậy bpt có nghiệm : 9 4
7 3
x< ≤ 
+) Xét: 1 0 :x− ≤ < bpt luôn ñúng 
Kết luận nghiệm của bpt:
1 0
9 4
7 3
x
x
− ≤ <

 < ≤

Bài 4: 
2 2 2
2 2 2
2
1) 3 2 4 3 2 5 4
2) 8 15 2 15 4 18 18
3) 1 1 2
4
− + + − + ≥ − +
− + + + − ≤ − +
+ + − ≤ −
x x x x x x
x x x x x x
x
x x
Bài giải : 
1. 
ðk:
2
2
2
3 2 0
4 3 0 1 4
5 4 0
x x
x x x x
x x
 − + ≥

− + ≥ ⇔ ≤ ∪ ≥

− + ≥
( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 1 4Bpt ⇔ − − + − − ≥ − −x x x x x x (*) 
Nhận xét x = 1 là nghiệm 
+) Xét x <1 : 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )(*) 1 2 1 3 2 1 4 2 3 2 4⇔ − − + − − ≥ − − − + − ≥ −x x x x x x x x x 
Ta có : 12 3 4 4 2 4 , <− + − < − + − = − ∀xx x x x x 
Suy ra x < 1 bpt vô nghiệm . 
+) Xét : 4 :x ≥ 
(*) 2 3 2 4⇔ − + − ≥ −x x x 
Ta có : 42 3 4 4 2 4, ≥− + − ≥ − + − = − ∀xx x x x x 
Suy ra : 4 :x ≥ , bất pt luôn ñúng . 
Vậy nghiệm của bpt là : 1
4
x
x
=
 ≥
2. 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
ðiều kiện:
2
2
2
8 15 0
3
2 15 0
5 5
4 18 18 0
x x
x
x x
x x
x x
 − + ≥
= 
+ − ≥ ⇔  ≤ − ∪ ≥
− + ≥
( )( ) ( )( )5 3 5 3 (4 6)( 3)Bpt ⇔ − − + + − ≤ − −x x x x x x (*) 
Nhận xét x = 3 là nghiệm của bpt 
+) Xét : 5x ≤ − 
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( )22 2 2
(*) 5 3 5 3 6 4 3 5 5 6 4
175 5 2 25 6 4 25 3 25 3 
3
⇔ − − + − − − ≤ − − ⇔ − + − − ≤ −
⇔ − − − + − ≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ ≤
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
Suy ra : 5x ≤ − là nghiệm của bpt 
+) Xét : 5≥x 
2 2 17(*) 5 5 4 6 5 5 2 25 4 6 25 3
3
⇔ − + + ≤ − ⇔ − + + + − ≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ ≤x x x x x x x x x x 
Suy ra : 175
3
x≤ ≤ là nghiệm của bpt . 
Kết luận : Nghiệm của bpt ñã cho là : 
5
3
175
3
x
x
x

 ≤ −

=

≤ ≤

3. 
ðk: 1 0 1 1
1 0
x
x
x
+ ≥
⇔ − ≤ ≤
− ≥
: 
Khi ñó : 
( )
( ) [ ]
4 4
2 2 2 2
42
2
1;1
1 1 2 1 4 1 2 1 1 0
16 16
 1 1 0
16
Bpt
∈ −
⇔ + + − + − ≤ − + ⇔ − − − + + ≥
⇔ − − + ≥ ∀
x
x x
x x x x x x
x
x
Vậy nghiệm của bpt là : 1 1x− ≤ ≤ 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
PHuchoaNG PHÁP %T &N PHuhoanang 
Bài 1: Giải bpt sau : ( ) ( ) 21 4 5 5 28 (1)+ + < + +x x x x 
Bài giải : 
ðặt : 2 5 28, 0t x x t= + + > ( Do 2 5 28 0, )x Rx x ∈+ + > ∀ 
Khi ñó : 2 2(1) 24 5 5 24 0 0 8⇔ − 0 ) 
2 20 5 28 8 5 36 0 9 4⇔ < + + < ⇔ + − < ⇔ − < <x x x x x 
Kết luận : -9 < x < 4 
Bài 2: Giải bpt sau : 27 7 7 6 2 49 7 42 181 14 (1)+ + − + + − < −x x x x x 
Bài giải : 
ðk: 7 7 0 6
7 6 0 7
x
x
x
+ ≥
⇔ ≥
− ≥
: 
ðặt : 
( ) ( )
( )( )
2
2
7 7 7 6, 0 7 7 7 6 2 7 7 7 6
14 2 7 7 7 6 1
= + + − ≥ ⇒ = + + − + + −
⇒ + + − = −
t x x t t x x x x
x x x t
Khi ñó : 
2 2
2
2
(1) 7 7 7 6 14 2 49 7 42 181 1 181
182 0 0 13( 0) 7 7 7 6 13
6 12 649 7 42 84 7 67
76
⇔ + + − + + + − < ⇔ + − <
⇔ + − < ⇔ ≤ < ≥ ⇔ + + − <
 ≤ <
⇔ + − < − ⇔ ⇔ ≤ <
 <
x x x x x t t
t t t t x x
x
x x x x
x
Kết luận : 6 6
7
x≤ < 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Bài 3: Giải bpt sau : 3 13 2 7 (1)
22
+ < + −x x
xx
ðk : x > 0: 1 1(1) 3 2 7(2)
42
x x
xx
   
⇔ + < + −  
  
ðặt : 2 21 1 1 12 . 2 1 1
4 42 2
= + ≥ = ⇒ = + + ⇒ + = −t x x t x x t
x xx x
Khi ñó : ( )2 2 1(2) 3 2 1 7 2 3 9 0 3( 2) 3(3)
2
⇔ ⇔ > ≥ + >t t t t t t x
x
ðặt : , 0= >u x u 
( ) 21 3 7 3 73 3 2 6 1 0 0
2 2 2
3 7 3 7 8 3 7 8 3 70 0
2 2 2 2
− +
⇔ + > ⇔ − + > ⇔ 
− + − +
⇔ ⇔ 
u u u u u
u
x x x x
Kết luận : 8 3 7 8 3 70
2 2
x x
− +
BÀI TP V NHÀ 
Bài 1: Giải các bpt sau : 
2 2
2 2
2 2
1) 3 6 4 2 2
2) 2 4 3 3 2 1
3) 3 5 7 3 5 2 1
+ + < − −
+ + − − >
+ + − + + ≥
x x x x
x x x x
x x x x
Bài giải : 
1.ðặt :
2
2 2 2 2 2 43 6 4, 0 3 6 4 3( 2 ) 4 2
3
−
= + + ≥ ⇒ = + + = + + ⇒ + = tt x x t t x x x x x x 
Khi ñó : ( )
2
2 241 2 3 10 0 0 2( 0) 0 3 6 4 2
3
−
⇔ < − ⇔ + − < ⇔ ≤ < ≥ ≤ + + <tt t t t t x x 
2 2 23 6 4 4 ( 3 6 4 0) 3 6 0 2 0⇔ + + ⇔ + < ⇔ − < <x x do x x x x x 
2.ðặt : 2 2 2 2 23 2 , 0 3 2 2 3= − − ≥ ⇒ = − − ⇒ + = −t x x t t x x x x t 
Khi ñó : ( ) ( )2 2 52 2 3 3 1 2 3 5 0 0 (do t 0)2⇔ − + > ⇔ − − < ⇔ ≤ < ≥t t t t t 
2
2
3 150 3 2 3 1252 3 2
4
− ≤ ≤

⇔ ≤ − − < ⇔ ⇔ − ≤ ≤
− − <
x
x x x
x x
3. ðặt : 2 2 23 5 2, 0 3 5 2= + + ≥ ⇒ + = −t x x t x x t 
Ta ñược : 
( )22 2 2 25 1 5 1 5 1 2 4 2 0 3 5 2 2+ − ≥ ⇔ + ≥ + ⇔ + ≥ + ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + + ≤t t t t t t t t x x 
2
2
2 2 113 5 2 0 3
 2 113 5 2 4 2 3 33
−
− ≤ ≤ −≤ − ∪ ≥  + + ≥  ⇔ ⇔ ⇔
−   ≤ ≤+ + ≤ 
− ≤ ≤ 
xx x
x x
xx x
x
Bài 2: Giải các bpt sau : 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
31) 2 1 2 1
2
5 12) 5 2 4
22
13) 2 3
1
+ − + − − >
+ < + +
+
− >
+
x x x x
x x
xx
x x
x x
Bài giải : 
1. ( ) ( ) ( )2 2 31 1 1 1 1 2x x⇔ − + + − − > 
ðk : 1x ≥ : 3Bpt 1 1 1 1
2
⇔ − + + − − >x x 
ðặt : 1, 0t x t= − ≥ 
Khi ñó : 
31 1 (2)
2
3 3) 1: (2) 2 1 1 (do t 1) 2
2 4
3) 0 1: (2) 2
2
⇔ + + − >
+ ≥ ⇔ > ⇔ > ⇔ − ≥ ≥ ⇔ ≥
+ ≤ 
t t
t t t x x
t
Vậy :
1
0 1 1
2
x
x
x
≥
≤ − ≤ ⇔  ≤
Kết luận : 1x ≥ 
2. ðk : x > 0. ( ) 1 12 5 2 4(3)
22
x x
xx
 
⇔ + < + + 
 
ðặt : 21 1 12 . 2, 2 1
42 2
= + ≥ = ≥ ⇒ + = −t x x t x t
xx x
Khi ñó : ( ) ( )2 2
1
3 5 2 1 4 2 5 2 0 2
2

 ⇔

>
t
t t t t
t
Do ñk: Ta có 1 2 2 4 1 0
2
+ > ⇔ − + >x x x
x
ðặt : , 0u x u= > 
Ta ñược : 2u2 – 4u + 1> 0 
2 2 2 2 3 2 20 0
2 2 2
2 2 2 2 3 2 2
2 2 2
  
− − −
< < < < <  
  ⇔ ⇔ ⇔
  + + +
> > >  
  
u x x
u x x
3. ðk: 1 0 :x x 
ðặt: 2
1 1
, 0 
1
+
= > ⇒ =
+
x x
t t
x x t
Ta ñược : 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
( )( )3 2 221 2 3 2 3 1 0 1 2 1 0
1 1 1 40 (do t 0) 0 1
2 2 3
− > ⇔ + − < ⇔ + + − <
+
⇔ ⇔ < < ⇔ − < < −
t t t t t t
t
x
t x
x
Bài 3: Giải bpt sau:
2
35
121
x
x
x
+ >
−
Bài giải : 
ðk: 2 11 0
1
x
x
x
< −
− > ⇔  >
+) Xét x < -1 :bpt VN 
+) Xét x > 1 : ( )
2 2 4 2
2
2 22 2
1225 12251 2. 2. 0 (2)
1 144 1 1441 1
⇔ + + > ⇔ + − >
− −
− −
x x x x
x
x xx x
ðặt : 
2
, 0
2 1
= >
−
x
t t
x
21225 25 252 4 2(2) 2 0 (do t 0) 144 625 625
144 12 122 1
25 520 1
16 44 2
 144 625 625 0 (do x 1)5252
39
 
 
 
 
 
⇔ + − > ⇔ > > ⇔ > ⇔ > −
−
≤ < < <
⇔ − + > ⇔ ⇔ >
>>
x
t t t x x
x
x x
x x
xx
****************HẾT***************