Mệnh đề là một câu có đặc tính đúng hay sai và phải thoả 2 điều kiện:
Mỗi mệnh đề đều phải hoặc đúng, hoặc sai.
Mỗi mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.
+ Phủ định của mệnh đề A, kí hiệu A:
Nếu A đúng thì A sai, nếu A sai thì A đúng.
+ Mệnh đề kéo theo: Mệnh đề Nếu A thì B gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu A ⇒ B:
A ⇒ B sai nếu A đúng, B sai và đúng trong các trường hợp còn lại.
B ⇒ A gọi là mệnh đề đảo của A ⇒ B.
- 42 - Góc Lượng Giác & Công Thức Lượng Giác °. cos2A + cos2B + cos2C = –1 – 4cosAcosBcosC. ±. cos2A + cos2B + cos2C = 1 – 2cosAcosBcosC. ². cos 2A cos 2CB− + cos 2B cos 2AC− + cos 2C cos 2BA− = sinA + sinB + sinC. ³. sinA sin B sinC Acot cot sinA sin B sinC 2 2 + + Β=+ − . Chứng minh ΔABC vuông tại A nếu và chỉ nếu sinA = sin B sinC cosB cosC + + . Chứng minh biểu thức sin(250o + α)cos(200o – α) – cos240ocos(220o – 2α) không phụ thuộc vào α. Chứng minh: ¬. sin84osin24osin48osin12o = . −. sin10o + sin20o + sin30o + sin40o + sin50o = o o 1 sin 25 2 sin5 . ®. sin10αsin8α + sin8αsin6α – sin4αsin2α = 2cos2αsin6αsin10α. ¯. 2cos22αcosα – cos5αcos4α – cos4αcos3α = 2cosαsin2αsin6α. ΔABC có 4A = 2B = C. Chứng minh rằng: ¬. 1 1 1 a b c = + −. cos2A + cos2B + cos2C = . Chứng minh mệnh đề sau: «Điều kiện cần và đủ để một trong các góc của ΔABC bằng 60o là sin3A + sin3B + sin3C = 0». Chứng minh rằng ΔABC là tam giác đều nếu các góc của nó thoả: ¬. sin sin sin = . −. cosAcosBcosC = sin sin sin . Chứng minh rằng ΔABC cân nếu các góc của nó thoả hệ thức: tan2A + tan2B = 2tan2 A B 2 + . Chứng minh rằng ΔABC vuông hoặc cân nếu: acosB – bcosA = asinA – bsinB trong đó a, b, c lần lượt là các cạnh đối diện với các góc A, B, C. Tính số đo góc C của ΔABC biết sinA + sinB + sinC – 2sin sin = 2sin . Tìm các góc của ΔABC nếu: sinA + sinB – cosC = . Nếu A, B, C là 3 góc của ΔABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 3cosA + 3(cosB + cosC). 6 Trường THPT Nguyễn Hữu Huân Vũ Mạnh Hùng Bài Tập Cơ Bản & Nâng Cao -09/2006 10 Vũ Mạnh Hùng - 41 - ´. o o 1 1 sin18 cos36 − = 2. !0. tanα + cotα + tan3α + cot3α = 28cos 2 sin 6 α α . !1. sin 2 sin 3 sin 4 cos2 cos3 cos4 α − α + α α − α + α = tan3α. !2. 2 sin 2 sin5 sin3 cos 1 2sin 2 α + α − α α + − α = 2sinα. !3. cos6 cos7 cos8 cos9 sin 6 sin 7 sin8 sin 9 α − α − α + α α − α − α + α = cot . !4. 2sin 2 sin 4 2(cos cos3 ) α + α α + α = tan2αcosα. !5. 2 2 3 2 2 2 3 2 cot cot 1 cot α α α − + = 8cos 2cosα. !6. o o o o o o o o o cos28 cos56 cos2 cos4 3 sin38 sin 2 sin 28 4sin 2 sin 28 + = . !7. 16cos3α.sin2α = 2cosα – cos3α – cos5α. !8. (cosα – cosβ)2 – (sinα – sinβ)2 = – 4sin2cos(α + β). Đơn giản biểu thức: ¬. sin sin 3 cos cos3 α + α α + α . −. cos4 cos2 sin 2 sin 4 α − α α + α . ®. cosm cosn sin n sinm α − α α − α . ¯. cos3 cos4 cos5 sin 3 sin 4 sin 5 α + α + α α + α + α . °. 22(sin 2 2cos 1) cos sin cos3 sin3 α + α − α − α − α + α . ±. 2 1 cos cos2 cos3 cos 2cos 1 + α + α + α α + α − . ². 2 sin 2 cos2 cos6 sin 6 sin 4 2sin 2 1 α + α − α − α α + α − . ³. sin(2 2 ) 2sin(4 ) sin(6 4 ) cos(6 2 ) 2cos(4 ) cos(6 4 ) α + π + α − π + α + π π − α + α − π + α − π . ´. sin(2 ) sin(2 ) cos( 2 ) cos(2 ) cos(2 ) sin( 2 ) α +β + α −β − − α α +β + α −β − + α . Biến đổi thành tích: ¬. 3 – 4cos2α. −. 1 + si n – 1 – si n (0 < α ≤ π). ®. 6sin22α – 1 – cos4α. ¯. 2cos22α + 3cos4α – 3 °. sin6α – 23 cos23α + 3. ±. cos2 – sin2 ². 1 + sin2a – cos2a – tan2a. ³. cos22α + 3cos18α + 3cos14α + cos10α. Chứng minh trong ΔABC: ¬. sinA + sinB + sinC = 4cos cos cos . −. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC. ®. sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC. ¯. cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin sin sin . - 40 - Góc Lượng Giác & Công Thức Lượng Giác Chứng minh: ¬. sin5osin55osin65o = sin15o. −. cos5ocos55ocos65o = cos15o. ®. cos( – )sin( – )sin = sin . ¯. 4cos( – α)sin( – α) = sin 3 sin α α . °. 1 – 2sin50 o = o 1 2cos160 . ±. o o o sin(80 4 ) 4sin(20 )sin(70 ) + α +α −α = cos(40 o + 2α). ². sin2α + cos( – α)cos( + α) = . ³. sin22α – cos( – 2α)sin(2α – ) = . ´. sinαsin3α = sin22α – sin2α. !0. cos2(45o – α) – cos2(60o + α) – cos75osin(75o – 2α) = sin2α. !1. cos2αcosα – sin4αsinα – cos3αcos2α = 0. Đơn giản biểu thức: ¬. sinαsin(x−α) + sin2(−α). ®. sin22α + sin2β + cos(2α+β)cos(2α–β). −. sin2(45o + α) – sin2(30o – α) – sin15ocos(15o + 2α). ¯. sin3αcos3α + cos3αsin3α. °. sin3αsin3α + cos3αcos3α. Chứng minh rằng biểu thức: A = cos2(x – a) + sin2(x – b) – 2cos(x – a)sin(x – b)sin(a – b) độc lập đối với x. µ Công thức biến đổi tổng thành tích: Nếu sinα + sinβ = – , cosα + cosβ = – và < α < 3π, – < β < 0. Tính sin, cos, cos(α + β). Tính cos nếu sinα + sinβ = – , tan = , < α < 3π, – < β < 0. Tính giá trị biểu thức 2 sin 4 sin10 sin 6 cos2 1 2sin 4 α + α − α α + − α nếu sinα – cosα = m. Chứng minh: ¬. sin495o – sin795o + sin1095o = 0. −. cosα + cos2α + cos6α + cos7α = 4cos cos cos4α. ®. sin9α + sin10α + sin11α + sin12α = 4cos cosαsin . ¯. cos2α – cos3α – cos4α + cos5α = – 4sin sinαcos . °. sin14α – sin5α – sin16α + sin7α = 4sin sinαsin . ±. cosα + sinα + cos3α + sin3α = 22 cosαsin( + 2α). ². cos36o – sin18o = sin30o. ³. cot70o + 4cos70o = 3. MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP ŒA Mệnh Đề Mệnh đề là một câu có đặc tính đúng hay sai và phải thoả 2 điều kiện: Mỗi mệnh đề đều phải hoặc đúng, hoặc sai. Mỗi mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai. + Phủ định của mệnh đề A, kí hiệu A: Nếu A đúng thì A sai, nếu A sai thì A đúng. + Mệnh đề kéo theo: Mệnh đề Nếu A thì B gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu A ⇒ B: A ⇒ B sai nếu A đúng, B sai và đúng trong các trường hợp còn lại. B ⇒ A gọi là mệnh đề đảo của A ⇒ B. + Mệnh đề tương đương: Mệnh đề A nếu và chỉ nếu B gọi là mệnh đề tương đương, kí hiệu A B: A B đúng nếu A và B cùng đúng hoặc cùng sai. ƒ Mệnh đề "A hoặc B" được kí hiệu là A B, mệnh đề này sai nếu A và B đều sai, các trường hợp còn lại đều đúng. ƒ Mệnh đề "A và B" được kí hiệu là A B, mệnh đề này đúng nếu A và B đều đúng, các trường hợp còn lại đều sai. ‚ Phủ định của mệnh đề A B là mệnh đề A B: A B = A B ‚ Phủ định của mệnh đề A B là mệnh đề A B: A B = A B ‚ Phủ định của mệnh đề A ⇒ B là mệnh đề A B: A ⇒ B = A B + Mệnh đề chứa biến: là 1 câu chứa một hay nhiều yếu tố không xác định và câu đó trở thành 1 mệnh đề khi thay các yếu tố không xác định bằng những yếu tố xác định, yếu tố không xác định gọi là biến. + Mệnh đề Với mọi x, P(x) đúng, kí hiệu x, P(x). + Mệnh đề Tồn tại x để P(x) đúng, kí hiệu x, P(x). x, A( x) = x, A( x) x, A( x) = x, A( x) + Điều kiện cần, điều kiện đủ: * Nếu mệnh đề A B là 1 định lí thì ta nói: "A là điều kiện đủ để có B". "B là điều kiện cần để có A". Lúc đó ta có thể phát biểu định lí A B dưới dạng: "Để có B điều kiện đủ là A" hoặc "Điều kiện đủ để có B là A". "Để có A điều kiện cần là B" hoặc "Điều kiện cần để có A là B". * Nếu A B là một định lí và B A cũng là một định lí thì B A gọi là định lí đảo của định lí A B, lúc đó A B gọi là định lí thuận, trong trường hợp này A B đúng và ta có thể nói: "A là điều kiện cần và đủ để có B" "B là điều kiện cần và đủ để có A". Chương I -2- Mệnh Đề - Tập Hợp 1/ Câu nào trong các câu sau là mệnh đề. Xét tính đúng sai của các mệnh đề và tìm mệnh đề phủ định của chúng: ¬. 4.2 = 6. −. y + 5 > 2. ®. Bạn hãy ngồi xuống. ¯. 3 + 2. °. 23 là số nguyên tố. ±. 2x + 4y = 7. ². Bạn bao nhiêu tuổi? ³. 12 chia hết cho 3 và 7. ´. Điểm A nằm trên đường thẳng AB. 2/ Đặt các kí hiệu , ∃ trước các mệnh đề chứa biến để được mệnh đề đúng: ¬. x + 2 > 3. −. a + 3 = 3 + a. ®. 15 là bội số của x. ¯. (x – 2)2 > – 1. °. x + 1 > y. ±. (a – b)(a + b) = a2 – b2. ². (a – b)2 = a2 – b2. ³. x2 > 0. ´. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2. !0. (x – 2)2 = 1. !1. (x + y)z = xz + yz. !2. x2 – 5x + 6 = 0. 3/ Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của chúng: ¬. 2 < 3. −. 2 = 2. ®. 1 là số nguyên tố. ¯. 15 không chia hết cho 5. °. Ngũ giác đều bất kì có các đường chéo bằng nhau. ±. Mọi số tự nhiên đều chẵn .². Mọi tứ giác đều nội tiếp được đường tròn. ³. Có một số là bội số của 5. 4/ Cặp mệnh đề sau có phải là phủ định của nhau không ? Nếu không thì sửa lại để chúng là phủ định của nhau: ¬. 5 6. −. a là số chẵn; a là số lẻ. ®. x là số âm; x là số dương. ¯. Đường thẳng a cắt đ.thẳng b; Đường thẳng a song song với đ.thẳng b. °. Có 1 số là ước số của 15; Có 1 số không là ước số của 15. ±. Mọi hình thang đều nội tiếp được đường tròn; Mọi hình thang đều không nội tiếp được đường tròn. 5/ Điền vào chỗ trống liên từ "và", "hoặc" để được mệnh đề đúng: ¬. π 5. −. ab = 0 khi a = 0 ... b = 0. ®. ab ≠ 0 khi a ≠ 0 ... b ≠ 0. ¯. ab > 0 khi a > 0 ... b > 0 ... a < 0 ... b < 0. 6/ Điền vào chỗ trống từ "điều kiện cần" hay "điều kiện đủ" hay "điều kiện cần và đủ" để được mệnh đề đúng: ¬. Để tích của 2 số là chẵn, .... là một trong hai số đó chẵn. −. Để 1 tam giác là cân, .... là tất cả các đường cao của nó đều bằng nhau. ®. để 1 số chia hết cho 8 là số đó chia hết cho 4 và cho 2. ¯. để ab = 0 là a = 0. °. để x2 > 0 là x ≠ 0. ±. Để 1 tứ giác là hình vuông, .... là tất cả các góc của nó đều vuông. 7/ Phát biểu các định lí sau sử dụng khái niệm điều kiện cần: ¬. Nếu 2 cung trên 1 đường tròn bằng nhau thì 2 dây tương ứng bằng nhau −. Nếu tứ giác T là một h.bình hành thì nó có 2 cạnh đối diện bằng nhau. ®. Nếu điểm M cách đều 2 cạnh của góc xOy thì M nằm trên đường phân giác của xOy. Vũ Mạnh Hùng - 39 - !0. 4(sin4x + cos4x) – 4(sin6x + cos6x) – 1. !2. 3 2co s4 1 5 o – 1 0 – 8 3. !1. cosαtan 2α – si n 2 α + sinαco t 2α – co s2 α . Chứng minh: ¬. tan2α + 1 cos sin cos2 cos sin α + α=α α − α . −. 3 4cos2 cos4 3 4cos2 cos4 + α + α − α + α = cot 4α. ®. cos2α – sin22α = cos2αcos2α – 2sin2αcos2α. ¯. 3 – 4cos2α + cos4α = 8sin4α. °. cos4α = cos4α + cos2α + . ±. 8cos %cos cos = 1. ². cos cos = . ³. sin18osin54o = . ´. cos260osin130ocos160o = . !0. cos cos cos% cos cos = . !1. tan142o30 = 2+2 – 3 – 6. !2. cos50o + 8cos200ocos220ocos80o = 2sin265o. !3. cos4α.tan2α = sin4α – tan2α. !4. cos2α – sin2α.cotα = – 1. !5. (cosα – cosβ)2 + (sinα – sinβ)2 = 4sin2 . !6. sin18o = . !7. 8sin318o + 8sin218o = 1. !8. cotα – tanα = 2cot2α. !9. sin6 – cos6 = 2sin 4 4 α − cosα. @0. cos2 tan sin2 cos2 cot sin2 α α − α α α + α = – tan 2α. @1. 2 2 tan3 3 tan tan 1 3tan α − α=α − α . @2. sin 8α + cos8α = cos8α + cos4α + . @3. 8 + 4tan + 2tan + tan = cot . @4. 2 5 4 cos(3 2 ) 2sin ( )π π − α +α = tan(α – . ). @5. sin( 3 ) 1 sin(3 ) + α − α − ... 2 – 1(x2 + x) 0 và x2 + x 0 ´. 2x 5(x 1) x 2 + + + 0 và x 1 x 2 + + 0. !0. x 2 x 3 − + 2 và x 2 x 3 − + 2. Giải và biện luận các bất phương trình: ¬. 2(x + m) – 3(2mx + 1) > 6. −. m(mx – 3) 2 – x. ®. m(mx – 1) 4(m – 1)x – 2. ¯. m2(1 – x) < m(x + 2) + 3. °. m(mx – 1) (2m + 3)x + 1. Định m để bất phương trình m(mx – 1) < (2 – m)x + 2 vô nghiệm. Định m để 2 bất phương trình sau tương đương: ¬. 2(x + m) – 3(2mx + 1) > 6 và 2x + 1 < 0. −. mx – m + 2 > 0 và (m + 2)x – m + 1 > 0. x – – + ax + b – 0 + a > 0 x – – + ax + b + 0 – a < 0 Vũ Mạnh Hùng - 17 - ¸. Hệ phương trình bậc nhất. Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn: { 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c + = + = . Cách giải: Đặt D = 1 1 2 2 a b a b , Dx = 1 1 2 2 c b c b , Dy = 1 1 2 2 a c a c + D 0: Hệ có nghiệm duy nhất (x;y) với x = Dx:D, y = Dy:D. + D = 0, Dx 0 hoặc Dy 0: Hệ vô nghiệm. + D = Dx = Dy = 0: Xét cụ thể. Giải hệ phương trình: ¬. {2x 3y 13x 2y 9+ =− = . −. {x y 32x 2y 8+ =+ = . ®. {x 2y 4y 3x 7+ =− = . ¯. {3x y 112x 4y 4− =− = . °. {y x 1| y | x 1+ =− = . ±. {x y 2| 3x y | 1+ =− = . ². {| x 1| y 02x y 1− + =− = . ³. {| x 1| | y 2 | 1y 3 | x 1|− + − == − − . ´. 4 3 4,75 2x y 1 x 2y 3 3 2 2,5 2x y 1 x 2y 3 + =⎪⎪ + − + −⎨⎪ − =+ − + −⎪⎩ . Giải và biện luận hệ phương trình: ¬. {(m 2)x 3y 3m 9x (m 4)y 2+ − = ++ − = . −. {mx (m 2)y 1x my m+ + =+ = . ®. 2 3 2 3 (m 1)x (m 1)y m 1 (m 1)x (m 1)y m 1 − + − = −⎨ + + + = +⎩ . ¯. {ax by a 1bx ay b 1+ = ++ = + . °. {(a b)x (a b)y a(2a b)x (2a b)y b+ + − =− + + = . ±. 2 22a x by a bbx b y 2 4b − = −⎨ − = +⎩ . Định a, b, m để hệ sau vô nghiệm: ¬. { 22x (9m 2)y 3mx y 1+ − =+ = . −. 2 35m x (2 m)y m 4mx (2m 1)y m 2 + − = +⎨ + − = −⎩ . ®. 2 2 ax 3y a 1 (3a 14)x (a 8)y 5a 5 + = +⎨ + + + = +⎩ . ¯ . {(1 a)x (a b)y b a(5 a)x 2(a b)y b 1+ + + = −+ + + = − . Định a, b, k để hệ sau có nghiệm: ¬. {ax 3y a3x ay a 3− =− = + . −. {ax by a bbx ay a b+ = ++ = − . ®. { 22x (9k 2)y 6k 2x y 1+ − = −+ = . ¯. { 2 2(2 k)x k y 3k 2(2k 1)x ky k 1− + = +− + = − . - 18 - Phương Trình & Hệ Phương Trình Định m để hệ { 4x my m 1(m 6)x 2y m 3− + = ++ + = + có vô số nghiệm. Định a, b để 2 hệ {ax 2y b 1x y 3+ = ++ = và { 22x y a 2x 3y 3+ = ++ = tương đương. Định a, b để hai hệ phương trình sau cùng vô nghiệm: {(a 1)x (b 1)y 5b 1(a 1)x by 2+ + + = −− + = và {(a 1)x ay b3x (4 a)y 2b 1+ + =+ − = − . Cho hệ {mx (3m 2)y m 3 02x (m 1)y 4 0+ − + − =+ + − = . ¬. Định m để hệ có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm −. Định m nguyên để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên. Định a để tổng xo + y o đạt giá trị nhỏ nhất biết (xo;yo) là nghiệm của hệ phương trình: {3x y 2 ax 2y a 1− = −+ = + . Giải các hệ: ¬. x y z 0 2x y 3z 9 3x 4y 2z 11 + − =⎪ − + =⎨− + + =⎪⎩ . −. 2x 3y z 1 0 y 1x 1 z 1 2 6 + + − =⎪ +−⎨ = =⎪ −⎩ . ®. y 1x 2 z 3 2 3 2 x 2y 2z 6 0 −+ −⎪ = =⎨ −+ − + =⎪⎩ . ¯. 4x 3y 6z 5 y 1x 2 z 5 3 4 4 − − =⎪ −+ +⎨ = =⎪ −⎩ . ¹. Hệ phương trình bậc hai. —| Hệ Phương Trình có chứa 1 phương trình bậc nhất Cách Giải: Dùng phương pháp thế. Cho hệ { 2 2 2x y m 1x y xy 2m m 3+ = ++ = − − . ¬. Giải hệ khi m = 3. −. Chứng minh rằng m, hệ luôn có nghiệm. .(x;y) là nghiệm của hệ { 2 2 2x y 2a 1x y a 2a 3+ = −+ = + − . Định a để xy nhỏ nhất. .Giải và biện luận hệ: { 2 2x y mx y 2x 2+ =− + = . Vũ Mạnh Hùng - 23 - !4. a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 + a2) 6abc (a, b, c 0). !5. ab(a + b) + bc(b + c) + ca (c + a) 6abc (a, b, c 0). !6. (1 + a) ( 1 + b ) ( 1 + c) 1 + ab c (a, b, c 0). !7. n1 x 2 +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ + n1 y 2 +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ + n1 z 2 +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 3 (x, y, z dương thỏa xyz=1 và n *). !8. a2 + b2 + c2 a + b + c nếu abc = 1. !9. 2 2 22 2 2a b cb c a+ + a b c b c a + + . Một số dạng khác 5/ Chứng minh rằng: ¬. 2p q – q2 + p2 – q 2 p (p q 0). ®. 2 2 21 1 11 2 n+ + +" < 2. −. 1 1 1 1 2 n 1 n 2 2n < + + ++ + " < 1 (n *). ¯. 1 < a b c d a b c b c d c d a d a b + + ++ + + + + + + + < 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 6/ Tìm GTLN của hàm số: ¬. y = x4 – x2. −. y = x 1 x − . ®. y = x + 2 – x 2. 7/ Tìm GTNN của hàm số: ¬. y = x + 2 4 x (x > 0). −. y = 1 + 1 x(1 x)− ( 0 < x < 1). ®. y = x2 + 1 + 2x + 2 2 a (x 1)+ (a 0). 8/ Tìm GTLN của T = ab c 2 bc a 3 ca b 4 abc − + − + − (c 2, a 3, b 4). 9/ Nếu x, y > 0 và x + y 1, tìm GTNN của P = 2 21 1xyx y ++ + 4xy. Cho x, y thay đổi thỏa 0 x 3, 0 y 4. Tìm GTLN của: A = (3 – x)(4 – y)(2x + 3y). x, y, z là 3 số dương thay đổi thỏa x + y + z 1. Tìm GTLN của: A = yx z x 1 y 1 z 1 + ++ + + . - 22 - Bất Đẳng Thức & Bất Phương Trình #2. a2 + b2 + c2 k2 nếu a, b, c > 0 và a + b + c = k.. #3. 2(a2 – a) ( b 2 – b) (a + b)2 – (a + b) nếu a2 + b2 = 1 và ab > 0. #4. (1 + a1)(1 + a2)...(1 + an) 2n nếu a1, a2,... , an > 0 và a1a2...an = 1. #5. ab + bc + ca 0 nếu a + b + c = 0. #6. (x1 + x2)(z1 + z2) (y1 + y2)2 nếu x1x2 > 0, x1z1 y 1, x2z2 y 2. #7. a b c b 2a b 2c b + ++− − 4 nếu a, b, c > 0 và 1 1 2 a c b + = . #8. 3 3 1 x y 1+ + + 3 3 1 y z 1+ + + 3 3 1 z x 1+ + 1 nếu x, y, z > 0 và xyz = 1. #9. a2 + 2 1 a 1+ 1. $0. a b c+ + b c a+ + c a b+ 2 (a, b, c > 0). $1. (ab + bc + ca)2 3abc(a + b + c) $2. a4 + b4 + c4 abc(a + b + c). $3. 3 3 3a b c bc ca ab + + a + b + c (a, b, c > 0). $4. a2b2 + b2c2 + c2a2 abc3( a2 + b2 + c2) (a, b, c 0). $5. (1 + a)n + (1 + 1 a )n 2n + 1 (a > 0, n ). 4/ Chứng minh rằng: ¬. a b c b c a + + 3 (a, b, c > 0). −. (p2 + p + 1)(q2 + q + 1) 9pq (p, q0). ®. a6 + b6 + 1 3a2b2. ¯. (x+y+z)(x+y+z)9xy z (x, y, z 0). °. (1 – x)(2 – y)(4x + y) 2 (0 x 1, 0 y 2). ±. 6 6a b 2 + 3a2b2 – 4. ². 6 9a b 4 + 3a2b3 – 16 (b 0, a ). ³. a1 – a 2 3 9 (0 a 1). !0. 1 1 1 a b c + + 9 a b c+ + (a, b, c > 0). ´. a + 1 b(a b)− 3 (a > b > 0). !1. a b c b c c a a b + ++ + + 2 3 (a, b, c > 0). !2. 2 2 2 b c c a a b + ++ + + 9 a b c+ + (a, b, c > 0). !3. 2 2 2 x y z 1 x 1 y 1 z + ++ + + 2 3 1 1 1 1 x 1 y 1 z + ++ + + nếu x, y, z 0 và x + y + z 3. Vũ Mạnh Hùng - 19 - .Cho hệ { 2 2| x | | y | 1x y m+ =+ = . ¬. Giải hệ khi m = . −. Định m để hệ có nghiệm. .Định m để hệ { 2 2x y 1x y m+ =+ = có nghiệm duy nhất. —} Hệ Đối Xứng: {f (x, y) 0g(x, y) 0== với f(x,y) = f(y,x), g(x,y) = g(y,x) Cách Giải: Đặt S = x + y, P = x.y. Điều kiện có nghiệm: S2 – 4P 0 .Giải các hệ sau: ¬. { 2 2x y 5x y xy 1+ =+ − = . −. { 2 2x y xy 5x y 5+ + =+ = . ®. { 2 2x y x y 8xy(x 1)(y 1) 12+ + + =+ + = . ¯. { 2 2x xy y 3x y xy 2+ + =+ = . °. 2 22 2(x y)(x y ) 3(x y)(x y ) 15 − − =⎨ + + =⎩ . ±. { 2 2x yx y xy 1+− + = ². 2 2 4 2 2 4 x y 5 x x y y 13 + =⎨ − + =⎩ . ³. 2 2 2 2 1 1x y 5 x y 1 1x y 9 x y + + + =⎪⎪⎨ + + + =⎪⎪⎩ . ´. { 2 2 3 3x y 4(x y )(x y ) 280+ =+ + = . !0. 22xy x 1 yxy y 1 x + = −⎨ + = −⎩ . Định m để hệ { 2 2x y xy mx y m+ + =+ = có nghiệm duy nhất. Giải các phương trình: ¬. x3 + 1 = 2 2 x – 1. −. x2 + x + 5 = 5. ®. 9 – x + x + 3 = 4. Cho hệ x y a x y xy a + =⎨ + − =⎩ . ¬. Giải hệ khi a = 4. −. Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm. Định a để hệ sau có nghiệm: ¬. x 1 y 2 a x y 3a + + + =⎨ + =⎩ . −. x 1 y 2 a x y 3a + − + =⎨ + =⎩ . (CHƯƠNG*4) BẤT ĐẲNG THỨC & BẤT PHƯƠNG TRÌNH ´. Bất đẳng thức: Định nghĩa: a > b a – b > 0. a < b a – b < 0. ¬. Bất đẳng thức Cauchy: ƒ 2 2a b 2 + ab hay a2 + b2 2ab (a, b ) ƒ a b 2 + ab hay a + b 2ab (a, b 0) Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b. ƒ a b c 3 + + ab c hay a + b + c 3 ab c (a, b, c 0) Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. −. Bất đẳng thức tam giác: a–b a b a + b a + b = a + b ab 0. a – b = a + b ab 0. Dùng định nghĩa và biến đổi tương đương 1/ Chứng minh rằng: ¬. 2 1 a 4a 4− + > 3 2 a 8− (a 2). −. x 8 + x2 + 1 > x5 + x ®. a4 + b4 a3b + ab3. ¯. a4 + b4 2ab(a2 – ab + b2). °. 2(x + y + z) – (xy + yz + zx) 4 (x, y, z [0;2]). ±. a2 + b2 + c2 1 + a2b + b2c + c2a (a, b, c [0;1]). ². a2 + b2 + c2 5 nếu a, b, c [0;2] và a + b + c = 3. 2/ Chứng minh rằng: ¬. a + b > a + b (a, b > 0). −. a + b 2 2a b b a + (a, b > 0) ®. a + b a3 + b 3 (a, b > 0). ¯. b c 4 bc b c + ≥ + (b, c > 0). ±. 33 3a b a b 2 2 + +⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ (a, b > 0). ². 3(x + y + xy) 2(x2 + x + 1 )(y 2 + y + 1). ³. (ax + by)(bx + ay) (a + b)2xy (a, b 0, x, y ). ´. x2 +x y + y2 +y2 +y z + z2 +z2 +zx + x 2 3(x+y+z) (x, y, z > 0). Vũ Mạnh Hùng - 21 - !0. a2 + b 2 + c2 + d 2 (a + c)2 + (b + d )2 . Khi nào dấu "=" xảy ra. Áp dụng: Chứng minh rằng: x2 + x y + y2 + x2 + x z + z2 y2 + y z + z2. Dùng bất đẳng thức Cauchy 3/ Chứng minh các bất đẳng thức: ¬. a b b a + 2 (a, b > 0). −. ca + b c 2ab (a, b, c > 0). ®. 4 2 a bc 2c + ab (a, b, c > 0). ¯. (1+ y x )(1+ z y )(1+ x z )8 (x, y, z > 0). °. (a + b)(b + c)(c + a) 8abc (a, b, c 0). ±. (p + 2)(q + 2)(p + q) 16pq (p, q 0). ². a2 + b2 + c2 2 a(b + c). ³. a2 + b2 + 1 ab + a + b. ´. a2 + b2 + c2 + 3 2(a + b + c). !0. a + b + c ab +bc +ca (a, b, c 0). !1. 2a2 + b2 + c2 2a(b + c). !2. a + b + 2a2+ 2b2 2ab + 2ba + 2ab (a, b 0). !3. 1 1 1 a b c + + 1 1 1 bc ca ab + + (a, b, c > 0). !9. 2 4 x 1 21 x ≤+ . !4. bc ca ab a b c + + a + b + c (a, b, c > 0). !5. a b b c c a c a b + + ++ + 6 (a, b, c > 0). @0. 241 x 321 x + ≤+ . !6. x2 + y2 + 1 1 x y + 2(x + y) (x, y > 0). @1. 2 21 a 1 b1 a 1 b + +++ + 3. !7. 3x + 2y + 4z xy + 3yz + 5zx (x, y, z 0). !8. a b 5 2 + + a + 2b (a, b 0). @2. x 4 1 x x +− 8 (0 < x < 1). @3. 2 2x y x y + − 22 (x > y, xy = 1). @4. 2 2 a a 2 a a 1 + + + + 2. @5. 2 2 2x 1 4x 1 + + 1. @6. 32 11 – x + 7 + x 6 (– 7 x 11). @7. Nếu a + b = 1, a > 0, b > 0 thì 4a + 1 + 4b + 1 23. @8. mn(m + n) m3 + n3 (m, n 0). @9. a2(1 + b4) + b2(1 + a4) (1 + a4)(1 + b4). #0. (4 + x2)( x 2 x 1 2 + + 1) > 16 (x > 0). #1. – 2 2(m k)(1 mk)(m 1)(k 1) + − + + .
Tài liệu đính kèm: