Bài tập Đại số khối 10

Trang 1 
§ 1. MỆNH ðỀ 
I. Lý thuyết 
1.ðịnh nghĩa : 
* Mệnh ñề là một câu khẳng ñịnh ñúng hoặc sai . 
* Một mệnh ñề không thể vừa ñúng hoặc vừa sai 
* Mệnh ñề chứa biến không phải là một mệnh ñề tuy nhiên khi cho các biến nhận một 
giá trị nào ñó ta ñược một mệnh ñề. 
Ví dụ: *Câu “ 2 1 3x + > ” là một Mð chứa biến vì ta chưa khẳng ñịnh ñược tính ñúng 
sai của nó. Tuy nhiên khi ta cho x nhận một giá trị cụ thể thì ta ñược một Mð , chẳng 
hạn x=1 ta ñược Mð sai, x=2 ta ñược Mð ñúng 
* Câu “ 2 0x ≥ ” không phải là mệnh ñề chứa biến vì nó là một Mð ñúng. 
2.Mệnh ñề phủ ñịnh: 
Cho mệnh ñề P.mệnh ñề “không phải P ” gọi là mệnh ñề phủ ñịnh của P. Kí hiệu là P . 
Nếu P ñúng thì P sai, nếu P sai thì P ñúng 
Ví dụ: P: “ 3 > 5 ” thì P : “ 3 ≤ 5 ” 
3. Mệnh ñề kéo theo 
*Cho 2 mệnh ñề P và Q. Mệnh ñề “nếu P thì Q” gọi là mệnh ñề kéo theo . Kí hiệu là P 
⇒ Q. Mệnh ñề P ⇒ Q chỉ sai khi P ñúng Q sai 
* Một ñịnh lí toán học thường ñược phát biểu dưới dạng một Mð kéo theo P Q⇒ . Khi 
ñó P gọi là giả thiết, Q gọi là kết luận 
 P là ñiều kiện ñủ ñể có Q và Q là ñiều kiện cần ñể có P. 
4. Mệnh ñề ñảo – Mệnh ñề tương ñương 
* Cho mệnh ñề P ⇒ Q. Khi ñó mệnh ñề Q ⇒ P gọi là mệnh ñề ñảo của P ⇒ Q 
* Cho 2 mệnh ñề P và Q. Nếu hai mệnh ñề P Q⇒ và Q P⇒ ñều ñúng thì P và Q gọi 
là mệnh ñề tương ñương , kí hiệu P ⇔ Q.Mệnh ñề P ⇔ Q ñúng khi cả P và Q cùng 
ñúng 
Mệnh ñề P Q⇔ ta ñọc là: “P tương ñương Q” hoặc “P là ñiều kiện cần và ñủ ñể có Q” 
hoặc “P khi và chỉ khi Q” 
5. Kí hiệu ∃ và ∀ 
* ∃: Tồn tại, có một ( tiếng anh: Exist) 
* ∀ : Với mọi (All) 
Phủ ñịnh của mệnh ñề “ ∀x∈ x, P(x) ” là mệnh ñề “∃x∈x, P(x)” 
phủ ñịnh của mệnh ñề “ ∃x∈ x, P(x) ” là mệnh ñề “∀x∈x, P(x)” 
II. Bài tập: 
Phần 1: Tự luận 
Bài 1: Các câu sau ñây, câu nào là mệnh ñề, và mệnh ñề ñó ñúng hay sai : 
a) ở ñây là nơi nào ? 
b) phương trình x2 + x – 1 = 0 vô nghiệm 
Trang 2 
c) x + 3 = 5 
d) 16 không là số nguyên tố 
Bài 2: Nêu mệnh ñề phủ ñịnh của các mệnh ñề sau : 
a) “phương trình x2 –x – 4 = 0 vô nghiệm ” 
b) “ 6 là số nguyên tố ” 
c) “∀n∈n ; n2 – 1 là số lẻ ” 
Bài 3: Phát biểu mệnh ñề P ⇒ Q và xét tính ñúng sai của nó và phát biểu mệnh ñề ñảo : 
a) P: “ ABCD là hình chữ nhật ” và Q:“ AC và BD cắt nhau tại trung ñiểm mỗi 
ñường” 
b) P: “ 3 > 5” và Q : “7 > 10” 
c) P: “tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A” và Q :“ góc B = 450 ” 
Bài 4: Cho các mệnh ñề sau 
a) P: “ hình thoi ABCD có 2 ñường cho AC vuông góc với BD” 
b) Q: “ tam giác cân có 1 góc = 600 là tam giác ñều” 
c) R : “13 chia hết cho 2 nên 13 chia hết cho 10 ” 
 * Xét tính ñúng sai của các mệnh ñề và phát biểu mệnh ñề ñảo : 
 * Biểu diễn các mệnh ñề trên dưới dạng Mð kéo theo 
Bài 5: Phát biểu mệnh ñề A ⇒ B và A ⇔ B của các cặp mệnh ñề sau và xét tính ñúng 
sai 
a) A : “Tứ giác T là hình bình hành ” 
B: “Hai cạnh ñối diện bằng nhau” 
b) A: “Tứ giác ABCD là hình vuông ” 
B: “ tứ giác có 3 góc vuông” 
c) A: “ x > y ” 
B: “ x2 > y2” ( Với x y là số thực ) 
d) A: “ðiểm M cách ñều 2 cạnh của góc xOy ” 
B: “ðiểm M nằm trên ñường phân giác góc xOy” 
Phần 2: Trắc nghiệm 
Câu 1: Trong các mệnh ñề, mệnh ñề nào ñúng 
I. “ 3 và 5 là số chính phương” II. Các ñường cao của tam giác ñều bằng nhau 
III. Các ñường trung tuyến của tam giác cân bằng nhau IV. “33 là số nguyên tố” 
Câu 2: Phát biểu nào sau ñây là mệnh ñề ñúng: 
I. 2.5=10⇒Luân ðôn là thủ ñô của Hà Lan II. 7 là số lẻ ⇒ 7 chia hết cho 2 
III. 81 là số chính phương⇒ 81 là số nguyên IV. 141 3 141 9⇒⋮ ⋮ 
Câu 3: Mệnh ñề nào sau ñây sai ? 
I. ABCD là hình chữ nhật ⇒ tứ giác ABCD có ba góc vuông 
II. ABC là tam giác ñều ⇔ A = 600 
Trang 3 
III. Tam giác ABC cân tại A ⇒ AB = AC 
IV.Tứ giác ABCD nội tiếp ñường tròn tâm O ⇒OA=OB=OC=OD 
Câu 4: Tìm mệnh ñề ñúng: 
I. ðường tròn có một tâm ñối xứng và có một trục ñối xứng 
II. Hình chữ nhật có hai trục ñối xứng 
III. Tam giác ABC vuông cân ⇔ A = 450 
IV. Hai ∆ vuông ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau ' ' 'ABC A B C⇔ ∆ = ∆ 
Câu 5: Tìm mệnh ñề sai: 
I. a chia hết cho 5 ⇒ a(a+1) chia hết cho 5 
II. Tam giác ABC vuông tại C ⇔ AB2 = CA2 + CB2 
III. Hình thang ABCD nôi tiếp ñường tròn (O) ⇔ ABCD là hình thang cân 
IV. 63 chia hết cho 7 ⇒ Hình bình hành có hai ñường chéo vuông góc nhau 
Câu 6: Phủ ñịnh của mệnh ñề “ Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn tuần hoàn 
” là mệnh ñề nào sau ñây: 
I. Mọi số vô tỷ ñều là số thập phân vô hạn tuần hoàn 
II. Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn 
III. Mọi số vô tỷ ñều là số thập phân vô hạn không tuần hoàn 
IV. Mọi số vô tỷ ñều là số thập phân tuần hoàn 
Câu 7: Biết A là mệnh ñề sai, còn B là mệnh ñề ñúng. Mệnh ñề nào sau ñây ñúng ? 
I. B A⇒ II. B A⇔ III. A B⇒ IV. B A⇒ 
Câu 8: Cho ba mệnh ñề: 
• P : “ số 20 chia hết cho 5 và chia hết cho 2 ” 
• Q : “ Số 35 chia hết cho 9 ” 
• R : “ Số 17 là số nguyên tố ” 
 Hãy tìm mệnh ñề sai trong các mệnh ñề ñã cho dưới ñây: 
I. P ⇔ (Q R⇒ ) , II. R ⇔ Q III. ( )R P Q⇒ ⇒ IV. ( )Q R P⇒ ⇒ 
Câu 9: Cho các câu sau: 
a) Huế là một thành phố của miền Nam Việt Nam. 
b) Sông Hương chảy ngang qua thành phố Huế. 
c) Hãy trả lời câu hỏi này ! 
d) 5 + 19 = 24 
e) 6 + 81 = 25 
f) Bạn có rỗi tối nay không ? 
g) x + 2 = 11 
Số câu là mệnh ñề trong các câu trên là: 
 I. 1 II. 2 III. 3 IV. 4 
Câu 10: Mệnh ñề phủ ñịnh của mệnh ñề P: 2" 3 1 0"x x+ + > với mọi x là : 
I. Tồn tại x sao cho 2 3 1 0x x+ + > II. Tồn tại x sao cho 2 3 1 0x x+ + ≤ 
III. Tồn tại x sao cho 2 3 1 0x x+ + = IV. Tồn tại x sao cho 2 3 1 0x x+ + ≥ 
Câu 11: Mệnh ñề phủ ñịnh của mệnh ñề P: “ 2: 2 5x x x∃ + + là số nguyên tố” là 
Trang 4 
I. 2: 2 5x x x∀ + + là số nguyên tố II. 2: 2 5x x x∃ + + là hợp số 
III. 2: 2 5x x x∀ + + là hợp số IV. 2: 2 5x x x∃ + + là số thực 
Câu 11: Cho x là số thực mệnh ñề nào sau ñây ñúng ? 
I. 2, 5 5 5x x x x∀ > ⇒ > ∨ ⇒ − < < 
III. 2, 5 5x x x∀ > ⇒ > ± IV. 2, 5 5 5x x x x∀ > ⇒ ≥ ∨ ≤ − 
Câu 12: Chọn mệnh ñề ñúng: 
I. *x N∀ ∈ , 2 -1n là bội số của 3 II. 2: 3x Q x∃ ∈ = 
III. n N∀ ∈ : 2n+1 là số nguyên tố IV. ,2 2nn N n∀ ∈ ≥ + 
Câu 13: Cho mệnh ñề chứa biến P(x) : 2" 15 "x x+ ≤ với x là số thực. Mệnh ñề ñúng là 
mệnh ñề nào sau ñây 
I. P(0) II. P(3) III. P(4) IV. P(5) 
Câu 14: Trong các mệnh ñề sau mệnh ñề nào sai: 
2 2
2 2
 , 2 2 , 6 6
. , 3 3 . , 9 9
n N n n n N n n
n N n n n N n n
∀ ∈ ⇒ ∀ ∈ ⇒
∀ ∈ ⇒ ∀ ∈ ⇒
I. II.
III IV
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
Câu 15: Cho n là số tự nhiên , mệnh ñề nào sau ñây ñúng. 
I. ∀ n: n(n+1) là số chính phương II. ∀ n: n(n+1) là số lẻ 
III. ∃ n: n(n+1)(n+2) là số lẻ IV. ∀ n: n(n+1)(n+2) là số chia hết cho 6 
Câu 16: Phủ ñịnh của mệnh ñề 2" ,5 3 1"x R x x∃ ∈ − = là: 
2 2
2 2
. " ,5 3 1" . " ,5 3 1"
." ,5 3 1" . " ,5 3 1"
x R x x x R x x
x R x x x R x x
∃ ∈ − ≠ ∀ ∈ − =
∀ ∈ − ≠ ∃ ∈ − ≥
I II
III IV
Câu 17:Cho mệnh ñề P(x) 2" : 1 0"x R x x∀ ∈ + + > . Mệnh ñề phủ ñịnh của mệnh ñề 
P(x) là: 
I. 2" : 1 0"x R x x∀ ∈ + + < II. 2" : 1 0"x R x x∀ ∈ + + ≤ 
III. 2" : 1 0"x R x x∃ ∈ + + ≤ IV. " ∃ 2: 1 0"x R x x∈ + + > 
Câu 18: Chọn phương án ñúng trong các phương án sau: mệnh ñề 2" : 3"x R x∃ ∈ = 
khẳng ñịnh: 
I. Bình phương của mỗi số thực bằng 3 II. Chỉ có 1 số thực có bình phương bằng 3 
III. Có ít nhất 1 số thực có bình phương bằng 3 IV. Nếu x là số thực thì x2=3 
Câu 19: Kí hiệu X là tập hợp các cầu thủ x trong ñội tuyển bóng rổ, P(x) là mệnh ñề 
chứa biến “ x cao trên 180cm”. Chọn phương án trả lời ñúng trong các phương án sau: 
Mệnh ñề “ " : ( )"x R P x∀ ∈ khẳng ñịnh rằng: 
I. Mọi cầu thủ trong ñội tuyển bóng rổ ñều cao trên 180cm. 
II. Trong số các cầu thủ của ñội tuyển bóng rổ có một số cầu thủ cao trên 180cm. 
III. Bất cứ ai cao trên 180cm ñều là cầu thủ của ñội tuyển bóng rổ. 
IV. Có một số người cao trên 180cm là cầu thủ của ñội tuyển bóng rổ. 
Trang 5 
§ 2. TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN 
I. Lý thuyết 
1. Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học . Có 2 cách cho tập hợp 
 * Liệt kê các phần tử : 
VD : A = {a; 1; 3; 4; b} hoặc N = { 0 ; 1; 2; . . . . ; n ; . . . . } 
* Chỉ rõ tính chất ñặc trưng của các phần tử trong tập hợp ; dạng A { | ( )}x P x= 
VD : { |A x= ∈ℕ x lẻ và 10}x < {1,3,5,7,9}A⇒ = 
* Tập con : ( )A B x A x B⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈ 
* Tập không có phần tử nào gọi là tập rỗng, kí hiệu: ∅ 
* Cho A ≠ ∅ có ít nhất 2 tập con là ∅ và A 
2. Các phép toán trên tập hợp : 
Phép giao Phép hợp Hiệu của 2 tập hợp 
A∩B = {x /x∈A và x∈B} 
A∪B = {x /x∈A hoặc x∈B} 
A\ B = {x /x∈A và x∉B} 
Chú ý: Nếu B ⊂ A thì \ AA B C B= gọi là phần bù của B trong A. 
3. Các tập con của tập hợp số thực 
Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Hình biểu diễn 
ðoạn [a ; b] { | }x R a x b∈ ≤ ≤ 
Khoảng (a ; b ) 
Khoảng (-∞ ; a) 
Khoảng(a ; + ∞) 
{ | }x R a x b∈ < < 
{ | }x R x a∈ <
{ | }x R a x∈ < 
Nửa khoảng [a ; b) 
Nửa khoảng (a ; b] 
Nửa khoảng (-∞ ; a] 
Nửa khoảng [a ; ∞ ) 
{∈R/ a ≤ x < b} 
{x∈R/ a < x ≤ b} 
{x∈R/ x ≤ a} 
{x∈R/ a ≤ x } 
//////////// [ ] //////// 
 )///////////////////// 
////////////( ) ///////// 
///////////////////( 
////////////[ ) ///////// 
////////////( ] ///////// 
 ]///////////////////// 
///////////////////[ 
Trang 6 
II. Bài tập 
Phần 1: Tự luận 
Bài 1: Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp sau 
a) { | 2 | | 7}A x Z x= ∈ < b) 2{ | 2 1 0}B x R x x= ∈ − − = 
c) {C = ước của 18 và 15} d) {D = Bội của 2 và 5} 
Bài 2: Tìm ; , \A B A B A B∩ ∪ trong các trường hợp sau 
a) {1,2,3,4,5}; {2,3,5,7,11}A B= = 
b) 2 3 2{ | ( 1)(3 5 2 0}; { | 4 3 0}A x R x x x B x R x x x= ∈ − − + = = ∈ − + = 
c) [ 10;11); ( 2; )A B= − = − +∞ 
d) ( ;12]; ( 7;12)A B= −∞ = − 
Bài 3: Cho tập hợp A gồm 10 phần tử. Hỏi A có bao nhiêu tập con gồm hai phần tử?. Từ 
ñó hay cho biết từ 10 ñiểm phân biệt ta có thể lập ñược bao nhiêu véc tơ mà ñiểm ñâu và 
ñiểm cuối là các ñiểm trong 10 ñiểm trên. 
Bài 4: Cho { | 7}A x N x= ∈ < và {1 ; 2 ;3 ; 6; 7; 8}B = 
 a) Xác ñịnh ; ; \ ; \ AUB A B A B B A∩ 
 b) CMR : ( ) \ ( ) ( \ ) ( \ )A B A B A B B A∪ ∩ = ∪ 
Bài 5: Cho {2;5}; {5; }, { ; ;5}A B x C x y= = = . Tìm các cặp số (x ; y) ñể A B C= = . 
Bài 6: Cho Tv = tập hợp tất cả các tam giác vuông 
 T = tập hợp tất cả các tam giác 
 Tc = tập hợp tất cả các tam giác cân 
 Tñ = tập hợp tất cả các tam giác ñều 
 Tvc= tập hợp tất cả các tam giác vuông cân 
Xác ñịnh tất cả các quan hệ bao hàm giữa các tập hợp trên 
Phần 2: Trắc nghiệm 
Câu 1: Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp: X = { }2| 2 5 3 0x x x∈ − + =ℝ 
 I. {0}X = II. {1}X = III. 3{ }
2
X = IV. 3{1; }
2
X = 
Câu 2: Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp: { }2| 1 0X x x x= ∈ + + =ℝ 
I. {0}X = II. 0X = III. X = ∅ IV. { }X = ∅ 
Câu 3: Trong các mệnh ñề sau, tìm mệnh ñề sai: 
I. A A∈ II. A∅ ⊂ III. A A⊂ IV. { }A A∈ 
Câu 4: Tập hợp X có bao nhiêu tập hợp con, biết tập hợp X có ba phần t ử: 
 I. 2 II. 4 III. 6 IV. 8 
Câu 5: Tập hợp {1,2,3,4,5,6}A = có bao nhiêu tập hợp con gồm 2 phần tử 
 I. 30 II. 15 III. 10 IV. 3 
Câu 6 ... 3) 1 14
S P SS P
S S P S S S
  ≥ = − − =  ⇔ 
 + + + + = + − + = −  
2 2
2 2 2
3 14; ( 3) 3 14; ( 3)
4( 8 10) 196 28 30 52 0
S P S S P S
S S S S S S
  ≤ ≤ = − ≤ ≤ = − ⇔ ⇔ 
 + + = − + + − =  
6
3
9
S
x y
P
 =⇔ ⇒ = =
 =
. Vậy nghiệm của hệ là: ( ; ) (3;3)x y = . 
Chú ý: Với bài toán trên ta có thể giải các cách khác như sau 
Cách 2: Từ phương trình thứ nhất 3 0 , 0x y xy x y⇒ + = + > ⇒ > ( do 0xy≥ ) 
Ta có: 3 3 6
2 2
x y x y
xy x y xy x y+ +≤ ⇒ + = + ≤ + ⇒ + ≤ . ðẳng thức xảy ra 
3x y⇔ = = . Mặt khác ta luôn có BðT 2 22( )a b a b+ ≤ + . 
Áp dụng BðT này với 1,a x= + 1b y= + ta có: 
1 1 2( 2) 4x y x y+ + + ≤ + + ≤ . ðẳng thức có khi x=y=3. 
Vậy hệ có nghiệm ( ; ) (3;3)x y = . 
4) Hệ 
2 2
2
( 2 )(2 ) 9 1 12 3
3 92 3( 2 ) (2 ) 6
x x x y x yx x
x yx yx x x y
  + + = = ⇒ =+ =  ⇔ ⇔ ⇔ 
  =− ⇒ =+ =+ + + =  
. 
Vậy nghiệm của hệ là: ( ; ) (1;1), ( 3;9)x y = − . 
Ví dụ 2: Tìm m ñể hệ: 2 2 2 1
x y m
x y m
+ =

+ = +
có nghiệm. 
Trang 49 
Giải: ðặt , S x y P xy= + = , ta có: 22 1 ( 2 1)2 2 1
2
S mS m
P m mS P m
 = =  ⇔ 
  = − −− = +  
Hệ có nghiệm 2 2 2 24 0 2( 2 1) 4 2 0S P m m m m m⇔ − ≥ ⇔ − − − =− + + ≥ 
2 2 2 2m⇔ − ≤ ≤ + . 
Ví dụ 3: Cho 1x y+ = . Tìm GTNN của 3 3A x y= + 
Giải : Xét hệ phương trình: 3 3 2
11 1
1( 3 )
3
S
x y S
APx y A S S P A
 = + = =    ⇔ ⇔   −
   =+ = − =    
x, y tồn tại ⇔ hệ có nghiệm 2 1 14 0 1 4 0
3 4
AS P A−⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ . 
Vậy GTNN của 1
4
A= . 
Bài tập: 
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau 
3 3
2
1) 
26
x y
x y
+ =

+ =
2 2
2
2) 
4
x xy y
x xy y
+ + =

+ + =
30
3) 
35
x y y x
x x y y
 + =

+ =
13
64) 
5
x y
y x
x y

+ =

 + =
2 2
2 2
1 1 5
5) 
1 1 9
x y
x y
x y
x y

+ + + =


 + + + =

4 4x 346) 
2
y
x y
 + =

+ =
Bài 2: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm 
2 21) 3 8
x y xy m
x y y x m
+ + =

+ = −
1
2)
1 3
x y
x x y y m
 + =

+ = −
2
1 1
3)
4 6
x y m
x y m m
 + + − =

+ = − +
2 2 2
2 1
4) 
2 3
x y m
x y m m
+ = −

+ = + −
 và xác ñịnh Min của xy . 
Bài 3: Cho x,y thỏa mãn 3 2 3 1 .x y x y− + = + − Tìm gtln và gtnn của x y+ . 
Trang 50 
3. Hệ ñối xứng loại II 
 a. ðịnh nghĩa: Là hệ có dạng 
( ; )
( ; )
f x y a
f y x a
=

=
 (II) 
 b. Cách giải: Trừ hai pt của hệ cho nhau ta ñược : 
( ; ) ( ; ) 0f x y f y x− = ( ) ( ; ) 0 ( ; ) 0
x y
x y g x y
g x y
=
⇔ − = ⇔ 
=
. 
c. Chú ý: Nếu hệ (II) có nghiệm 0 0( ; )x y thì 0 0( ; )y x cũng là nghiệm của hệ nên hệ (II) 
có nghiệm duy nhất thì ñiều kiện cần là 0 0x y= . 
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau 
2
2
3 2
1) 
3 2
x x y
y y x
 = +

= +
2
2
3 2
2) 3 2
x y
x
y x
y

= +

 = +

9 7 4
3) 
9 7 4
x y
y x
 + + − =

+ + − =
Giải: 
1) Trừ vế với vế của hai phương trình trên ta ñược: 
2 2 ( )( 1) 0
1
x y
x y x y x y x y
x y
=
− = − ⇔ − + − = ⇔ 
= −
. 
* Với 2 3 0, 3x y x x x x= ⇒ = ⇔ = = 
* Với 2 2
1 2
1 3 2(1 ) 2 0
2 1
y x
x y y y y y y
y x
= − ⇒ =
= − ⇒ = + − ⇔ − − = ⇔ 
= ⇒ = −
Vậy nghiệm của hệ: ( ; ) (0;0), (3;3), ( 1;2), (2; 1)x y = − − . 
2) ðK: , 0x y ≠ 
Hệ 
3 2
2 3 2 2
3 2
2 3
2( ) ( ) 0 ( )(2 3 2 ) 0
2 3
x x y
x y xy x y x y x xy y
y y x
 + =
⇔ ⇒ − + − = ⇔ − + + =
+ =
x y⇔ = (Do 2 2 2 23 72 3 2 2( ) 0
4 8
x xy y x y y+ + = + + > ) Thay vào hệ ta ñược: 
33 3 1x x y= ⇔ = = . Vậy hệ có nghiệm: 1x y= = . 
3)ðK: , 7x y ≥ 
Trừ hai phương trình của hệ ta ñược: 9 7 9 7x y y x+ + − = + + − 
( 9)( 7) ( 9)( 7)x y y x x y⇔ + − = + − ⇔ = . Thay vào hệ ta ñược 
9 7 4 9 4
9 7 4 7
9 7 4 7 0
x x x
x x x
x x x
 + + − = + = 
+ + − = ⇔ ⇔ ⇔ = 
+ − − = − =  
Trang 51 
Vậy hệ có nghiệm: 7x y= = . 
Ví dụ 2: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm: 
2 1
2 1
x y m
y x m
 + − =

+ − =
 . 
Giải: ðK: , 1x y ≥ . ðặt 1, 1 , 0a x b y a b= − = − ⇒ ≥ , ta có: 
2
2
2 2
2 2
a b m
b a m
 + = −

+ = −
Trừ hai vế : 2( )( ) 0 ( )(2 2 1) 0 1 2
2
a b
a b a b b a a b a b b
a
=

− + + − = ⇔ − + − = ⇔
− =

* 
22 2a b a a m pt= ⇒ + = − ⇒ có nghiệm 0 2 0 2a m m≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ . 
* 
2
101 2 2
2
4 2 2 5
bb
a
b b m
 ≤ ≤
− 
= ⇒ ⇒

− = −
Phương trình có nghiệm 
1 192 5 0
4 8 2
m m
5
⇔ − ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ . 
Vậy hệ ñã cho có nghiệm 2m⇔ ≥ . 
Ví dụ 3: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm duy nhất 
2
2
1) x y y m
y x x m
 = − +

= − +
2 3 2
2 3 2
3 2
2) 
3 2
x y y my
y x x mx
= − +

= − +
Giải: 
1) ðiều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm 0 0( ; )x y thì 0 0( ; )y x cũng là nghiệm của hệ nên 
ñể hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết 0 0x y= . Thay vào hệ ta ñược: 
2
0 02 0 (*)x x m− + = 
(*) có nghiệm duy nhất ' 1 0 1m m⇔ ∆ = − = ⇔ = 
ðiều kiện ñủ: Với 1m = hệ trở thành: 
2
2 2
2
1
2 2 2 0
1
x y y
x y x y
y x x
 = − +
⇒ + − − + =
= − +
2 2( 1) ( 1) 0 1x y x y⇔ − + − = ⇔ = = . 
Vậy 1m = là giá trị cần tìm. 
2) ðiều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm 0 0( ; )x y thì 0 0( ; )y x cũng là nghiệm của hệ nên 
ñể hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết 0 0x y= . 
Thay vào hệ ta ñược: 03 20 0 0 2
0 0
0
5 0 (1)
5 0 (*)
x
x x mx
x x m
=
− + = ⇔ 
− + =
(1) có nghiệm duy nhất thì (*) phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 0x = 
Trang 52 
25 4 0
25
.25 4 0
4
5 0
m
mm
∆ = − <
⇔ ⇔ >∆ = − = =
ðiều kiện ñủ: Với 25
4
m > ta có: 
2 2 2
2 2 2
3 ( 2 ) [( 1) 1]
, 0
3 ( 2 ) [( 1) 1]
x y y y m y y m
x y
y x x x m x x m
 = − + = − + −
⇒ ≥
= − + = − + −
Cộng hai phương trình của hệ với nhau ta ñược: 
2 2 2 25 25 5 25( 5 ) ( 5 ) 0 [( ) ] [( ) ] 0
2 4 2 4
x x x m y y y m x x m y y m− + + − + = ⇔ − + − + − + − = 
0x y⇔ = = . 
Vậy 25
4
m > là những giá trị cần tìm. 
Bài tập 
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau 
3
3
2
1) 
2
x x y
y y x
 = +

= +
2 2
2 2
2 2
2) 
2 2
x y x y
y x y x
− = +

− = +
3
3
1 2
3) 
1 2
x y
y x
+ =

+ =
2
2
12
4) 
12
x y
y
y x
x

= +


= +

2 2
5) 
2 2
x y
y x
 + − =

+ − =
4 2 2
6) 
4 2 2
x y
y x
 + − =

+ − =
Bài 2: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm 
3
1) 
3
x y m
y x m
 + − =

+ − =
1 2
2) ( 0)
1 2
x y m
m
y x m
 + + − = ≥
+ + − =
Bài 3:Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm duy nhất 
2 3 2
2 3 2
4
1) 
4
y x x mx
x y y my
 = − +

= − +
2
2
2
2
2
2) 
2
m
x y
y
my x
x

= +


= +

2
2
( 1)
3) 
( 1)
x y m
y x m
 + = +

+ = +
4. Hệ ñẳng cấp 
a.ðịnh nghĩa: 
*Biểu thức f(x;y) gọi là ñẳng cấp bậc k nếu ( ; ) ( ; )kf mx my m f x y= 
*Hệ: 
( ; )
( ; )
f x y a
g x y b
=

=
 trong ñó f(x;y) và g(x;y) ñẳng cấp gọi là hệ ñẳng cấp 
b. Cách giải: 
 *Xét x=0 thay vào hệ kiểm tra 
 * với 0≠x ñặt y tx= thay vào hệ ta có: 
( ; ) (1; )
( ; ) (1; )
k
k
f x tx a x f t a
g x tx b x g t b
= = 
⇔ 
= =
(1; ) (1; ) ,af t g t t x y
b
⇒ = ⇒ ⇒ . 
Ví dụ 1: Giải các hệ pt sau 
2 2
2 2
2 4
1) 
2 4
x xy y
x xy y
 + + =

− + + =
2
3 3
( ) 2
2) 
19
x y y
x y

− =

− =
2 2
2
4 1
3) 
3 4
x xy y
y xy

− + =

− =
Giải: 
1)Ta thấy 0x = không phải là nghiệm của hệ 0x⇒ ≠ . ðặt y tx= thay vào hệ ta ñược: 
2 2
2 2
(1 2 ) 4 1 1 2
2 1( 1 2 ) 4
x t t t
t
tx t t
 + + = +
⇒ = ⇔ =
−
− + + =
* 2 2t y x= ⇔ = thay vào hệ: 2 29 4
3
x x= ⇔ = ± 
Vậy nghiệm của hệ là: 2 4( ; ) ( ; )
3 3
x y = ± ± . 
2) Vì 0x = không là nghiệm của hệ nên ta ñặt y tx= . Khi ñó hệ trở thành 
3 2 3 2
2
23 3
(1 ) 2 1 19 1 19 2 121 17 2 0 ,
2 (1 ) 2 3 7(1 )(1 ) 19
x t t t t t
t t t t
t tt tx t

− =
− + +
⇒ = ⇔ = ⇔ − + = ⇔ = =
−
−
− =
* 
2 2
3 3
t y x= ⇔ = thay vào hệ : 319 19 3 2
27
x x y= ⇔ = ⇒ = 
* 
1 1
7 7
t y x= ⇔ = thay vào hệ : 3 3 3
342 7 119
343 18 18
x x y= ⇔ = ⇒ =
Vậy nghiệm của hệ là: 3 3
1 7( ; ) (3;2), ( ; )
18 18
x y = . 
3) Vì 0x = không là nghiệm của hệ nên ta ñặt y tx= . Khi ñó hệ trở thành 
Trang 53
* 4 4t y x= ⇔ = thay vào hệ : 24 4 1 4x x y= ⇔ = ± ⇒ = ± 
* 
1 3
3
t x y= ⇔ = thay vào hệ : 28 4y− = vô nghiệm 
Vậy nghiệm của hệ là: ( ; ) ( 1; 4)x y = ± ± . 
Bài tập: Giải các hệ pt sau 
2 2
2 2
3 5 4 38
1) 
5 9 3 15
x xy y
x xy y
 + − =

− − =
2 2
2 2
3 1
2) 
3 13
x xy y
x xy y

− + = −

− + =
2 2
2 2
( )( ) 3
3) 
( )( ) 15
x y x y
x y x y

− − =

+ + =
5. Một số hệ khác 
ðể giải những hệ này chúng ta sử dụng các phép biến ñổi ñại số ñưa về các hệ quen 
thuộc 
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau 
3
3
1) 
12
x y x y
x y x y
 + = +

− = − −
( )2 2
2 2
(1 ) 1
2) 
3 1
y x x y
x y
 + = +

 + =
3 3 3
2 2
1 19
3) 
6
x y x
y xy x
 + =

+ = −
Giải: 
1) ðK: 0
0
x y
x y
+ ≥

− ≥
. ðặt , , 0a x y b x y a b= + = − ⇒ ≥ ta có 
3 23
3 23
0 V 1
412 ( 12)
a a a a a a
bb b b b
 = = = = 
⇔ ⇔  
== − = −   
*Với 
0 0 2
4 4 2
a x y x
b x y y
= + = =  
⇔ ⇔  
= − = = −  
* Với 
5
1 1 2
4 4 3
2
x
a x y
b x y y

== + =  
⇔ ⇔  
= − =  
= −

Vậy nghiệm của hệ là: 5 3( ; ) (2; 2), ( ; )
2 2
x y = − − . 
2) Ta có: 2 2(1 ) (1 ) ( ) 0 ( )(1 ) 0x y y x x y xy y x x y xy+ = + ⇔ − + − = ⇔ − − = 
2 2 2
2
22 2
(1 4 ) 1 3 14 3 13 4 0 4,
34 1( 3 ) 4
x t t t t
t t t t
t tx t t

− + =
−
⇒ = ⇔ − + = ⇔ = =
− +
− =
Trang 54
* 
2 14 1
2
x y x x= ⇒ = ⇔ = ± . 
* 
4 21 3 1 0x y y
y
= ⇒ − + =
 phương trình vô nghiệm. 
Vậy nghiệm của hệ là: 1
2
x y= = ± . 
Chú ý: Nếu trong hệ xuất hiện phương trình dạng ( ; ) ( ; )f x y f y x= thì ta biến ñổi 
phương trình này về dạng ( ) ( ; ) 0x y g x y− = . 
4)Vì 0x = không là nghiệm của hệ nên ta có 
Hệ 
3
3 33
2 22
2
1 19 19
1 1 66
y
a yx
a y y ay y
xx

+ =  + = 
⇔ ⇔ 
+ = − + = −

 Với 1a
x
= . ðặt ,S a y P ay= + = 
2 1 3 2( 3 ) 19
 V 
6 2 36
S a aS S P
P y ySP
 = = = −  − =
⇒ ⇔ ⇒   
= − = − == −   
. 
Vậy nghiệm của hệ là: 1 1( ; ) ( ; 2), ( ;3)
3 2
x y = − − . 
Bài tập: Giải các hệ pt sau 
3
1) 
2
x y x y
x y x y

− = −

+ = + +
3
2)
4 1 1 2
x y x y
x y x

− = −

+ − − = −
2 1 13) 
3 2 4
x y x y
x y
 + + − + =

+ =
3 3
2 2
3 3
4) 
1
x y y x
x y
 + = +

+ =
3 165) 
3 8
x y
x y
 =

+ =
3
1 1
6) 
2 1
x y
x y
y x

− = −


= +
2 2 2 2
2
7)
4
x y x y
x y x y
 + − − =

+ + − =
2 2
2 2 2
6
8)
1 5
y xy x
x y x
 + =

+ =
2 3
2
( ) ( ) 12
9)
( ) 6
x x
y y
xy xy

+ =

 + =
2 2 3
10)
3
x y
y x
x y xy

+ =


− + =
2
2
1 3
11)
1 3
x
x
yy
x
x
y y

+ + =


 + + =

2
12)
1
x y x y
y x y x
 + + − =

 + − − =
 Trang 55