Bài tập Giới hạn - Đại số 11

Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com 
www.mathvn.com Trang 1 
www.MATHVN.com 
I. Giới hạn của dãy số 
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực 
1. Giới hạn đặc biệt: 
1lim 0
n n®+¥
= ; 
1lim 0 ( )
kn
k
n
+
®+¥
= ΢ 
 lim 0 ( 1)n
n
q q
®+¥
= < ; lim
n
C C
®+¥
= 
2. Định lí : 
 a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì 
 · lim (un + vn) = a + b 
 · lim (un – vn) = a – b 
 · lim (un.vn) = a.b 
 · lim n
n
u a
v b
= (nếu b ¹ 0) 
 b) Nếu un ³ 0, "n và lim un= a 
 thì a ³ 0 và lim nu a= 
 c) Nếu n nu v£ ,"n và lim vn = 0 
 thì lim un = 0 
 d) Nếu lim un = a thì lim nu a= 
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 
 S = u1 + u1q + u1q
2 +  = 1
1
u
q-
 ( )1q < 
1. Giới hạn đặc biệt: 
 lim n = +¥ lim ( )kn k += +¥ ΢
 lim ( 1)nq q= +¥ > 
2. Định lí: 
 a) Nếu lim nu = +¥ thì 
1lim 0
nu
= 
 b) Nếu lim un = a, lim vn = ±¥ thì lim n
n
u
v
= 0 
 c) Nếu lim un = a ¹ 0, lim vn = 0 
 thì lim n
n
u
v
 = 
. 0
. 0
n
n
neáu a v
neáu a v
ì+¥ >
í-¥ <î
 d) Nếu lim un = +¥, lim vn = a 
 thì lim(un.vn) = 
0
0
neáu a
neáu a
ì+¥ >
í-¥ <î
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô 
định: 0
0
, 
¥
¥
, ¥ – ¥, 0.¥ thì phải tìm cách khử 
dạng vô định. 
Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số: 
 · Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n. 
 VD: a) 
111 1lim lim
32 3 22
n n
n
n
++
= =
+ +
 b) 
2
11 33lim lim 1
11 2 2
n n n n
n
n
+ -+ -
= =
- -
 c) 2 2
2
4 1lim( 4 1) lim 1n n n
n n
æ ö
- + = - + = +¥ç ÷
è ø
 · Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức 
 ( ) ( ) ( ) ( )3 32 23 3 3;a b a b a b a b a ab b a b- + = - - + + = - 
 VD: ( )2lim 3n n n- - = ( )( )
( )
2 2
2
3 3lim
3
n n n n n n
n n n
- - - +
- +
=
2
3lim
3
n
n n n
-
- +
=
3
2
- 
 · Dùng định lí kẹp: Nếu n nu v£ ,"n và lim vn = 0 thì lim un = 0 
CHƯƠNG IV 
GIỚI HẠN 
www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng 
Trang 2 www.mathvn.com 
 VD: a) Tính 
sinlim n
n
. Vì 0 £ sin 1n
n n
£ và 
1lim 0
n
= nên 
sinlim 0n
n
= 
 b) Tính 
2
3sin 4 coslim
2 1
n n
n
-
+
. Vì 2 2 2 23sin 4 cos (3 4 )(sin cos ) 5n n n n- £ + + = 
 nên 0 £ 
2 2
3sin 4 cos 5
2 1 2 1
n n
n n
-
£
+ +
. 
 Mà 
2
5lim 0
2 1n
=
+
 nên 
2
3sin 4 coslim 0
2 1
n n
n
-
=
+
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây: 
 · Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0. 
 · Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ 
thừa cao nhất của tử và của mẫu. 
 · Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +¥ nếu hệ số cao nhất 
của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –¥ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu. 
Baøi 1: Tính các giới hạn sau: 
a) 
2
2
2 3lim
3 2 1
n n
n n
- +
+ +
 b) 
3 2
2 1lim
4 3
n
n n
+
+ +
 c) 
3 2
3
3 2lim
4
n n n
n
+ +
+
d) 
4
2
lim
( 1)(2 )( 1)
n
n n n+ + +
 e) 
2
4
1lim
2 1
n
n n
+
+ +
 f) 
4 2
3 2
2 3lim
3 2 1
n n
n n
+ -
- +
Baøi 2: Tính các giới hạn sau: 
a) 
1 3lim
4 3
n
n
+
+
 b) 
14.3 7lim
2.5 7
n n
n n
++
+
 c) 
1 24 6lim
5 8
n n
n n
+ ++
+
d) 
12 5lim
1 5
n n
n
++
+
 e) 
1 2.3 7lim
5 2.7
n n
n n
+ -
+
 f) 
1
1 2.3 6lim
2 (3 5)
n n
n n+
- +
-
Baøi 3: Tính các giới hạn sau: 
a) 
2
2
4 1 2 1lim
4 1
n n
n n n
+ + -
+ + +
 b) 
2
2
3 4lim
2
n n
n n
+ - -
+ +
 c) 
32 6
4 2
1lim
1
n n
n n
+ -
+ +
d) 
2
2
4 1 2lim
4 1
n n
n n n
+ +
+ + +
 e) 
(2 1)( 3)lim
( 1)( 2)
n n n
n n
+ +
+ +
 f) 
2 2
2
4 4 1lim
3 1
n n n
n n
- - +
+ +
Baøi 4: Tính các giới hạn sau: 
a) 
1 1 1lim ...
1.3 3.5 (2 1)(2 1)n n
æ ö
+ + +ç ÷- +è ø
 b) 
1 1 1lim ...
1.3 2.4 ( 2)n n
æ ö
+ + +ç ÷+è ø
c) 
2 2 2
1 1 1lim 1 1 ... 1
2 3 n
æ öæ ö æ ö
- - -ç ÷ç ÷ ç ÷
è øè ø è ø
 d) 
1 1 1lim ...
1.2 2.3 ( 1)n n
æ ö
+ + +ç ÷+è ø
e) 
2
1 2 ...lim
3
n
n n
+ + +
+
 f) 
2
2
1 2 2 ... 2lim
1 3 3 ... 3
n
n
+ + + +
+ + + +
Baøi 5: Tính các giới hạn sau: 
Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com 
www.mathvn.com Trang 3 
a) ( )n n n2lim 2 1+ - - b) ( )n n n2 2lim 2+ - + c) ( )n n n3 3lim 2 1- + - 
d) ( )n n n2 4lim 1 3 1+ - + + e) ( )2lim n n n- - f) 
2 2
1lim
2 4n n+ - +
g) 
2
2
4 1 2 1lim
4 1
n n
n n n
+ - -
+ + -
 h) 
32 6
4 2
1lim
1
n n
n n
+ -
+ -
 i) 
2 2
2
4 4 1lim
3 1
n n n
n n
- - +
+ -
Baøi 6: Tính các giới hạn sau: 
a) 
2
2
2 coslim
1
n
n +
 b) 
2( 1) sin(3 )lim
3 1
n n n
n
- +
-
 c) 
2 2 coslim
3 1
n n
n
-
+
d) 
6 2
2
3sin 5cos ( 1)lim
1
n n
n
+ +
+
 e) 
2 3 2
2
3sin ( 2)lim
2 3
n n
n
+ +
-
 f) 
23 2 2lim
(3cos 2)
n n
n n
- +
+
Baøi 7: Cho dãy số (un) với un = 2 2 2
1 1 11 1 ... 1
2 3 n
æ öæ ö æ ö
- - -ç ÷ç ÷ ç ÷
è øè ø è ø
, với " n ³ 2. 
a) Rút gọn un. b) Tìm lim un. 
Baøi 8: a) Chứng minh: 1 1 1
1 ( 1) 1n n n n n n
= -
+ + + +
 ("n Î N*). 
b) Rút gọn: un = 1 1 1...
1 2 2 1 2 3 3 2 1 ( 1)n n n n
+ + +
+ + + + +
. 
c) Tìm lim un. 
Baøi 9: Cho dãy số (un) được xác định bởi: 
1
1
1
1 ( 1)
2n n n
u
u u n+
ì =
ï
í = + ³ïî
. 
a) Đặt vn = un+1 – un. Tính v1 + v2 +  + vn theo n. 
b) Tính un theo n. 
c) Tìm lim un. 
Baøi 10: Cho dãy số (un) được xác định bởi: 1 2
2 1
0; 1
2 , ( 1)n n n
u u
u u u n+ +
ì = =
í = + ³î
a) Chứng minh rằng: un+1 = 1 12 nu- + , "n ³ 1. 
b) Đặt vn = un – 23 . Tính vn theo n. Từ đó tìm lim un. 
II. Giới hạn của hàm số 
www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng 
Trang 4 www.mathvn.com 
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực 
1. Giới hạn đặc biệt: 
0
0limx x
x x
®
= ; 
0
lim
x x
c c
®
= (c: hằng số) 
2. Định lí: 
a) Nếu
0
lim ( )
x x
f x L
®
= và 
0
lim ( )
x x
g x M
®
= 
 thì: [ ]
0
lim ( ) ( )
x x
f x g x L M
®
+ = + 
 [ ]
0
lim ( ) ( )
x x
f x g x L M
®
- = - 
 [ ]
0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x L M
®
= 
0
( )lim
( )x x
f x L
g x M®
= (nếu M ¹ 0) 
b) Nếu f(x) ³ 0 và 
0
lim ( )
x x
f x L
®
= 
 thì L ³ 0 và 
0
lim ( )
x x
f x L
®
= 
c) Nếu 
0
lim ( )
x x
f x L
®
= thì 
0
lim ( )
x x
f x L
®
= 
3. Giới hạn một bên: 
0
lim ( )
x x
f x L
®
= Û 
 Û 
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L
- +® ®
= = 
1. Giới hạn đặc biệt: 
 lim k
x
x
®+¥
= +¥ ; lim k
x
neáu k chaünx
neáu k leû®-¥
ì+¥= í-¥î
 lim
x
c c
®±¥
= ; lim 0
kx
c
x®±¥
= 
0
1lim
x x-®
= -¥ ; 
0
1lim
x x+®
= +¥ 
0 0
1 1lim lim
x xx x- +® ®
= = +¥ 
2. Định lí: 
Nếu 
0
lim ( )
x x
f x L
®
= ¹ 0 và 
0
lim ( )
x x
g x
®
= ±¥ thì: 
0
0
0
lim ( )
lim ( ) ( )
lim ( )
x x
x x
x x
neáu L vaø g x cuøng daáu
f x g x
neáu L vaø g x traùi daáu
®
®
®
ì+¥
ï= í-¥ïî
0
0 0
0
0 lim ( )
( )lim lim ( ) 0 . ( ) 0
( )
lim ( ) 0 . ( ) 0
x x
x x x x
x x
neáu g x
f x neáu g x vaø L g x
g x
neáu g x vaø L g x
®
® ®
®
ì = ±¥
ï
ï= +¥ = >í
ï-¥ = <ïî
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 
0
0
, 
¥
¥
, ¥ – ¥, 0.¥ thì phải tìm cách khử dạng vô 
định. 
Một số phương pháp khử dạng vô định: 
1. Dạng 0
0
 a) L = 
0
( )lim
( )x x
P x
Q x®
 với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0 
 Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. 
 VD: 
3 2 2
22 2 2
8 ( 2)( 2 4) 2 4 12lim lim lim 3
( 2)( 2) 2 44x x x
x x x x x x
x x xx® ® ®
- - + + + +
= = = =
- + +-
 b) L = 
0
( )lim
( )x x
P x
Q x®
 với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc 
 Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu. 
 VD: 
( )( )
( )0 0 0
2 4 2 4 2 4 1 1lim lim lim
42 42 4x x x
x x x
x xx x® ® ®
- - - - + -
= = =
+ -+ -
 c) L = 
0
( )lim
( )x x
P x
Q x®
 với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêåu thức chứa căn không đồng bậc 
 Giả sử: P(x) = 0 0( ) ( ) ( ) ( )m n m nu x v x vôùi u x v x a- = = . 
 Ta phân tích P(x) = ( ) ( )( ) ( )m nu x a a v x- + - . 
Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com 
www.mathvn.com Trang 5 
 VD: 
3 3
0 0
1 1 1 1 1 1lim lim
x x
x x x x
x x x® ®
æ ö+ - - + - - -
= +ç ÷
è ø
 = 
0 2 33
1 1 1 1 5lim
3 2 61 1( 1) 1 1x xx x®
æ ö
+ = + =ç ÷ç ÷+ -+ + + +è ø
2. Dạng ¥
¥
: L = 
( )lim
( )x
P x
Q x®±¥
 với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn. 
 – Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x. 
 – Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc 
nhân lượng liên hợp. 
 VD: a) 
2 2
2
2
5 32
2 5 3lim lim 2
6 36 3 1x x
x x x x
x x
x x
®+¥ ®+¥
+ -
+ -
= =
+ + + +
 b) 
2
2
322 3lim lim 1
11 1 1
x x
x x
x x
x
®-¥ ®-¥
--
= = -
+ - - + -
3. Dạng ¥ – ¥: Giới hạn này thường có chứa căn 
 Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu. 
 VD: ( ) ( )( )1 1 1lim 1 lim lim 0
1 1x x x
x x x xx x
x x x x®+¥ ®+¥ ®+¥
+ - + +
+ - = = =
+ + + +
4. Dạng 0.¥: 
 Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên. 
 VD: 
22 2
2. 0. 2lim ( 2) lim 0
224x x
x x xx
xx+ +® ®
-
- = = =
+-
Baøi 1: Tìm các giới hạn sau: 
a) 
2 3
0
1lim
1x
x x x
x®
+ + +
+
 b) 
2
1
3 1lim
1x
x x
x®-
+ -
-
 c) 
2
sin
4lim
x
x
x®
æ ö
-ç ÷
è ø
p
p
d) 
41
1lim
3x
x
x x®-
-
+ -
 e) 
2
2
1lim
1x
x x
x®
- +
-
 f) 
2
1
2 3lim
1x
x x
x®
- +
+
g) 
1
8 3lim
2x
x
x®
+ -
-
 h) 
3 2
2
3 4 3 2lim
1x
x x
x®
- - -
+
 i) 2
0
1lim sin
2x
x
®
Baøi 2: Tìm các giới hạn sau: 
a) 
3 2
21
1lim
3 2x
x x x
x x®
- - +
- +
 b) 
x
x
x x
4
3 21
1lim
2 1®
-
- +
 c) 
5
31
1lim
1x
x
x®-
+
+
d) 
3 2
4 23
5 3 9lim
8 9x
x x x
x x®
- + +
- -
 e) 
5 6
21
5 4lim
(1 )x
x x x
x®
- +
-
 f) 
1
1lim
1
m
nx
x
x®
-
-
g) 
0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1lim
x
x x x
x®
+ + + -
 h) 
2
1
...lim
1
n
x
x x x n
x®
+ + + -
-
 i) 
4
3 22
16lim
2x
x
x x®-
-
+
www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng 
Trang 6 www.mathvn.com 
Baøi 3: Tìm các giới hạn sau: 
a) 
22
4 1 3lim
4x
x
x®
+ -
-
 b) 
3
31
1lim .
4 4 2x
x
x®
-
+ -
 c) 
2
0
1 1lim
x
x
x®
+ -
d) 
2
2 2lim
7 3x
x
x®
+ -
+ -
 e) 
1
2 2 3 1lim
1x
x x
x®
+ - +
-
 f) 
2
0 2
1 1lim
16 4x
x
x®
+ -
+ -
g) 
30
1 1lim
1 1x
x
x®
+ -
+ -
 h) 
23
3 2lim
3x
x x
x x®-
+ -
+
 i) 
0
9 16 7lim
x
x x
x®
+ + + -
Baøi 4: Tìm các giới hạn sau: 
a) 
3
0
1 1lim
x
x x
x®
+ - +
 b) 
3
22
8 11 7lim
3 2x
x x
x x®
+ - +
- +
 c) 
3
0
2 1 8lim
x
x x
x®
+ - -
d) 
3
20
1 4 1 6lim
x
x x
x®
+ - +
 e) 
3
22
8 11 7lim
2 5 2x
x x
x x®
+ - +
- +
 f) 
33 2
21
5 7lim
1x
x x
x®
- - +
-
g) 
0
1 4 . 1 6 1lim
x
x x
x®
+ + -
 h) 
3
0
1 2 . 1 4 1lim
x
x x
x®
+ + -
 i) 
3
0
1 1lim
x
x x
x®
+ - -
Baøi 5: Tìm các giới hạn sau: 
a) 
2
2
1lim
2 1x
x
x x®+¥
+
- +
 b) 
22 1lim
2x
x x
x®±¥
- +
-
 c) 
2
3 2
2 1lim
3 2x
x
x x®+¥
+
- +
d) 
2
2
2 3 4 1lim
4 1 2x
x x x
x x®±¥
+ + + +
+ + -
 e)
2
2
4 2 1 2lim
9 3 2x
x x x
x x x®±¥
- + + -
- +
 f) 
2
1lim
1x
x x
x x®+¥
+
+ +
g) 
2
2
(2 1) 3lim
5x
x x
x x®-¥
- -
-
 h) 
2
2
2 3lim
4 1 2x
x x x
x x®+¥
+ +
+ - +
 i) 
2 5 2lim
2 1x
x x
x®-¥
- +
+
Baøi 6: Tìm các giới hạn sau: 
a) 2lim
x
x x x
®+¥
æ ö+ -ç ÷
è ø
 b) 2lim 2 1 4 4 3
x
x x x
®+¥
æ ö- - - -ç ÷
è ø
c) 32 3lim 1 1
x
x x
®+¥
æ ö+ - -ç ÷
è ø
 d) lim
x
x x x x
®+¥
æ ö
+ + -ç ÷
è ø
e) ( )3 3lim 2 1 2 1
x
x x
®+¥
- - + f) ( )3 3 2lim 3 1 2
x
x x
®-¥
- + + 
g) 
31
1 3lim
1 1x x x®
æ ö
-ç ÷- -è ø
 h) 
2 22
1 1lim
3 2 5 6x x x x x®
æ ö
+ç ÷
- + - +è ø
Baøi 7: Tìm các giới hạn sau: 
a) 
2
15lim
2x
x
x+®
-
-
 b) 
2
15lim
2x
x
x-®
-
-
 c) 
2
3
1 3 2lim
3x
x x
x+®
+ -
-
d) 
2
2
4lim
2x
x
x+®
-
-
 e) 
22
2lim
2 5 2x
x
x x+®
-
- +
 f) 
22
2lim
2 5 2x
x
x x-®
-
- +
Baøi 8: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra: 
a) 
3
1 1 0
1 1( ) 0
3 0
2
x khi x
xf x taïi x
khi x
ì + -
>ïï + -= =í
ï £ïî
 b) 
29 3( ) 33
1 3
x khi xf x taïi xx
x khi x
ì -ï <= =í -
ï - ³î
Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com 
www.mathvn.com Trang 7 
c) 
2
3
4
2 2
8( ) 2
16 2
2
x x khi x
xf x taïi x
x khi x
x
ì -
>ïï -= =í
-ï <ï -î
 d) 
2
2
3 2 1
1( ) 1
1
2
x x khi x
xf x taïi x
x khi x
ì - +
>ïï -= =í
ï- £ïî
Baøi 9: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:: 
a) 
3 1 1( ) 11
2 1
x khi xf x taïi xx
mx khi x
ì -ï <= =í -
ï + ³î
 b) 3
2 2
1 3 1
( ) 11 1
3 3 1
khi x
f x taïi xx x
m x mx khi x
ì
- >ï= =-í -
ï - + £î 
c) 2
0
( ) 0100 3 0
3
x m khi x
f x taïi xx x khi x
x
ì + <
ï= =í + +
³ï +î
 d) 2
3 1( ) 1
3 1
x m khi xf x taïi x
x x m khi x
ì + <-
= = -í
+ + + ³-î 
www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng 
Trang 8 www.mathvn.com 
III. Hàm số liên tục 
1. Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x0 Û 
0
0lim ( ) ( )x x
f x f x
®
= 
 · Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước: 
 B1: Tính f(x0). 
 B2: Tính 
0
lim ( )
x x
f x
®
 (trong nhiều trường hợp ta cần tính 
0
lim ( )
x x
f x
+®
, 
0
lim ( )
x x
f x
-®
) 
 B3: So sánh 
0
lim ( )
x x
f x
®
 với f(x0) và rút ra kết luận. 
2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. 
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và 
 lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a x b
f x f a f x f b
+ -® ®
= = 
4. · Hàm số đa thức liên tục trên R. 
 · Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. 
5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó: 
 · Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0. 
 · Hàm số y = ( )
( )
f x
g x
 liên tục tại x0 nếu g(x0) ¹ 0. 
6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c Î (a; b): f(c) = 0. 
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít 
nhất một nghiệm cÎ (a; b). 
Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = 
[ ];
min ( )
a b
f x , M = 
[ ];
max ( )
a b
f x . Khi đó với mọi T 
Î (m; M) luôn tồn tại ít nhất một số c Î (a; b): f(c) = T. 
Baøi 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: 
a) 
3 1( ) 11
1 1
x khi xf x taïi xx
khi x
ì +ï ¹= = -í -
ï- =î
 b) 
3 2 1
1( ) 1
1 1
4
x khi x
xf x taïi x
khi x
ì + -
¹ïï -= =í
ï =
ïî
c) 
2 3
2
2 7 5 2( ) 23 2
1 2
x x x khi xf x taïi xx x
khi x
ì - + -ï ¹= =í - +
ï =î
 d) 
2
5 5
( ) 52 1 3
( 5) 3 5
x khi x
f x taïi xx
x khi x
ì -
>ï= =í - -
ï - + £î
e) 
1 cos 0( ) 0
1 0
x khi xf x taïi x
x khi x
ì - £
= =í
+ >î
 f) 
1 1( ) 12 1
2 1
x khi xf x taïi xx
x khi x
ì -
<ï= =í - -
ï- ³î
Baøi 2: Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra: 
a) x khi xf x taïi x
mx khi x
2 1( ) 1
2 3 1
ì <= =í
- ³î
b) 
x x x khi xf x taïi xx
x m khi x
3 2 2 2 1( ) 11
3 1
ì - + -ï ¹= =í -
ï + =î
Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com 
www.mathvn.com Trang 9 
c) 
m khi x
x xf x khi x x taïi x vaø x
x x
n khi x
2
0
6( ) 0, 3 0 3
( 3)
3
ì =
ïï - -
= ¹ ¹ = =í
-ï
=ïî
d) 
x x khi xf x taïi xx
m khi x
2 2 2( ) 22
2
ì - -ï ¹= =í -
ï =î
Baøi 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: 
a) 
3
3
2 1
1( )
4 1
3
x x khi x
xf x
khi x
ì + +
¹ -ïï += í
ï = -ïî
 b) 
2 3 4 2
( ) 5 2
2 1 2
x x khi x
f x khi x
x khi x
ì - + <ï
í= =
ï + >î
c) 
2 4 2( ) 2
4 2
x khi xf x x
khi x
ì -ï ¹ -= í +
ï- = -î
 d) 
2 2 2( ) 2
2 2 2
x khi xf x x
khi x
ì -
¹ï= í -
ï =î
Baøi 4: Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng: 
a) 
2 2 2( ) 2
2
x x khi xf x x
m khi x
ì - -ï ¹= í -
ï =î
 b) 
2 1
( ) 2 1
1 1
x x khi x
f x khi x
mx khi x
ì + <ï
í= =
ï + >î
c) 
3 2 2 2 1( ) 1
3 1
x x x khi xf x x
x m khi x
ì - + -ï ¹= í -
ï + =î
 d) 
2 1( )
2 3 1
x khi xf x
mx khi x
ì <= í
- ³î
Baøi 5: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 
a) 3 3 1 0x x- + = b) 3 26 9 1 0x x x+ + + = c) 32 6 1 3x x+ - = 
Baøi 6: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: 
a) 5 3 3 0x x- + = b) 5 1 0x x+ - = c) 4 3 23 1 0x x x x+ - + + = 
Baøi 7: Chứng minh rằng phương trình: 5 35 4 1 0x x x- + - = có 5 nghiệm trên (–2; 2). 
Baøi 8: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số: 
a) 3( 1) ( 2) 2 3 0m x x x- - + - = b) 4 2 2 2 0x mx mx+ - - = 
c) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0a x b x c b x c x a c x a x b- - + - - + - - = d) 2 3 2(1 )( 1) 3 0m x x x- + + - - = 
e) cos cos2 0x m x+ = f) (2 cos 2) 2sin 5 1m x x- = + 
Baøi 9: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm: 
a) 2 0ax bx c+ + = với 2a + 3b + 6c = 0 b) 2 0ax bx c+ + = với a + 2b + 5c = 0 
c) 3 2 0x ax bx c+ + + = 
Baøi 10: Chứng minh rằng phương trình: 2 0ax bx c+ + = luôn có nghiệm x Î 10;
3
é ù
ê úë û
 với a ¹ 0 
và 2a + 6b + 19c = 0. 
www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng 
Trang 10 www.mathvn.com 
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV 
Bài 1. Tìm các giới hạn sau: 
a) 
n
n3
1 2 3 ...lim
3
+ + + +
 b) 
n
n n
n
2 sinlim
1 2
æ ö+
+ç ÷+è ø
 c) 
13
2
lim
2
2
++
+
nn
nn
d) 
n n
n n
2
2
2lim
2 3 1
+
+ -
 e) 
n
n
5 1
5 2
2 3lim
3 1
+
+
+
+
 f) 
n n
n n1
( 1) 4.3lim
( 1) 2.3+
- +
- -
g) ( )n n n2 2lim 3 1- - + g) ( )n n n3 3 2lim 3+ - h) ( )n n n2 4lim 1+ - + 
i) 
n
n
2
2
2 coslim
1+
 k) 
n
n n2 2
lim
3 1 1+ - -
 l) ( )n n n32 3lim 2 2- - + 
Bài 2. Tìm các giới hạn sau: 
a) 
x
x x
x x
2
23
5 6lim
8 15®
- +
- +
 b) 
x
x
x x
2
21
2
8 1lim
6 5 1®
-
- +
 c) 
x
x x x
x x
3 2
23
4 4 3lim
3®
- + -
-
d) 
x
x x x
x x x
4 3 2
4 3 21
2 5 3 1lim
3 8 6 1®
- + +
- + -
 e) 
x
x x
x x
3
41
3 2lim
4 3®
- +
- +
 f) 
x
x x x
x x
3 2
4 22
2 4 8lim
8 16®
- - +
- +
g) 
x
x x
x x
3
51
2 1lim
2 1®
- -
- -
 h) 
x
x
x x22
2lim
2 5 2®-
+
+ +
 i) 
x
x
x
2
21
( 2) 1lim
1®-
+ -
-
Bài 3. Tìm các giới hạn sau: 
a) 
x
x
x2
2lim
3 7®
-
- +
 b) 
x
x
x
2
0
1 1lim
®
+ -
 c) 
x
x
x x21
8 3lim
2 3®
+ -
+ -
d) 
x
x
x4
1 2 3lim
2®
+ -
-
 e) 
x
x
x1
2 7 3lim
3 2®
+ -
+ -
 f) 
x
x
x
2
0 2
1 1lim
4 16®
+ -
- +
g) 
23
1
7 5
lim
1x
x x
x®
+ - -
-
 h) 
x
x x
x
3 3
0
1 1lim
®
+ - -
 i) 
x
x
x
3
2
4 2lim
2®
-
-
k) 
x
x
x
3
0
1lim
1®
-
-
 l) 
x
x
x
3 2
20
1 1lim
®
+ -
 m) 
x
x x
x2
2 7 5lim
2®
+ + + -
-
Bài 4. Tìm các giới hạn sau: 
a) 
x
x x
x
2
2
2 3 2lim
2+®-
- +
+
 b) 
x
x
x x21
1lim
3 4-®
-
+ -
 c) 
x
x x
x
3
1
3 4 1lim
1+®-
- +
+
d) 
x
x x
x
2
22
2 5 2lim
( 2)-®
- +
-
 e) 
x
x
x3
3 4lim
3+®
+
-
 f) 
x
x x
x x0
lim
+®
+
-
g) 
x
x
x2
8 2 2lim
2+®-
+ -
+
 h) 
x
x x
x
2
23
2 5 3lim
( 3)-®-
+ -
-
 i) ( )
x
xx
x22
lim 2
4+®
-
-
Bài 5. Tìm các giới hạn sau: 
a) 
x
x x x
x x x x
3 2
4 3 2
2 3 4 1lim
5 2 3®-¥
- + -
- + - +
 b) 
x
x x
x x
2
2
1lim
2 1®+¥
+ -
+ +
 c) 
x
x x
x x
2 3
3 2
(2 3) (4 7)lim
(3 1)(10 9)®+¥
- +
+ +
d) 
x
x x x
x x
4 3
4 2
2lim
3 2 7®+¥
- +
+ -
 e) ( )
x
x x2lim 1
®-¥
+ + f) 
x
x x x2lim ( 1)
®-¥
+ - + 
Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com 
www.mathvn.com Trang 11 
g) 
x
x x
x
2 1lim
5 2® -¥
+ -
+
 h) ( )
x
x x x2lim 3
®-¥
- + + i) 
x
x x
x
5 3 1lim
1®-¥
+ -
-
k) 
x
x x x
x x
2
2
2 3lim
4 1 2®-¥
+ +
+ - +
 l) ( )
x
x x x2 2lim 2 1
®-¥
+ - - m) ( )
x
x x x2lim 2
®-¥
+ + 
Bài 6. Xét tính liên tục của hàm số: 
a) 
x khi x
f x x x khi x
x
2
1 3
( ) 2 3 3
2 6
ì - £
ï= í - -
>ï -î
 trên R b) 
x khi x
xf x
khi x
2
1 cos 0
sin( )
1 0
4
ì -
¹ïï= í
ï =ïî
 tại x = 0 
c) 
x khi xf x x x
khi x
2
12 6 2( ) 7 10
2 2
ì -
¹ï= í - +
ï =î
 trên R d) x khi xf x
x khi x
2 0( )
1 0
ìï <= í
- ³ïî
 tại x = 0 
Bài 7. Tìm a để hàm số liên tục trên R: 
a) 
2
3 2
2 1 1
( ) 2 2
1
1
a khi x
f x x x x
khi x
x
ìï + £ïïï= í - + -ï >ïï -ïî
 b) 
x khi xf x x
x a khi x
2 1 1( ) 1
1
ì -ï ¹= í -
ï + =î
c) 
x x khi xf x x
a khi x
2 2 2( ) 2
2
ì + -ï ¹ -= í +
ï = -î
 d) 
x x khi xf x x
ax khi x
2 4 3 1( ) 1
2 1
ì - +ï <= í -
ï + ³î
Bài 8. Chứng minh rằng phương trình: 
a) x x x3 26 9 1 0+ + + = có 3 nghiệm phân biệt. 
b) m x x x3 2 4( 1) ( 4) 3 0- - + - = luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi giá trị của m. 
c) m x x2 4 3( 1) – –1 0+ = luôn có ít nhất 2 nghiệm nằm trong khoảng ( )1; 2- với mọi m. 
d) x mx3 2 1 0+ - = luôn có 1 nghiệm dương. 
e) x x x4 23 5 –6 0- + = có nghiệm trong khoảng (1; 2). 
Bài 9. Cho m > 0 và a, b, c là 3 số thực thoả mãn: a b c
m m m
0
2 1
+ + =
+ +
. Chứng minh rằng 
phương trình: f x ax bx c2( ) 0= + + = có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1). 
HD: Xét 2 trường hợp c = 0; c ¹ 0. Với c ¹ 0 thì m cf f
m m m
21(0). 0
2 ( 2)
æ ö+
= - <ç ÷
+ +è ø
www.MATHVN.com