Bài tập Hình học 10 chương 2: Tích vô hướng và ứng dụng

Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa 
H ÌNH H ỌC 10 
Ch ư ơng 2. 
Tích Vô Hướng Và Ứng Dụng 
Save Your Time and Money 
Sharpen Your Self-Study Skill 
Suit Your Pace 
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 
www.saosangsong.com.vn/ 
2
2
§1.Tích vô hướng của hai vectơ 
A .Tóm tắt giáo khoa : 
1 . Góc giữa hai vectơ : 
 a) Góc hình học : Góc hình học là hình tạo bởi hai tia có chung gốc .Số đo a ( tính bằng độ ) 
của một góc hình học thỏa : 0 180o oa≤ ≤
• Nếu và a không phải là góc đặc biệt càc giá trị 
lượng giác của a được tính bằng máy tính bỏ túi 
0 9o a≤ ≤ 0o
o
(0 ;30 ;45 ;60 ;90 )o o o o o
• Nếu , ta dùng góc bù để tính giá 
trị lượng giác của a : 
90 180o a< ≤
sin sin(180 )
cos cos(180 )
tan tan(180 )
cot cot(180 )
o
o
o
o
a a
a a
a a
a a
= −
= − −
= − −
= − −
 b) Góc giữa hai vectơ : Cho 2 vectơ ; ( 0a b ≠ )G G G ; 
Vẽ các vectơ OA Góc AOB được gọi là góc giữa 2 vectơ ;a OB b= =JJJG G JJJG G ;a bG G
 Ký hiệu : ( , )a b
G JJG
2 . Tích vô hướng của hai vectơ : 
 a ) Định nghĩa : Tích vô hướng của hai vectơ ,a b
G G
.a b ký hiệu là 
G G
 là một số xác định bởi : 
. cos(a b a b a b=JGG G G G G, ) 
b) Tính chất : G G G G
. .
.( ) .
( ) ( . ) .( )
a b b a
a b c a b ac
ka b k a b a kb
=
+ = +
= =
G G G JGG GG
G G G G G JJG 
 Ta cũng có các kết qủa sau : 
22
; . 0a a a b a b= = ⇔ ⊥G G G G G G
2 22
2 2
( ) 2 .
( )( )
a b a a b b
a b a b a b
+ = + +
+ − = −
JJG G G G G G
G G G G G G
 Chú ý : Sử dụng các tính chất ta sẽ có các hệ thức : 
 c) Công thức hình chiếu : Cho hai vectơ bất kỳ , ;AB CD
JJJG JJJG
 . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu 
vuông góc của C , D xuống đường thẳng AB . Ta có công thức : 
 d) Công thức về tọa độ : G G
 Cho các vectơ : . Ta có các công thức : 1 2 1 2( , ) ; ( , )a a a b b b= =
. .AB CD AB EF=JJJG JJJG JJJG JJJG 
O x 
y 
a
G
b
G
A B 
C 
D 
E F 
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 
www.saosangsong.com.vn/ 
3
3
2 2
1 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
2 2 2
1 2 1 2
.
0
cos( , )
.
a a a
a b a b a b
a b a b a b
a b a ba b
a a b b
= +
= +
⊥ ⇔ + =
+=
+ +
G
G G
G G
G G
2
 3 . Áp dụng : 
 Bài toán 1 : Tìm tập hợp điểm M thỏa : . (1)MA MB k=JJJG JJJG ( A , B cố định ; k là hằng số ) 
 Gọi I là trung điểm của AB , ta có : 
2 2
2 2
(1) ( )( )MI IA MI IB k MI IA k
IM k IA
⇔ + + = ⇔ − =
⇔ = +
JJJG JJG JJJG JJG
 Tập hợp các điểm M là đường tròn ( I , 2 0:k IA• + > 2k IA+ ) 
 Tập hợp các điểm M là : 2 0:k IA• + = { }I 
 : Tập hợp các điểm M là tập rỗng 2 0k IA• + <
 Bài toán 2 : Phương tích của một điểm đối với một đường tròn . 
 Cho đường tròn tâm I , bán kính R và một điểm M . Một đường thẳng bất kỳ qua M cắt đường 
tròn taị A và B . Biểu thức .MA MB
JJJ J
 được gọi là 
G JJG
phương tích của điểm M đối với đường tròn (I) . 
Ta có : 
2 2
2 2
/( ) . . ' ( ).( ')
( ' )
M I
I
A
M B B'
T 
MA MB MB MB MI IB MI IB
MI IB do IB IB
MI R
Ρ = = = + +
= − = −
= −
JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJG JJJG JJJG
JJJG JJG
 Chú ý : Do biểu thức trên , ta cũng có : 2/( )M I MTΡ = 
( MT là tiếp tuyến vẽ từ M đến đường tròn (I) ) 
B . Giải toán : 
Dạng toán 1 : Sử dụng máy tính fx-500MS để tính giá trị lượng giác của một góc 
 Ví dụ 1 : Tính các giá trị sau 
 ) sin 65 43'36"; ) tan(62 25'16"); ) cot(42 12 ')o oa b c o
 Giải : 
 Ấn phím MODE nhiều lần để màn hình hiện lên dòng chữ 
Deg Rad Gra 
 1 2 
 Ấn phím 1 để chọn đơn vị đo góc là độ 
 a) Ấn liên tíêp các phím : sin 6 5 o’” 4 3 o’” 3 6 o’” = 0,9115 
 b) Ấn liên tiếp các phím :tan 6 2 o’” 2 5 o’” 1 6 o’” = 1,9145 
 c) Ấn liên tiếp các phím : 1 tan 4 2 o’” 1 2 o’” = 1,1028 ÷
Vậy sin 65 43'36" 0,9115; tan(62 25'16") 1,9145;cot(42 12 ') 1,1028o o o= = =
 Ví dụ 2 : Tính x biết : a) sinx = 0,3502 b) tanx = 2 c) cotx = 2,619 
 Giải : 
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 
www.saosangsong.com.vn/ 
4
 a) Ấn liên tiếp các phím : shift sin 0 . 3 5 0 2 = o’” màn hình hiện lên 
 Vậy : x = 20 
o20 29 '58"
29 '58"o
 b) Ấn liên tíêp các phím : shift tan 2 = o’” màn hình hiện lên 
 63 Vậy : x = 26 '5"o 63 26 '5"o
 c) Án liên tiếp các phím :shift tan ( 1 ÷ 2 . 6 1 9 ) = o’” màn hình hiện lên 
 Vậy : x = 20 53'53"o 20 53'53"o
Dạng toán 2 : Tính giá trị lượng giác của góc giữa 2 vectơ 
4
A B
D C
E
A
B C
E
N
M
 Ví dụ 1 : Cho hình vuông ABCD ; tính giá trị lượng giác của góc giữa các cặp vectơ sau : 
 ( ; ) . ( ; )AC BC CA DC
JJJ JJJ J JJJJJG G JJG JG
G JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
 Giải : 
 Ta có : JJJ
: ( , ) ( , ) 45oBC AD AC BC AC AD DAC= ⇒ = = =
Do đó : 2sin( , ) sin 45
2
oAC BC = =JJJG JJJG 
2cos( , ) cos 45
2
tan( , ) tan 45 1 cot( , )
o
o
AC BC
AC BC AC BC
= =
= = =
JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG JJJG 
Tương tự , vẽ CE và ta có : ; ( , ) ( , ) 135oDC CA DC CA CEα= = = =JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
2 2sin sin135 sin 45 ;cos cos135 cos 45 ;
2 2
tan tan135 tan 45 1; cot 1
o o o o
o o
α α
α α
−= = = = = − =
= = − = − = −
o
)C AD b CA BC= =G JJG JJG G
 (vì 135 bù nhau ) ; 45o
 Ví dụ 2 : Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4cm ; AD =3cm . Tính các góc : JJJ J J JJJ
 a A ( , ) ; ( ,
 Giải : 
Ta có : a = góc CAD Suy ra : 
 4tan 1,333 53 7
3
oCDa a '
AD
= = = ⇒ =
( , ) ( , ) ; ( )b CA BC CA CE CE BC= = =JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
53 7 ' 126 53o o o− =
Suy ra b = gócACE .Mà gócACE và góc CAD bù nhau 
Nên b = 180 ' 
Dạng toán 3 : Tinh tích vô hướng 
 Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 3a 
. M , N là hai điểm thuộc cạnh AC sao cho AM = MN = NC 
Tính những tích vô hướng sau : 
 . ; . ; .AB AC AC CB BM BN
JJJ JJJ JJJ JG G G JJG JJJJG JJJG
Giải : 
Ta có 
21 9. . cos 60 3 .3 .
2 2
o aAB AC AB AC a a= =JJJG JJJG = 
A B
D EC
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 
www.saosangsong.com.vn/ 
5
5
Vẽ ; ( , ) ( , ) 120oCE AC AC CB CE CB BCE= = =JJJG JJJG JJJJGJJJJG JJJJGJJJG =
21 9. . cos120 3 .3 .( )
2 2
o aAC CB AC CB a a − −= =JJJG JJJG = 
A B
D C
M
N
A B
C
B C
A
A'
M
M'
2
2
2
. ( )( )
. . .
. cos 0 . cos 60 . cos 60
1 1.2 .1 3 . ( ) 3 .2 ( ) 3 .3
2 2
13
2
o o o
BM BN AM AB AN AB
AM AN AB AM AB AN AB
AM AN AB AM AB AN AB
a a a a a a a a
a
= − −
= − − +
= − − +
= − − +
=
JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG
JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG
M ộ ểm ên
0
 Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC , trọng tâm G ; là m t đi tr đường thẳng (d) qua G và 
 vuông góc với cạnh BC . Chứng minh rằng ( ).MA MB MC BC+ + =JJJG G JG G
3 ( ). 3 . 0MA MB MC MG MA MB MC BC MG BC+ + = ⇒ + + = =JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG
JJJ JJJ JJJ
 Giải : JJJG
 vì MG BC⊥JJJJG JJJG
ạnh bằng a ; M , 
 Ta có : 
 Ví dụ 3 : Cho hình vuông ABCD c N lần lượt là trung điểm của BC và CD . 
 Tính các tích vô hướng sau : . ;AB AM AM AN
JJJG JJJJG JJJJGJJJG
2
2 2
. ( ) .
0 ( . 0)
( )( )
. . . .
AB AM AB AB BM AB AB BM
a a AB BM AB BM
AM AN AB BM AD DN
AB AD AB DN BM AD BM
= + = +
= + = ⊥ ⇒ =
= + +
= + + +
JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG
JJJG JJJJG JJJG JJJJG
JJJJGJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG
JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJJG
Giải : Ta có : 
2
0 . cos 0 . cos 0 0
. .1 . .1 ( ; )
2 2
o o
DN
AB DN BM AD
a aa a a AB AD BM DN
= + + +
= + = ⊥ ⊥
JJJJG 
Dạng toán 4 : Sử dụng định lý chiếu 
 Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A và . 4 ; .AB CB AC BC 9= =JJJG JJJG JJJG JJJG . Tính ba cạnh của tam giác 
 Giải : 
 Ta có : C , B có hình chiếu xuống đường thẳng AB lần lượt là A , B .Do đó : JJJ JJJ JJJ
 . Tương tự : 24 . . 2AB CB AB AB AB AB= = = ⇒ =G JJJG G G
29 . . 3AC BC AC AC AC AC= = = ⇒ =JJJG JJJG JJJG JJJG 
2 2 4 9 13BC AB AC= + = + =
G JG JJJG
 Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thỏa hệ thức: JJJ JJJ
 .(2 ) 0 (1)BC AM BC− =
 Giải : 
2
2
(1) 2 .
.
2
AM BC BC
BCAM BC
⇔ =
⇔ =
JJJJG JJJG JJJG
JJJJG JJJG 
 Gọi A’ , M’ lần lượt là hình chiếu của A , M xuống đường 
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 
www.saosangsong.com.vn/ 
6
6
thẳng BC , theo định lý hình chiếu , ta có : . ' '.AM BC A M BC=JJJJG JJJG JJJJJJG JJJG Do đó :
2
' '. 0
2
BCA M BC = >JJJJJJG JJJG 
Suy ra 2 vectơ ' ' ,A M BC
JJJJJJG JJJG
 cùng hướng 
Do đó ; 
2 2
' '. ' '. ' '
2 2 2
BC BCA M BC A M BC A M= ⇔ = ⇔ =JJJJJJG JJJG BC 
Vậy điểm M’ cố định ( vì A’ cố định và BC khôngđổi ) 
Do đó : Tập hợp các điểm M là đường thẳng ( d ) vuông góc với BC tại M’ 
A B
C
C'
A'
B' O
P
MN
 Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC có ba đường cao là : AA’ , BB’ ,CC’. Gọi M , N , P lần lượt là 
 trung điểm của BC , CA , AB . Chứng minh : ' . ' . ' . 0A M BC B N CA C P AB+ + =JJJJJG G JG JJJG G G
 lần lư
JJJ JJJJ JJJJ JJJ
 Giải : 
 Gọi O là tâm đường tròn ngọai tiếp và H là trực tâm của tam giác , ta có : 
A’ , B’ , C’ lần lượt là hìmh chiếu của H xuống BC , CA , AB . 
M , N , P ợt là hìmh chiếu của O xuông BC , CA , AB 
Do đó : ' . .A M BC HO BC=JJJJJ JJJ JJJ JJJG G G G (theo định lý hình chiếu ) 
Tương tự : 
 ' . . : ' . .B N CA HO CA C P AB HO AB= =JJJJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG
' . ' . ' . .( ) . 0A M BC B N CA C P AB HO BC CA AB HO O+ + = + + = =JJJJJG JJJG JJJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJ
 G JJJG JJJG JG
 Do đó : 
Dạng toán 5 : Chứng minh một hệ thức giữa các độ dài 
Ta thường sử dụng các tính chất của tích vô hướng và tính chất 
2 2A
J
B AB=JJG 
 Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có góc BAC = 120 ; AB =3 ; AC = 6 Tính cạnh BC o
 Giải : Ta có 
2 2 22 2( ) 2 36 2.6.3cos120 9
36 18 9 63
63 3 7
oBC BC AC AB AC AC AB AB
BC
= = − = − + = − +
= + + =
⇒ = =
G JJJG JJJG JJJG JJJGJJJG JJJGJJJ
 Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC trọng tâm G ; BC = a ; CA = b ; AB = c 
 a) Chứng minh rằng 
2 2
.
2
AB AC BCAB AC + −=JJJG JJJG
2
22 2 2 2( ) 2BC BC AC AB AC AB AC AB= = − = + −JJJG JJJG JJJG JJJGJJJG
 b) Tính AG theo ba cạnh a , b , c 
 Giải : 
 Ta có : ⇔
2 2
.
2
AB AC BCAB AC + −=
2JJJG JJJG
Gọi M là trung điểm của BC , ta có : 
 2 2 1. ( )
3 3 2
AG AM AB AC= = +JJJG JJJJG JJJG JJJG 
22 2 2 21 1( ) ( 2 .
9 9
)AG AG AB AC AB AC AB AC= = + = + +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
 2 2 2 2 2 2 2 21 1( ) (2
9 9
b c b c a b c a= + + + − = + −2 ) 
Vậy : 2 21 2 2
3
2AG b c= + − a 
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 
www.saosangsong.com.vn/ 
7
7
A D
B C
 Ví dụ 3 : Cho hình vuông ABCD tâm là O , cạnh bằng a .Chứng minh rằng với mọi điểm M ta 
 có : 2 2 2 2 24 2 2MA MB MC MD MO a+ + + = + 
 Giải : 
 Ta có : 
22 2 2 2
22 2 2 2
22 2 2 2
22 2 2 2
( ) 2 .
( ) 2 .
( ) 2 .
( ) 2
MA MA MO OA MO OA MO OA
MB MB MO OB MO OB MO OB
MC MC MO OC MO OC MO OC
MD MD MO OD MO OD
= = + = + +
= = + = + +
= = + = + +
= = + = + +
JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG
JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG
JJJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG
JJJJG JJJJG JJJG
 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
.
4 4 2 ( )
24 4( ) 0
2
4 2
2( ; )
2
MO OD
MA MB MC MD MO OA MO OA OB OC OD
aMO
MO a
aOA OB OC OD O OA OB OC OD
+ + + = + + + + +
= + +
= +
+ + + = = = = =
JJJJG JJJG
JJJJG JJJG JJJG JJJG  ...  Định điều kiện của x (để ABC là một tam giác ) 
 b) Định x để góc BAC = 
giác MPQ có trung tuyến là MR .Chưng minh rằng 
của tam
2 .25. Cho tam giác ABC có BC = a ; CA = b ; A
2 2 5b c+ = a
60o 
 * 2 . 27 . a) Cho tam 
2
2 2 22
2
PQMP MQ MR+ = + 
 b) Cho tam giác ABC vuông tại A và có BC = 6 . Trên đường thẳng BC lấy 2 điểm D 
và E sao cho BD = BE = 1 .Chứng minh rằng 42 2 22 7AD AE AC+ + = 
2 .28 .Cho hình thang vuông ABCD ( A = B = )và AB =4cm ;AD = 3cm ; BC = 11cm . 
Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác BCD 
 . . 
D . Hướng dẫn giải hay đáp số 
2 .18 . 
90o
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 
www.saosangsong.com.vn/ 
20
20
2
1 (10 13 17) 20
2
( )( )( ) 20.10.7.3 10 42 64,80
10.13.17 221 8,52
4 4.10 42 4 42
10 42 3, 24
20
p cm
S p p a p b p c cm
abcR cm
S
Sr cm
p
= + + =
= − − − = = =
= = = =
= = =
25 2
2 2 2
2.19. 9 16 5 5 7 12
3 5 8
2 . .cos
3 464144 64 2.12.8. 9,63
5 5
5
4 sin0,8 ; sin
5 sin sin
9,63
BC AB AC BD
BE
DE BD BE BD BE B
DE
DE BE BE B
B D DE
= + = + = ⇒ = + =
= + =
= + −
= + − = ⇒ =
= ⇒ =
75 15'o=
2 .20 . Áp dụng công thức về đường trung tuyến : 
o3cos 0,6 53 7 'B B= = ⇒ = 
sin B D= =
8.0,8sin 0,6645 41 38'oD D= = ⇒ =
o180 (41 38' 53o oE = − + 7 ')
2 2
22 2( )
a
b c aAM m + −= =
2 2 2 2 2
2 2 2
2( )
4 4 4
2
c b c a
a c b
+ −⇔ =
⇔ − =
 có : a = 2RsinA ; b =2RsinB ; c = 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
4 sin 4 sin 2(
sin sin 2sin
sin 2sin sin
Theo định lý sin , ta RsinC nên : 
2 24 sin )R A R C
A C B
A B C
− =
⇔ − =
⇔ = +
p dụng công thức : 
R B
2 .21 .A
1 1. .sin 3 3 3.4.sin
2
3sin 60
2
o
S AB AC A A
A A
= ⇔ =
⇔ = ⇒ =
( vì góc A nhọn ) 
Ta lại có : 
2
2 2 2 12 . .cos 60 9 16 2.3.4. 13 13
2
oBC AB AC AB AC BC= + − = + − = => = 
2 2.3 3 6 3
1313
SAH
BC
= = = 9
2 . 22 . Ta có : 
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 
www.saosangsong.com.vn/ 
21
21
2
2 2 2
( )
5135 ;
4 2
5 10
2sin 424.
2
1
A B
D C
E
O
; tan
2 2
OEC ECB ECB
BC a
= = = = 0,5
26 33'
180 (135 26 33') 18 27 '
o
EOC
o
o o o o
a aEOC EC EB BC a
EC a aR
EOC
EB a
OEC ECB
OCE
= = + = + =
= = =
=
= =
= − + =
2 .23 .Ta có : 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
sinsin ;cos tan
2 2 cos ( )
sin tantan
a b c a A abA A A c
R
2 2 2 2 2 2cos ( ) tan
bc A R b c a
B abc A c a bB
+ −= = ⇒ = = + −
+ −= = => =
2 .24 .Đặt AB = x ( x > 0 ) . Ta có : 
B R c a b B b c a+ − + −
2 2 2
2 2
2 . .cos
17 4 2. .2. 2 3 0 3: 3
2
sin 60 3sin 0,6546
sin sin 7
40 53' ; 180 (60 40 53') 79 7 '
o
o o o o o
BC AB AC AB AC A
x x x x x AB
AC BC ACB
B A BC
B C
= + − ⇔
= + − ⇔ − − = ⇔ = =
= ⇔ = = =
= = − + =
Để chứng minh B
g tại G. Ta có: 
 2 .25 . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . M vuông góc 
với CN ta chỉ cần chứng minh tam giác BGC vuôn
B
G
C
MN
A2 2 2
2 2( ) ( )GB GC BM CN+ = + 2
2 2 2 2 2 2
3 3
( ) 4 2( ).
9 4 9 4
c a b a b c+ − + −+
4 2.=
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 2( ) 2( )
9
1 1(4 ) (4 5 )
9 9
c a b a b c
a b c a a a BC
⎡ ⎤= + − + + −⎣ ⎦
= + + = + = =
Vậy tam giác BGC vuông tại G 
2 .26 a) Điều kiện để ABC là một tam giác là : 
 BC – AB < AC < BC+AB 5 - 3 < 2x < 5+3 ⇔ ⇔ 1 < x < 4 
b) Ta lại có :
2 2 2 2
2
1 4 4 25cos
2 . 2 2.3.2
3 732 3 8 0 ( 1 4
4
)
B AC BC xA
AB AC x
x x x do x
+ − + −= ⇔ =
+⇔ − − = ⇔ = <
A
<
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 
www.saosangsong.com.vn/ 
22
22
2 22 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
2
2.27. )a MP ( ) ( )
2 . 2 .
2 2 (
2 ( ; 0)
2 2
MQ MP MQ MR RP MR RQ
M
)
R RP MR RP MR RQ MR RQ
MR RP RQ MR RP RQ
PQ PQMR RP RQ RP RQ
+ = + = + + +
= + + + + +
= + + + +
= + = = + =
JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG G
Theo câu a) , ta có : 
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2( 2)
2
2 2 2 2 2( ) 2
2 2 2.36 2 74
DEAE AB AB do DE
AD AE AC AB AC AB AC
BC
+ = + = + =
+ + = + + = + +
= + = + =
2 . 28 . 
AD
2 2 2
)
( ) 16 64 80 4 5
4;sin
4 5 5 54sin
5
C
AB BC AD DC
ABDBC ADB A
DC
DBC
= + − = + = ⇒ =
=
= = =
ghiệm cuối
DC
5
DB
BD
= = 
(BDR
§3. Câu hỏi trắc n chương 
A. Đề 
1 . Cho 11 ; .a b a b= = −G G G . Góc ( , )a bG G (tính ra độ ) bằng : 
2
 a . o b . 120o 
=
 60
G
 o d . một đáp số khác c . 30
2 . Cho 1 ; ( ) ( 2 )a b a b a b= = + ⊥ − . Tích vô hướng .a bG G G G G G JGG bằng : 
 a . – 1 b . 1 
 c . 2 d . – 2 
3 . Cho 1 ; 2 ; ( 3 ) 5a b a b= = + = . Tích vô hướG G JJG G ng .a bG G bằng : 
 d . một đáp số khác 
4 . Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a . Nếu 
 a . 2 b . 3 
 c . 4 
2AM AB AD= +JJJJG JJJG JJJG thì đoạn AM bằng : 
 b . a .3a 3a 
 c . 5a d .m đột ác 
ởi 
áp só kh
5 . Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 5 ; AD = 3 và điểm I xác định b
B
A A D
CD CE B
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 
www.saosangsong.com.vn/ 
23
23
=JJ au thì k bằng: I k ABG JJJG . Nếu 2 đường thẳng AC và BI vuông góc với nhC
 a . 0,36 b. – 0,36 
 c , 0,6 d . một đáp số khác 
6 . Tam giác ABC có BC = a = 2 1x + ; AC = b = 2 ; AB = c = 3 . Nếu góc A của tam giác bằng 
th60o ì giá trị của x là : 
 a . 2 b . 3 
 c . 4 d . một đáp số khác 
7 .Cho tam giác ABC có 3 cạnh thỏa : 2 2 2 2 .
3
BC AB AC AB AC= + + . Góc A của tam giác gần bằng 
góc nào dưới đây nhất : 
 . 109 b .110oo a
 c . 70o d . 71o 
8 . Tam giác ABC có B = 30o ; C = 45o . Hệ thức nào sau đây đúng 
AC 2 a . AB = 2AC b . = AB 
 c . AC = 2AB d . 2AB = 3AC 
9 . Trong một tam giác , nếu tổng bình phương 3 đường trung tuyến bằng 30 thí tổng bình ph 
3 cạnh của tam giác sẽ bằng : 
ương
i 
0 
0 
i của tia 
E bằng 3a thì đoạn AE sẽ bằng 
 đối của tia CB , lấy điểm E sao cho AE = 
 a .34 b . 36
 c . 38 d .một đáp số khác 
10 . Cho tam giác có ba cạnh là : 3m ; 4m ; 6m .Góc lớn nhất của tam giác gần bằng góc nào dướ
đây nhất 
 a. 63o b. 64
 c. 1160 d. 117
 4a . E là một điểm thuộc tia đố11 . Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = 2a ; BC =
BC . Nếu bán kính đường tròn ngọai tiếp của tam giác AC
 a . 3a b . 4a 
 c . 5a d . một đáp số khác 
3 2a12 .Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a . Trên tia . 
 bằng 
ỏ nhất của tam giác này gần bằng số nào 
ư i đ
 b . 3 
 d . 3,4 
BC = 6 ; sinA + sinB = 1,5 . Hệ thức nào dưới đây đúng : 
AB 3sinC 
B
đối của tia BC lấy điểm D sao 
 nào dưới đây nhất : 
. 3,4a b . 3,5a 
 c . 3,6a d . 3,7a 
ọi R ,R’ lần lượt là bán kính đường tròn ngọai tiếp 
ủ t điểm thuộc cạnh BC ) Hệ thức nào sau đây đúng 
 0,6R’ 
Bán kính của đường tròn ngọai tiếp tam giác ACE
 a .5a b. 4a 
 c .3a d . một đáp số khác 
13 . Một tam giác có ba cạnh là 4 , 5 , 7 . Đường cao nh
d ớ ây nhất 
 a . 2,8 
 c . 3,2 
14 . Tam giác ABC có : AC+
B a . A = 2sinC b . =
 c . A = 4sinC d =AB 6sinC 
15 . Tam giác ABC vuông tại A và có AB = a ; BC = 2a . Trên tia 
cho BD = 3a .Đoạn AD gần bằng đoạn
 a
16 .Cho tam giác ABC có AB = 3 ; AC = 5 . G
c a tam giác ABM và tam giác ACM ( M là mộ
 a . R = 0,5R’ b . R =
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 
www.saosangsong.com.vn/ 
24
24
 c . R = 0,7R’ d . R = 0,8R’ 
17 .Tam giác ABC có các cạnh thỏa 
 2 2 2 2 2 2. ; .BC AB AC AB AC CA BA BC BC BA= + − = + − 
Góc C của tam giác bằng : 
o a . 30 b . 45
o
o 
 c . 60 d . một đáp số khác 
C có cá cạnh thỏa : 18 . Tam giác AB c
 2 2 2 2 2 2 6; .
5
BC AB= AC A+ C BC BA BC BA= + − 
 3 . Bình phương của cạnh AC bằng : 
 d . một đáp số khác 
20 . Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngọai tiếp là R = 4 .Nếu sinB + 2sinC = 1 thì (AC + 
 b .6 
 c .7 d .8 
ng trả lời 
 . b 6 .b 11 .a 16 .b 
 .a 7 . a 12 .c 17 .c 
 9 .d 14 . c 19 c 
5 .b 10 .d 15 .c 20 .d 
C. Hướng dẫn giải : 
1b . Ta có 
cosC của tam giác bằng : 
 a . 0,5 b .0,6 
 c . 0,7 d .0,8 
19 . Tam giác ABC có AB = 4 ;BC = 10 ; trung tuyến AM =
 a. 50 b . 51 
 c . 52 
2AB) bằng : 
 a .5 
B. Bả
1
2
3 .d 8 .b 13 .a 18 .d 
4 .c .
1. . cos( , ) 1.1cos( , )
2
1cos( , ) ( , ) 120
2
o
a b a b a b a b
a b a b
= ⇔ − =
⇔ = − ⇔ =
G G G G G G G G
G G G G 
. 
2 2
( ) ( 2 ) ( )( 2 ) 0 2 . . 2
1 . 2 0 . 1
a b a b a b a b a a b b a b
a b a b
+ ⊥ − ⇔ + − = ⇔ − + −
⇔ − − = ⇔ = −
G G G G G G G G G G G G G G
G G JGG
d .
2 a 
3
22 23 5 ( 3 ) 25 6 . 9 25
9.4 25 . 2
a b a b a a b b
a b
+ = ⇔ + = ⇔ + + =
+ = ⇔ = −
J
1 6 .a b⇔ +
JGG G G G G JGG
G G 
G G
22 2 2 2
2
4b A A
JJ
.
. (2 ) 4 4 .
5 ( . 0)
M AM AB AD AB AD B AD
a do AB AD
= = + = + +
= =
JJJJG JJJG JJJG JG JJJG
JJJGJJJG
5b . 
5AM a⇒ =
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 
www.saosangsong.com.vn/ 
25
25
. 2 2
. 0 ( )( ) 0
0( ; . 0)
99 25 0 0,36
25
BI AC BI AC BC CI BC BA
BC kBA do CI k AB k BA BC BA
k k
⊥ ⇔ = ⇔ + − =
⇔ + = = = − =
⇔ + = ⇔ = − = −
JJG JJJG JJJG JJG JJJG JJJG
JJG JJJG JJJG JJJG JJJG
 6 b . Định lý cos cho
2 2 2 12 cos 2 1 4 9 2.3.2.
2
3
a b c bc A x
x
= + − ⇔ + = + −
⇔ =
a . Định lý cos cho : 
7
2 2 2 2 2 22 . .cos . 2 2 2 . cos
3
1cos 0,3333 109 29 '
3
o
BC AB AC AB AC A AB AC AB AC= + − ⇔ + + = AB AC AB AC A
A A
+ −
⇔ = − = − ⇒ =
( cos và A là góc bù của góc này ) 
b . Định lý sin cho 
70 31' 0,3333o =
8
1sin sin sin 30 sin 45 2
2 2
2
o o
AC AB AC AB AC AB= ⇔ = ⇔ =
B C
AB AC⇔ =
9d . Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến ,ta có : 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2( ) 2 ) 2( )
4
3( ) 40
4
a b c
b c a c a b a b cm
a b c a b c
(m m +
30
− + + − + + −+ + =
+ + ⇔ + + =
Đối diện với cạnh lớn nhất BC = 6m sẽ là góc A lớn nhất ,mà 
⇔ =
10d . 
cosA=
2 2 2
117 17 'o=
11a . Tam giác ABC là nửa tam giác đều .Định lý sin cho : 
9 16 36 11 0,4583
2 2.3.4 24
b c a
bc
+ − + −= = − = − 
A⇒
 2 3
2sin 30
AE
sin 30o o
AE R R a= ⇔ = = 
2c . Ta có 3 2135 ; 2 3
sin135 22.
2
o
o
AE aACE R R a= = ⇔ = 1 =
13 a. Đường cao nhỏ nhất h là đường cao tương ứng với cạnh lớn nhất nghĩa là cạnh 
bằng 7 . 
a lại có T
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 
www.saosangsong.com.vn/ 
26
26
1 (4 5 7) 8
2
( )( )( ) 8.4.3.1 4 6
2 8 6 2,79
7 7
p
S p p a p b p c
Sh
= + + =
= − − − = =
= = =
14c . Định lý sin cho : 
6 4
sin sin sin sin sin 1,5
4sin
BC AC AB AC BC
A B C A B
AB C
+= = = = =+
=
u 
⇒
15c . Tam giác ABC là nửa tam giác đề
2 2 2 2 .o BD BA BA
 2 2 2 2
.cos120
19 2. .3 .( ) 13
2
13 3,605
oBD120 ;ABD AD
AD a a a a a
AD a a
= + − − =
= =
16b . Ta có sinAMB = sinAMC (góc bù nhau ) Định lý sin cho 
= = + −
32 ' 0,6
sin sin ' 5
0,6 '
AB AC R ABR R
AMB AMC R AC
R R
= = ⇒ = = =
⇒ =
B C= ⇒ = 
18d . Tam giác ABC vuông tại A (do 2 2 2
2 ;
60 60o o17c . Giả thiết cho A =
BC AB AC= + ) 
hức hai cho : 
Hệ t
23 9 4cos cos sin 1 cos 1
5 25 5
B C B B= ⇒ = = − = − = =0,8 
19c . Công thức tính độ dài trung tuyến cho 
2 2 2
2
2
2
2( )
4
2(16 ) 100 19 (100 36 32) 52
4 2
AB AC BCAM
AC AC
+ −= ⇔
+ −= ⇔ = + − =
20d . Định lý sin cho : 
2 22
sin sin 2sin sin 2sin
28
1
AC AB AB AC ABR
B C C B C
AC AB
+= = = = ⇔+
+=