Bài tập Hình học 10 cơ bản & nâng cao - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

 Trường THPT Nguyễn Hữu Huân 
Vũ Mạnh Hùng 
Bài Tập 
10 
CƠ BẢN - NÂNG CAO 
Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳñ 
 - 2006
-24- Vũ Mạnh Hùng 
 Cho điểm F(3;0) và đường thẳng (d): 3x – 4y + 16 = 0. 
 ¬. Viết phương trình đường tròn tâm F tiếp xúc với (d). 
 −. Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có tiêu điểm F. Chứng 
minh rằng (P) tiếp xúc với (d). Tìm toạ độ tiếp điểm. 
 Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + 1. Chứng minh rằng 
khi m thay đổi, (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm quỹ tích tâm 
đường tròn ngoại tiếp ΔOAB khi m thay đổi.
 Cho elip (E): 4x2 + 16y2 = 64 và đường tròn (C): x2 + y2 + 43x – 4 = 0. 
 ¬. M là 1 điểm bất kì trên (E), chứng tỏ rằng tỉ số khoảng cách từ M đến 
tiêu điểm F2 và tới đường thẳng x = 8:3 có giá trị không đổi. 
 −. Xét đường tròn (C) di động nhưng luôn đi qua F2 và tiếp xúc ngoài với 
(C). Chứng tỏ rằng các tâm N của (C) nằm trên một hypebol cố định. Viết 
phương trình hypebol đó. 
 Cho hypebol có phương trình 4x2 – 9y2 = 36. 
 ¬. Xác định toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm và tâm sai của hypebol. 
 −. Viết phương trình chính tắc của elip đi qua điểm M( 237 ;3) và có chung 
các tiêu điểm với hypebol đã cho. 
 Cho elip (E): 4x2 + 9y2 = 36. 
 ¬. Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) biết rằng nó có chung hình 
chữ nhật cơ sở với (E). 
 −. Viết phương trình chính tắc của parabol (P) nhận tiêu điểm F1 của (E) 
làm tiêu điểm. 
 ®. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác nội tiếp trong (E). 
 Cho elip (E): 
22 yx
100 64
+ = 1. 
 ¬. Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) có hai tiêu điểm trùng với 
hai đỉnh của (E) và có tâm sai e =  . 
 −. Tìm các giá trị của b để đường thẳng y = x + b có điểm chung với (H). 
 Cho elip (E): 
2
2x y
4
+ = 1 và điểm A(–2;0). Giả sử M là điểm di động trên 
(E). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên trục Oy. Giả sử AH cắt OM 
tại P. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên (E) thì P luôn luôn chạy trên 1 
đường cong (C) cố định. Vẽ đồ thị đường cong (C). 
, 
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
Vectơ & Toạ độ 
‚ Tọa độ của điểm va vectơ: 
 ’ M(x;y)  OM = x.i  + y.j ’ a = (a1;a2)  a = a1.i  + a2.j 
trong đó i  = (1;0), j = (0;1) là các vectơ đơn vị của trục. 
 Giả sử a = (a1;a2) và b = (b1;b2). 
‚ Vectơ bằng nhau – Toạ độ vectơ tổng, hiệu, tích vectơ với 1 số: 
 Œ a = b  ⇔ a1 = b1, a2 = b2 
 Œ a  b  = (a1  b1;a2  b2) Œ ka = (ka1;ka2) 
‚ Toạ độ của AB: AB = (xB – xA;yB – yA). 
‚ Độ dài của vectơ: a = a2 + a2 
‚ Khoảng cách giữa 2 điểm: AB = AB = (x B − x A)2 + (y B − y A)2 
‚ Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1: 
MA = k MB ⇔ xM = A Bx kx1 k
−
− , yM = 
A By ky
1 k
−
− 
 Toạ độ trung điểm M của đoạn AB: xM = A B
x x
2
+
, yM = A B
y y
2
+
 Toạ độ trọng tâm G của ΔABC: xG = A B C
x x x
3
+ +
, yG = A B C
y y y
3
+ +
‚ Vectơ cùng phương: a  b  ⇔ a = kb ⇔ 1 2
1 2
a a
b b
= (b1b2  0) 
‚ Tích vô hướng của 2 vectơ: a.b  = a.b.cos(a,b ) 
 Œ a  b  ⇔ a.b  = 0 Œ a.b  = a1b1 + a2b2. Œ a2 = |a|2 
‚ Góc của 2 vectơ: cos(a,b  ) = a.b
| a | . | b |
G G
G G = 1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
a b a b
a a . b b
+
+ +
. 
1/ Cho 3 điểm A(3;–5), B(–3;3), C(–1;–2). 
 ¬. Chứng minh rằng A, B, C là các đỉnh của 1 tam giác. Tìm toạ độ điểm 
D sao cho ABDC là hình bình hành. 
 −. Tìm toạ độ điểm E sao cho AE = 2AB – 3AC. 
 ®. Tính chu vi và diện tích ΔABC. 
 ¯. Tìm toạ độ trọng tâm G, toạ độ trực tâm H của ΔABC, toạ độ tâm I của 
đường tròn ngoại tiếp ΔABC. Chứng minh I, H, G thẳng hàng. 
 °. Tìm giao điểm của đường phân giác ngoài góc A với BC. 
Chương 3
-2- Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng 
2/ Cho ΔABC với A(–1;0), B(4;0), C(0;m) với m ≠ 0. Tính toạ độ trọng tâm G 
của ΔABC theo m. Xác định m để ΔGAB vuông tại G. 
3/ Cho ΔABC vuông cân tại A. Biết M(1;–1) là trung điểm của cạnh BC và 
G(;0) là trọng tâm ΔABC. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C. 
4/ Cho 2 điểm A(1;3), B(3;1). Tìm toạ độ điểm C sao cho ΔABC đều. 
5/ ¬. Cho ΔABC vuông tại A, AB = c, AC = b. Gọi M là điểm trên cạnh BC 
sao cho CM = 2BM, N là điểm trên cạnh AB sao cho BN = 2AN. Tìm hệ thức 
liên hệ giữa b và c sao cho AM  CN. 
 −. Cho ΔABC vuông cân tại A, tính góc tù tạo bởi các trung tuyến của tam 
giác kẻ từ B và C. 
 
¥| Phương trình đường thẳng. 
]| Phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(xo;yo) vuông góc với n  = (a;b): 
 a(x – xo) + b(y – yo) = 0 (a2 + b2  0) 
]} Phương trình tổng quát của đường thẳng: ax + by + c = 0 (a2 + b2  0), trong đó 
vectơ pháp tuyến n  = (a;b), vectơ chỉ phương a = (b;–a), hệ số góc k = – a/b. 
]~ Phương trình đường thẳng đi qua điểm M(xo;yo) có hệ số góc k (  Oy): 
y – yo = k(x – xo) 
] Đường thẳng có hệ số góc k, tung độ gốc b (cắt Oy tại B(0;b)): y = kx + b 
] Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn (đi qua 2 điểm A(a;0), B(0;b)): 
 
] Đường thẳng (d) đi qua điểm M(xo;yo) có vectơ chỉ phương a = (a1;a2): 
 ‘ { o 1
o 2
x x ta
y y ta
= +
= + : phương trình tham số. 
 ‘ o o
1 2
x x y y
a a
− −= (a1.a2  0): phương trình chính tắc. 
¥} Vị trí tương đối của hai đường thẳng. 
 * Cho 2 đường thẳng (d1): a1x + b1y + c1 = 0, (d2): a2x + b2y + c2 = 0 
 Đặt D = 1 1
2 2
a b
a b , Dx = 
1 1
2 2
b c
b c , Dy = 
1 1
2 2
c a
c a 
 + (d1) cắt (d2) ⇔ a1:a2 ≠ b1:b2 ⇔ D ≠ 0 (x = Dx:D, y = Dy:D) 
 + (d1)  (d2) ⇔ a1:a2 = b1:b2 ≠ c1:c2 ⇔ D = 0, Dx ≠ 0 hay Dy ≠ 0 
 + (d1) ≡ (d2) ⇔ a1:a2 = b1:b2 = c1:c2 ⇔ D = Dx = Dy = 0 
Bài Tập Ôn -23- 
 −. Đường thẳng (D) qua A(1;4) cắt (H) tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho 
A là trung điểm của MN. Tìm toạ độ M, N. 
¢ 
 Cho parabol (P): y2 = 4x. 
 ¬. Tìm điểm M trên (P) có bán kính qua tiêu điểm bằng 10 và tung độ 
dương. Tìm điểm N trên (P) sao cho ΔOMN vuông tại O. 
 −. Tìm 2 điểm A, B trên (P) sao cho ΔOAB đều. 
 Cho parabol y2 = 2x và đường thẳng (d): 2x – 2my – 1 = 0. Chứng tỏ rằng 
với mọi m, (d) luôn đi qua tiêu điểm F của (P) và cắt (P) tại hai điểm M, N. 
Tìm tập hợp các trung điểm I của MN khi m thay đổi. 
 Cho parabol (P): y2 = 8x và điểm I(2;4) nằm trên (P). Xét góc vuông thay 
đổi quay quanh điểm I và 2 cạnh góc vuông cắt (P) tại 2 điểm M, N ( I). 
Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn đi qua 1 điểm cố định. 
 Cho parabol (P): y2 = x và gọi F là tiêu điểm của (P). Giả sử đường thẳng 
(d) đi qua F cắt (P) tại 2 điểm M1 và M2. 
 ¬. Tính M1M2 khi (d)  Oy. 
 −. Giả sử (d)  Oy. Gọi k là hệ số góc của (d). Tính M1M2 theo k. Xác 
định các điểm M1, M2 sao cho M1M2 ngắn nhất. 
³ 
 Cho 3 đường thẳng D1: 3x + 4y – 6 = 0, D2: 4x + 3y – 1 = 0, D3: y = 0. Gọi 
A = D1D2, B = D2D3, C = D3D1. 
 ¬. Viết phương trình phân giác trong của góc A của ΔABC và tính SΔABC. 
 −. Viết phương trình đường tròn nội tiếp ΔABC. 
 Cho hai điểm A(–3;3 ), B(–3;– 3). 
 ¬. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABO. 
 −. Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua 2 điểm A, B. 
 Cho hai điểm A(2;3) và B(–2;1). 
 ¬. Viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và có tâm nằm trên 
trục hoành. 
 −. Viết phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm A. Vẽ đường tròn 
và parabol tìm được trên cùng một hệ trục toạ độ. 
 Cho hai điểm A(5;0) và B(4;32). 
 ¬. Lập phương trình đường tròn nhận AB làm đường kính. Tìm toạ độ các 
giao điểm của đường tròn và trục hoành. 
 −. Lập phương trình chính tắc của elip đi qua A và B. 
-22- Vũ Mạnh Hùng 
 −. Xét hình chữ nhật PQRS nội tiếp trong (E) và có các cạnh song song 
với các trục của (E). Tìm toạ độ các đỉnh hình chữ nhật sao cho nó có diện tích 
lớn nhất. 
 Cho elip (E): 4x2 + 9y2 = 36 và điểm M(1;1). 
 ¬. Lập phương trình đường thẳng (D) qua M cắt (E) tại 2 điểm M1, M2 sao 
cho MM1 = MM2. 
 −. Đường thẳng (Δ) qua M cắt (E) tại 2 điểm P, Q. Tìm tập hợp các trung 
điểm I của đoạn PQ. 
 Cho elip (E): 4x2 + 9y2 = 36 và 2 đ.thẳng (D): ax – by = 0, (D): bx + ay =0 
(a2 + b2 > 0). Gọi M, N là các giao điểm của (D) với (E), P, Q là các giao điểm 
của (D) với (E). 
 ¬. Tính diện tích tứ giác MPNQ theo a và b. 
 −. Tìm điều kiện đối với a, b để diện tích tứ giác MPNQ nhỏ nhất. 
¸ 
 Cho hypebol (H): 9x2 – 4y2 = 36. 
 ¬. Xác định toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tâm sai và các tiệm cận 
của (H). Vẽ hypebol đã cho. 
 −. Tìm các giá trị của n để đ.thẳng y = nx – 1 có điểm chung với hypebol. 
 Cho hypebol (H): 16x2 – 9y2 = 144. 
 ¬. Tìm độ dài trục thực, trục ảo, tiêu cự, tiêu điểm, đỉnh, tâm sai và 
phương trình các đường tiệm cận của (H). 
 −. Tìm điểm M ∈ (H) sao cho khoảng cách từ O đến M bằng nửa tiêu cự. 
 Cho hypebol (H): 9x2 – 16y2 = 144 có tiêu điểm F1, F2. 
 ¬. Tìm điểm M ∈ (H) sao cho F1M  F2M. 
 −. Giả sử M(xo;yo) ∈(H). Tính OM2 – F1M.F2M và (F1M + F2M)2 – 4OM2. 
 Cho hypebol (H): 5x2 – 4y2 – 20 = 0 và đường thẳng (D): x – y + m = 0. 
 ¬. Chứng minh rằng (D) luôn cắt (H) tại 2 điểm M, N (xM < xN) thuộc 2 
nhánh khác nhau của (H). 
 −. Định m sao cho 3F1M = F2N, với F1, F2 là tiêu điểm của (H). 
 Cho hypebol (H): 9x2 – 16y2 = 144. 
 ¬. Tìm những điểm trên (H) nhìn 2 tiêu điểm dưới 1 góc 120o. 
 −. A là đỉnh trên trục thực có hoành độ dương. Tìm toạ độ những điểm M, 
N trên (H) sao cho ΔAMN đều. 
 Cho hypebol (H): 4x2 – y2 = 4. 
 ¬. Tìm những điểm trên (H) có toạ độ nguyên. 
Vũ Mạnh Hùng -3- 
6/ Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc, phương trình tổng quát 
của đường thẳng đi qua điểm Mo nhận a làm vectơ chỉ phương: 
 ¬. Mo(–1;2), a = (3;–1) −. Mo(2;1), a = (0;–1) ®. Mo(–5;–3), a = (2;0) 
7/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm Mo vuông góc với n: 
 ¬. Mo(–1;2), n = (2;2) −. Mo(2;1), n  = (2;0) ®. Mo(2;–1), n  = (2;–1) 
8/ ¬. Viết phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của đường thẳng đi qua 
2 điểm A(–3;1), B(2;5). 
 −. Viết phương trình tham số của đường thẳng 2x + 3y – 2 = 0. 
9/ Cho đường thẳng d:{x 2 2ty 3 t= += + và 2 điểm A(2;5), B(–1;7). 
 ¬. Tìm trên d điểm M cách điểm A một khoảng bằng 4. 
 −. Tìm trên d điểm C sao cho ΔABC cân. 
 Cho 2 điểm A(– 4;3), B(1;–5). Tìm trên đường thẳng d: x – 2y – 3 = 0 điểm 
M sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất. 
 ¬. Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm A(2;–3) cắt hai đ.thẳng 
d:{x 7 2ty 3 t= −= − + và d:{x 5 4my 7 3m= − += − + tại B, C sao cho A là trung điểm của BC. 
 −. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(3;0) cắt hai đường thẳng 
2x – y – 2 = 0, x + y + 3 = 0 tại A, B sao cho P là trung điểm của đoạn AB. 
 Cho ΔABC có phương trình hai cạnh x + y – 2 = 0, 2x + 6y + 3 = 0, trung 
điểm một cạnh là M(–1;1). Tìm toạ độ các đỉnh. 
 Lập phương trình đường thẳng nếu điểm P(2;3) là chân đường vuông góc 
hạ từ O xuống đường thẳng này. 
 Cho P(2;3), Q(–1;0). Lập phương trình đường thẳng qua Q và vuông góc 
với PQ. 
 Cho ΔABC với A(2;1), B(–1;–1), C(3;2). 
 ¬. Lập phương trình đường cao BH của tam giác. 
 −. Lập phương trình đường thẳng  ... ới đường tròn x2 + y2 + 10x – 2y + 6 = 0 
biết tuyến song song với đường thẳng 2x + y – 7 = 0. 
 ¯. Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn x2 + y2 – 2x + 4y = 0 biết 
tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x – 2y + 9 = 0. 
-10- Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng 
¥ Elip. ¥‚ Hypebol: 
Định Nghĩa: Định nghĩa 
 (E) = {M / F1M + F2M = 2a} (H) = {M / ⎜F1M – F2M⎜ = 2a} 
 Kí hiệu a là nửa trục lớn, Kí hiệu a là nửa trục thực, 
 b là nửa trục nhỏ b là nửa trục ảo 
: 
 Elip Hypebol 
Phương trình chính tắc  +  = 1  –  = 1 
Tiêu cự F1F2 = 2c c2 = a2 – b2 c2 = a2 + b2 
Tiêu điểm F1(–c;0), F2(c;0) F1(–c;0), F2(c;0) 
Tâm sai e = c/a e = c/a 
Bán kính qua tiêu điểm r1 = F1M = a + exM r1 = F1M = exM + a 
 của điểm M∈(E) r2 = F2M = a – exM r2 = F2M = exM – a 
Đỉnh A1(–a;0), A2(a;0) A1(–a;0), A2(a;0) 
 B1(0;–b), B2(0;b) 
Phương trình các cạnh x =  a x =  a 
hình chữ nhật cơ sở y =  b y =  b 
Phương trình các tiệm cận y =  x 
Ph.trình các đường chuẩn (Δ1,2): x =  
e
a = 
c
a 2 (Δ1,2): x =  
e
a = 
c
a 2 
Tính chất i
i
FM
d(M, )Δ = e (i = 1, 2) 
i
i
FM
d(M, )Δ = e (i = 1, 2) 
 Lập phương trình chính tắc của Elip nếu: 
 ¬. Trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 8. −. Trục nhỏ bằng 24, tiêu cự bằng 10. 
 ®. Tiêu cự bằng 8, tâm sai bằng  . ¯. Trục lớn bằng 20, tâm sai bằng  . 
 °. Trục nhỏ bằng 10, tâm sai bằng  . 
A1 A2 O
F1 F2
MB2 
B1
2c 
2a 
2b 
x 
2a2/c (Δ2) (Δ1) 
x
y 
F2 F1 A1 A2 O 
2a 
2a2/c
2c 
(Δ2) (Δ1)
2b
M 
BÀI TẬP ÔN 
1/ Cho điểm M(8;–9) và đường thẳng d: x + 2y + 5 = 0. 
 ¬. Viết phương trình tham số của đường thẳng d. 
 −. Tìm toạ độ điểm H  d sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất. 
Tính độ dài nhỏ nhất này. 
2/ Cho 3 điểm A(1;6), B(–3;– 4), C(2;–3) và đường thẳng (Δ): 2x – y – 1 = 0. 
Tìm trên (Δ) điểm M sao cho: 
 ¬. ΔBCM cân tại B. −. AM2 + BM2 nhỏ nhất. 
 ®. AM + BM nhỏ nhất. ¯. AM + BM + CM nhỏ nhất. 
3/ ΔABC có phương trình 2 cạnh AB: x + y – 2 = 0, AC: 2x + 6y + 3 = 0 và 
M(–1;1) là trung điểm của cạnh BC. Tìm toạ độ A, B, C. 
4/ Cho ΔABC có trọng tâm G(–2;–1) và các cạnh 
AB: 4x + y + 15 = 0, AC: 2x + 5y + 3 = 0. 
 ¬. Tìm toạ độ đỉnh A và toạ độ trung điểm M của đoạn BC. 
 −. Tìm toạ độ đỉnh B và viết phương trình đường thẳng BC. 
5/ Cho đường thẳng (d): 2x + 3y + 4 = 0. 
 ¬. Lập phương trình đường thẳng (Δ) đi qua M(2;1) và song song với (d). 
 −. Lập phương trình đường thẳng (D) vuông góc với (d) và tạo với 2 trục 
toạ độ một tam giác có diện tích bằng 12. 
6/ ΔABC có đỉnh A(–1;–3), trọng tâm G(4;–2) và đường trung trực của đoạn 
AB là (d): 3x + 2y – 4 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh B, C. 
7/ ΔABC có đỉnh A(–1;3), đường cao BH nằm trên đường thẳng y = x, phân 
giác trong góc C nằm trên đường thẳng x + 3y + 2 = 0. Viết ph.trình cạnh BC. 
8/ Cho ΔABC có đỉnh C(– 4;3), ph.trình đường cao AH: 11x +2y – 13 = 0 và 
đường phân giác AD: x + 7y – 8 = 0. 
 ¬. Viết phương trình các cạnh của ΔABC. 
 −. Góc vuông mCn quay quanh đỉnh C, hai cạnh của góc cắt hai trục toạ 
độ Ox, Oy lần lượt tại M và N. Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn MN. 
9/ Cho đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0 và điểm A(0;3). Vẽ đoạn AH d (H∈d) 
và kéo dài AH về phía H một đoạn HB = 2AH. Tìm toạ độ điểm B. 
 Cho 2 điểm A(1;–2), B(–3;3). Tìm điểm C trên đường thẳng x – y + 2 = 0 
sao cho: 
 ¬. ΔABC vuông tại C. −. ΔABC cân ®. ΔABC đều. 
 Cho ΔABC có đỉnh A(1;3), đường cao BH: 2x – 3y – 10 = 0. 
 ¬. Giả sử cạnh BC có phương trình: 5x – 3y – 34 = 0. Tìm toạ độ B, C. 
 −. Giả sử cạnh AB có phương trình: 5x + y – 8 = 0 và ΔABC cân tại C. 
Xác định toạ độ các đỉnh B và C. 
-14- Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng 
 Trên parabol y2 = 16x tìm các điểm có bán kính qua tiêu điểm bằng 13. 
 Xét vị trí tương đối của đường thẳng x – y + 2 = 0 và parabol y2 = 8x. 
 
¥„ Cônic 
Định Nghĩa: Cônic là tập hợp các điểm M của mặt phẳng có tỉ số khoảng cách từ nó 
tới 1 điểm cố định F và 1 đ.thẳng cố định (Δ) (không đi qua F) bằng một hằng số e. 
e: Tâm sai, F: Tiêu điểm, (Δ): Đường chuẩn ứng với tiêu điểm F 
 * Nếu e < 1: cônic là Elip. 
 * Nếu e > 1: cônic là Hypebol. 
 * Nếu e = 1: cônic là Parabol. 
 Lập phương trình cônic nếu biết: 
 ¬. Tâm sai , tiêu điểm F(2;1) và đường chuẩn tương ứng x – 5 = 0. 
 −. Tâm sai bằng  , tiêu điểm F(5;0) và đường chuẩn tương ứng 5x –16 = 0 
 ®. Tâm sai , tiêu điểm F(– 4;1) và đường chuẩn tương ứng y + 3 = 0. 
 ¯. Tâm sai bằng  , tiêu điểm F(0;13) và đường chuẩn tương ứng 13y – 
144 = 0. 
 °. Tâm sai , tiêu điểm F(3;0) và đường chuẩn tương ứng x + y – 1 = 0. 
 ±. Tâm sai bằng 5, tiêu điểm F(2;–3) và phương trình đường chuẩn 
tương ứng 3x – y + 3 = 0. 
 ². Điểm A(–3;–5) nằm trên cônic, tiêu điểm F(–1;– 4), ph.trình đường 
chuẩn tương ứng x – 2 = 0. 
 ³. Điểm A(–3;–5) nằm trên cônic, tiêu điểm F(–2;–3), phương trình đường 
chuẩn tương ứng x + 1 = 0. 
 ´. Điểm M(2;–1) nằm trên cônic, tiêu điểm F(1;0), phương trình đường 
chuẩn tương ứng 2x – y – 10 = 0. 
 !0. Điểm M(1;–2) nằm trên cônic, tiêu điểm F(–2;2), phương trình đường 
chuẩn tương ứng 2x – y – 1 = 0. 
8 
Vũ Mạnh Hùng -11- 
 ±. Điểm M(–25;2) nằm trên Elip và trục nhỏ của nó bằng 6. 
 ². Điểm M(2;–2) nằm trên Elip và nửa trục lớn bằng 4. 
 ³. Hai điểm M(4;– 3 ), N(22;3) nằm trên Elip. 
 ´. Điểm M(1 5;–1) nằm trên Elip và tiêu cự bằng 8. 
 !0. Điểm M(2;–  ) nằm trên Elip và tâm sai bằng . 
 !1. Điểm M(8;12) nằm trên Elip và bán kính qua tiêu điểm bên trái của 
điểm M là r1 = 20. 
 !2. Đi qua điểm M( 324 ;) và M nhìn đoạn nối 2 tiêu điểm dưới góc . 
 !3. Khoảng cách giữa 2 đường chuẩn bằng 5, tiêu cự bằng 4. 
 !4. Khoảng cách giữa 2 đường chuẩn bằng 16, trục lớn bằng 8. 
 !5. Khoảng cách giữa 2 đường chuẩn bằng 13, trục nhỏ bằng 6. 
 !6. Khoảng cách giữa 2 đường chuẩn bằng 32, tâm sai bằng . 
 !7. Điểm M(– 5;2) nằm trên Elip và kh.cách giữa hai đ.chuẩn bằng 10. 
 Lập phương trình Elip biết: 
 ¬. Phương trình các cạnh hình chữ nhật cơ sở là x  4 = 0, y  3 = 0. 
 −. Tâm O, hình chữ nhật cơ sở có 1 cạnh nằm trên đường thẳng x – 2 = 0 
và có đường chéo bằng 6. 
 ®. Một đỉnh là (5;0), phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ 
sở là x2 + y2 = 41. 
 Tìm độ dài các trục, đỉnh, tiêu điểm, tâm sai của (E): 
 ¬. x2 + 25y2 = 25. −. x2 + 5y2 = 15. ®. 4x2 + 9y2 = 25. 
 ¯. 9x2 + 25y2 = 1. °. x2 + 4y2 = 1. 
 Tính diện tích tứ giác có 2 đỉnh là 2 tiêu điểm, 2 đỉnh còn lại là 2 đỉnh trên 
trục nhỏ của Elip x2 + 5y2 = 20. 
 Kiểm chứng rằng điểm M(– 4;) nằm trên Elip 16x2 + 25y2 = 400, tính 
các bán kính qua tiêu điểm của điểm M. 
 Tìm các điểm M trên Elip 7x2 +16y2 = 112 sao cho F1M = 2,5. 
 Xét vị trí tương đối của đường thẳng và elip: 
 ¬. 2x – y – 3 = 0, 
2 2x y
16 9
+ = 1, −. 2x + y – 10 = 0, 
2 2x y
9 4
+ = 1, 
 ®. 3x + 2y – 20 = 0, x2 + 4y2 = 40. 
 Tìm tâm sai của Elip trong các trường hợp: 
 ¬. Độ dài trục lớn bằng k lần độ dài trục nhỏ (k > 1). 
 −. Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới góc 2α. 
 ®. Đỉnh trên trục nhỏ nhìn 2 tiêu điểm dưới góc 2α. 
-12- Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng 
 ¯. Khoảng cách giữa 2 đỉnh trên 2 trục bằng k lần tiêu cự (k > ). 
 Tâm sai Elip bằng 10, bán kính qua tiêu điểm của điểm M trên Elip bằng 
10. Tính khoảng cách từ M đến đường chuẩn cùng phía với tiêu điểm này. 
 Tâm sai Elip bằng  , khoảng cách từ điểm M trên Elip đến đường chuẩn 
bằng 20. Tính khoảng cách từ M đến tiêu điểm cùng phía với đường chuẩn 
này. 
 Một Elip có tâm sai bằng , tiêu điểm F(–2;0). Tính khoảng cách từ một 
điểm M trên Elip có hoành độ bằng 2 đến đường chuẩn cùng phía với tiêu 
điểm đã cho. 
 Một Elip có tâm sai bằng , một đường chuẩn có phương trình x = 16. 
Tính khoảng cách từ 1 điểm M trên Elip có hoành độ bằng – 4 đến tiêu điểm 
cùng phía với đường chuẩn đã cho. 
 Tìm tâm sai của Elip biết khoảng cách giữa 2 đường chuẩn = k lần tiêu cự 
 
 Lập phương trình chính tắc của hypebol nếu: 
 ¬. Tiêu cự bằng 10 và trục ảo bằng 8. −. Tiêu cự bằng 6, tâm sai bằng . 
 ®. Trục thực bằng 16, tâm sai bằng  . 
 ¯. Phương trình tiệm cận y = ±  x, tiêu cự bằng 20. 
 °. Các điểm M(6;–1), N(–8;22 ) nằm trên hypebol. 
 ±. Tâm sai bằng 2, điểm M(–5;3) nằm trên hypebol. 
 ². Phương trình tiệm cận y = ±x, điểm M(  ;–1) nằm trên hypebol. 
 ³. Tổng 2 bán trục a + b = 7, phương trình 2 tiệm cận y = x 
 ´. Một đỉnh là (–3;0), phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật 
cơ sở x2 + y2 – 16 = 0 
 !0. Qua điểm M với xM = – 5 và F1M =  , F2M = . 
 !1. Khoảng cách giữa 2 đường chuẩn bằng  , tiêu cự bằng 26. 
 !2. Khoảng cách giữa 2 đường chuẩn bằng , trục ảo bằng 6. 
 !3. Khoảng cách giữa 2 đường chuẩn bằng  , tâm sai bằng . 
 !4. Phương trình tiệm cận y = ±x, khoảng cách giữa 2 đường chuẩn = . 
 !5. Phương trình đường chuẩn x = ±  , điểm M(–3; ) nằm trên hypebol. 
 !6. Phương trình tiệm cận y = ±, phương trình đường chuẩn x = ± . 
 Tìm độ dài các trục, tiêu điểm, tâm sai, phương trình các tiệm cận: 
Vũ Mạnh Hùng -13- 
 ¬. 16x2 – 9y2 = 144. −. 16x2 – 9y2 = –144. ®. 4x2 – 9y2 = 36. 
 ¯. x2 – 4y2 = 16. °. 4x2 – 9y2 = 25. ±. 25x2 – 16y2 = 1. 
 Kiểm chứng rằng điểm M(–5;  ) nằm trên hypebol 9x2 – 16y2 = 144. Tính 
bán kính qua tiêu điểm của điểm M. 
 Tìm những điểm trên hypebol 16x2 – 9y2 = 144 có khoảng cách đến tiêu 
điểm bên trái bằng 7. 
 Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên hypebol 
đến 2 tiệm cận của nó là 1 đại lượng không đổi bằng 
2 2
2 2
a b
a b+ . 
 Tìm tâm sai của Hypebol biết: 
 ¬. Hai tiệm cận vuông góc. −. Góc giữa 2 tiệm cận bằng . 
 Xét vị trí tương đối của đường thẳng và hypebol: 
 ¬. x – y – 3 = 0, 
2 2x y
12 3
− = 1. −. x – 2y + 1 = 0, 
2 2x y
16 9
− = 1. 
 Tâm sai hypebol bằng 2, bán kính qua tiêu điểm của điểm M bằng 16. 
Tính khoảng cách từ điểm M đến đường chuẩn cùng phía với tiêu điểm. 
 Tâm sai hypebol bằng 3, khoảng cách từ điểm M trên hypebol đến đường 
chuẩn bằng 4. Tính khoảng cách từ điểm M đến tiêu điểm cùng phía với 
đường chuẩn này. 
 Tâm sai hypebol bằng 2, một tiêu điểm là F(12;0). Tính khoảng cách từ 
điểm M trên hypebol có hoành độ bằng 13 đến đường chuẩn tương ứng với 
tiêu điểm đã cho. 
 Tâm sai hypebol bằng  , một phương trình đường chuẩn là x = – 8. Tính 
khoảng cách từ điểm M trên hypebol có hoành độ bằng 10 đến tiêu điểm 
tương ứng với đường chuẩn đã cho. 
 
¥ƒ Parabol 
Định nghĩa: (P) = {M / MF = d(M,Δ)} 
 ‚ Ph.trình chính tắc y2 = 2px 
 ‚ Tiêu điểm F(p/2;0) 
 ‚ Đường chuẩn Δ x = – p/2 
 ‚ BK qua tiêu điểm r = x + p/2 
 Lập phương trình chính tắc của parabol nếu: 
 ¬. Parabol đi qua điểm A(9;6). −. Tiêu điểm E(3;0). 
 Tìm tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol y2 = 24x. 
 Tính bán kính qua tiêu điểm của điểm M trên parabol y2 = 20x nếu xM = 7 
 Tính bán kính qua tiêu điểm của điểm M trên parabol y2 = 12x nếu yM = 6 
x 
y 
(Δ) 
F
O