Bài tập Toán 10 - Phần 2

Bài tập Toán 10 – A13K6 – YP2 
Tâm sáng – Chí bền 
16 
16 
156. Chứng minh rằng với mọi số thự nhiên n > 1 ta có: 
 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
a) ... 2. b) ... 1 .
n 1 n 2 n 3 3n 1 n2 3 n
+ + + + < + + + < −
+ + + +
157. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có: 
4 4 3 3 2 2a)a b a b ab . b)a b ab a b 1 1.+ ≥ + + − − − + ≥ 
158. Chứng minh các bất ñẳng thức 
8 5 2
bc ca ab
a) a b c, a, b,c 0. b)(a b)(b c)(c a) 8abc, a, b,c 0.
a b c
c)a a a a 1 0, a . d)ab(a b) bc(b c) ca(c a) 6abc, a, b,c 0.
e)(a 2b)(b 2c)(c 2a) 27abc, a, b,c 0.
+ + ≥ + + ∀ > + + + ≥ ∀ ≥
− + − + > ∀ ∈ + + + + + ≥ ∀ ≥
+ + + ≥ ∀ ≥
ℝ
4 4a b
 f )(1 ) (1 ) 32, a,b 0.
b a
a b c dg)1 2, a, b,c,d 0.
a b c b c d c d a d a b
+ + + ≥ ∀ >
+ + + + + + + +
159. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của a b cA
b c 1 c a 1 a b 1
= + +
+ + + + + +
 với a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 3. 
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
3 2
2
abB
2a b b
=
+ +
 với a, b > 0. 
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của a b cC
ab 2bc
+ +
=
+
 với a, b, c > 0. 
160. a) Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d không âm ta có 4a b c d abcd.
4
+ + + ≥ 
b) Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z, t ta có 4 4 4 4x y z t 4xyzt.+ + + ≥ 
161. Cho hai số dương x, y ta ñặt x y 1 1 1m , g xy, h ( ).
2 2 x y
+
= = = + Chứng minh rằng 
a)m g h. b)m g g h.≥ ≥ − ≥ − 
162. Giải bất phương trình 
2 3
2
2 2 2
3 5 2
3x 4 x(x 2)1)(x 1)(x 2) 0. 2)(x 1) (5x 2) (2 x)(1 3x) 0. 3) 1. 4) 0. 
x 2 x 1
2x 3 (4x 1)(x 2) 4 3 x 3x 15) 0. 6) 0. 7) . 8)(3x 1)(x 4) 3x 1 2 xx (x 1)(x 2) x
− +
− + > − + − − > > >
−
−
− + − + − − +
 >
− − + −+ − −
2 4 2
2 2
1.
1
2x 4x 3 1 1 2 3 1 1 x 17x 609) 0. 10) 0. 11) . 12) 0.(x 2)(x 3) 2 x 1 x 3 x 2 (x 1)(x 2) (x 3) x(x 8x 5)
>
− + − +
+ 
+ − − + + − + + − +
163. Giải bất phương trình 
2
2 2
2
2x1) x 4x 3 2 x. 2) 4x 7 3x 2. 3) 3 5x 1. 4) 8x 3 3x 2 1 x.
5
1 1 4x 3 1 1 4x5) . 6) 3. 7) 2x 1 2x 5 5 2x. 8)6x 3 6 x x .
x 2 x
9) x 2 x 6 8. 10)3 8x (x 6)(x 9) 0. 11) (
− + ≥ − − < + + ≥ − − − + ≥ −
− − − −
> ≤ + + − ≥ − + < − −
− − − < − + − − < x 2)(9 x) 3x 8.
12) 3x 8 5x 3 x 6. 13) (x 3)(x 5) (x 2)(x 1) 4. 14) x 1 x.
− − > −
− − + > + − − > + − − + >
164. Giải bất phương trình 
2 2 21)x | 5x 6 | 0. 2) | x 1| | 2 x x | . 3) | x 1| 2x 3. 4) | x 1| | x 1| 4.− + > − ≤ + − + > − − + + < 
2
| 2x 1| 1 2 x 3x 2 7x 1 3x5) . 6)x | 2x 1| | x | 0. 7) | | . 8) | 5 | .
2 | x 1| 1 2x 6 2 2x x 2
− − +
> + − − ≤ > − > −
+ −
− −
Bài tập Toán 10 – A13K6 – YP2 
Tâm sáng – Chí bền 
17 
17 
165. Giải hệ bất phương trình 
2 2 2
2 2
3x 1 1 2x x 50 x
3x 1 3(x 2) 5 3x2 3 50 5 1
x 4 8 21) 7x 9 10 . 2) (3 x) 3x 4 (2x 1) . 3) .
4x 1 x 1 4 5x3 3(x 3) x 7x 9x x 3 18 12 93 7
4 4
− − +> >
− − − 
 − − >   
− < − − + < + −  
− − −  
− > −+ < − + −  
− + < + 
166. Giải hệ bất phương trình 
2 3 2 3 2
2 3 2 3 2
5x 7x 1 0 3x 5x 2x 0 x 11x 10x 0
1) . 2) . 3) .
x 9x 30 0 x x 4x 0 x 12x 32x 0
  
− + − + <  
  
− +     
167. Tìm m ñể 
2 2
2 2
2
a)x 2x m 10, x . b)mx (m 1)x m 1 0, x .
c)(m 2)x 2(2m 3)x 5m 6 0, x . d)(4 m)x 3x m 4 0, x .
e)x 2mx 4 0, x . f ) 3x
+ + > ∀ ∈ + − + − < ∀ ∈
− + − + − > ∀ ∈ − − + + > ∀ ∈
− + > ∀ ∈ −
ℝ ℝ
ℝ ℝ
ℝ
2
2 2
2 2
2 2 2
2mx 12 0, x .
g)(1 2m)x 4x 6 0, x . h)(m 1)x 4x 2m 0, x .
2kx 2mx m x 6x 7 4i) k, x . j) , x .
34x 6x 3 x 2mx m
+ − < ∀ ∈
− − − ∀ ∈
− + − −
> ∀ ∈ < ∀ ∈
+ + − +
ℝ
ℝ ℝ
ℝ ℝ
168. Tìm m ñể phương trình 2mx 2(m 3)x m 3 0− − + + = 
a) Có 2 nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, có nghiệm duy nhất, vô nghiệm. 
b) Có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 2 21 1 1 2x x 5(x x ) 1.+ − + = 
169. Tìm m ñể phương trình 2mx 2x 4m 1 0− − − = 
a) Có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1. 
b) Có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 2 21 1 1 2x x x x 11.+ + + = 
170. Giải bất phương trình 
2 2 4 2
2
1) | 2x 3x 1| | 2x 5x | | 2x 1| . 2)4x 4 | 2x 1| x 5 0.
3) | x | 1 x | x 1| x 1. 4) 5x 1 x 1 2x 4.
2(x 16) 7 x5) x 3 . 
x 3 x 3
− + − − 
− + − ≤ − − − > −
− −
+ − >
− −
2 2
2 2 2 2
2 2
28x 6x 1 4x 1 0. 
 6)(x 3x) 2x 3x 2 0.
7) x 8x 15 x 2x 15 4x 18x 18. 8) | x 6 | | x 5x 9 | .
9) x 3 5 x x 8x 18. 10) 1 2x 1 2x 2 x .
11) − + − + ≤
− − − ≥
− + + + − ≤ − + − > − +
− + − ≥ − + − + + ≥ −
 12) 2x 7 5 x 3x 2.+ − − ≥ −
171. Giải phương trình 
( )( )
+ − = − + − + − + + − − =
− + − = − + − + − + − + =
+ + + + − = + + + − + =
− − + =
21)x 2 7 x 2 x 1 x 8x 7 1. 2) 3x 5 x 1 4.
2 23) 3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2. 4) 2x 1 x 3x 1 0 .
2 25) 1 x 1 1 x 2x 5 x. 6) 2x 3x 5 2x 3x 5 3x.
7) 10x 1 x 3 1. − + + = +
  +
− = + − + − = − − 
− 
2 2
 8) 2x 5 x 2 2x 1.
1 x 129) x 1 x 1 . 10)(2 2x) x 2x 1 x 2x 1.
2 x 1
Bài tập Toán 10 – A13K6 – YP2 
Tâm sáng – Chí bền 
18 
18 
172. Cho tam giác ABC với ( ) ( ) ( )6;5 , 4; 1 , 2;7A B C− − . Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm của các 
cạnh AB, BC, CA. 
a) Tìm toạ ñộ ñiểm D ñể tứ giác ABCD là hình bình hành. 
b) Tìm toạ ñộ các ñiểm M, N, P và toạ ñộ trọng tâm G của tam giác ABC. 
c) Hãy phân tích ( )3; 5x = theo hai véctơ à u MN v v MP= =    . 
d) Xác ñịnh tọa ñộ trực tâm H của tam giác ABC. 
e) Tính chu vi của tam giác ABC. 
173. Cho hình bình hành ABCD với A(0; 5), B(-2; 1), C(4; -1). 
a) Tìm toạ ñộ ñiểm D và toạ ñộ tâm I của hình bình hành ABCD. 
b) Tìm toạ ñộ ñiểm K sao cho 0CA CB CK+ + =
   
. 
c) Tìm toạ ñộ ñỉêm B’ ñối xứng với ñiểm B qua ñiểm A. 
d) Cho ( 3;2)c = −

. Hãy phân tích véctơ c

 theo hai véctơ ABa =
 
 và ACb =
 
. 
174. Cho ba ñiểm A, B, C với A(-5; 6); B(-4;-1); C(4; 3). 
a) Chứng minh A, B, C lập thành ba ñỉnh của một tam giác. 
b) Tìm toạ ñộ trọng tâm G của tam giác ABC và toạ ñộ ñiểm I sao cho 2 0IA IG+ =
  
. 
c) Tính góc B của tam giác ABC. 
d) Tìm ñiểm D trên trục hoành sao cho ABCD là hình thang có hai ñáy AB và CD. 
175. Cho tam giác ABC, gọi P là ñiểm sao cho 0PA PB+ =
  
, K là một ñiểm trên cạnh AC sao cho 
KA = 3KC và E là trung ñiểm của ñoạn PK. Chứng minh ñẳng thức 54
2
AE AB BC= +
  
. 
176. Cho 1cos 
3
x = − . Tính sinx, tanx, cotx? 
177. Trong mặt phẳng tọa ñộ cho ba ñiểm A(3; -1); B( 2; 4 ); C( 5; 3). 
a) Chứng minh A, B, C là 3 ñỉnh của môt tam giác. 
b) Tìm ñiểm D sao cho ABCD là hình bình hành. 
c) Tìm tọa ñộ của M sao cho C là trọng tâm của tam giác ABM. 
d) Tìm tọa ñộ ñiểm N sao cho tam giác ABN vuông cân ở N. 
177. Trong mặt phẳng tọa ñộ cho hai ñiểm A(-3; 4); B(1; 2) 
a) Tính cosin của góc OAB. 
b) Tìm ñiểm M trên Ox sao cho AM = BM. 
c) Tìm ñiểm C sao cho O 2 3 0OA OB OC+ + =
   
. 
178. Trong hệ tọa ñộ Oxy cho 3 ñiểm A(4; 3), B(2; 7), C(-3; -8). 
a) Tìm tọa ñộ ñiểm D ñể ABCD là hình bình hành, tìm tọa ñộ tâm của hình bình hành ABCD. 
b) Tìm tọa ñộ trực tâm tam giác ABC. 
c) Tìm tọa ñộ tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tính bán kính ñường tròn ñó. 
d) Tìm tọa ñô chân ñường cao A1 kẻ từ A, chân ñường phân giác trong của góc A. 
179. Trong hệ tọa ñộ Oxy cho A(- 4; 1), B(2; 4), C(2;- 2). 
a) Chứng minh A, B, C là ba ñỉnh của một tam giác, tính chu vi tam giác ABC. 
b) Tính cosABC ? 
c) Tìm tọa ñộ ñiểm M sao cho: 2 3 0MA MB MC+ − =
   
. 
180. Cho tam giác vuông cân OAB với OA = OB = a. 
1) Dựng vectơ 3 4OA OB+
 
. 
2) Tính ñộ dài vetơ vừa mới dựng. 
181. a) Cho tanx = -2. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc x. 
b) Cho sinx = 1/4 . Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc x. 
c) Cho tan 5x = . Tính giá trị của biểu thức 5sin -3cos
sin cos
x xA
x x
=
+
.