Bài tập Toán Lớp 10 - Cách giải phương trình bậc 4 tổng quát

Cách giải phương trình bậc 4 tổng quát
Phương pháp giải phương trình bậc 4 tổng quát:
Ta tìm giá trị y sao cho vế phải là biểu thức chính phương (trường hợp vế phải của (*) đã là biểu thức chính phương thì việc đưa vào biến phụ y là không cần thiết). Muốn vậy, vế phải phải có nghiệm kép theo biến x.
Từ đây, giải 2 phương trình (a), (b) ta sẽ có 4 nghiệm của phương trình bậc 4 tổng quát ban đầu.
*Ghi chú: Từ phương trình (***) ta sẽ có 3 giá trị y, và với mỗi giá trị y có được ta sẽ có 4 giá trị x. Như vậy, tổng cộng ta có 12 giá trị x là nghiệm của phương trình (1). Tuy nhiên, do (1) là phương trình bậc bốn nên chỉ có đúng 4 nghiệm (thực hoặc phức). Do đó, các giá trị x tương ứng với y0 sẽ phải trùng lại với các giá trị x tương ứng với y1và y2. Vì vậy, từ (***) ta chỉ cần tìm 1 giá trị yo là đủ.
Ví dụ.
Ví dụ 1. Giải phương trình:
a)  – 7x – 18 = 0;
b)    – 9 + 8 = 0.
Giải:    
a) Đặt t = . Điều kiện: t ≥ 0.
Phương trình trở thành:  – 7t – 18 = 0.
Ta có : ∆ = 49 + 72 = 121 > 0.
Do đó phương trình có hai nghiệm:
Phương trình có a + b + c = 0 nên có hai nghiệm :
t = 1 (thoả mãn điều kiện) và t = 8 (thoả mãn điều kiện).
Với t = 1 thì  = 1, do đó x = 1 hoặc x = -1.
Với t = 8 thì = 8, do đó x =  hoặc x =  .
Vậy phương trình có các nghiệm là x = 1; x = -1; x =  ; x =  .
Lưu ý. Tương tự như với phương trình trên, với phương trình có dạng :
trong đó f(x) là biểu thức của x. Khi đó ta có thể đặt t = f(x) để  đưa phương trình trên về phương trình bậc hai. Giải phương trình đó  tìm được t, từ đó tìm x.
Ví dụ 2.
Giải:
Ví dụ 3. Giải phương trình :
 Giải:    
Ví dụ 4.
Giải phương trình:
Giải: