Bài tập trắc nghiệm môn Toán Lớp 10 (Có đáp án) - Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC
Vấn đề 1. GIẢI TAM GIÁC
Câu 1. Tam giác có . Số đo góc bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 2. Tam giác có và . Tính độ dài cạnh .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 3. Tam giác có đoạn thẳng nối trung điểm của và bằng , cạnh và . Tính độ dài cạnh cạnh .
A. 	B. 	C.	D. 
Câu 4. Tam giác có và . Tính độ dài cạnh .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 5. Tam giác có và . Tính độ dài cạnh .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 6. Cho hình thoi cạnh bằng và có . Tính độ dài cạnh .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 7. Tam giác có . Điểm thuộc đoạn sao cho . Tính độ dài cạnh .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 8. Tam giác có . Gọi là chân đường phân giác trong góc . Khi đó góc bằng bao nhiêu độ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 9. Tam giác vuông tại , đường cao . Hai cạnh và tỉ lệ với và . Cạnh nhỏ nhất của tam giác này có độ dài bằng bao nhiêu?
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 10. Tam giác vuông tại . Trên cạnh lấy hai điểm sao cho các góc bằng nhau. Đặt . Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng?
A. 	B. 	
C. 	D. 
Câu 11. Cho góc . Gọi và là hai điểm di động lần lượt trên và sao cho . Độ dài lớn nhất của đoạn bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 12. Cho góc . Gọi và là hai điểm di động lần lượt trên và sao cho . Khi có độ dài lớn nhất thì độ dài của đoạn bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 13. Tam giác có . Các cạnh liên hệ với nhau bởi đẳng thức . Khi đó góc bằng bao nhiêu độ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 14. Tam giác vuông tại , có . Gọi là độ dài đoạn phân giác trong góc . Tính theo và .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 15. Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc . Tàu chạy với tốc độ hải lí một giờ. Tàu chạy với tốc độ hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? 
	Kết quả gần nhất với số nào sau đây?
A. hải lí. 	
B. hải lí. 
C. hải lí. 
D. hải lí.	
Câu 16. Để đo khoảng cách từ một điểm trên bờ sông đến gốc cây trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm cùng ở trên bờ với sao cho từ và có thể nhìn thấy điểm . Ta đo được khoảng cách , và . 
Vậy sau khi đo đạc và tính toán được khoảng cách gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. . 
B. . 
C. . 
D. .	
Câu 17. Từ vị trí người ta quan sát một cây cao (hình vẽ). 
	Biết . 
	Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. . 	
B. . 
C. . 	
D. .
Câu 18. Giả sử là chiều cao của tháp trong đó là chân tháp. Chọn hai điểm trên mặt đất sao cho ba điểm và thẳng hàng. Ta đo được , . 
	Chiều cao của tháp gần với giá trị nào sau đây?
A. . 	
B. . 
C. . 
D. .	
Câu 19. Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao . Từ vị trí quan sát cao so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh và chân của cột ăng-ten dưới góc và so với phương nằm ngang. 
	Chiều cao của tòa nhà gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. . 	
B. . 
C. . 	
D. .
Câu 20. Xác định chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh của tháp. Đặt kế giác thẳng đứng cách chân tháp một khoảng , giả sử chiều cao của giác kế là . 
	Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm theo thanh ta nhình thấy đỉnh của tháp. Đọc trên giác kế số đo của góc . Chiều cao của ngọn tháp gần với giá trị nào sau đây:
A. . 	
B. . 
C. . 	
D. .	
Câu 21. Từ hai vị trí và của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh của ngọn núi. Biết rằng độ cao , phương nhìn tạo với phương nằm ngang góc , phương nhìn tạo với phương nằm ngang góc . 
	Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. . 	B. . 
C. . 	D. .	
Vấn đề 2. ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN
Câu 22. Tam giác có và . Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh của tam giác bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 23. Tam giác vuông tại và có . Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác đã cho.
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 24. Tam giác có cm, cm và cm. Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác đã cho.
A. cm.	B. cm.	C. cm.	D. cm.
Câu 25. Tam giác cân tại , có và . Gọi là điểm đối xứng của qua . Tính độ dài cạnh 
A. cm.	B. cm.	C. cm.	D. cm.
Câu 26. Tam giác có . Gọi là trung điểm của . Biết và . Tính độ dài cạnh .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 27*. Tam giác .. có trọng tâm . Hai trung tuyến , và . Tính độ dài cạnh .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 28**. Tam giác có độ dài ba trung tuyến lần lượt là . Diện tích của tam giác bằng:
A. . 	B. . 	C. . 	D. .
Câu 29*. Cho tam giác có . Nếu giữa có liên hệ thì độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh của tam giác tính theo bằng:
A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 30*. Cho hình bình hành có và . Trong các biểu thức sau, biểu thức nào đúng:
A. . 	B. .
C. . 	D. .
Câu 31**. Tam giác có . Các cạnh liên hệ với nhau bởi đẳng thức . Góc giữa hai trung tuyến và là góc nào?
A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 32**. Tam giác có ba đường trung tuyến thỏa mãn . Khi đó tam giác này là tam giác gì?
A. Tam giác cân. 	B. Tam giác đều. 	
C. Tam giác vuông. 	D. Tam giác vuông cân.
Câu 33**. Tam giác có . Gọi là độ dài ba đường trung tuyến, trọng tâm. Xét các khẳng định sau:
. .	. .
Trong các khẳng định đã cho có
A. đúng. 	B. Chỉ đúng. 	C. Cả hai cùng sai. 	D. Cả hai cùng đúng.
Vấn đề 3. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP
Câu 34. Tam giác có và . Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 35. Tam giác có và . Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 36. Tam giác có . Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 37. Tam giác đều cạnh nội tiếp trong đường tròn bán kính . Khi đó bán kính bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 38. Tam giác vuông tại có đường cao và . Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 39. Cho tam giác có và . Gọi là trung điểm . Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 40**. Tam giác nhọn có , là đường cao kẻ từ và . Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác được tính theo và là:
A. .	B. .
C. .	D. .
Vấn đề 4. DIỆN TÍCH TAM GIÁC
Câu 41. Tam giác có . Tính diện tích tam giác .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 42. Tam giác có . Tính diện tích tam giác .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 43. Tam giác có . Diện tích của tam giác bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 44. Tam giác có . Tính độ dài đường cao của tam giác.
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 45. Tam giác có . Tính độ dài đường cao uất phát từ đỉnh của tam giác.
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 46. Tam giác có . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên cạnh . Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 47. Tam giác có cm, cm và có diện tích bằng . Giá trị ằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 48. Hình bình hành có và . Khi đó hình bình hành có diện tích bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 49*. Tam giác vuông tại có cm. Hai đường trung tuyến và cắt nhau tại . Diện tích tam giác bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 50*. Tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính cm có diện tích bằng:
A. 	B. 	C. 	D. .
Câu 51*. Tam giác có và độ dài đường cao . Tính độ dài cạnh .
A. 	. 	B. . 	
C. 	 hoặc . 	D. hoặc .
Câu 52*. Tam giác có và có diện tích . Nếu tăng cạnh lên lần đồng thời tăng cạnh lên lần và giữ nguyên độ lớn của góc thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 53*. Tam giác có và . Tam giác có diện tích lớn nhất khi góc bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 54*. Tam giác có hai đường trung tuyến vuông góc với nhau và có , góc . Tính diện tích tam giác .
A. . 	B. .	C. .	D. .
Vấn đề 5. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP
Câu 55. Tam giác có và . Tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.
A. . 	B. . 	C. . 	D. .
Câu 56. Tam giác có . Tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.
A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 57. Tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 58. Tam giác vuông tại có cm, cm. Tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.
A. cm.	B. cm.	C. cm.	D. cm.
Câu 59. Tam giác vuông cân tại , có . Tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 60. Tam giác vuông cân tại và nội tiếp trong đường tròn tâm bán kính . Gọi là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác . Khi đó tỉ số bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Câu 1. Theo định lí hàm cosin, ta có .
Do đó, . Chọn C.
Câu 2. Theo định lí hàm cosin, ta có
. Chọn D. 
Câu 3. 
Gọi lần lượt là trung điểm của .
 là đường trung bình của .
. Mà , suy ra .
Theo định lí hàm cosin, ta có
Chọn A.	
Câu 4. Theo định lí hàm cosin, ta có
. Chọn B. 
Câu 5. Theo định lí hàm sin, ta có .
Chọn A.
Câu 6. 
Do là hình thoi, có .
Theo định lí hàm cosin, ta có
Chọn A.
Câu 7. 
Theo định lí hàm cosin, ta có : .
Do .
Theo định lí hàm cosin, ta có
Chọn C.	
Câu 8. 
Theo định lí hàm cosin, ta có:
Trong có .
Chọn C.	
Câu 9. Do tam giác vuông tại , có tỉ lệ 2 cạnh góc vuông là nên là cạnh nhỏ nhất trong tam giác.
Ta có .
Trong có là đường cao
. Chọn B.
Câu 10. 
Ta có .
Theo định lí hàm cosin, ta có
. Chọn C.
Câu 11. Theo định lí hàm sin, ta có:
Do đó, độ dài lớn nhất khi và chỉ khi 
	. 
Khi đó .
Chọn D.	
Câu 12. Theo định lí hàm sin, ta có
Do đó, độ dài lớn nhất khi và chỉ khi 
	. 
Khi đó .	
Tam giác vuông tại . 
Chọn B
Câu 13. Theo định lí hàm cosin, ta có .
Mà 
 (do )
Khi đó, . Chọn C.
Câu 14. 
Ta có .
Do là phân giác trong của 
.
Theo định lí hàm cosin, ta có
.
 hay . Chọn A.
Câu 15. Sau giờ tàu đi được hải lí, tàu đi được hải lí. Vậy tam giác có và 
Áp dụng định lí côsin vào tam giác ta có 
Vậy (hải lí).
Sau giờ, hai tàu cách nhau khoảng hải lí. Chọn B.
Câu 16. Áp dụng định lí sin vào tam giác ta có 
Vì nên Chọn C.
Câu 17. Trong tam giác , ta có .
Suy ra .
Suy ra .
Áp dụng định lý sin trong tam giác , ta được
	 Chọn B.
Câu 18. Áp dụng định lí sin vào tam giác ta có 
Ta có nên 
Do đó 
Trong tam giác vuông có Chọn D.
Câu 19. Từ hình vẽ, suy ra và 
	.
Áp dụng định lí sin trong tam giác , ta có 
	.
Trong tam giác vuông , ta có 
Vậy Chọn B.
Câu 20. Tam giác vuông tại có 
Vậy chiếu cao của ngọn tháp là Chọn C.
Câu 21. Từ giả thiết, ta suy ra tam giác có và 
Khi đó 
Theo định lí sin, ta có hay 
Do đó 
Gọi là khoảng cách từ đến mặt đất. Tam giác vuông có cạnh đối diện với góc nên 
Vậy ngọn núi cao khoảng Chọn A.
Câu 22.
Áp dụng công thức đường trung tuyến ta được: 
 Chọn D.
Câu 23. 
 là trung điểm của 
Tam giác vuông tại 
 Chọn D.
Câu 24. 
Áp dụng hệ thức đường trung tuyến ta được: 
 Chọn A.
Câu 25. 
Ta có: là điểm đối xứng của qua là trung điểm của 
 là trung tuyến của tam giác 
Theo hệ thức trung tuyến ta có:
 Chọn C.
Câu 26. 
Ta có: là trung điểm của 
Trong tam giác ta có: 
Ta có: và là hai góc kề bù. 
Trong tam giác ta có:
 Chọn D.
Câu 27*. 
Ta có: và là hai góc kề bù mà 
 là trọng tâm của tam giác 
Trong tam giác ta có: 
 là trung điểm của Chọn D.
Câu 28**. Ta có: 
Ta có: 
	 Chọn C.
Diện tích tam giác 
Câu 29*. Hệ thức trung tuyến xuất phát từ đỉnh của tam giác: 
Mà: Chọn A.
Câu 30*. Gọi là giao điểm của và Ta có: 
 là trung tuyến của tam giác 
 . Chọn B.
Câu 31**. Gọi là trọng tâm tam giác 
Ta có: 
Trong tam giác ta có:
 Chọn D.
Câu 32**. Ta có: 
	Mà: 
 tam giác vuông. Chọn C.
Câu 33**. Ta có: 
. Chọn D.
Câu 34. Áp dụng định lí sin, ta có 
Chọn B.
Câu 35. Áp dụng định lí Cosin, ta có 
Suy ra tam giác vuông tại do đó bán kính Chọn A.
Câu 36. Đặt Áp dụng công thức Hê – rông, ta có 
Vậy bán kính cần tìm là 
Chọn C.
Câu 37. Xét tam giác đều cạnh gọi là trung điểm của 
Ta có suy ra 
Vậy bán kính cần tính là 
Chọn C.
Câu 38. Tam giác vuông tại có đường cao 
Mặt khác thế vào ta được 
Suy ra 
Vậy bán kính cần tìm là 
Câu 39. Vì là trung điểm của 
Tam giác có tam giác đều.
Nên có bán kính đường tròn ngoại tiếp là Chọn B.
Câu 40**. Xét tam giác vuông tại có 
Mà và 
Tam giác vuông tại có 
Bán kính đường tròn ngoại tiếp cần tính là 
Câu 41. Ta có . Chọn B.
Câu 42. Ta có .
Suy ra tam giác cân tại nên .
Diện tích tam giác là Chọn C.
Câu 43. Ta có .
Do đó . Chọn D.
Câu 44. Áp dụng định lý hàm số côsin, ta có 
	.
Ta có .
Lại có Chọn C.
Câu 45. Gọi là chân đường cao xuất phát từ đỉnh .
Tam giác vuông , có 
Chọn A.
Câu 46. Ta có .
Suy ra .
Lại có . Chọn C.
Câu 47. Ta có Chọn D.
Câu 48. Diện tích tam giác là 
Vậy diện tích hình bình hành là Chọn C.
Câu 49*. Vì là trung điểm của 
Đường thẳng cắt tại suy ra là trọng tâm tam giác 
Khi đó 
Vậy diện tích tam giác là: 
	 Chọn C.
Câu 50*. Xét tam giác đều, có độ dài cạnh bằng 
Theo định lí sin, ta có 
Vậy diện tích cần tính là 
Chọn C.
Câu 51*. Ta có .
Suy ra .
Lại có 
Từ đó ta có 
 Chọn C.
Câu 52*. Diện tích tam giác ban đầu là 
Khi tăng cạnh lên lần và cạnh lên lần thì diện tích tam giác lúc này là Chọn D.
Câu 53*. Diện tích tam giác là 
Vì không đổi và nên suy ra 
Dấu xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác là Chọn B.
Câu 54*. Vì . (Áp dụng hệ quả đã có trước)
Trong tam giác , ta có 
Khi đó . Chọn A.
Câu 55. Áp dụng định lý hàm số côsin, ta có 
.
Diện tích . 
Lại có . Chọn C.
Câu 56. Ta có .
Suy ra . 
Lại có Chọn C.
Câu 57. Diện tích tam giác đều cạnh bằng: .
Lại có . Chọn C. 
Câu 58. Dùng Pitago tính được , suy ra .
Diện tích tam giác vuông .Lại có 
Chọn C. 
Câu 59. Từ giả thiết, ta có và .
Suy ra .
Diện tích tam giác vuông .
Lại có Chọn C. 
Câu 60. Giả sử . Suy ra .
Ta có .
Diện tích tam giác vuông .
Lại có Vậy . Chọn A.