Bộ đề thi học sinh giỏi cấp Trường Khối 10 môn Toán (Có đáp án) - Năm học 2017-2018 - Trường THPT Con Cuông

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT CON CUÔNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10
NĂM HỌC 2017 – 2018
Môn: TOÁN 
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

 Câu 1. (5,0 điểm) 
 Cho phương trình bậc hai (1) với x là ẩn số. 
 a) Giải phương trình (1) khi m = 6.
 b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn .
Câu 2. (3,0 điểm) 
 Giải hệ phương trình: 
Câu 3. (5,0 điểm) 
 a) Cho góc thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức 
 b) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các . Điểm K trên đoạn 
 thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. Tìm tỉ số . 
Câu 4. ( 5,0 điểm).
 Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là trung điểm 
 AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình , . 
 a) Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao của CD 
 và BE.
 b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm.
 Câu 5. (2,0 điểm) Cho là các số thực dương thoả mãn . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
---- Hết ----
Họ tên thí sinh :........................................................................... Số báo danh :.....................................
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC 
 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
1.
 Phương trình 
5,0
a)
Giải phương trình (1) khi 
1,5

Khi PT (1) có dạng: 
0,5
Ta có: 
0,5
 PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: và 
0,5
b)
Tìm giá trị m thỏa mãn
3,5

Lập ∆ = 25 - 4m
 Phương trình có 2 nghiệm khi ∆ ≥ 0 hay m £ 
0,5
Áp dụng hệ thức Viet, ta có 
 Hai nghiệm dương khi hay m > 0.
0,5
Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm dương x1, x2 là 0 < m £ (*)
0,5
Ta có: 
Suy ra 
Ta có 
 Hay (1)
0,5
Đặt , khi đó (1) thành:
 Û 2t3 + 5t2 - 36 = 0
 Û (t - 2)(2t2 + 9t + 18) = 0
0,5
 Û t - 2 = 0 hoặc 2t2 + 9t + 18 = 0
Với t - 2 = 0 => t = 2 => m = 4 (thoả mãn (*)).
 Với 2t2 + 9t + 18 = 0 : phương trình vô nghiệm. 
0,5
Vậy với m = 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn .
0,5
2.
 Giải hệ phương trình: 
3,0

Hệ 
1,0
Đặt . Hệ trở thành: (*)
0,5
Hệ 
Từ đó tìm ra 
0,5
 Với ta có hệ .
 Với ta có hệ .
0,5
Với ta có hệ .
Kết luận: Hệ có 5 nghiệm .
0,5
3.

5,0
a)
Cho góc thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức 
2,5


1.0
 
0,5
 
0,5
 
0,5
b)
b) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các . Điểm K trên đoạn thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. Tìm tỉ số . 
2,5

A
B
C
D
E
K
Vì 
0,5
Giả sử 
0,5
Mà nên 
0,5
Do không cùng phương nên 
0.5

Từ đó suy ra . Vậy 
0,5
4.
Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là trung điểm AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình , . 
5,0

a)
 Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao của CD và BE.
2,5

A
B
C
D
E
I
 Ta có là chân đường phân giác trong
0,5
 Do BD = BC 
0,5
 tọa độ điiểm I là nghiệm của hệ 
0,5
Giải hệ phương trình 
1,0
b)
Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm.
2,5

Đặt 
0,5
Do (1)
Tam giác vuông tại I (2)
0,5
Từ (1) và (2) 
0,5
Gọi từ 
0,5
Với 
Với 
Vậy 
0,5
5.
Cho là các số thực dương thoả mãn . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
2,0


Áp dụng BĐT AM- GM ta có 
 
0,5

0,5
 

0,5
Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi chẳng hạn tại .
0,5

`SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM
TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN
ĐỀ THI OLYMPIC 24/3 QUẢNG NAM
NĂM HỌC 2017-2018
Môn thi: TOÁN 10 (đề thi đề nghị)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1 (5,0 điểm).
a) Giải phương trình 
b) Giải hệ phương trình 
Câu 2 (4,0 điểm).
a) Tìm tập xác định của hàm số : .
b) Gọi là hai nghiệm của phương trình . 
Đặt . Với giá trị nào của thì đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3 (3,0 điểm). 
	Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 
Câu 4 (4,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có BC,các đường thẳng AB và AC lần lượt đi qua các điểm M(1;) và N(0;). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường cao AH có phương trình x+y – 2=0 và điểm B có hoành độ dương.
Câu 5 (4,0 điểm).
a) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện = 2 thì tam giác ABC là tam giác cân.
b) Cho tam giác . Gọi M là trung điểm cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC sao cho và I là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh : . Hãy biểu diễn vecto theo hai vecto và .
---------------Hết--------------
SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 10
TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
5,0
a) Giải phương trình: (1)
2,5
ĐK: x ³ 0; .
 Khi đó: (1) Û 
Vậy (1) có nghiệm: 
0,25
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25

b) Giải hệ phương trình 
2,5
Điều kiện: .
PT thư nhất tương đương: 
Kết hợp với PT hai ta được 
Vậy, hệ đã cho có nghiệm 
0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25

Câu 2
Nội dung
Điểm

4,0
a) Tìm tập xác định của hàm số : 
1.5
ĐK: 	

0.5
0.5
0.5
b) Gọi là hai nghiệm của phương trình . 
Đặt . Với giá trị nào của thì đạt giá trị nhỏ nhất.
2.5
+ PT có hai ngiệm khi 
+ 
A nhỏ nhất khi 
0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 3
3,0
Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 
.


Viết lại 

Theo Cô si: (1)
( Do x+y=1 )

 Theo Bunhiacopski: 
 ( Do x+y=1 ) (2)


 Trừ theo từng vế (1) và (2) ta có :
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy minQ = 
0.5
0.25
Câu 4
4,0
Phương trình đường thẳng qua N và vuông góc với AH là
Tọa độ giao điểm I của AH với là nghiệm của hệ PT
Gọi N1 là giao điểm của và AB, suy ra 
Đường thẳng AB đi qua hai điểm M và N1 nên có PT 7x+3y = 2
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 
Giả sử 
Khi đó 
PT đường thẳng BC: x-y = 6
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ 
0,5
0,5
0,25
0,25
0.25
0,5
0.5
0.5
0.25
0.5
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 5
4,0
a) . Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện = 2 thì tam giác ABC là tam giác cân.

2,0
+ Viết được .
+ 
+ Thay vào = 2, rút gọn ta được b=c
+ Vậy tam giác ABC cân tại A 

0.5
0.5
0.75
0.25

b). Cho tam giác . Gọi M là trung điểm cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC sao cho và I là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh : . Hãy biểu diễn vecto theo hai vecto và 
2.0
+ Chứng minh được 
+ Ta có I là trung điểm của MN

0.5
0.5
0.5
0.5

 SỞ GD & ĐT THANH HÓA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4 Năm học 2016 – 2017
 *** Môn thi: Toán - Khối 10
 ( Thời gian làm bài: 120 phút) 
Câu 1 (5.0 điểm). Cho phương trình: 
 1. Tìm m để phương trình có nghiệm
 2. Khi phương trình có hai nghiệm , tìm a để biểu thức không phụ thuộc 
vào m. 
Câu 2 (8.0 điểm). Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:
 1. 
 2. 
 3. 
Câu 3 (2.0 điểm). Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi S là diện tích tam giác ABC, chứng minh rằng : 
Câu 4 (2.0 điểm). Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, E trên các đoạn AB, BC, CA sao cho . Chứng minh rằng: 
Câu 5 (2.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm . Viết phương trình đường thẳng AB. Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N trên đoạn AB; E, F trên đoạn OB sao cho tứ giác MNEF là hình vuông. 
Câu 6 (1.0 điểm). Biết a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: 
 . 
	Hết 
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị xem thi không giải thích gì thêm
 Họ và tên thí sinh..........................................................................;Số báo danh.......
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN CẤP TRƯỜNG KHỐI 10
Năm học 2016- 2017
Câu
Đáp án
Điểm
1
(5đ)
Cho phương trình: 

1. Tìm m để phương trình có nghiệm
3.0
TH1. Nếu , pt trở thành: là nghiệm
 thỏa mãn. 
1.0
TH2. Nếu 
 Ta có 
1.0
Pt đã cho có nghiệm 
kết hợp 2 TH trên ta được m cần tìm là 
1.0
2. Khi phương trình có hai nghiệm , tìm a để biểu thức không phụ thuộc vào m.
2.0
Với phương trình có hai nghiệm , khi đó theo định lí 
vi-et ta có: , ta có:
= 
1.0 
 
F không phụ thuộc vào m 
1.0
2
(8đ)
1. 

3.0
Đk : 
pt
 
0.5
đặt ( đk ). Ta có phương trình: 
0.5
 kết hợp với điều kiện ta được t = 3
1.0
với t =3 (TM).
1.0
2. 

3.0
Đk x > 2
bpt 
1.0

kết hợp với đk ta có bpt 
Vậy tập nghiệm của bpt đã cho là: 
1.0
1.0
3. 
 2.0
Đk: 
hpt 
đặt (ĐK a, b > 0) , ta có hệ: 
0.5
 
 
0.5
 
 ( vì a, b > 0) 
0.5
với (thỏa mãn)
0.5
3
(2đ)
 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi S là diện tích tam giác ABC, chứng minh rằng : 
 2.0
Ta có : 

0.5
 
0.5
tương tự ta cũng có: , do đó 
0.5
 

0.5
4
(2đ)
Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, E trên các đoạn AB, BC, CA sao cho . Chứng minh rằng: 
2.0
Từ gt ta có: 
 
1.0
cộng theo vế các đẳng thức trên ta được: 

0.5
mà và ,
 nên 
0.5
5
(2đ)
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm . Viết phương trình đường thẳng AB. Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N trên đoạn AB; E, F trên đoạn OB sao cho MNEF là hình vuông. 
2.0
*) Viết pt đường thẳng AB:
ta có AB có vtcp là AB có vtpt là : 
0.5
 pt AB: 2(x - 6) + 3(y - 0) = 0 pt AB: 2x + 3y -12 = 0
0.5
*) Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N trên đoạn AB; E, F trên đoạn OB sao cho MNEF là hình vuông.
Gọi H là hình chiếu của A trên Ox, do MNEF là hình vuông nên ta có:
MF //AH // NE
x
A
B
F
M
N
E
O
y
0.5
 và 
khi đoa M(1 ; 2) , F(1; 0), N( 3; 2), E(3; 0) 

0.5
6
(1đ)
 Biết a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn chứng minh rằng: 
 
1.0

do a, b, c là ba số thực dương nên áp dụng bđt TBC- TBN ta có:
 ; tương tự ta cũng có:
0.5
cộng theo vế các bđt trên ta được:
VT + 
mà nên đpcm
0.5

SỞ GD & ĐT THANH HÓA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4 Năm học 2015 – 2016
 *** Môn thi: Toán - Khối 10
 ( Thời gian làm bài: 120 phút) 
Câu 1 (5.0 điểm). Cho hàm số 
 1. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn . 
 2. Tìm m để với mọi . 
Câu 2 (8.0 điểm). Giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình sau:
 1. 
 2. 
 3. 
Câu 3 (2.0 điểm). Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu : 
Câu 4 (2.0 điểm). Cho tứ giác MNPQ gọi A, B, C, D lần lượt là trung điểm của MN, NP, PQ, QM. Chứng minh rằng: 
Câu 5 (2.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(3; 0) đường thẳng chứa đường cao từ B và đường trung tuyến từ C lần lượt có phương trình x + y + 1 = 0 ; 2x - y - 2 = 0. Tìm tọa độ đỉnh B và C của tam giác ABC.
Câu 6 (1.0 điểm). Biết a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn chứng minh rằng: .
	Hết 
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu.Giám thị xem thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh..........................................................................;Số báo danh.......
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁP TRƯỜNG KHỐI 10
Năm Học 2015- 2016
Câu
Đáp án
Điểm
1
(5đ)
Cho hàm số 

1. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn . 
3.0
xét phương trình: 
để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn trước hết pt (*) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 0 
1.0
 ; theo định lí viet ta có: 
1.0
 (TM)
1.0
 2. Tìm m để với mọi .
2.0
để với mọi đồ thị hàm số nằm dưới trục hoành với 
 ... ; 0 với mọi x)
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = 

0,25
0,25
0,25
0,25
b) Giả sử phương trình bậc hai ẩn ( là tham số): có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: .
2,0
Phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn
Theo định lí Viet ta có suy ra
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta được: khi , khi .

0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 3
3,0
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa x . y. z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 


 Áp dụng BĐT Cô-si , ta có: .
Tương tự , ta có :
 0,75
0,25
Cộng vế theo vế , ta được:
Áp dụng BĐT Cô-si , ta có: .

0,5
0,5
 Từ (1) , (2) suy ra 
0,5
 Vậy Pmin = , đạt được khi x = y = z = 1 
0,5
Câu 4
2,0
Trong mặt phẳng tọa độ cho một ngũ giác lồi có các đỉnh là những điểm có tọa độ nguyên. Chứng minh rằng bên trong hoặc trên cạnh ngũ giác có ít nhất một điểm có tọa độ nguyên.
Điểm


Coi đỉnh Ai (xi ; yi), i = 1,2,3,4,5.
Khi đó (xi ; yi) có thể rơi vào những trường hợp sau: (2k ; 2k’) ; (2k ; 2k’ + 1) ;
(2k + 1 ; 2k’ + 1) ; (2k + 1 ; 2k’ ) với .
Do đa giác có 5 đỉnh nên theo nguyên lí Đi rich lê, có ít nhất hai đỉnh có tọa độ thuộc một trong bốn kiểu trên.
Khi đó trung điểm của đoạn nối 2 đỉnh đó sẽ có tọa độ nguyên.
Do ngũ giác là lồi nên trung điểm đó nằm ở miền trong hoặc tren cạnh của ngũ giác đó.

0,75
0,5
0,25
0,5
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 5
40
 a) Cho tam giác đều ABC . Lấy các điểm M, N thỏa mãnGọi I là giao điểm của AM và CN . Chứng minh BI ^ IC.
2,0

Giả sử	 , ta có:
và .
Vì cùng phương nên 	
Ta có 
Suy ra: 	 . 
Vì tam giác ABC đều nên AB = AC và 
Vậy : 



0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
b) Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm C cố định thuộc đoạn AB (C khác A, B).Lấy điểm M trên nửa đường tròn. Đường thẳng qua M vuông góc với MC lần lượt cắt tiếp tuyến qua A và B của nửa đường tròn tại E và F. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác CEF khi M di chuyển trên nửa đường tròn.
2,0

Vì AEMC và BFMC là các tứ giác nội tiếp nên: 
 . 
Vậy 	 
Hai tam giác AEC và BCF đồng dạng nên: 
Ta có :	 
 (không đổi).
Vậy diện tích tam giác CEF nhỏ nhất bằng AC.BC khi AE = AC và BC = BF. 




0,25
0,25
0,25
0,5
 0,5
0,25
Câu 6
3,0
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng là d1: và d2: . Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của đường tròn (C) biết tam giác ABC có diện tích bằng và điểm A có hoành độ dương.
3,0

+ Gọi I là tâm đường tròn (C) đường kính là AC 
+ A thuộc d1 nên có tọa độ là 
+ Đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với d2 có phương trình: 
 AB: ; 
 + Đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với d1 có phương trình: 
AC: ; 
+ Tam giác ABC có diện tích bằng 
+ Tính đúng 
+ Viết đúng phương trình (C): 

0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NAM
 TRƯỜNG THPT HỒ NGHINH
 ĐỀ ĐỀ NGHỊ KỲ THI OLYMPIC 
MÔN : TOÁN 10 - NĂM HỌC 2017-2018

Thời gian :150 phút (Không kể thời gian giao đề)
 
Câu 1. (5,0 điểm).
a.(3đ). Giải bất phương trình. 
b.(2đ). Giải hệ phương trình.
Câu 2. (3,0 điểm). 
a. (2đ). Cho parabol (P) : y = 3x2 – x – 4. Gọi A,B là giao điểm của (p) với Ox. Tìm m<0 sao cho đường thẳng d: y= m cắt (P) tại hai điểm phân biệt M,N mà bốn điểm A, B, M, N tạo thành tứ giác có diện tích bằng 4.
b. (1đ) Cho 
Tính 
Câu 3. (3,0 điểm). 
	Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Câu 4. (2,0 điểm). 
	Trong mặt phẳng lấy 2n + 3 điểm ( ) sao cho trong ba điểm bất kì luôn có hai điểm mà khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1 chứa ít nhất n + 2 điểm nêu trên.
Câu 5 .(3,0 điểm). 
	Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng với mọi điểm M thì 
Câu 6. (4,0 điểm). 
	Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC. D là trung điểm AB, E nằm trên cạnh AC mà AC = 3EC. Đường thẳng DC có phương trình x - 3y + 1 = 0. Tìm tọa độ A, B, C.
 Hết..............
ĐÁP ÁN
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
Câu 1 (5đ)
a Giải bất phương trình. 
3đ
Đk : 
0.5đ
* 
Suy ra là nghiệm của bpt
1đ
* 

0.5đ

0.5đ
Vậy tập nghiệm của bpt 
0.5đ
b. Giải hệ : 
2đ
Đk: 
0.25đ

0.5 đ
 
0.5đ
Khi x=y:
0.5đ
 KL: Hệ có tập nghiệm
0.25đ

Câu 2
(3 đ)

a. Cho parabol (P) : y = 3x2 – x – 4. Gọi A,B là giao điểm của (P) với Ox. Tìm m < 0 sao cho đường thẳng d: y= m cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N mà bốn điểm A, B, M, N tạo thành tứ giác có diện tích bằng 4.

2 đ
Ta chọn A(-1;0), B(4/3;0)
0.25 đ
Pthđgđ của (P) và d: 3x2 – x – 4- m = 0 (*)
ĐK: D > 0 Û 
M,N là giao điểm nên xM , xN là hai nghiệm của (*)
0.25 đ
0.25 đ

A và B, M và N đối xứng nhau qua trục đối xứng của (P) nên bốn điểm tạo nên hình thang cân có hai đáy AB, MN, độ dài đường cao =
0.5 d


0.5 đ
Vậy m = -4 , m = -2 thỏa mãn đề.
0.25 đ
b. 
1đ

0.25đ

0.25đ

0.5đ
Câu 3 (3,0 điểm).
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
	
3đ


0.5 đ
 Đặt 
Lại có :
0.5 đ
0.25đ

Suy ra 
0.25 đ
Đặt - ()
0.5 đ

Suy ra 
0.25 đ
T=A+B
0.5đ
KL: MinT= khi 
0.25đ
Câu 4 (2,0 điểm)
 Trong mặt phẳng lấy 2n + 3 điểm ( ) sao cho trong ba điểm bất kì luôn có hai điểm mà khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1 chứa ít nhất n + 2 điểm nêu trên.

2đ
 Chọn điểm A bất kì trong 2n + 3 điểm đó. Vẽ đường tròn (A;1), khi đó có hai khả năng :
a) Nếu tất cả các điểm thuộc hình tròn (A;1) thì bài toán thỏa mãn.
0.5 đ
b) Nếu không phải tất cả các điểm thuộc hình tròn (A;1). Khi đó, có 1 điểm gọi là B không thuộc hình tròn (A;1). 
Vẽ đường tròn (B;1).
Gọi C là điểm bất kì trong 2n + 1 điểm còn lại. Xét ba điểm A, B, C thì phải có AC hoặc BC nhỏ hơn 1.
0.5 đ
Nếu AC nhỏ hơn 1 thì C thuộc hình tròn (A;1)
Nếu BC nhỏ hơn 1 thì C thuộc hình tròn (B;1).
0.5 đ
Do đó 2n + 1 điểm còn lại thuộc (A;1) hoặc thuộc (B;1) nên theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất n + 1 điểm thuộc (A;1) hoặc (B;1).
Nói cách khác có ít nhất n+ 2 điểm thoả mãn đề.
0.5 đ
Câu 5 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng với mọi điểm M thì 
3 đ

0.5 đ

1 đ

0.5đ
 
0.5đ
Dấu bằng xảy ra khi 
 M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
0.5đ
Câu 6 (4,0 điểm
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC. D là trung điểm AB, E nằm trên cạnh AC mà AC = 3EC. Đường thẳng DC có phương trình x - 3y + 1 = 0. Tìm tọa độ các điểm A, B, C.
4 đ

Ta có nên BE là phân giác của góc B
0.5 đ
Suy ra BE vuông góc DC, nên DC có ptrình 
 
0.5 đ
 
0.5 đ
Gọi BC= a. tính được 
0.5 đ

0.5 đ

0.5 đ

0.5 đ
KL: A(12;1), B(4,5), C(2;1) hoặc A(0;-3), B(4;5), C(8,3)
0.5 đ
Chú ý: thí sinh làm theo cách khác đúng, giám khảo dựa vào thang điểm cho điểm tương ứng

 SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM 	KỲ THI OLIMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH
TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH MÔN: TOÁN 10. 
Năm học: 2017 - 2018
ĐỀ 
Câu 1: (5,0 điểm)
a. Giải bất phương trình:
b. Giải hệ phương trình: 
Câu 2: (4,0 điểm)
	a. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: .
 	b. Tìm các giá trị của tham số m sao cho hàm số có 
 giá trị bé nhất trên đoạn [0;1] bằng 1.
Câu 3: (4,0 điểm)
	a. Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng: 
 	.
 b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
 .
Câu 4: (4,0 điểm)
	Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H(3; 0) và trung điểm của BC là I(6;1). Đường thẳng AH có phương trình x + 2y - 3 = 0. Gọi D , E lần lượt là chân đường cao kẻ từ điểm B và C của tam giác ABC. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết phương trình DE là x - 2 = 0 và điểm D có hoành độ dương.
Câu 5: (3,0 điểm)
 Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB.Chứng minh rằng diện tích của một trong ba tam giác AB’C’, BA’C’, CA’C’ không thể vượt qua một phần tư diện tích tam giác ABC. Với điều kiện nào các tam giác này có diện tích bằng nhau và bằng một phần tư diện tích tam giác ABC.
---- HẾT ---
KỲ THI OLIMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH
Năm học 2017 – 2018

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

Môn thi: TOÁN

(Đáp án – Thang điểm gồm trang)

Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(5,0 điểm)
a) Giải phương trình 

2,0
Điều kiện: 
0,25
+
0,5


0,5
 

0,25
Giải tìm được tập nghiệm của bất phương trình là S=
0,5




b) Giải hệ phương trình 
3,0
Điều kiện: và.
0,25
- Xét phương trình thứ hai trong hệ:

0,5

0,5

(vì theo điều kiện thì biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương
+ Với thay vào phương trình thứ nhất ta được: 
Điều kiện: . Khi đó, ta có:
0,25
0,25
0,5

0,25

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( 2; ).
0,5

Câu
 Đáp án
Điểm
Câu 2(4,0 điểm) ãn
a/. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 
1,5
Viết lại hàm số 
0,5
Lập được bảng biến thiên
0,5
Vẽ được đúng đồ thị hàm số
0,5
 b/. Tìm các giá trị của tham số m sao cho hàm số có giá trị bé nhất trên đoạn [0;1] bằng 1.
2,5
Hoành độ đỉnh 
Bảng biến thiên: 
x
 -m-1/2 

y
 -m-5/4

0,25
0,25
+ Nếu thì 
0,25
 
 (Không thỏa)
0,25
0,25
+Nếu thì f(x) dồng biến trên [0;1]
 (thỏa ) hoặc (không thỏa)

0,25
0,25
+ Nếu thì f(x) nghịch biến trên [0;1]
m=0 (không thỏa ) hoặc m=-2 (thỏa)

0,25
0,25
Vậy và m=-2
0,25

Câu3 (4,0 điểm)
a/. Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng: 
 	.
2,0
 Ta có .
 Tương tự 
 Suy ra 
 đccm
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
b/. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
 .
2,0
 P xác định khi .
 Ta có 
 Áp dụng Bđt Côsi ta có:
 Max P=, đạt được khi x=2, y=8, z=18
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25

Câu 4
(4,0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H(3; 0) và trung điểm của BC là I(6;1). Đường thẳng AH có phương trình x + 2y - 3 = 0. Gọi D , E lần lượt là chân đường cao kẻ từ điểm B và C của tam giác ABC. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết phương trình DE là x - 2 = 0 và điểm D có hoành độ dương.

4,0

Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn tâm I và tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn tâm F
0,5
Vậy IF là đường trung trực của ED. Do đó IF ED
0,5
Suy ra phương trình IF : y-1=0
0,25
Suy ra F (1 ; 1)
0,25
Suy ra A(-1 ;2)
0,5
D thuộc DE suy ra D(2 ;d)
0,25
Do FD = FA suy ra 
Do nên D(2; 3)
0,5
0,25
Phương tình AC: x - 3y + 7 = 0
0,25
Đường BC đi qua I và vuông góc AH nên có phương trình BC 2x – y – 11 = 0
0,25
Suy ra C ( 8; 5)
0,25
Suy ra B ( 4 ; -3 )
0,25

Câu5 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB.Chứng minh rằng diện tích của một trong ba tam giác AB’C’, BA’C’, CA’B’ không thể vượt qua một phần tư diện tích tam giác ABC. Với điều kiện nào các tam giác này có diện tích bằng nhau và bằng một phần tư diện tích tam giác ABC.

3,0
 Kí hiệu 	, , , .
 Ta có 
 Suy ra 
 =.
 Mặt khác: 
 Suy ra hoặc hoặc 
Dấu bằng xảy ra đồng thời khi và chỉ khi A’, B’, C’ tương ứng là trung điểm của BC, CA, AB.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác đúng thì Ban Giám khảo thảo luận và thống nhất thang điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm.