Bồi dưỡng Bất đẳng thức Trêbưsép

 GV Đỗ Kim Sơn 
BD HSG 
Bất đẳng thức 
Cho 2 
cặp số 
Cùng tăng : a ≤ b và A ≤ B 
 a.A b.B a + b A + B . 
2 2 2
+ ≥ 
dấu “ = “ xảy ra khi a = b và A = B 
Một tăng , một giảm : a ≤ b và A ≥ B 
 a.A b.B a + b A + B . 
2 2 2
+ ≤ 
dấu “ = “ xảy ra khi a = b và A = B 
Cho 3 
cặp số 
Cùng tăng : a ≤ b ≤ c và A ≤ B ≤ C 
 a.A b.B c.C a + b + c A + B + C . 
3 3 3
+ + ≥ 
dấu “ = “ xảy ra khi a = b= c và A = B = C 
Một tăng , một giảm : a ≤ b ≤ c và A ≥ B ≥ 
C 
 a.A b.B c.C a + b + c A + B + C . 
3 3 3
+ + ≤ 
dấu “ = “ xảy ra khi a = b = c và A = B = C 
Cho n 
cặp số 
Cùng tăng : a1 ≤ a2 ≤ ≤ an và b1 ≤ b2 ≤≤ 
bn 
 1 1 n n 1 n 1 n
a b ... a b a + ... + a b + ... + b
 . 
n n n
+ + ≥ 
dấu “ = “ xảy ra khi a1 = a2 = = an và b1 = b2 
== bn 
Một tăng ,một giảm: a1≤ a2 ≤≤ an , b1 ≥ b2 ≥ 
 ≥ bn 
 1 1 n n 1 n 1 n
a b ... a b a + ... + a b + ... + b
 . 
n n n
+ + ≤ 
dấu “=” xảy ra khi a1 = a2 = = an và b1 = b2 
== bn 
Bài tập áp dụng : 
Bài 1 : Cho 2 số a , b thỏa a + b ≥ 2 . CMR : an + bn ≤ an+1 + bn+1 với n = 1 , 2 , 3 , . 
Bài 2 : CMR với a , b , c dương ta có : a b c
b c c a a b 2
3+ + ≥+ + + ( BĐT Nesbit cho 3 số ) 
Bài 3 : Cho a , b , c dương và abc = 1 . Chứng minh rằng : 3 3 3
1 1 1
2a (b c) b (c a) c (a b)
3+ ++ + + ≥ 
Bài 4 : Cho a , b , c > 0 . CMR : 
a b c
a b c 3a .b .c (abc)
+ +
≥ 
Bài 5 : Cho n số không âm ai . Chứng minh với mọi số tự nhiên m = 1 , 2 , 3 ,  ta có : 
mm m m
1 2 n 1 2 na a ... a a a ... a 
n n
+ + + + + +⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 Suy ra : 
m m m k k k m k m k m k
1 2 n 1 2 n 1 2 na a ... a a a ... a a a ... a . 
n n n
+ + ++ + + + + + + + +≤ với m , k là các số tự nhiên 
Bài 6 : Cho x , y dương . Chứng minh rằng : ( x + y ) ( x3 + y3 ) ( x7 + y7 ) ≤ 4 ( x11 + y11 ) 
Bài 7 : Cho n số dương a1 , a2 ,  , an thỏa a2 2 21 2 na ... a 1+ + + ≥ và S = a1 + a2 +  + an . CMR : 
3 3 3
1 2 n
1 2 n
a a a 1...
S a S a S a n 1
+ + + ≥− − − − 
 1
Bài 8 : 
 1./ Cho a1 , a2 ,  , an > 0 thỏa a1. a2 .  . an ≥ 1 . CMR : m m1 2a a ... a
m
n+ + + ≤ m 1 m 1 m 11 2 na a ... a+ ++ + + +
 2./ Cho a1 , a2 ,  , an thỏa a1 + a2 + + an ≥ n . 
 CMR với m là số lẻ thì : ≤ m m1 2a a ... a+ + + mn m 1 m 1 m 11 2 na a ... a+ + ++ + + 
 3./ Câu 2 còn đúng không nếu m là số chẵn . Giải thích . 
 4./ Trong trường hợp n = 2 và m là số chẵn thì kết quả của câu 2 như thế nào ? 
Bài 9 : 
 Trong tam giác ABC gọi ma , mb , mc là độ dài 3 đường trung tuyến kẻ từ A , B , C và ha , hb , hc là 
 ba đường cao tương ứng . Chứng minh rằng : 
 ( ) ( ) ≥ 27 S2 ( S là diện tích ABC ) 2 2a bm m m+ + 2c 2c2 2a bh h h+ +
Bài 10 : 
 Cho a , b , c là 3 cạnh tam giác , chu vi 2p . CMR : ab bc ca 4p
p c p a p b
+ + ≥− − − 
Bài 11 : 
 Gọi a1 , a2 ,  , an là các cạnh của một đa giác có chu vi bằng 2p . Chứng minh rằng : 
 1 2 n
1 2 n
a a a 2n...
p a p a p a n 2
+ + + ≥− − − − . Khi nào xảy ra dấu bằng ? 
Bài 12 : 
 Cho a , b , c là 3 cạnh tam giác , chu vi 2p và r , R là bán kính các đường tròn nội , ngoại tiếp . 
 Chứng minh rằng : 
b c c a a b
a b c R 
h h h h h h 2 r
+ + ≤+ + +
3 
Bài 13 : 
 Tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = 1 . Chứng minh rằng : 
 SinA.Sin2A SinB.Sin2B SinC.Sin2C 2S 
SinA SinB SinC 3
+ + ≤+ + . Dấu “=” xảy ra khi nào ? 
Bài 14 : 
 CMR với mọi tam giác ABC ta có : 
 1./ 3 Sin 2A + Sin 2B + Sin 2CSinA SinB SinC 
2 Cos A + Cos B + Cos C
⎛ ⎞+ + ≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 2./ Sin A + Sin B + Sin C ≥ Sin 2A + Sin 2B + Sin 2C 
 3./ 3 ( Cos A + Cos B + Cos C ) ≥ Sin 2A + Sin 2B + Sin 2C 
Bài 15 : 
 Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng : aA bB cC
a b c 3
+ + π≥+ + 
 ( A , B , C có số đo bằng radian ) . 
Bài 16 : 
 Cho ABC là tam giác có ba góc nhọn . CMR : + + ≤+ +
SinA SinB SinC tan A. tan B. tan C 
CosA CosB CosC 3
 2
 Cho a ,b , c dương thỏa a2 + b2 + c2 ≥ 1 . Chứng minh rằng : 
 1./ 
3 3 3a b c
b c c a a b 2
+ + ≥+ + +
1 2./ 
2 2 2a b c
b c c a a b 2
+ + ≥+ + +
3 
 Cho a ,b , c , d dương thỏa a2 + b2 + c2 +d2 ≥ 1 . Chứng minh rằng : 
 1./ 
3 3 3 3a b c d
b c d c d a d a b a b c 3
+ + ++ + + + + + + +
1≥ 
 2./ 
2 2 2 2a b c d
b c d c d a d a b a b c 3
+ + ++ + + + + + + +
2≥ . Có thể mở rộng được không ? 
 CMR với mọi tam giác ABC ta có : 
 1./ Sin 2A + Sin 2B + Sin 2C ≤ Sin2A + Sin2B + Sin2C 
 2./ ( )Sin A + Sin B + Sin C 1 tg A + tg B + tg C 
Cos A + Cos B + Cos C 3
≤ 
 Chứng minh rằng nếu a + b ≥ 0 thì 
2 2 3 3 6 6a b a b a b a b. . 
2 2 2 2
+ + + +≤ 
 Cho n số dương a1 , a2 ,  , an . Chứng minh rằng : ( ) n ii 1i an nai i
i=1 i=1
a a =
∑≥∏ ∏ 
 CMR với mọi tam giác ABC ta có : 
 1./ a + b + c ≥ 2 ( a Cos A + b Cos B + c Cos C ) 
 2./ A.Sin A + B.Sin B + C.Sin C 
3 Sin A + Sin B + Sin C 2
π ≤ π≤ ( A , B , C tính bằng radian ) 
 3./ A B C A B C 9Sin Sin Sin . cot g cot g cot g 
2 2 2 2 2 2
⎛ ⎞ ⎛+ + + + ≥⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
3
2
⎞⎟⎠ 
Cho tam giác nhọn ABC . Chứng minh rằng : 
 ( ) ( ) A B C A B CtgA tgB tgC . cot gA cot gB cot gC tg tg tg . cot g cot g cot g
2 2 2 2 2 2
⎛ ⎞ ⎛+ + + + ≥ + + + +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠ 
 Cho n số dương a1 , a2 ,  , an thỏa a1 + a2 +  + an ≤ S ≤ n , với S là hằng số cho trước . CMR : 
22
2 2 2 2
1 2 n2 2 2
1 2 n
1 1 1 na + a + ... + a S 
Sa a a
⎛ ⎞+ + + ≥ + ⎜ ⎟⎝ ⎠
 . Dấu “=” xảy ra khi nào ? 
 3
 GV Đỗ Kim Sơn 
Giải Bài Tập 
Bài 1 : Cho 2 số a , b thỏa a + b ≥ 2 . CMR : an + bn ≤ an+1 + bn+1 với n = 1 , 2 , 3 , . 
 Giải : Giả sử a ≥ b ⇒ a ≥ | b | ( do a + b ≥ 2 > 0 ) ⇒ an ≥ | b |n ≥ bn 
n+1 n 1 n n n n
n n
n+1 n 1 n n
 a b a b a b a + b a bTheo Tcheùbycheff : . 
2 2 2 a b
 a b a b
+
+
≥⎧ + +⇒ ≥ ≥⎨ ≥⎩
⇒ + ≥ +
2
+
Bài 2 : CMR với a , b , c dương ta có : a b c
b c c a a b 2
3+ + ≥+ + + ( BĐT Nesbit cho 3 số ) 
 Giải : Giả sử a ≥ b ≥ c > 0 ⇒ a + b ≥ a + c ≥ b + c ( 1 ) 
 a b c ( 2 )
b + c a + c a + b
⇒ ≥ . Áp dụng Trêbưsép cho ( 1 ) , ( 2 ) . ≥
 Dấu “=” khi a = b = c 
Bài 3 : Cho a , b , c dương và abc = 1 . Chứng minh rằng : 3 3 3
1 1 1
2a (b c) b (c a) c (a b)
3+ + ≥+ + + 
 Giải : 
2 2 2
1 1 1Ñaët x = , y = , z = . Ta co ù x , y ,z > 0 vaø xyz = 1
a b c
x y z 3Theo Cauchy : x + y + z 3 . Theo Nesbit : + + 
y + z z + x x + y 2
x y z 3BÑT caàn CM + + ( do xyz = 1 ) 
y + z z + x x + y 2
Giaû
≥ ≥
⇔ ≥
 4
x y z söû x y z > 0 > 0 . AÙp du ïng Tcheùbycheff cho (1) vaø (2) 
y + z z + x x + y
≥ ≥ ⇒ ≥ ≥(1) (2)
Bài 4 : Cho a , b , c > 0 . CMR : 
a b c
a b c 3a .b .c (abc)
+ +
≥ 
 Giải : Giả sử a ≥ b ≥ c > 0 ( 1 ) ⇒ log a ≥ log b ≥ log c ( 2 ) 
 Áp dụng Trêbưsép cho ( 1 ) và ( 2 ) 
Bài 5 : Cho n số không âm ai . Chứng minh với mọi số tự nhiên m , k = 1 , 2 , 3 ,  ta có : 
m m m k k k m k m k m k
1 2 n 1 2 n 1 2 na a ... a a a ... a a a ... a . 
n n n
+ + ++ + + + + + + + +≤ 
 Suy ra : 
mm m m
1 2 n 1 2 na a ... a a a ... a 
n n
+ + + + + +⎛≥ ⎜⎝ ⎠
⎞⎟ với m là số tự nhiên 
 Giải : 
m m m
1 2 n
1 2 n k k k
1 2 n
 a a ... a (1)
Giaû söû 0 < a a ... a 
 a a ... a (2)
AÙp duïng BÑT Tcheùbycheff cho (1) vaø (2)
⎧ ≤ ≤ ≤⎪≤ ≤ ≤ ⇒ ⎨ ≤ ≤ ≤⎪⎩
Bài 6 : Cho x , y dương . Chứng minh rằng : ( x + y ) ( x3 + y3 ) ( x7 + y7 ) ≤ 4 ( x11 + y11 ) 
 Giải : Giả sử 0 < x ≤ y (1) ⇒ x3 ≤ y3 (2) ; x4 ≤ y4 (3) ; x7 ≤ y7 (4) 
 Ap dụng Trêbưsép cho (1) và (2) ; (3) và (4) sau đó nhân lại với nhau . 
Bài 7 : Cho n số dương a1 , a2 ,  , an thỏa 2 2 21 2 na a ... a 1+ + + ≥ và S = a1 + a2 +  + an . CMR : 
3 3 3
1 2 n
1 2 n
a a a 1...
S a S a S a n 1
+ + + ≥− − − − 
 Giải : 
2 2 2
1 2 n
1 2 n 1 2 n
1 2 n
3 3 3
1 2 n
1 2 n
 a a ... a (1)
Giaû söû 0 < a a ... a a a a
 ... (2)
S - a S - a S - a
AÙp duïng BÑT Tcheùbycheff cho (1) vaø (2) ta co ù : 
a a a 1 + + ... + 
S - a S - a S - a n
⎧ ≤ ≤ ≤⎪≤ ≤ ≤ ⇒ ⎨ ≤ ≤ ≤⎪⎩
≥ ( )
( )
2 2 2 1 2 n
1 2 n
1 2 n
1 2 n
1 2 n
1 2 n2
1 2 n
12
a a a
 a + a + ... + a + + ... + 
S - a S - a S - a
a a a1 + + ... + 
n S - a S - a S - a
1 1 1 1 a + a + ... + a + + ... + 
S - a S - a S - an
1 1 = . S - a +
n -1n
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠
( )2 n
1 2 n
2 n n1 2 n2
1 2 n
1 1 1S - a + ... + S - a + + ... + 
S - a S - a S - a
1 1 1 1 1 1 . . n (S - a )(S - a ) ...(S - a ) . ... 
n -1 S - a S - a S - a n -1n
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≥ ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 5
Bài 8 : 
 1./ Cho a1 , a2 ,  , an > 0 thỏa a1. a2 .  . an ≥ 1 . CMR : m m1 2a a ... a
m
n+ + + ≤ m 1 m 1 m 11 2 na a ... a+ ++ + + +
 2./ Cho a1 , a2 ,  , an thỏa a1 + a2 + + an ≥ n . 
 CMR với m là số lẻ thì : ≤ m m1 2a a ... a+ + + mn m 1 m 1 m 11 2 na a ... a+ + ++ + + 
 3./ Câu 2 còn đúng không nếu m là số chẵn . Giải thích . 
 4./ Trong trường hợp n = 2 và m là số chẵn thì kết quả của câu 2 như thế nào ? 
 Giải : 
( ) ( ) ( )
m m m
1 2 n
1 2 n 1 2 n
1 2 n
m m m m
1 2 n 1 2 n 1 1
 a a ... a 
1./ Giaû söû 0 < a a ... a vaø ñaët S = a + a + ... + a 
 a -1 a -1 ... a -1 
 a + a + ... + a a -1 + a -1 + ... + a -1 n a a -1 a
⎧ ≤ ≤ ≤⎪≤ ≤ ≤ ⇒ ⎨ ≤ ≤ ≤⎪⎩
⇒ ≤ + ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
 6
m m
2 2 n n
m m m m+1 m+1 m+1 m m m
1 2 n 1 2 n 1 2 n
n
i 1 2 n
a -1 + ... + a a -1
 a + a + ... + a S - n n a a + ... + a a a + ... + a
 Do a > 0 neân S n a . a .... a n . 
 Veá traùi khoâng aâm . Daáu "
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤⇒ ≤ + − +⎣ ⎦
≥ ≥
1 2 n= " khi a = a = ... = a
 2./ CM tương tự . 
 3./ Nếu m chẵn , bài toán không còn đúng . Ví dụ : n = 3 , m = 2 ( chẵn ) 
 Cho a1 = a2 = 4 , a3 = – 5 Ta có : a1 + a2 + a3 = 3 ; 2 2 21 2 3a + a + a 57= > 3 3 31 2 3a + a + a 3= 
 4./ Xem lại bài 1 . 
Bài 9 : 
 Trong tam giác ABC gọi ma , mb , mc là độ dài 3 đường trung tuyến kẻ từ A , B , C và ha , hb , hc là 
 ba đường cao tương ứng . Chứng minh rằng : 
 ( ) ( ) ≥ 27 S2 ( S là diện tích ABC ) 2 2a bm m m+ + 2c 2c2 2a bh h h+ +
 Giải : Ta có : = 3( a2 + b2 + c2 ) /4 2 2a bm m m+ + 2c
2
c BĐT trở thành ( a
2 + b2 + c2 ) ( 2 2a bh h h+ + ) ≥ 36 S2 
 Giả sử : a ≥ b ≥ c ⇒ ha ≤ hb ≤ hc ( vì ha = 2S / a ) . Áp dụng Trêbưsép . 
Bài 10 : 
 Cho a , b , c là 3 cạnh tam giác , chu vi 2p . CMR : ab bc ca 4p
p c p a p b
+ + ≥− − − 
 Giải : 
 Đặt x = a + b – c ; y = b + c – a ; z = c + a – b . 
 Ta có : x , y , z > 0 và x + y + z = a + b + c = 2p 
 Ngoài ra ta còn có : ( x+y)( x+z) = 4ab ; ( y+x)( y+z) = 4bc ; ( z+x)( z+y) = 4ac ; 
2 2 2
4ab 4bc 4acBÑT + + 8p 
2(p - c) 2(p - a) 2(p - b)
(x + y)(x + z) (y + x)(y + z) (z + y)(z + x) + + 4 ( x + y + z)
x y z
x + x(y + z) + yz y + y(x + z) + xz z + z(x + y) + xy + + 4 ( x + y + z)
x y z
⇔ ≥
⇔ ≥
⇔ ≥
 ⇔ ≥yz xy yx + + x + y + z
x y z
 ( )⎧ ≤ ≤ ⎛ ⎞⎪≤ ≤ ⇒ ⇒ ≤⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ≤ ≤⎩
1 1 1 0 < 1 1 1 1 yz xy yxGiaû söû 0 < x y z + + xy + xz + yz + + z y x
3 x y z x y z
 xy xz yz 
 ( )1 yz xz xy yz xy yx + x + y + z + + x + y + z + xy + xz + yz + + 
3 x y z x y z
⎛ ⎞⇒ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠
 yz xy yx x + y + z + + 
x y z
⇒ ≤ 
Bài 11 : 
 Gọi a1 , a2 ,  , an là các cạnh của một đa giác có chu vi bằng 2p . Chứng minh rằng : 
 1 2 n
1 2 n
a a a 2n...
p a p a p a n 2
+ + + ≥− − − − . Khi nào xảy ra dấu bằng ? 
 Giải : 
[ ]
1 2
(
n
1 2 n 1 2 n
1 2 n
1 2 n
1 2 n
n n1 2
 p - a p - a ... p - a 
Giaû söû a a ... a > 0 a a a
 ... 
2p - 2a 2p - 2a 2p - 2a
a a a
 + + ... . (p - a ) + (p - a ) + ... + (p - a )
2p - 2a 2p - 2a 2p - 2a
≤ ≤ ≤⎧⎪≥ ≥ ≥ ⇒ ⎨ ≥ ≥ ≥⎪⎩
⎡ ⎤+
⎣ ⎦
 7
−
⎢ ⎥
1 2 n
1 2 n
1 2 n
a a a
 n (p - a ) (p - a ) + ... + (p - a ) 
2p - 2a 2p - 2a 2p - 2
= 
a
np
⎡ ⎤≥ +⎢ ⎥⎣ ⎦
1444442444443 
2)p
Bài 12 : 
 Cho a , b , c là 3 cạnh tam giác , chu vi 2p và r , R là bán kính các đường tròn nội , ngoại tiếp . 
 Chứng minh rằng : 
b c c a a b
a b c R 
h h h h h h 2 r
+ + ≤+ + +
3 
 Giải : Giả sử a ≤ b ≤ c (1) ⇒ hc ≤ hb ≤ ha ⇒ hc + hb ≤ ha + hc ≤ hb + ha 
b c c a a b
1 1 1 (2)
h h h h h h
≥+ + +⇒ ≥ Ap dụng Trêbưsép cho (1) , (2) ta có : 
( )
( )
b c c a a b b c c a a b
c b a
a b c 1 1 1 1 + + a + b + c + + 
h h h h h h 3 h h h h h h
1 1 2R SinA + SinB + SinA + + 
3 h
⎛ ⎞≤ ⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠
⎛ ⎞≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠
≤
1 1
h h
1 3 3 1 1 R 3 .2R . . . = 
3 2 2 r 2r
., 
Bài 13 : 
 Tam giác A h R = 1 . Chứng minh rằng : BC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kín
SinA.Sin2A SinB.Sin2B SinC.Sin2C 2S 
 8
SinA SinB SinC 3
≤+ + . Dấu “=” xảy ra khi nào ? 
+ +
 Giải : Trong tam giác ABC ta có : Sin 2A + Sin 2B + Sin 2C = 2S / R2 = 2S do R = 1 . 
 A;p dụng Trêbưsép cho 1 dãy tăng và 1 dãy giảm : 
Sin2A Sin2B Sin2C
 0 < Sin A Sin B Sin C
Giaû söû A B C 
s C
≤ ≤⎧≤ ≤ ⇒ ⇒ ≥ ≥⎨ Cos A Cos B Co≥ ≥⎩
SinA SinB SinC Sin2A Sin2B Sin2C SinA.Sin2A SinB.sin 2B SinC.sin 2C
3 3 3
SinA.Sin2A SinB.sin 2B SinC.sin 2C Sin2A Sin2B Sin2C 2S
SinA SinB SinC 3 3
+ + + + + +⎛ ⎞⎛ ⎞ ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
+ + + +⇔ ≤ =+ +
Bài 14 : 
 CMR với mọi tam giác ABC ta có : 
 1./ 3 Sin 2A + Sin 2B + Sin 2CSinA SinB SinC 
2 Cos A + Cos B + Cos C⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞+ + ≥ 
 3./ 
 2./ Sin A + Sin B + Sin C ≥ Sin 2A + Sin 2B + Sin 2C 
 3 ( Cos A + Cos B + Cos C ) ≥ Sin 2A + Sin 2B + Sin 2C 
 Giải : 
 1./ Giả sử a ≤ b ≤ c ⇒ Sin A ≤ Sin B ≤ Sin C (2) và Cos A ≥ Cos B ≥ Cos C (3) 
 Áp dụng Trêbưsép cho 1 dãy tăng và 1 dãy giảm : 
SinA SinB SinC CosA CosB CosC SinA.CosA SinB.CosB SinC.CosC
3 3 3
Sin2A Sin2B Sin2C
6
3 Sin2ASinA SinB SinC .
2
 =
Suy ra : 
+ + + + + +⎛ ⎞⎛ ⎞ ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
+ +
++ + ≥ Sin2B Sin2C
CosA CosB CosC
0
A B Cdo CosA + CosB + CosC = 1 + 4 Sin Sin Sin . Daáu = khi ABC ñeàu .
2 2 2
+⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
>
 2./ Từ câu 2 ta có : 
 ( )( )
SinA SinB SinC CosA CosB CosC Sin2A Sin2B Sin2C
3 3 6
CosA CosB CosC SinA SinB SinC Sin2A Sin2B Sin2C
3CosA CosB CosC SinA SinB SinC Sin2A Sin2B Sin2C
2
2Suy ra : 
3
maø : neân 
+ + + + + +⎛ ⎞⎛ ⎞ ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
+ + + + ≥ + +
+ + ≤ + + ≥ + +
 3./ Tương tự 
( )3 3A SinB SinC CosA CosB CosC Sin2A Sin2B Sin2C
2
Sin neân 3+ + ≥ + + ≥ + + 
Bài 15 : 
aA bB cC
a b c 3
+ + π≥+ + Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng : 
 ( A , B , C có số đo bằng radian ) . 
 Giải : Giả sử a ≤ b ≤ c ⇒ A ≤ B ≤ C 
 Theo Trêbưsép : ( a+b+c ) ( A + B + C ) ≤ 3 ( aA + bB + cC ) 
Bài 16 : 
SinA SinB SinC tgA.tgB.tgC 
CosA CosB CosC 3
+ + ≤+ + Cho ABC là tam giác có ba góc nhọn . CMR : 
 Giải : 
Vôùi tam giaùc ABC nhoïn ta coù : tgA + tgB + tgC = tgA . tgB . tgC
tgA tgB tgC
Giaû söû A B C ( nhoïn ) ta coù : 
CosA CosB Cos C
tgA + tgB + tgC CosA + CosB + CosC tgA.Co 
3 3
≥ ≥⎧≥ ≥ ⎨ ≤ ≤⎩
⎛ ⎞⎛ ⎞⇒ ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
( ) ( )
sA + tgB.CosB + tgC.CosC
3
tgA + tgB + tgC CosA + CosB + CosC SinA + SinB + SinC
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⇒ ≥⎜ ⎟⎝ ⎠
 Cho a ,b , c d ≥ 1 . Chứng miương thỏa a2 + b2 + c2 nh rằng : 
3 3 3a b c 2 2 2a b c
b c c a a b 2
+ + ≥+ + + 
1
c c a a b 2
+ + ≥+ 2./ 1./ b + +
3
: Giải 
2 2 2
1 2 3
1 2 3 1 2 3
2 3 1 3 2 1
3 3 3
2 21 2 3
1 2
2 3 1 3 2 1
 a a a (1)
1./ Giaû söû 0 < a a a a a a
 (2)
a a a + a a + a
AÙp duïng BÑT Tcheùbycheff cho (1) vaø (2) ta co ù : 
a a a 1 + + a + a 
a a a + a a + a 3
⎧ ≤ ≤⎪≤ ≤ ⇒ ⎨ ≤ ≤⎪ +⎩
≥+ ( )
( )
( )
2 1 2 3
3
2 3 1 3 2 1
1 2 3
2 3 1 3 2 1
1 2 32
2 3 1 3 2 1
1 2 2 3 3 1
2 3
a a a
+ a + + 
a a a + a a + a
a a a1 + + 
3 a a a + a a + a
1 1 1 1 a + a + a + + 
a a a + a a + a3
1 1 1 1 = . a + a + a + a + a + a + 
9 2 a a a
⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟+⎝ ⎠
⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟+⎝ ⎠
+ 1 3 2 1
3 31 2 2 3 3 1
 9
 2 3 1 3 29 2 a a a + a a+ 1
1 + 
+ a a + a
1 1 1 1 1 1 . . 9 (a + a )( a + a )( a + a ) . . . 
+ a 2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
≥ ≥
 Cho a ng minh rằng : ,b , c , d dương thỏa a2 + b2 + c2 +d2 ≥ 1 . Chứ
 1./ 
3 3 3 3a b c d
b c d c d a d a b a b c 3
+ + ++ + + + + + + +
1≥ 
2 2 2 2a b c d 2+ + + ≥ . Có thể mở rộng được không ? 2./ 
b c d c d a d a b a b c 3+ + + + + + + +
 Giải :
 10
 Tương tự chứng minh của bài 1 ( hoặc xem lời giải tổng quát trong bài 7 ) 
 CMR với mọi tam giác ABC ta có : 
 1./ Sin 2A + Sin 2B + Sin 2C ≤ Sin2A + Sin2B + Sin2C 
( )≤Sin A + Sin B + Sin C 1 Cos tan A + tan B + tan C với A , B , C nhọn . 2./ A + Cos B + Cos C 3
 Giải : 
 2./ Xem lời giải trong bài 16 . 
 Chứng minh rằng nếu a + b ≥ 0 thì 
2 2 3 3 6 6a b a b a b a b. . + + + +≤ 
2 2 2 2
 Giải : 
 Giả sử a ≥ b , vì a + b ≥ 0 nên a ≥ – b . Suy ra a ≥ | b | . Do đó a3 ≥ b3 
 Theo Trêbưsép : 
2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3
2 2 3 3 6 6
a b a b a b a b a b a b a b a b. . . .
2 2 2 2 2 2 2 2
a b a b a b a b . .
2 2 2 2
+ + + + + + + +≤ ⇒ ≤
+ + + +⇒ ≤
3
 Cho n số dương a1 , a2 ,  , an . Chứng minh rằng : ( ) ( ) n ii 1i n an nai i
i=1 i=1
a a =
∑≥∏ ∏ 
 Giải : 
a
i i
i 1
a a n.ln a ln a
a . ln a
= =
=
∑ ∑⎛ ⎞≥ ⇔ ≥ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∏ ∏ ∏ ∏
∑
1 2 ≤ an ⇒ lna1≤ lna2 ≤  ≤ lnan 
 Trêbưsép : 
 i
( ) ( ) ( ) ( )n ni ii 1 i 1i in an n n na ai i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
n n n
i i
i 1 i 1
 n. a .ln a
= =
⇔ ≥∑ ∑
 Giả sử 0 < a ≤ a ≤ 
 Áp dung
n n n
i i i
i 1 i 1 i 1
a . ln a n. a .ln a
= = =
≤∑ ∑ ∑ 
 CMR với mọi tam giác ABC ta có : 
 1./ Cos C ) a + b + c ≥ 2 ( a Cos A + b Cos B + c
A.Sin A + B.Sin B + C.Sin C 
3 Sin A + Sin B + Sin C 2
π π≤ ≤ 2./ ( A , B , C tính bằng radian ) 
⎛ +⎜ ASin Si 3./ ⎞ ⎛ ⎞+ + + ≥⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
B C A B C 9 3n Sin . cot cot cot 
2 2 2 2 2 2 2
 G
⎠
iải : Tự giải 
Cho tam giác nhọn ABC . Chứng minh rằng : 
) ( ) ⎛ ⎞ ⎛ ( ⎞+ + + ≥ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
A B C A B Ctan C . cot A cot B cot C tan tan tan . cot cot cot
2 2 2 2
 G
+tan A tan B
2 2
iải : Tự giải 
 Cho n , với S là hằng số cho trước . CMsố dương a1 , a2 ,  , an thỏa a1 + a2 +  + an ≤ S ≤ n R : 
22
2 2
1 22 2
1 1a + a + ... ++ + 2 2n 2
1 2 n
1 n a S 
a a a
⎛ ⎞+ ≥ + ⎜ ⎟⎝ ⎠
 . Dấu “=” xảy ra khi nào ? 
 Giải :
S
 Tự giải 
 11