Các bài toán luyện tập học sinh lớp 10

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP HỌC SINH LỚP X
ĐỀ BÀI
Bài 1:
Giả sử các cạnh а, b và с tam giác АВС thỏa mãn đẳng thức: а + b = 3c. 
Tính , ở đó А và B – góc đối diện với cạnh а và b tương ứng.
Bài 2: 
Trong tứ giác lồi АВСD: BC = 4, ÐАDС = 60°, ÐBАD = 90°. . Tính độ dài CD.
Bài 3.
Chứng minh rằng bất kỳ giá trị nào của x cũng thỏa mãn bất đẳng thức: 
 .
Bài 4: 
Giải phương trình: .
Bài 5:
Phương trình này có bao nhiêu nghiệm ?
Bài 6:
 Tìm tất cả giá trị của tham số a sao cho hệ phương trình sau có một nghiệm
.
Bài 7: 
Chứng minh rằng nếu , thì sinx + tg2x + sin3x + tg4x + ... < 1,2. 
Bài 8.
 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức аsin2x + bcos2x, ở đó a và b là các số thực. 
 ---------------------------------
LỜI GIẢI
Bài 1:
 Giả sử các cạnh а, b và с tam giác АВС thỏa mãn đẳng thức: а + b = 3c. 
Tính , ở đó А và B – góc đối diện với cạnh а và b tương ứng.
Рис. 1
Trả lời: 2.
Giải:
Cách 1
Khảo sát đường tròn bán kính r, nội tiêp tam giác đã cho АВС. Nối tâm О với đỉnh А và В tam giác còn tiếp điểm trên các cạnh A’, B’ và С’ (xem hình1). 
Theo tính tính chất của tiếp tuyến ta có AB’ = AC’ = x; BA’ = BC’ = y
Khi đó x = р – а; y = p – b, ở đó p – nửa chu vi của tam giác АВС. 
 vì АО và ВО – phân giác của góc А và В tương ứng, thì từ tam giác АОС’ và BOC’ nhận được ; .
Vì , ở đấy – diện tích tam giác АВС,
thì . 
Khi đó .
Theo giả thiết, а + b = 3c, 
Bởi thế , . suy ra, . 
Cách 2
Từ đẳng thức а + b = 3c suy ra, , ở đó R – bán kính vòng tròn ngoại tiếp tam giác АВС. Theo lý thuyết hàm số sin ta có 
Biến đổi đẳng thức lượng giác về dạng:
Û . 
vì , 
nên 
Û 
Û 
 Û . 
vì và , do đó .
Bài 2: 
Trong tứ giác lồi АВСD: BC = 4, ÐАDС = 60°, ÐBАD = 90°. . Tính độ dài CD.
Trả lời: .
Giải:
Giả sử АВСD – tứ giác đã cho (xem hình 2). 
Lấy điểm đối xứng với đỉnh B qua đường trung trực của đoạn AC là B’. 
Khi đó B’A = BC, CB’ = AB và SAB’C = SABC.
Suy ra SAB’CD = SABCD = = .
 và SAB’CD = . 
vậy РB’AD = РB’CD = 90°.
Vì РB’AD = РBAD = 90°, nên tia AB’ и AB trùng nhau, suy ra, В và B’ cũng trùng nhau (xem hình 3). 
Khi đó ВА = ВС, ÐBAC = ÐBCA và РDAC = РDCA = 60°, thi DADC – đều. 
suy ra, ÐBAC = ÐBCA = 30°, СD = CA = .
hình 2
hình 3
Bài 3.
Chứng minh rằng bất kỳ giá trị nào của x cũng thỏa mãn bất đẳng thức: 
 .
Giải:
1) với x = 0 bất đẳng thức đã cho thỏa mãn.
ta chứng minh bất đẳng thức thỏa mãn với x > 0. 
Khảo sát tam giác vuông ABC với góc vuông C cạnh AC = 3; BC = 4 (xem hình 4). 
Trên phân giác góc С lấy điểm D đặt CD = x. 
Theo lý thuyết cosin trong tam giác ADC và BDC, tuwong ứng ta nhận được
= 
hình 4
 và = .
theo bất đẳng thức tam giác
 AD + BD ³ AB, suy ra , 
là điều phải chứng minh.
Bài 4: 
Giải phương trình: .
Trả lời: , , .
Giải:
Ta thấy x – là nghiệm của phương trình đã cho thì |x| £ 1. 
Giả sử , ở đó , khi đó phương trình đã cho có dạng
 Û . 
vì , thi sint ³ 0, thì
Û 
 Û , ở đó nÎZ hay , với kÎZ.
với suy ra: , và . 
suy ra
; 
; 
. 
Cách khác:
Biến đổi phương trình đã cho về dạng 16y3 – 24y2 + 10y – 1 = 0, ở đó y = x2
Bài 5:
 Phương trình này có bao nhiêu nghiệm ?
Trả lời : năm.
Giải:
 Û Û Û . 
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: –1,5; –0,5; 0,5; 1,5; 2. 
Bài 6:
 Tìm tất cả giá trị của tham số a sao cho hệ phương trình sau có một nghiệm
.
Trả lời: а = 0. 
Giải:
Giả sử nếu (m; n) – là nghiệm của hệ phương trình đã thì (n; m) – cũng phải là nghiệm của phương trình đó. 
Suy ra, nếu hệ phương trình đã cho có một nghiệm thì nghiệm đó có dạng (m; m). nên : Û . 
Với а = 0 hệ phương trình đã cho có một nghiệm.
vi vậy Û x = y = 0.
Bài 7: 
Chứng minh rằng nếu , thì sinx + tg2x + sin3x + tg4x + ... < 1,2. 
Giải:
vì , thì tất cả các số hạng đã cho là các số dương vô hạn và chúng có thể có thể chọn ra các nhóm, ngoài ra ta có, 0 < sin2x < và 0 < tg2x < . 
Giả sử tổng đã cho là S = S1 + S2, ở đó S1 = sinx + sin3x + ...; S2 = tg2x + tg4x + ... 
khi đó S1 = ; S2 = . 
vi trên đoạn [0; ] hàm y = sinx đồng biến, còn hàm y = cos2x nghịch biến, thì giá trị lớn nhất của S1 đạt được với x = . 
Suy ra nếu, thì S1 = . 
Tương tự trên đoạn [0; ] hàm số y = tg2x tăng, còn hàm y = 1 – tg2x giảm, thì giá trị lớn nhất của S2 đạt được khi x = . 
Suy ra , thi S2 = .
Vậy , thì S < < 1,2.
Bài 8. 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức аsin2x + bcos2x, ở đó a và b – là các số thực. 
Trả lời: nếu , thì b – giá trị lớn nhất , –là giá trịn nhỏ nhất;
nếu , thì a – giá trị lớn nhất, b – giá trị nhỏ nhất.
Cách 1
vì 0 £ cos2x £ 1, thì với ; với .
Cách 2
 =. 
vì –1 £ cos2x £ 1, thì với ; với .