Các dạng bài toán vectơ trong hình học phẳng

GV: Đỗ Chí Công dccthd@gmail.com 
1 
Các dạng bài toán vectơ trong hình học phẳng 
A/ Kiến thức cần nhớ - Một số qui tắc 
1/ I là trung điểm AB 0IA IB  
  
2/ I là trung điểm AB, với mọi điểm M 2MA MB MI  
  
3/ G là trọng tâm tam giác ABC 0GA GB GC   
   
4/ G là trọng tâm tam giác ABC, với mọi điểm M MA MB MC MG   
   
5/ Qui tắc 3 điểm ( Qui tắc tam giác) AB BC AC  
  
 hay AB MB MA 
  
6/ Qui tắc hình bình hành : ABCD là hình bình hành AB AD AC  
  
 hay AD BC hay AB DC 
   
7/ Hai vectơ ;a b
 
 không cùng phương và vectơ 0c 
 
 2 2! , ( 0)k l k l   sao cho c ka lb 
  
Giải hệ phương trình tìm bộ số duy nhất k, l. 
8/ Hai vectơ ;a b
 
 cùng phương ! 0k   sao cho a kb
 
( trong đó k>0: hai vectơ cùng hướng; k<0: hai vectơ ngược hướng) 
9/ Chứng minh hệ thức vectơ cho trước dùng phương pháp chèn 1 hoặc nhiều điểm vào đẳng thức vectơ và dùng các qui 
tắc trên để biến đổi thành một đẳng thức đúng. 
VD: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có trọng tâm lần lượt là G và G’. Chứng minh: 
' ' ' 3 'AA BB CC GG  
   
. 
Giải: Chèn G và G’ vào vế trái. Ta có: 
VT = (ĐPCM) 
(Do ( ) 0AG BG CG GA GB GC      
      
 vì G là trọng tâm tam giác ABC; 
Do ' ' ' ' ' ' 0G A G B G C  
   
 vì G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’) 
10/ Tìm vectơ và độ dài của chúng: 
+ Dựa vào các qui tắc để biểu diễn vectơ cần tìm theo các vectơ đã biết. 
+ Dùng các qui tắc, công thức trong hình học phẳng để tính độ dài của chúng. 
11/ Dùng định nghĩa 
; cung huonga b
a b
a b

  

 
 
  
12/ Nếu a b
 
 và b c
 
 thì a c
 
B/ Cho    1 2 1 2; , ;u u u v v v 
 
. Khi đó: 
 1 1 2 2;u v u v u v   
 
 1 1 2 2;u v u v u v   
 
 1 2; ;ku ku ku k 

 
1 1
2 2
u v
u v
u v

  

 
C/ Cho 3 đểm        ; ; ; ; ; ; ;A A B B C C D DA x y B x y C x y D x y 
1/ Tọa độ vectơ  ;B A B AAB x x y y  

2/ Tọa độ I là trung điểm AB: 
2 ; ( ; )
2
A B
I
I I
A B
I
x x
x
I x y
y y
y



 

GV: Đỗ Chí Công dccthd@gmail.com 
2 
3/ Tọa độ G là trọng tâm tam giác ABC: 
3
; ( ; )
3
A B C
G
G G
A B C
G
x x x
x
G x y
y y y
y
 


  

4/ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng  A, B, C lập thành một tam giác  ;AB AC
 
 không cùng phương: 
; B A B A
C A C A
x x y y
AB k AC k
x x y y
 
   
 
 
. 
5/ Chứng minh A, B, C thẳng hàng  đường thẳng qua A, B đi qua C  ;AB AC
 
 cùng phương: 
 0 : B A B A
C A C A
x x y y
k AB k AC
x x y y
 
     
 
 
 hay tìm B để A, B, C thẳng hàng. 
6/ Tọa độ điểm ( ;0)M Ox M a  
Tọa độ điểm (0; )M Oy M b  
Tọa độ điểm M tổng quát ( ; )M MM x y 
7/ a/ Đường thẳng đi qua A, B và cắt Ox tại M, tìm tọa độ M : Do ( ;0)M Ox M a  
Mà M thuộc đường thẳng qua A; B  A, M, B thẳng hàng 
0M A M A A A
B A B A B A B A
x x y y a x y
x x y y x x y y
   
  
   
. 
Tìm a ( ;0)M a 
b/ Đường thẳng đi qua A, B và cắt Oy tại N, tìm tọa độ N : Do (0; )M Oy M b  
Mà N thuộc đường thẳng qua A; B  A, N, B thẳng hàng 
0N A N A A A
B A B A B A B A
x x y y x b y
x x y y x x y y
   
  
   
. 
Tìm b (0; )M b 
c/ Đường thẳng đi qua A, B cắt đường thẳng đi qua C, D tại M, tìm tọa độ M: Gọi ( ; )M MM x y 
+ A, M, B thẳng hàng         ( ) 1M A M A B A M B A M B A A B A A
B A B A
x x y y
y y x x x y y y x x x y
x x y y
 
        
 
. 
+ C, M, D thẳng hàng         ( ) 2M C M C D C M D C M D C C D C C
D C D C
x x y y
y y x x x y y y x x x y
x x y y
 
        
 
. 
Giải hệ phương trình (1) và (2) Tìm tọa độ ( ; )M MM x y 
8/ Tìm tọa độ D sao cho ABCD là hình bình hành ( , )
D A C B
D D
D A C B
x x x x
AD BC D x y
y y y y
  
   
  
 
9/ Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức vectơ 0MA MB MC     
   
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
A M B M C M
A M B M C M
x x x x x x
y y y y y y
  
  
     
 
     
A B C
M
A B C
M
x x x
x
y y y
y
  
  
  
  
 
  
 
  
  
( ; )M MM x y 
10/ Chứng minh hai đường thẳng đi qua A, B và đường thẳng đi qua C, D song song hay ABCD là hình thang, ta chứng 
minh ;AB CD
 
 cùng phương và ;AB AC
 
 không cùng phương hay 
D C D C
B A B A
C A C A
B A B A
x x y y
x x y y
x x y y
x x y y
 
  

  
  
11/ Cho điểm  0 0,M x y . Ta có  0 0,A x y đối xứng M qua Ox;  0 0,B x y đối xứng M qua Oy;  0 0,C x y  đối 
xứng M qua O. 
GV: Đỗ Chí Công dccthd@gmail.com 
3 
BÀI TẬP 
1/ Cho 2 hình bình hành ABCD và ABEF, dựng các vectơ ;EH FG
 
 bằng vectơ AD

CMR: CDGH là hình bình hành. 
2/ Cho hình bình hành ABCD. Gọi P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. 
a/ Chứng minh: PQRS là hình bình hành. 
b/ Cho AB = BC. Chứng minh: PQRS là hình chữ nhật 
3/ Cho tam giác ABC, M và N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Vẽ ;ME BC NF BC  . 
Chứng minh: ME NF
 
4/ Cho tứ giác ABCD không phải là hình bình hành, AC cắt BD tại O, OB = OD. Gọi M và N lần lượt 
là trung điểm của AB và CD; cắt AC tại I. Chứng minh: MI IN
 
. 
5/ Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD với AB = 2CD. Từ C vẽ CI DA
 
. Chứng minh: 
a/ I là trung điểm AB. 
b/ BC ID
 
6/ Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. A’ là điểm 
đối xứng của A qua I. Chứng minh: 
a/ 'BH A C
 
b/ 'BA HC
 
7/ Cho tam giác ABC cân tại A, trên AB lấy điểm D không trùng với A, B. Trên tia đối của tia CA lấy 
điểm E sao cho BD = CE, DE cắt BC tại F. Chứng minh: DF FE
 
8/ Cho hai tam giác ABC và AEF có chung trung tuyến AM. Chứng minh: CE FB
 
. 
NC 
9/ Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và B’ là điểm 
đối xứng với B qua tâm O. Chứng minh: ' '; 'AH B C AB HC 
   
10/ Chứng minh rằng với hai vectơ ,a b
 
 không cùng phương. Ta có a b a b a b    
     
(HD: áp dụng bất đẳng thức tam giác) 
11/ Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm tam giác. Kéo dài GM một đoạn 
MD = GM. Chứng minh: ;BD GC BG DC 
   
. 
12/ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm tam giác. AH cắt BC tại I và cắt 
đường tròn tại M khác A. 
a/ Chứng minh: HI IM
 
b/ Gọi K là trung điểm của BC. Chứng minh ;AM OK
 
 cùng phương 
c/ HK cắt đường tròn tại D, chứng minh BH DC
 
 và BD HC
 
. 
GV: Đỗ Chí Công dccthd@gmail.com 
4 
13/ Cho ABC . Tìm M sao cho 
a/ 2 3 0MA MB MC  
   
b/ 2 3 0MA MB MC  
   
14/ Cho tứ giác ABCD. Tìm M sao cho 
a/ 2 2 0MA MB MC MD   
    
b/ 2 5 2 0MA MB MC MD   
    
15/ Cho 2 vectơ ,a b
 
 không cùng phương 
a/ Chứng minh 
1/ 2u a b 
  
 ; 3 4v a b 
  
2/ u a b 
  
 ; v a b 
  
3/ 2u a b 
  
 ; 2v a b 
  
b/ Tìm x để hai vectơ ,u v
 
 : 
1/ ( 2)u x a b  
  
 ; (2 1)v x a b  
  
 cùng phương 
2/ (2 1)u a x b  
  
 ; v xa b 
  
 cùng hướng 
3/ 3u a xb 
  
 ; 
2
(1 )
3
v x a b  
  
 ngược hướng 
Hệ trục tọa độ 
1. Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A(1;-2); B(3;2); C(0;4). Tìm tọa độ M trong mỗi trường 
hợp sau: 
a/ 2 3CM AB AC 
  
b/ 2 4AM BM CM 
  
c/ ABCM là hình bình hành. 
2. Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A(1;4); B(3;1); C(-1;2).Tìm tọa độ M trong mỗi trường 
hợp sau: 
a/ 2 5AM BM CM 
  
b/ 2 3 0MA MB 
  
c/ ABMC là hình bình hành. 
3. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác A(1;1); B(2;4); C(3;2). 
a/ Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. 
b/ Tìm tọa độ trung điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC. 
4. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác A(6;-3); B(1;0); C(3;2). 
a/ Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. 
b/ Tìm tọa độ trung điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC. 
c/ Tìm D để ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm I của hình bình hành đó. 
5. Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A(-2;1); B(0;2); C(4;4). 
a/ Chứng minh rằng 3 điểm A, B, C thẳng hàng. 
b/ Tìm tọa độ giao điểm D của đường thẳng AB và trục Ox. 
c/ Tìm tọa độ giao điểm E của đường thẳng AB và trục Oy. 
GV: Đỗ Chí Công dccthd@gmail.com 
5 
6. Trong mặt phẳng Oxy cho A(3;4); B(2;5). 
a/ Tìm a để C(a;1) thuộc đường thẳng AB. 
b/ Tìm M để C là trung điểm AM. 
7. Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;3); B(0;1); C(0;3); D(2;7). Chứng minh AB // CD. 
8. Trong mặt phẳng Oxy cho A(-1;1); B(1;3); C(-2;0) 
a/ Chứng minh C nằm trên đường thẳng đi qua A, B. 
b/ Tìm giao điểm của đường thẳng AB và trục Oy. 
c/ Chứng minh: A, B, O không thẳng hàng. 
9. Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;-1); B(3;1); C(y;2). 
a/ Tìm y để A, B, C thẳng hàng. 
b/ Tìm giao điểm giữa AB và Ox. 
c/ Tìm giao điểm AB và Oy. 
10. Trong mặt phẳng Oxy cho B(4;5); C(-2;1) 
a/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn BC 
b/ Chứng minh: O, B, C không thẳng hàng. 
c/ Tìm M để OBMC là hình bình hành. 
11. Cho A(-1;5) , B(3;-3) 
a/ Tìm tọa độ trung điểm M của AB. 
b/ Tìm tọa độ N sao cho A là trung điểm NB. 
c/ Tìm tọa độ P sao cho B là trung điểm AP. 
d/ Đường thẳng đi qua A, B cắt Ox tại K. Tìm tọa độ K. 
e/ Đường thẳng đi qua A, B cắt Oy tại L. Tìm tọa độ L. 
f/ Tìm tọa độ điểm C sao cho OC AB
 
. 
g/ Tìm tọa độ D sao cho 3DA DB AB 
  
12. Cho A(1,2); B(2; 4); C(3,-3) 
a/ Chứng minh rằng A, B, C lập thành một tam giác. 
b/ Xác định trọng tâm G của tam giác ABC. 
c/ Tìm tọa độ E sao cho O là trọng tâm tam giác ABE. 
d/ Tìm tọa độ D để ABCD là hình bình hành. 
e/ Tìm tọa độ F sao cho OABF là hình bình hành. 
f/ Cho H(a, 1). Xác định tọa độ H để B, C, H thẳng hàng. 
g/ Xác định K Ox để ABKC là hình thang. 
h/ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng đi qua A,B và đường thẳng đi qua O,C. 
13. Cho các điểm A’(-2;1); B’(4;2); C’(-1;-2) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của 
tam giác ABC. Tìm tọa độ các định của tam giác ABC. Chứng minh rằng trọng tâm tam giác 
ABC và A’B’C’ trùng nhau. 
14. Cho (3;1)a 

 ; (1; 1)b  

. Hãy biểu diễn vectơ (6; 2)c  

 theo hai vectơ ;a b
 
15. Cho (2; 3); (5;1); ( 3;2)a b c    
  
. 
a/ Tìm tọa độ của vectơ 2 3 4u a b c  
   
b/ Tìm tọa độ vectơ x

 sao cho 2x a b c  
   
c/ Tìm các số h và k sao cho c ha kb 
  