Các đề thi vào lớp 10 chuyên Toán-Tin trường phổ thông năng khiếu Đại học Quốc gia tp.HCM

CAÙC ÑEÀ THI VAØO LÔÙP 10 CHUYEÂN TOAÙN-TIN 
TRÖÔØNG PHOÅ THOÂNG NAÊNG KHIEÁU 
ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA TP.HCM 
Copyright 2006 © www.diendantoanhoc.net
www.vnmath.com
MỤC LỤC 
 Năm học 1993 – 1994 ............................................................................................ 3 
 Năm học 1994 – 1995 ............................................................................................ 6 
 Năm học 1995 – 1996 ............................................................................................ 8 
 Năm học 1996 – 1997 ............................................................................................ 11 
 Năm học 1997 – 1998 ............................................................................................ 13 
 Năm học 1998 – 1999 ............................................................................................ 16 
 Năm học 1999 – 2000 ............................................................................................ 19 
 Năm học 2000 – 2001 ............................................................................................ 22 
 Năm học 2001 – 2002 ............................................................................................ 25 
 Năm học 2002 – 2003 ............................................................................................ 28 
 Năm học 2003 – 2004 ............................................................................................ 31 
 Năm học 2004 – 2005 ............................................................................................ 34 
 Năm học 2005 – 2006 ............................................................................................. 37 
 Năm học 2006 – 2007 ............................................................................................ 40 
www.vnmath.com
Năm học 1993 – 1994 
Ngày thứ nhất 
 Bài 1 
 Ta nói số tự nhiên A là một số “Pitago” nếu A là tổng bình phương của hai 
số tự nhiên nào đó. 
a) Cho P và Q là hai số “Pitago”, chứng minh P.Q và 2nP cũng là các số 
“Pitago”. 
b) Tìm các số “Pitago” M và N sao cho tổng và hiệu của chúng không 
phải là các số “Pitago”. 
 Bài 2 
a) Giải phương trình căn thức : 
343 49 4 3 12 3x x x− = − − 
b) Chứng minh đẳng thức 
4 449 20 6 49 20 6 3
2
+ + − = 
 Bài 3 
 Tám đội bóng tham gia giải vô địch trong đó hai đội bất kỳ phải gặp nhau 
đúng một lần. Biết rằng đến cuối giải không có trận đấu nào kết thúc với tỉ số 
hòa. 
 Chứng minh rằng trong tám đội nói trên, luôn tìm được bốn đội A, B, C, D 
sao cho kết quả các trận đấu giữa họ là A thắng B, C, D; B thắng C, D và C 
thắng D. 
Bài 4 
 Bốn học sinh gái Mỹ, Mận, Mai và Mơ đang ở trong một căn phòng của kí 
túc xá. Một cô đang sửa áo, một cô đang chải đầu, một cô đang viết thư và một 
cô đang đọc sách. Biết thêm rằng : 
1. Mỹ không sửa áo và không đọc sách. 
2. Mận không viết thư và không sửa áo. 
3. Nếu Mỹ không viết thư thì Mơ không sửa áo. 
4. Mai không đọc sách và không sửa áo. 
5. Mơ không đọc sách và không viết thư. 
 Hãy nói chính xác mỗi cô đang làm gì. 
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
3
www.vnmath.com
 Bài 5 
 Giả sử là một điểm nằm bên trong tam giác đều O ABC . Các đường 
thẳng , ,AO BO CO cắt các cạnh đối diện của tam giác tại các điểm A1,B1,C1 
tương ứng. Biết rằng : 
1 1 1 1 1 1AB O CA O BC O CB O BA O AC
S S S S S S+ + = + ++ + + + + + O 
 Chứng minh rằng O nằm trên một đường trung tuyến của tam giác ABC. 
Ngày thứ hai 
Bài 1 
 Chia hai tập hợp những số tự nhiên {1,2,,2n} thành hai tập con rời nhau 
A và B, mỗi tập có n phần tử. 
 Kí hiệu các phần tử của hai tập hợp này theo thứ tự tăng : 
 1 2 1... }{ n nA a a a a−< < < <= và 1 2... }{ n nB b b b b− 1< < < <= 
 Hãy chứng minh đẳng thức : 
|a1-b1|+|a2-b2|++|an-bn|=n2
Bài 2 
 Cho một bảng kích thước 2n x 2n ô vuông. Người ta đánh dấu 3n ô bất kì 
của bảng. Chứng minh rằng có thể chọn ra n hàng và n cột của bảng sao cho 
các ô được đánh dấu đều nằm trên n hàng hoặc n cột này. 
Bài 3 
 Cho hình thang vuông ABCD có AB là cạnh đáy nhỏ, CD là cạnh đáy lớn, 
M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Biết rằng hình thang ABCD 
ngoại tiếp đường tròn bán kính R. Hãy tính diện tích tam giác ADM. 
Bài 4 
 Một hộp đựng 52 viên bi, trong đó có 13 viên màu xanh, 13 viên màu đỏ, 
13 viên màu vàng và 13 viên màu trắng. Cần phải lấy ra ít nhất bao nhiêu viên 
bi (mà không nhìn trước) để chắc chắn trong số đó không có ít hơn 7 viên bi 
cùng màu. Hãy phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát hơn. 
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
4
www.vnmath.com
Bài 5 
 Một dãy các con số 0 và 1 có độ dài 32 được gọi là 1 xâu. Ta kí hiệu các 
xâu A,B,C , như sau : 
 A=(a1,a2,,a32) 
 B=(b1,b2,,b32) 
 C=(c1,c2,,c32) 
 với ai,bi,ci,= 0 hay 1; i = 1,2,,32. 
 Giá trị của một xâu là số các con số 1 có trong xâu ấy. 
 Một máy tính có thể xử lý các xâu bằng hai phép biến đổi sau : 
_ Phép dịch chuyển các phần tử của A đi k vị trí, 1 ≤ k ≤ 32 theo qui 
tắc : 
 (a1,a2,,a32) ⇒ (ak,ak+1,,a31,a32,a1,a2,,ak-1). 
_ Phép so sánh hai xâu A và B để được một xâu mới C theo qui tắc 
A&B ⇒ C, với 
 1 nếu (ai = 1,bi = 0) hay (a1 = b1 = 1) 
 c1 = 
 0 nếu (ai = 1,b i= 0) hay (a1 = 0,b1 = 1) 
 Cho xâu A có giá trị bằng 16 và B là một xâu tùy ý. Chứng minh rằng, 
bằng cách dịch chuyển A đi k vị trí (thích hợp) và so sánh kết quả với B, ta sẽ 
được xâu C có giá trị không nhỏ hơn 16. 
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
5
www.vnmath.com
Năm học 1994 – 1995 
Ngày thứ nhất 
 Bài 1 
 Sáu đội bóng A,B,C,D,E và F tham dự một giải vô địch. Dưới đây là năm 
khẳng định khác nhau về hai đội có mặt trong trận chung kết : 
 a) A và C b) B và E c) B và F 
 d) A và F e) A và D 
 Biết rằng có bốn khẳng định đúng một nửa và một khẳng định sai hoàn 
toàn. Hãy cho biết hai đội nào được thi đấu trong trận chung kết. 
Bài 2 
a) Trên bảng có viết 1994 số : 1,2,,1994. Cho phép xóa hai số bất kỳ 
trong những số trên bảng và viết thêm một số bằng tổng của hai số đó 
(Như vậy sau mỗi lần xóa thì các số các số được viết trên bảng giảm đi 
1). Chứng minh sau 1993 lần xóa, trên bảng sẽ còn lại một số lẻ. 
b) Nếu thay số 1994 trong câu a) bằng số 2000 thì sau 1999 lần xóa trên 
bảng sẽ còn lại 1 số chẵn hay số lẻ ? 
 Bài 3 
 Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho y+1 chia hết cho x và x+1 chia 
hết cho y. 
 Bài 4 
a) Cho là 4 số thực tùy ý. Với các giá trị thực nào của x thì 
biểu thức nhận giá trị nhỏ nhất : 
a b c d< < <
f(x) = |x – a|+|x – b|+|x – c|+|x – d| 
b) Hãy phát biểu và giải bài toán tổng quát với n số thực. 
 Bài 5 
 Cho tam giác ABC có hai đường phân giác trong BD và CE cắt nhau tại I. 
Biết rằng ID = IE, chứng minh rằng hoặc tam giác ABC cân tại A hoặc góc 
. 060BAC∠ =
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
6
www.vnmath.com
Ngày thứ hai 
Bài 1 
 Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
2 3
4 2
x xy y
x xy y
⎧⎪⎨⎪⎩
13
6
− + =
+ − = − 
Bài 2 
 Cho tam giác ABC vuông tại A, có O, I lần lượt là tâm các đường tròn 
ngoại tiếp, nội tiếp. Đặt BC = a, CA = b, AB = c. 
a) Tính các độ dài IO, IB theo a,b,c. 
b) Biết rằng tam giác IOB vuông ở I, chứng minh 
AB : AC : BC = 3 : 4 : 5. 
 Bài 3 
 Chứng minh không tồn tại một dãy tăng thực sự các số 
nguyên sao cho với mọi số tự nhiên n,m ta có : 1 2 3, , ,..0 :a a a≥ .
amn = an + am . 
 Bài 4 
 Chứng minh rằng tồn tại duy nhất hai số nguyên dương x và y thỏa mãn 
các tính chất sau : 
i) x và y đều có hai chữ số 
ii) x = 2y 
iii) Một chữ số của y thì bằng tổng hai chữ số của x, còn chữ số kia 
thì bằng trị tuyệt đối của hiệu hai chữ số của x. 
 Bài 5 
 Một tam giác đều được chia thành một số hữu hạn các tam giác con. 
Chứng minh rằng sẽ có ít nhất một tam giác con có cả ba góc đều nhỏ hơn 1200. 
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
7
www.vnmath.com
Năm học 1995 – 1996 
Ngày thứ nhất 
 Bài 1 
 Trong một kì thi trắc nghiệm có 5 câu hỏi, thí sinh dự thi chỉ cần trả lời 
“có” hay “không” cho mỗi câu. Hãy chứng minh rằng nếu biết được các thông 
tin sau về câu trả lời cho mỗi câu hỏi : 
a) Câu số 1 và câu số 5 cần trả lời trái ngược nhau. 
b) Câu số 2 và câu số 4 cần trả lời giống nhau. 
c) Nếu câu số 4 trả lời “có” thì câu số 5 cần trả lời “không”. 
d) Số câu được trả lời “không” ít hơn số câu trả lời “có” 
 thì một thí sinh có thể trả lời đúng bốn câu hỏi. 
 Bài 2 
 Cho tứ giác lồi ABCD. Trên hai cạnh AB và CD lấy hai điểm E và F sao 
cho AE CF
BE DF
= . Chứng minh rằng nếu đường chéo AC đi qua trung điểm I của 
đoạn EF thì AC chia đôi diện tích tứ giác ABCD. 
 Bài 3 
 Hãy tìm tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số A abcd= thỏa điều kiện : 
 i) 2( 2abd b d a= + − ) 
 ii) A + 72 là một số chính phương 
Bài 4 
a) Chứng minh với mọi giá trị thực của x ta luôn có : 
2 4 23 6 12 5 10 9x x x x 5+ + + − + ≥ 
 b) Giải phương trình : 
2 4 23 6 12 5 10 9 3 4 2 2x x x x x+ + + − + = − − x 
 Bài 5 
 Cho tam giác ABC vuông tại A có đỉnh A,B cố định và C thay đổi trên nửa 
đường thẳng At vuông góc với AB tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam 
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
8
www.vnmath.com
giác ABC và P, Q, R lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn này với các cạnh 
AC, BC, AB. Đường thẳng PQ và AI cắt nhau tại D. 
 a) Chứng minh rằng bốn điểm B, D, Q, R nằm trên một đường tròn. 
 b) Chứng minh rằng khi C thay đổi trên At thì PQ luôn đi qua một điểm cố 
định. 
Ngày thứ hai 
 Bài 1 
 Cho số tự nhiên n . Chứng minh rằng : 1>
a) Nếu n lẻ thì ta không thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2,,n} 
thành một dãy sao cho với mọi k n≤ , tổng của k số đầu tiên trong 
dãy không chia hết cho n. 
b) Nếu n thì ta không thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2,,n} thành 
một dãy sao cho với mọi k n≤ , tổng của k số đầu tiên trong dãy 
không chia hết cho n. 
 Bài 2 
 Giải và biện luận hệ phương trình sau : 
1
2
xyz m
x y
xyz
y z
xyz
z x
⎧ =⎪ +⎪⎪ =⎨ +⎪⎪ =⎪ +⎩
 trong đó x, y, z là các ẩn số và m là tham số thực. 
 Bài 3 
 Cho là các số thực dương. Gọi A là các số lớn nhất trong 
các số trên, hãy chứng minh bất đẳng thức : 
1 2 1995, ,...,a a a
2
1 2 1995 1 1995
1( 2 ... 1995 ) ( ... )
2
A a a a a a+ + + > + + 
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
9
www.vnmath.com
Bài 4 
 Cho tứ giác lồi ABCD. 
a) Chứng minh rằng nếu hai đường tròn đường kính AB và CD tiếp 
xúc ngoài nhau thì ta luôn có 
AB + CD ≤ AD + BC 
b) Chứng minh rằng, nếu hai đường tròn đường kính AB và CD tiếp 
xúc ngoài với nhau và hai đường tròn đường kính AD và BC cũng 
tiếp xúc ngoài với nhau thì tứ giác ABCD phải là hình thoi. 
 Bài 5 
a) Gọi O là một điểm tùy ý nằm trong hình vuông. Chứng minh rằng luôn 
có thể tìm được hai đỉnh A và B của ... uông này, ban đầu 
người ta ghi 9 số 1 và 7 số 0 một cách tùy ý (mỗi ô một số). Với mỗi 
phép biến đổi bảng, cho phép một hàng hoặc một cột bất kỳ trên hàng 
hoặc cột được chọn đổi đồng thời các số 0 thành số 1, các số 1 thành số 
0. Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các phép biến đổi như vậy, ta 
không thể đưa bảng ban đầu về bảng gồm toàn các số 0. 
b) Ở vương quốc “Sắc màu kỳ ảo” có 45 hiệp sĩ: 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp 
sĩ tóc vàng và 17 hiệp sĩ tóc xanh. Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác nhau 
gặp nhau thì tóc của họ lập tức đổi sang màu tóc thứ ba (ví dụ khi hiệp 
sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc vàng thì cả hai đổi sang tóc xanh). Hỏi có thể 
xảy ra trường hợp sau một số hữu hạn lần gặp nhau như vậy ở “Sắc 
màu kỳ ảo” tất cả các hiệp sĩ đều có cùng màu tóc được không ? 
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
33
www.vnmath.com
Năm học 2004 – 2005 
Ngày thứ nhất 
 Bài 1 
a) Giải phương trình 4 3x x 2− − = . 
b) Định m để phương trình 2 ( 1) 2x m x m 0− + + = có hai nghiệm phân biệt 
1 2,x x sao cho 1 2,x x là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác 
vuông có cạnh huyền bằng 5. 
 Bài 2 
 Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 
2 2 2 2 2( ) ( ) (a b c a b b c c a+ + = − + − + − 2) 
a) Tính a + b+ c biết rằng ab + bc + ca = 9. 
b) Chứng minh rằng nếu c ≥ a, c ≥ b thì c ≥ a + b. 
 Bài 3 
 Cùng một thời điểm, một chiếc ô tô XA xuất phát từ thành phố A về hướng 
thành phố B và một chiếc xe khác XB xuất phát từ thành phố B về hướng thành 
phố A. Chúng chuyển động với vận tốc riêng không đổi và gặp nhau lần đầu tại 
một điểm cách A 20km. Cả hai chiếc xe, sau khi đến B và A tương ứng, lập tức 
quay trở lại và chúng gặp nhau lần thứ hai tại một điểm C. Biết thời gian xe XB 
đi từ C đến B là 10 phút và thời gian giữa hai lần gặp nhau là 1 giờ, hãy tính 
vận tốc của từng chiếc ô-tô. 
 Bài 4 
 Gọi I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp (C) 
của tam giác nhọn ABC. Tia AI cắt đường tròn (C) tại K (K ≠ A) và J là điểm 
đối xứng của I qua K. Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của I và O qua 
BC. 
a) Chứng minh rằng tam giác IBJ vuông tại B. 
b) Tính góc BAC nếu Q thuộc (C). 
c) Chứng minh rằng nếu Q thuộc (C) thì P cũng thuộc (C). 
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
34
www.vnmath.com
 Bài 5 
 Chứng minh rằng từ 8 số nguyên dương tùy ý không lớn hơn 20, luôn 
chọn được 3 số x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác. 
Ngày thứ hai 
 Bài 1 
a) Giải hệ phương trình 
5 1
5 1
x y
y x
⎧ + + =⎪⎨ + + =⎪⎩
b) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện | | 1,| | 1x y< < . Chứng minh 
rằng | | | |
1
x yx y
xy
++ ≥ + . 
c) Tìm tất cả các số nguyên sao cho phương trình 0m ≥
2 2( 1)x m x m 0− − + = 
có các nghiệm đều nguyên. 
 Bài 2 
a) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho đa thức 3 1 2 1n nx x+ + + chia 
hết cho đa thức 2 1x x+ + . 
b) Tìm số dư trong phép chia 8 6 20043 3 3A = + + cho 91. 
 Bài 3 
 Cho tam giác đều ABC và một điểm P nằm trong tam giác. Hạ PA1, PB1, 
PC1 vuông góc với BC, CA, AB tương ứng. Tìm tập hợp các điểm P sao cho 
tam giác A1BB1C1 là tam giác cân. 
Bài 4 
 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (C) và M là một điểm 
thay đổi trên cung nhỏ BC. N là điểm đối xứng của M qua trung điểm I của AB. 
a) Chứng minh rằng trực tâm K của tam giác NAB thuộc một đường 
tròn cố định. 
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
35
www.vnmath.com
b) Giả sử NK cắt AB tại D, hạ NE vuông góc với BC. Gọi H là trực 
tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng DE đi qua trung điểm J của 
HK. 
 Bài 5 
a) Trong một giải bóng đá có k đội tham gia, thi đấu vòng tròn một lượt (2 
đội bất kỳ đấu với nhau đúng một trận). Đội thắng được 3 điểm, đội 
hòa được 1 điểm và đội thua không được điểm nào. Kết thúc giải, 
người ta nhận thấy rằng số trận thắng – thua gấp đôi số trận hòa và 
tổng số điểm của các đội là 176. Hãy tìm k. 
b) Tìm tất cả các số nguyên dương A có hai chữ số sao cho số A chỉ thỏa 
mãn đúng hai trong 4 tính chất dưới đây : 
 i) A là bội số của 5 ii) A là bội số của 21 
 iii) A + 7 là số chính phương iv) A – 20 là số chính phương. 
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
36
www.vnmath.com
Năm học 2005 – 2006 
Ngày thứ nhất 
 Bài 1 
 Cho phương trình 2( 1)[ 2( 2) 3] 0x x mx m x m+ + + + + = . 
a) Giải phương trình khi m = 1. 
b) Chứng minh rằng phương trình trên không thể có ba nghiệm phân 
biệt. 
 Bài 2 
a) Giải hệ phương trình 
5
2 1 2
x y
x y
− =⎧⎪⎨
2+ − + =⎪⎩
b) Giải hệ phương trình 4
9
xy z
yz x
zx y
=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
 Bài 3 
a) Giải phương trình 6 3 1 2x x x x 0+ + − − + − − = . 
b) Cho các số thực a, b, c thỏa điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng : 
. 2 3ab bc ca+ + ≤ 0
 Bài 4 
 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là chân đuờng cao 
kẻ từ A của tam giác ABC. Đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại I (I ≠ A). 
Gọi H là điểm đối xứng của I qua BC. 
a) Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC. 
b) Gọi N là giao điểm của BH và AC; P là điểm thuộc cạnh AB sao 
cho . Chứng minh rằng các điểm C, H, P thẳng 
hàng. 
PMB NMC∠ =∠
c) Giả sử BH = 2HN và AH = HI. Chứng minh tam giác ABC đều. 
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
37
www.vnmath.com
 Bài 5 
 Trong một kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi của trường, nếu sắp xếp mỗi 
phòng thi 22 học sinh thì còn thừa một em, còn nếu giảm một phòng thi thì số 
học sinh được chia đều cho mỗi phòng. Hỏi có bao nhiêu học sinh tham dự kỳ 
thi, biết rằng mỗi phòng thi không thể chứa quá 40 học sinh. 
Ngày thứ hai 
 Bài 1 
a) Cho a, b > 0, c ≠ 0. Chứng minh rằng 
1 1 1 0 .a b a c b c
a b c
+ + = ⇔ + = + + + 
b) Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
1 1 1
1 1
x y
x y xy
⎧ + =⎪⎨⎪ 2− + − = +⎩
 Bài 2 
a) Cho 5p ≥ là số nguyên tố sao cho 2p + 1 cũng là số nguyên tố. Chứng 
minh rằng p + 1 chia hết cho 6 và 22 p 1+ không phải là số nguyên tố. 
b) Tính tổng các số nguyên dương từ 1 đến 1000 mà trong cách viết thập 
phân của chúng không chứa chữ số 4 và chữ số 5. 
c) Cho tam thức bậc hai 2( )P x ax bx c= + + (a ≠ 0) thỏa mãn điều kiện 
. Chứng minh rằng 2 2( 2) ( )P x P x− = − 2 ( ) ( )P x P x− = với mọi x. 
 Bài 3 
 Cho tam giác nhọn ABC. Điểm D di động trên cạnh BC. Gọi O1, O2 lần 
lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD tương ứng. 
a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AO1O2 luôn đi 
qua một điểm cố định khác A. 
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và I là tâm 
đường ngoại tiếp tam giác AO1O2. Hãy xác định vị trí điểm D trên 
BC sao cho IO nhỏ nhất. 
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
38
www.vnmath.com
 Bài 4 
a) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. M là một điểm bất kỳ nằm 
trong hình vuông. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2MA MB MC MD+ + + ≥ . 
b) Cho x, y, z, t là các số thực bất kỳ thuộc đoạn [0,1]. Chứng minh rằng 
ta luôn có bất đẳng thức : (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2x y y z z t t x− + − + − + − ≤ . 
 Bài 5 
 Xét 81 chữ số, trong đó có 9 chữ số 1; 9 chữ số 2;; 9 chữ số 9. Hỏi có 
thể xếp được hay không tất cả các chữ số này thành 1 dãy, sao cho với mọi 
, trong mỗi khoảng giữa hai chữ số k liên tiếp ở trên dãy có đúng k 
chữ số ? 
1,2,...9k =
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
39
www.vnmath.com
Năm học 2006 – 2007 
Ngày thứ nhất 
 Bài 1 
 Cho phương trình (1). 23 10 | | 4 7x x m− + − = 0
a) Xác định m để phương trình (1) có một nghiệm bằng 3 và tìm các 
nghiệm còn lại của phương trình (1). 
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm. 
 Bài 2 
a) Giải phương trình 4 2 6x x 1+ − − = . 
b) Giải hệ phương trình 
2 2
2
2 6
2 3
x y
xy y
⎧ + =⎪⎨ − =⎪⎩
 Bài 3 
 a) Cho a, b, c thỏa abc ≠ 0 và ab + bc + ca = 0. 
 Tính ( )( )(a b b c c aP
abc
)+ + += . 
c) Cho a, b, c thỏa và ( )( )( ) 0a b b c c a+ + + ≠
2 2 2 2 2a b c a b c
a b b c c a b c c a a b
+ + = + ++ + + + + +
2
Chứng minh rằng a = b = c. 
 Bài 4 
 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, có AC BD⊥ và AC cắt BD 
tại I. 
a) Chứng minh tam giác ABC cân. 
b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính độ dài 
đoạn MN. 
c) Gọi P là giao điểm của IO và MN. Tính độ dài đoạn PN. 
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
40
www.vnmath.com
 Bài 5 
 Để tặng thưởng cho các bạn học sinh đạt thành tích cao trong kỳ thi 
Olympic Toán dành cho học sinh lớp 9, ban tổ chức đã trao 30 phần thưởng cho 
các học sinh với tổng giải thưởng là 2.700.000 đồng, bao gồm: mỗi học sinh đạt 
giải nhất được thưởng 150.000 đồng; mỗi học sinh đạt giải nhì được thưởng 
130.000 đồng; mỗi học sinh đạt giải ba được thưởng 100.000 đồng; mỗi học 
sinh đạt giải khuyến khích được thưởng 50.000 đồng. Biết rằng có 10 giải ba và 
ít nhất một giải nhì được trao, hỏi ban tổ chức đã trao bao nhiêu giải nhất, nhì 
và khuyến khích ? 
Ngày thứ hai 
 Bài 1 
a) Giải hệ phương trình 
2
2
2 1
2 1
x xy
y xy
⎧ + =⎪⎨ + =⎪⎩
. 
b) Giải bất phương trình 23 5 5x x x 2− ≤ − . 
c) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện 2x y+ = . Chứng minh rằng 
. 2 2( )xy x y+ ≤ 2
0
 Bài 2 
 Cho phương trình (1), trong đó m là 
tham số. 
2 2 3( 3) 2( 3 ) 12m x m m x m+ − + + + =
a) Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình (1) có hai 
nghiệm phân biệt. 
b) Ký hiệu 1 2,x x là hai nghiệm của (1). Tìm số nguyên m lớn nhất 
sao cho 21
2
2x x+ là một số nguyên. 
 Bài 3 
 Cho tam giác đều ABC. P là một điểm nằm trong tam giác. Gọi x, y, z lần 
lượt là khỏang cách từ P đến các cạnh BC, CA, AB tương ứng. 
a) Biết rằng x = 1, y = 2, z = 3. Hãy tính diện tích tam giác ABC. 
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
41
www.vnmath.com
b) Tìm quỹ tích những điểm P trong tam giác sao cho x y z+ = . Từ 
đó suy ra tập hợp những điểm P trong tam giác sao cho x, y, z lập 
thành 3 cạnh của một tam giác. 
 Bài 4 
 Cho đường tròn (C) tâm O, AB là một dây cung của (C) không đi qua O và 
I là trung điểm của AB. Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn (C1) 
tâm O bán kính OI tại P và Q. Chứng minh rằng tích AP.AQ không đổi và 
đường tròn ngọai tiếp tam giác BPQ đi qua một điểm cố định khác B. 
Bài 5 
a) Trong một giải bóng đá, có 4 đội thi đấu vòng tròn 1 lượt (trong một 
trận, đội thắng được 3 điểm, đội thua được 0 điểm và đội hòa được 1 
điểm). Khi kết thúc giải, người ta thấy có 3 đội đạt được tổng số điểm 
lần lượt là 6 điểm, 5 điểm và 1 điểm. Hãy cho biết đội còn lại của giải 
có tổng số điểm là bao nhiêu và giải thích tại sao ? 
b) Cho 13 số thực thỏa mãn điều kiện: tổng của 6 số bất kỳ trong chúng 
nhỏ hơn tổng của 7 số còn lại. Chứng minh rằng tất cả các số đã cho 
đều dương. 
Copyright © www.diendantoanhoc.net
Ngày 5 tháng 6 năm 2006 
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
42
www.vnmath.com