Các phương pháp giải Phương trình

 §1. Phương pháp nghiệm duy nhất
 Thí dụ 1: Giải phương trình : 3+ 4= 5 (1)
 Lời giải: 
 (1) ó (1’). Đặt VT(1’) = f(x), có f(x) xác định liên tục trên R và :
 f'(x) = ln+ln < 0 xR nên f(x) là hàm nghịch biến. Do đó: (1) ó f(x) = f(2) ó x = 2
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =2.
 Thí dụ 2 : Giải phương trình : | x - 6,5 | + | x - 7,5 | = 1 (2)
 Lời giải :
 Nhận xét rằng :
 | 6,5 – 6,5 | + | 6,5 – 7,5 | = 1; | 7,5 – 6,5 | + | 7,5 – 7,5 | = 1
 Do đó x = 6,5 và x = 7,5 là 2 nghiệm của phương trình.
 Nếu x 0 và | x – 7,5 | >1 => VT (2) >1 (vô lí ) 
 Nếu x > 7,5 ta có : | x – 6,5 | >1 và | x – 7,5 | >0 => VT (2) >1 (vô lí ) 
 Nếu 6,5 < x < 7,5 ta có : 0 < x – 6,5 ; 7,5 – x < 1 
 => x – 6,5 > | x – 6,5 | và 7,5 – x > | x – 7,5 | => VT (2) < x – 6,5 + 7,5 – x = 1 (vô lí ) 
 Vậy phương trình (2) có duy nhất 2 nghiệm x = 6,5 và x = 7.
 Thí dụ 3 : Giải phương trình : + = (3)
 Lời giải :
 (3) ó (3’). Đặt VT(3’) = f(x), có f(x) xác định liên tục trên R và : 
 f'(x) = ln + ln < 0 xR nên f(x) là hàm nghịch biến.Do đó: (3) ó f(x) = f(2) ó x = 2 
 Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = 2.
 Thí dụ 4 : Giải phương trình : 3= 4 – x (4)
 Lời giải : 
 Đặt f(x) = 3+ x – 4. Có f(x) xác định liên tục trên R và : 
 f'(x) = 3ln3 + 1 > 0 x R nên f(x) là hàm đồng biến.Bởi vậy : (4) ó f(x) = 0 = f(1) ó x = 1
 Vậy phương trình (4) có nghiệm duy nhất x = 1.
 Thí dụ 5 : Giải phương trình : += 5 (5) 
 Lời giải : 
 Đặt f(x) = VT(5) ta có : f(x) xác định ó ó x ≥ - 2 (*) 
 f(x) liên tục trên (*) và: f'(x) =+ > 0 x > - 2 nên f(x) đồng biến trên (*).Bởi vậy: 
 (5) ó f(x) = 5 = f(0) ( x = 0 thoả mãn (*) ) ó x = 0 
 Vậy phương trình (5) có nghiệm duy nhất x = 0 .
 Thí dụ 6 : Giải phương trình : 2x + = 16 (6)
 Lời giải : 
 Đặt f(x) = VT (6) ta có : f(x) xác định ó x – 3 ≥ 0 ó x ≥ 3 (*) 
 f(x) liên tục trên (*) nên ta có : f'(x) = 2 + > 0 x >3 nên f(x) đồng biến trên (*).
 Bởi vậy: (6) ó f(x) = 16 = f(7) ó x = 7 
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 7 .
 Thí dụ 7: Giải phương trình : + = (7)
 Lời giải : 
+) Nếu m < 0 thì phương trình vô nghiệm. 
+) m ≥ 0 thì ta có :Điều kiện để phương trình có nghiệm là : ó x ≥ m (do m ≥ 0 )
 Với điều kiện đó ta có :+≥+=. Đẳng thức xảy ra khi x = m.
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = m khi m ≥ 0.
 Thí dụ 8 : Giải phương trình : 3(x + 4 ) = 1 (8) 
 Lời giải : 
 Đặt f(x) = x + 4 - 3có f(x) xác định liên tục trên R nên ta có : f'(x) = 1 + 3ln3 > 0 x R 
 Nên f(x) đồng biến x R . Bởi vậy : (8) ó f(x) = 0 = f(-1) ó x = -1. 
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1.
 Thí dụ 9 : Giải phương trình : lg(x -5 ) = 6 – x (9)
 Lời giải :
 Điều kiện: x – 5 ≥ 0 ó x ≥ 5. Nhận thấy x = 6 là một nghiệm của phương trình.
 Nếu x > 6 thì lg(x–5) > lg(6–5) = 0 > 6 – x => phương trình không có nghiệm x > 6.
 Nếu x phương trình không có nghiệm x < 6.
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =6.
 Thí dụ 10 : Giải hệ phương trình : 
 Lời giải : 
 Thay (β) vào (α) ta có :
 (α) ó 2- 2 = (y – x )( xy + x+y) = y - xó 2+ x = 2 + y
 Đặt f(x) = 2+ txác định , liên tục trên R nên ta có: f'(x) = 2ln2 + 3t> 0 t R
 Nên f(x) là hàm đồng biến .Vậy: (α) ó f(x) = f(y) ó x = yó ó x = y = ± 1.
 Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x ; y) {(1; 1) ; (-1 ; -1)}.
 Thí dụ 11 : Giải phương trình : log x = : log ( + 2 ) . (1)
 Lời giải : 
 Điều kiện :ó x > 0.Với điều kiện đó ta có : (1)ó + 2 = 3 (2)
 Đặt t = log x (t > 0 ) ó x = 7 (*) 
 (2) khi đó trở thành ()+2 = 3ó ()+ = 1 (do 3>0 t R ) (3)
 Nhận thấy t = 2 là một nghiệm của (3) +) Nếu t VP(3)
 +) Nếu t > 2 thì VT(3) < VP(3) 
 => t = 2 là nghiệm duy nhất của (3).Thay t = 2 vào (*) ta thu được x = 7 = 49
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 49.
 Thí dụ 12 : log(x+1) = log5 (1)
 Lời giải : 
 Điều kiện : ó x >1. Với điều kiện đó ta có :
 (1)ó log5log(x+1) = log5ó log(x+1) = = log(x-1) = t (do log5 > log1 = 0 ) 
 	 ó ó (*) 
 Xét phương trình thứ 2 của (*) ta có: 3+ 2 = 5ó ()+ = 1 (2)
 Nhận thấy t = 1 là nghiệm của phương trình (2)
 Nếu t > 1 thì VT(2) < VP(2)
 Nếu t VP(2)
 => t = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (2).Ta có: (*) ó => x = 4.
 Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 4.
 Thí dụ 13 : Giải phương trình : log(logx) = log(logx) (1)
 Lời giải : 
 Điều kiện : x > 0. Với điều kiện đó ta có log(logx) = log(logx) = t
 => x = 3= 2 (*) => log3= log2ó 2= 3log2ó t = loglog2.
 Thay giá trị vừa tìm được của t vào (*) ta có : x = 3( hay = 2)
 Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3.
 Thí dụ 14 : Xác định số nghiệm dương của phương trình :
 12x+ 6x- 4x– x – 34 = 0 (1)
 Lời giải : 
 Đặt f(x) = VT(1) ta có :
 Xét x (0;1) ta có: f(x) phương trình vô nghiệm với x (0;1)
 Xét x [1;+∞) ta có : f(x) xác định liên tục trên [1;+∞) (*) nên :
 f'(x) = 60x+ 24x– 12x– 1 xác định,liên tục trên (*)
 f'’(x)= 240x+72x–24x = 24x (10x + 3x –1) > 24.(10+3–1) >0 x [1;+∞)
 => f'’(x) > 0 x [1;+∞) => f'(x) đồng biến trên [1;+∞) => f'(x) ≥ f(1) = 71 > 0=> f(x) đồng biến trên [1;+∞) 
 Có f(1).f(2) f(x) có 1 nghiệm (1;2 ) 
 Do f(x) là hàm đồng biến nên đó là nghiệm duy nhất hay f(x) có 1 nghiệm dương duy nhất .
 §2: Phương pháp bất đẳng thức
 Thí dụ 15: Giải phương trình 3= cosx (1)
 Lời giải:
 Ta có: 3≥ 3 = 1 (x);Cosx ≤ 1 (x) (1) 
 (β)x= 0 x = 0 thay vào (α) có cos0 = 1 (luôn đúng)
 Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất.
 Thí dụ 16: Giải phương trình:
 Lời giải: 
 Do 
 Mặt khác nên theo bất đẳng thức AM-GM:
 dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi 
 ;thay vào (đúng).
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
 Thí dụ 17: Giải phương trình 
 Lời giải: 
 Ta có 
 Còn Do đó 
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0.
 Thí dụ 18: Giải phương trình 
 Lời giải: 
 Ta có: 
 Do đó: (4)
 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
 Thí dụ 19: Giải phương trình 
 Lời giải: 
 Điều kiện Với điều kiện đó: .
 Do nên theo bất đẳng thức AM-GM có: 
 Xét hiệu .
 Do 
 Từ 
 Kết hợp với (*) kết luận phương trình đã cho có nghiệm x = 0.
 Thí dụ 20: Giải phương trình 
 Lời giải: 
 Điều kiện Với điều kiện đó, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Dấu bằng xảy ra khi và vhỉ khi 
 Cộng từng vế hai bất đẳng thức trên có:
 Do đó, (thỏa mãn (*)).
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0,5.
 Thí dụ 21: Giải phương trình: 
 Lời giải:
 Điều kiện: Với điều kiện đó ta có: .Ta có:
 Dấu bằng xảy ra: 
 Do đó 
 Vậy (1) có nghiệm duy nhất x = y = 2.
 Thí dụ 22: Giải phương trình: 
 Lời giải:
 Do với .Nên .
 Dấu bằng xảy ra 
 .
 Thí dụ 23: Giải hệ: 
 Lời giải:
 .Do nên 
 Khi đó 
 Thay vào ta có: 
 Vậy (1) có nghiệm duy nhất .
 Thí dụ 24: Giải phương trình: 
 Lời giải:
 Điều kiện: .Với điều kiện đó:
 Do x > 0 nên theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
 . Lại có 
 Do đó 
 Vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 1.
 Thí dụ 25: Giải phương trình: 
 Lời giải:
 Do nên 
 Do đó 
 Vậy (1) có nghiệm .
 Thí dụ 26: Giải hệ: (1)
 Lời giải:
 Từ (β) => (*).Có (1) 
- Nếu -1 ≤ x ≤ 0 thì từ (α) y = 1 - x > 1 y > 1 ( Điều này mâu thuẫn với (*) )
- Nếu -1 ≤ y <0 thì tương tự ta cũng có điều mâu thuẫn.
 Vậy x ; y ≥ 0 . Mà |x| ≤ 1; |y| ≤ 1 x – 1 ≤ 0 và y -1 ≤ 0 VT(γ) = x(x – 1) + y(y – 1) ≤ 0 = VP(γ).
 Do đó (γ) v v v 
 Thay vào (α) ta tìm được 2 nghiệm của hệ đã cho là :;.
 Thí dụ 27 : Giải phương trình : 2+ 2 + 3+ 3= 5+ 5
 Lời giải : 
 Bổ đề :
 Với a ≥ b ≥ 1 (*) thì a +≥ b + (α). Thật vậy (α) ó ab + b ≥ ab + a ó (ab – 1)(a – b) ≥ 0 (β)
 Do (*) nên (β) luôn đúng.Vậy bổ đề được chứng minh.
 Trở lại bài toán , áp dụng bổ đề trên ta có :Do 5 > 3 > 2 > 1 nên 5> 3 > 2 > 1=> 
THIẾU 
 Thí dụ 28 : Giải hệ phương trình : (1)
 Lời giải : 
 (1)ó Từ (α) có => => => VT(β) ≤ 0.
 Dấu “=” xảy ra khi (x;y) {(0;0) ; (0;1) ; (0;1) ; (1;0) ; (–1;0) ; (1;1) ; (1;–1) ; (–1;1) ; (–1;–1)}
 Thay vào (α) ta được nghiệm của hệ (x;y) {(0;1) ; (0;1) ; (1;0) ; (–1;0)}.
 Thí dụ 29 : Giải hệ (1) 
 Lời giải : 
 (1) ó .Từ (α) => => 1 ≥ |x| ≥ x và 1 ≥ |y| ≥ y => x –1 ≤ 0 và y –1 ≤ 0
=> VT(β) ≤ 0 = VP(β).Dấu “=” có khi ó (x;y) {(0;0) ; (0;1) ; (1:0) ; (1;1) }
 Thay vào (α) ta đươc nghiệm của (1) là (x;y) {(0;1) ; (1:0)}.
 Thí dụ 31 : Giải phương trình : 8+8=10 + cos2y (1)
 Lời giải : 
 Đặt t = sinx . Điều kiện 0 ≤ t ≤ 1 (*).Khi đó VT = 8+8 : = f(t).Ta có f(t) xác định , liên tục trên (*) nên:
 f'(t) = 8ln8 + 8ln8 t thoả mãn (*);f'(t) = 0 ó 8ln8 + 8ln8 = 0ó 8= 8 ó t = 1 – tó t = .
 +) Khi t > thì f'(t) > 0 ; +) Khi t < thì f'(t) < 0
 Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(t) trong (*) có : f(0) = 1 + 8 = 9 ;f(1) = 8 + 1 = 9 .
Bảng biến thiên:
9
1
0
t
4
f(t)
–
9
f'(t)
0
+
Từ bảng biến thiên ta có VT≤ 9 
 Mặt khác VP= 10 + cos2y ≥ 10 – 1 = 9 (do cos2y ≥ –1 ) 
 Nên (1) ó ó hay ó v 
 ó ó ó (m ; n ; k đều thuộc Z )
 Vậy nghiệm của phương trình là .
 §3: Phương pháp tổng các số hạng không âm
 Thí dụ 32: Giải phương trình: 
 Lời giải:
 Ta có: 
 Do VT ³ 0 = VP.Nên (1) 
 . Thay vào (b) thấy (i) thỏa mãn.
 Vậy phương trình có nghiệm: 
 Thí dụ 33: Giải phương trình: x4 –3x2-8x+20=0 (1) 
 Lời giải:
 (1) x4 –4x2+4+x2- 8x+16=0 (x2-2)2+(x-4)2=0.Do VT ³ 0=VP
Nên (1) Û :Vô nghiệm.
 Thí dụ 34: Giải phương trình: 5x2+5y2-8xy-2x-2y+2=0 (1)
 Lời giải:
 (1)Û (2x-2y)2+(x-1)2+(y-i)2=0.Do VT ³ 0=VP.Nên (1) Û 
 Vậy phương trình có nghiệm:x = y = 1.
 Thí dụ 35: Giải phương trình: (1).
 Lời giải:
(1)
 Do VT ³ 0=VP.Nên (1) Û 
 Vậy phương trình có nghiệm:x = y = 2kp (kZ).
 §4: Phương pháp đưa về hệ
 Thí dụ 36: Giải phương trình: (1)
 Lời giải: 
 (1) 
 Từ (1) ta thấy phương trình có nghiệm x = 2.VT(1) là hàm log với cơ số 2>1nên là hàm đồng biến trên (*)
 VP(1) là hàm bậc nhất có hệ số a = -1 nên là hàm đồng biến .Nên x=2 là nghiệm duy nhất của (1)
 Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
 Thí dụ 37: Giải phương trình: 
 Lời giải :
 ; 
 Có f(x) xác định, liên tục trên R; với đồng biến
 Do đó, (1) 
 Vậy (1) có 2 nghiệm .
 Thí dụ 38: Giải phương trình: (1)
 Lời giải:
 Đặt ( Điều kiện:y ³ 0 ) (*).Với điều kiện đó ta có:
 (i)Û y = x, thay vào (a ) được:2 - y2 = y Û y2 + y – 2 = 0Û 
 Với y = 1 ta được x = 1
 (ii) Û y = 1-x ta có(*)Û1-x ³ 0 Û 1³ x (*1).
 Thay vào (a ) được: 2 - x2 =1- x Û x2 – x – 1 = 0 Û 
 Vậy (1) có hai nghiệm x = 1;.
 Thí dụ 39: Giải phương trình: 
 Lời giải:
 Đặt .Có 
Trừ vế với vế của (2) cho (1)ta được: (t + x)2 - (x + t) = 2 Û 
 Nếu t + x = -1 thì 2xt = -1thì: 
 Nếu t + x = 2 thì 2xt = 2 Û x = t = 1 (TM)
 Vậy phương trình có nghiệm: x = 1.
 Thí dụ 40: Giải phương trình: x = 1-2000(1-2000x2) 
 Lời giải:
 Đặt 1-2000x2 = t thì phương trình đã cho trở thành:
 Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta có: 2000(t - x)(t + x)+(t + x) = 0 Û (t - x)( 2000t +2000x -1) = 0 
+)Với t = x thì 2000x2+x-1=0 
+)Với thì 
 Kết luận các ng ... 1) có 1 nghiệm
 Khi thì (1) có 2 nghiệm phân biệt.
 Thí dụ 91: Tìm a để phương trình (1) có một số lẻ nghiệm trên đoạn 
 Lời giải:
 Xét 
 Nếu thì vô nghiệm
 Nếu thì ;
 Nếu thì có nghiệm 
 Nên (1) có một số lẻ nghiệm trên có một số chẵn nghiệm trên 
 Kết hợp với ta được 
 Nếu thì không có nghiệm 
 Nên (1) có một số lẻ nghiệm trên có một số lẻ nghiệm trên 
 Kết hợp với ta không được giá trị nào của a
 Vậy với thì (1) có một số lẻ nghiệm trên .
 Thí dụ 92: Tìm a để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
 Lời giải:
 Số nghiệm của (1) là số điểm chung của đường thẳng y = a với G gồm phần đồ thị hàm số y = f(x) và phần đồ thị hàm số y = g(x) cùng vẽ trong .G có dạng
 Từ nhận xét trên và từ hình vẽ ta có:
 (1) có 2 nghiệm phân biệt đường thẳng y = a và G có 2 điểm chung
 Vậy là các giá trị cần tìm.
 Thí dụ 93: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
 Lời giải:
 Số nghiệm của (1) là số điểm chung của đường thẳng dm: với đồ thị G của hàm số 
 ; 
 Do đó G là nửa đường tròn tâm O bán kính 2 nằm trên trục x’Ox còn dm là đường thẳng quay quanh điểm (1;2) và không x’Ox
Xét các vị trí đặc biệt của dm:
 Vị trí d1, d2 khi dm tiếp xúc với G 
 Vị trí d3 khi dm đi qua B(-2;0) 
 Vị trí d4 khi dm đi qua A(2;0) 
 Từ nhận xét trên và từ hình vẽ ta có:
 Khi thì (1) vô nghiệm
 Khi thì (1) có 1 nghiệm
 Khi thì (1) có 2 nghiệm phân biệt.
 §9. Phương pháp min - max
 Thí dụ 94 :Tìm m để bất phương trình :x– 2mx + 2| x – m | +2 > 0 (1) thoả mãn x R
 Lời giải : 
 Do (1) đúng x nên cũng đúng với x = m tức là khi x = m thì (1) trở thành 2 – m > 0 ó | m | < 
 Ngược lại nếu | m | < ta có :
 x– 2mx + 2| x – m | +2 = (x – m) + 2 | x – m | + 2 – m > 0 x R .
 Vậy | m | < là giá trị cần tìm .
 Thí dụ 95 :Tìm m để bất phương trình :+– m ≤ 3m (1) có nghiệm 
 Lời giải : 
 Điều kiện : ó 0≤ x ≤ 4 
 (1) ó m ≥ : = f(x) .Có f(x) xác định liên tục trên [ 0 ; 4 ] (*) và :
 + ≥ + = 2; + 3 ≥ + 3 = 5 => Minf(x) = 
 (1) có nghiệm ó m ≥ Min f(x) ó m ≥ .
 Thí dụ 96 :Tìm m để bất phương trình := m + (1) có nghiệm.
 Lời giải : 
 Điều kiện : ó x [ 2k; + 2k].Xét phương trình trên [ 0 ; ] (*)
 (1) ó m = – : = f(x) ;f(x) xác định , liên tục trên (*) có : 
 f(x) ≥ – ≥ –1; f(x) ≤ ≤ 1=> Min f(x) = –1 và Max f(x) = 1
 (1) có nghiệm ó Min f(x) ≤ m ≤ Max f(x) ó –1 ≤ m ≤ 1
 Vậy –1 ≤ m ≤ 1 là các giá trị cần tìm.
 Thí dụ 97 :Tìm a để bất phương trình : x+ 3x – 1 ≤ a (–) (1) có nghiệm. 
 Lời giải : 
 Điều kiện : x ≥ 0 và x – 1 ≥ 0 ó x ≥ 1 .Với điều kiện đó –> 0
 (1) ó a ≥ (x+ 3x – 1)(+) : = f(x).Có f(x) xác định , liên tục trên [ 1; +∞) và 
 x+ 3x – 1 ≥ 1+3.1– 1 = 3; +≥ += 1 => f(x) ≥ 3
 (1) có nghiệm ó a ≥ Min f(x) ó a ≥ 3
 Vậy a ≥ 3 là các giá trị cần tìm .
 Thí dụ 98 : Tìm a để phương trình :– = 2a (1) có nghiệm. 
 Lời giải : 
 Đặt f(x) = VT(1)
 Vì 4x ± 2x + 1 = (2x ± ) + > 0 x R nên f(x) xác định ,liên tục trên R ( i ) và f(0) = 0
 Có | f(x) | = || = 
 | f(x) | –1 < f(x) < 1 ( ii )
Mặt khác, f(x) === = 1
 f(x) = = = = –1
 => Sup f(x) = 1 ; Inf f(x) = –1 ( iii )
 Từ ( i ) ; ( ii ) ; ( iii ) có : (1) có nghiệm ó –1 < 2a < 1ó –< a < 
 Vậy –< a < là các giá trị cần tìm.
 §10:Phương pháp lượng giác:
 Thí dụ 100:Giải phương trình: . (1)
 Lời giải: 
 Điều kiện: (*) .Do (*) nên có thể đặt x = cost với . 
 Khi đó, do . 
 Phương trình (1) trở thành: 
 Đặt ;do 
 và .Khi đó,(2) trở thành:
 Với ,ta có: 
 x = cost là nghiệm của phương trình:
Với z =,ta có: =>x = cost là nghiệm của phương trình:
 Vậy,phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt:x = x1;x = x2;x = x3.
 Thí dụ 101:(NNI-89) Tìm a để phương trình: có nghiệm. (1)
 Lời giải: 
 Điều kiện: 1- x2 0(*).
 Do (*) nên đặt x = cost (t:=(*1)).Khi đó , = sint (do x(*1) nên sint >0)
 Khi đó,(1) trở thành : a = sint +cost = := f(t) (2)
 (1) có nghiệm (2) có nghiệm t(*1) 
 Do t(*1) 
 Vậy, là nghiệm của phương trình (1).
 Thí dụ 102: Giải và biện luận: (1)
 Lời giải: 
 Điều kiện: 
 *)Nếu a<0 thì (*) luôn sai phương trình (1) không xác định(1) vô nghiệm.
 *)Nếu a=0 thì (1)(1) có nghiêm duy nhất x=0.
 *)Nếu a>0 thì .Do đó có thể đặt x= a.sint; .
 Khi đó,(1) trở thành: 
 (do a>0).
 Đặt ( điều kiện ).Khi đó, () trở thành:
 Mặt khác, nên ta có hệ:
 (vô nghiệm do (*3))
 u,v là 2 nghiệm của phương trình:
 () có 2 nghiệm.
 Khi đó, phương trình có 2 nghiệm: 
 Vậy hệ trên có nghiệm: .
 hay.
 Tóm lại: Khi a<o0<a<2 thì hương trinh đã cho vô nghiệm.
 Khi a=0, phương trình có nghiệm x = 0.
 Khi a2,phương trình có nghiệm x = .
 Thí dụ 103: (ĐS:86-3.2) Giải bất phương trình: -1 (1)
 Lời giải : 
 Điều kiện: .
 Do (*) nên có thể đặt x= sint; .
 Khi đó: .Phương trình (1) trở thành:
 Mà 
 Nên (1) có nghiệm: 
 Thí dụ 104: Chứng minh phương trình: = 0 có 3 nghiệm thoả mãn: .
 Lời giải: 
 Đặt ;có f(x) xác định,liên tục trên R .
 Ta có: 
 phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm thoả mãn: . 
 Do;nên ta có thể đặt x = 2cos.Khi đó:
 Phưong trình f(x) = 0 trở thành:.Mà 
 Nên ta có .
 Nhận thấy rằng: 
 Vậy, .(đpcm).
 Thí dụ 107: Cho dãy (un) xác định như sau: Tính u2000
 Lời giải:
 Đặt .Tacó:
 Thí dụ 108:Cho.Chứng minh rằng:
 Lời giải: 
 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
 Do nên ta có thể đặt: 
 Khi đó, 
 Hay (đpcm).Dấu bằng xảy ra .
 Thí dụ 109:Cho y = tìm m để .
 Lời giải:
 Ta thấy: *) Cho x = 1 ta được 
 *) Cho ta được 
 Do đó: m = -3.
 Nếu m= -3 thì do nên ta có thể đặt 
 Vậy m = -3 là giá trị cần tìm.
 Thí dụ 112: Cho.Chứng minh rằng: (1)
 Lời giải: 
 Do nên:
 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
 Cộng theo từng vế 2 bất đẳng thức trên ta được:
 (đpcm) 
 Dấu bằng xảy ra .
 Thí dụ 113: (NGD-2000):Phương trình (1) có bao nhiêu nghiệm?
 Lời giải: 
 Điều kiện: .Do (*) nên có thể đặt .
 Khi đó: ;
 Phương trình (1) trở thành:
 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: .
 Thí dụ 114:Giải phương trình: (1)
 Lời giải: 
 Điều kiện:
 Do (*) nên có thể đặt: .
 Khi đó: 
 Phương trình (1) trở thành:
 Do t1nên k1 (vô lý do k1; t2nên k2 k2 = 1
.
 Thí dụ 115:Phương trình:8x.(1-2x2).(8x4-8x2+1)=1 (1) có bao nhiêu nghiệm ?
 Lời giải: 
 Do(*) nên có thể đặt x = cost v ới ).
 Từ phương trình t>0sint>0 (do 0<t<) .Khi đó, phương trình (1) trở thành:
 Vậy,phương trình có nghiệm: ;).
 Thí dụ 116:Giải hệ phương trình: (1)
 Lời giải: 
 Đặt x = sint ;y = cost, .Phương trình (1) trở thành:
 Mà từ ta có:
 +)Nếu thì sint và cost trái dấu.
 +)Nếu thì sint và cost cùng dấu.
 Từ đó ta thu được các nghiêm của hệ là:
 ;;;.
 Thí dụ 117:Giải phương trình: 
 Lời giải: 
 Điều kiện: 
 Do (*) nên có thể đặt 2x = sint .Khi đó:
 ;
 và phương trình (1) trở thành:
 Thử lại thấy thoả mãn.
 Vậy, phương trình có nghiệm:.
 § 11:Phương pháp biến đổi hệ quả
 Thí dụ 118 : Giải và biện luận :+> a + b (1)
 Lời giải : 
 Nghiệm của (1) là các khoảng giá trị của x mà trong đó đồ thị hàm số y = f(x) = VTnằm ở phía trên đường thẳng y = a + b(y’oy)
 Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) ;Tập xác định ó x ≤ min {a; b} := m (*)
 f(x) liên tục trên (*) nên ta có :f'(x) =– f(x) nghịch biến trên (*)
 = +∞ ;f(m) = 
x
] ////////////////
f(x)
–
x 
+∞
f'(x)
–∞
 Nếu a + b < thì (1) có nghiệm x ≤ Min{a; b}
 Nếu a + b = thì (1) có nghiệm x < Min{a; b}
 Nếu a + b > thì (1) có nghiệm x < x 
 Khi (1) xảy ra dấu “=” ta có :
(1) ó a – x + b – x +2 = (a + b) (do a + b > ≥ 0)
 ó ab + x = ó (a–x)(b–x) = (ab + x) ó (a +b)x = 0 ó x = 0 (do a +b > 0 )
 Từ đó ta suy ra a + b > thì (1) có nghiệm x < 0
 Vậy khi a + b < thì (1) có nghiệm x ≤ Min{a; b}
 a + b = thì (1) có nghiệm x thì (1) có nghiệm x < 0 .
 Thí dụ 119 : Giải và biện luận phương trình sau theo rham số a :
 2 - = (119)
 Lời giải : 
 (119) => (2 - ) = ( )
 => 4 (a + x ) + (a – x ) - 4 = a – x + 
 => 4 (a + x ) - 4 = => 
 (α) => x = -a 
 (β) => (4 - 4 )= ( )=> 16 ( a + x + a – x - 2 ) = x
 => 32a – x = 32 => (32a – x )= (32)
 => 1025x - 64ax = 0 => 
 x = 0 là nghiệm ó 2- = ó a ≥ 0
 x = -a là nghiệm ó - = ó a = 0 khi x = 0
 x = ó2 - = ( điều kiện a ≥ 0 ) ó a ≥ 0
 Khi đó phương trình có 2 nghiệm x = 0 và x = .
 Thí dụ 120: Chứng minh rằng phương trình - 3x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
 Lời giải: 
 Đặt f(x) = - 3x + 1. Có f(x) xác định , liên tục trên R và:f(-2) = -10; f(-1) = 30; f(1) = -10; f(2) = 30.
 Vì f(-2).f(-1)0; f(-1),f(1)0; f(1).f(2)0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt trong 
 (-2; 2)/ 
 Mà f(x) = 0 là phương trình bậc 3 nên f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt (điều phải chứng minh).
 Thí dụ 121: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:
 (1) (2) cos x + mcos2x = 0.
 (3) (4) 
 Lời giải: 
 (1): Đặt VT(1) = f(x), ta có f(x) xác định, liên tục trên R.f(x) liên tục trên , mà f(1).f(2) = -1.1 = -10
 phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (đpcm).
 (2):Đặt VT(2) = f(x), ta có f(x) xác định, liên tục trên Rf(x) liên tục trên mà:
; 
 f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc với mọi m (đpcm).
(3): Đặt f(x) = 
 = +đủ lớn để f(
 đủ nhỏ để f()0.
 Vậy f(x) xác định, liên tục trênnên phương trình f(x) = 0 luôn có ít nhất 1 nghệm nên phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham sô.
(4):Đặt f(x) = liên tục trên 
Có đủ gầnvà f()0.
 đủ gầnvà f()0.
Vậy f(x)liên tục trênvà f( ).f()0, nên phương trình: f(x) = 0 luôn có nghiệm với mọi m.
 Thí dụ 122: Chứng minh rằng nếu 2a + 6b + 19c = 0 thì phương trình luôn có nghiệm
 Lời giải: 
 Đặt f(x) = xác định, liên tục trên R và: f(0) = c; 
 Vậy f(x) liên tục trên nên phương trình f(x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm
 (đpcm).
 Thí dụ 123: Chứng minh rằng nếu (với m0) thì phương trình với a0 luôn có nghiệm 
 Lời giải: 
Xét hàm:xác định, liên tục trêncó và:
F(1) – F(0) = , khi đó sao cho:
 Với m = 1 chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm x(đpcm).
 Thí dụ 124: Chứng minh rằng nếu 2a + 3b + 6c = 0 thì phương trình luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng .
 Lời giải: 
 Đặt f(x) =, có f(x) xác định, liên tục trên R và trong 
 Vậy f(x) liên tục trênnên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng(đpcm).
 Thí dụ 125: Chứng minh rằng phương trình có nghiệm duy nhấtthỏa mãn
 Lời giải: 
 Đặt f(x) = , có f(x) xác định liên tục trênvà f(0) = -1; f=
 Do đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong đoạn, mà f(0)nên có thể nói f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng. Gọilà một nghiệm của f(x) = 0, tức là f(x) = f().
Mànên là nghiêm duy nhất của phương trình (đpcm).
 Thí dụ 127: Xác định số nghiệm của phương trình (1).
 Lời giải: 
 Đặt f(x) = VT(1) xác định trên (*)
 Có f(0) = -34; f(2) = 412f(0).f(2)0 nên f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; 2), tức là có ít nhất một nghệm dương. Mà với x0:(1) (2).
Vế trái của (2) là hàm y = 12x + 6 đồng biến trên R, còn vế phải g(x) = xác định trên (*) có:
 g(x) nghịch biến trên (*). Do đó (1) có duy nhất 1nghiệm dương.