Chương IV: Phương trình bậc nhất theo sin và cosin (phương trình cổ điển)

 CHƯƠNG IV: 
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COSIN (PHƯƠNG 
TRÌNH CỔ ĐIỂN) 
( ) ( )a sin u bcosu c * . a, b R \ 0+ = ∈ 
Cách 1 : Chia 2 vế phương trình cho + ≠2 2a b 0 
Đặt [ ]
2 2 2 2
a bcos và sin với 0,2
a b a b
α = α = α ∈ π
+ +
( )
( )
2 2
2 2
cThì * sinu cos cosu sin
a b
csin u
a b
⇔ α + α =
+
⇔ + α =
+
Cách 2 : 
Nếu là nghiệm của (*) thì : u k2= π + π
asin bcos c b cπ + π = ⇔ − = 
Nếu đặt u k≠ π + π2 ut tg
2
= thì (*) thành : 
2
2 2
2t 1 ta b
1 t 1 t
−+ =+ + c 
( ) ( ) ( )2b c t 2at c b 0 1 với b c 0⇔ + − + − = + ≠ 
Phương trình có nghiệm ( ) ( )2' a c b c b 0⇔ Δ = − + − ≥ 
2 2 2 2 2 2a c b a b c⇔ ≥ − ⇔ + ≥ 
Giải phương trình (1) tìm được t. Từ 
ut tg
2
= ta tìm được u. 
Bài 87 : Tìm 2 6x ,
5 7
π π⎛∈ ⎜⎝ ⎠
⎞⎟ thỏa phương trình : ( )cos7x 3 sin7x 2 *− = − 
Chia hai vế của (*) cho 2 ta được : 
( ) ⇔ − = −
π π⇔ − + =
π π⎛ ⎞⇔ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
1 3 2* cos7x sin7x
2 2 2
2sin cos7x cos sin7x
6 6
sin 7x sin
6 4
2
π π π π⇔ − = + π − = +37x k2 hay 7x h2
6 4 6 4
π , ( )∈k, h Z 
π π π π⇔ = + = + ∈ 5 k2 11 h2x hay x , k ,
84 7 84 7
h 
Do 2 6x ,
5 7
π π⎛∈ ⎜⎝ ⎠
⎞⎟ nên ta phải có : 
π π π π π π π π< + < < + < ∈ 2 5 k2 6 2 11 h2 6hay ( k, h )
5 84 7 7 5 84 7 7
⇔ < + < < + < ∈ 2 5 k2 6 2 11 h2 6hay ( k, h )
5 84 7 7 5 84 7 7
Suy ra k = 2, =h 1,2
5 4 53 11 2 35Vậy x x
84 7 84 84 7 84
11 4 59x
84 7 84
π π π π= + = π ∨ = + =
π π∨ = + = π
π
Bài 88 : Giải phương trình 
( )33sin3x 3 cos9x 1 4sin 3x *− = + 
Ta có : ( ) ( )3* 3sin 3x 4sin 3x 3 cos9x 1⇔ − − = 
sin9x 3 cos9x 1⇔ − = 
1 3sin9x cos9x
2 2
⇔ − 1
2
= 
1sin 9x sin
3 2
π π⎛ ⎞⇔ − = =⎜ ⎟⎝ ⎠ 6 
π π π π⇔ − = + π − = + π ∈ 59x k2 hay 9x k2 , k
3 6 3 6
π π π π⇔ = + = + ∈ k2 7 k2x hay x ,
18 9 54 9
k 
Bài 89 : Giải phương trình 
( )1tgx sin2x cos2x 2 2cos x 0 *
cos x
⎛ ⎞− − + − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Điều kiện : cos x 0≠
Lúc đó : ( ) sin x 2* sin2x cos2x 4cos x 0
cos x cos x
⇔ − − + − = 
2sin x sin2x cos x cos x cos2x 4 cos x 2 0⇔ − − + − = ( )2sin x 1 2cos x cos x cos2x 2cos2x 0⇔ − − + =
=
≠
sin xcos2x cosxcos2x 2cos2x 0⇔ − − + = 
⇔ = − − +c os2x 0 hay sin x cos x 2 0 
( )
( )
⎡ = = − =⎢⇔ ⎢ + = + <⎢⎣
2
2 2 2
cos 2x 0 nhận do cos 2x 2cos x 1 0 thì cos x 0
sin x cos x 2 vô nghiệm vì 1 1 2
( ) π⇔ = + ∈
π π⇔ = + ∈


2x 2k 1 , k
2
kx , k
4 2
Bài 90 : Giải phương trình ( )3 18sin x *
cos x sin x
= + 
Điều kiện : sin2x 0≠
Lúc đó (*) 28sin xcosx 3 sin x cosx⇔ = + 
( )
( )
⇔ − = +
⇔ − = −
⇔ − + = −
⇔ = − +
π⎛ ⎞⇔ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
π π⇔ = + + π ∨ = − − +
π π π⇔ = + π ∨ = − + ∈ 
4 1 cos 2x cos x 3 sin x cos x
4 cos 2x cos x 3 sin x 3cos x
2 cos 3x cos x 3 sin x 3cos x
3 1cos 3x sin x cosx
2 2
cos 3x cos x
3
3x x k2 3x x k2
3 3
kx k x , k
6 12 2
π
Nhận so vớiđiều kiện sin2x 0≠ 
Cách khác : 
(*) 28sin xcosx 3 sin x cosx⇔ = + 
 ( hiển nhiên cosx = 0 hay sinx = 0 không là nghiệm của pt này ) 
⇔ − = +28(1 cos x) cos x 3 sin x cos x 
⇔ − = +38cos x 8cos x 3 sin x cos x 
⇔ − = −36cos x 8cos x 3 sin x cos x 
⇔ − = −3 1 34 cos x 3cos x cos x sin x
2 2
π⎛ ⎞⇔ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
π π⇔ = + + π ∨ = − − +
π π π⇔ = + π ∨ = − + ∈
π

cos 3x cos x
3
3x x k2 3x x k2
3 3
kx k x , k
6 12 2
Bài 91 : Giải phương trình 
( )9sin x 6cos x 3sin 2x cos2x 8 *+ − + = 
Ta có : (*) ( )29sin x 6cos x 6sin x cos x 1 2sin x 8⇔ + − + − = 
( ) ( )
⇔ − − + −
⎛ ⎞⇔ − − − −⎜ ⎟⎝ ⎠
26 cos x 6sin x cos x 2sin x 9sin x 7 0
76cos x 1 sin x 2 sin x 1 sin x 0
2
=
= 
( )
⎛ ⎞⇔ − = + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
=⎡⎢⇔ + = + <⎢⎣
2 2 2
71 sin x 0 hay 6 cos x 2 sin x 0
2
sin x 1
6cos x 2sin x 7 vô nghiệm do 6 2 7
 π⇔ = + π ∈ x k2 , k
2
Bài 92 : Giải phương trình: ( )sin 2x 2cos2x 1 sin x 4 cos x *+ = + −
Ta có : (*) ( )22sin x cos x 2 2cos x 1 1 sin x 4 cos x⇔ + − = + − 
( )
⇔ − + + − =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ − + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇔ − = + + = + <
2
2 2 2
2sin x cos x sin x 4 cos x 4 cos x 3 0
1 1 32sin x cos x 4 cos x cos x 0
2 2 2
1cos x 0 hay 2sin x 4 cos x 6 0 vô nghiệm do 2 4 6
2
π⇔ = ± + πx k
3
2 
Bài 93 : Giải phương trình 
( )2sin 2x cos2x 7sin x 2cos x 4 *− = + − 
Ta có : (*) ( )24 sin x cos x 1 2sin x 7sin x 2cos x 4⇔ − − = + − 
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
⇔ − + − + =
⎛ ⎞⇔ − + − −⎜ ⎟⎝ ⎠
⇔ − + − − =
⇔ − = + − = + <
2
2 2 2
2 cos x 2sin x 1 2sin x 7 sin x 3 0
12 cos x 2sin x 1 2 sin x sin x 3
2
2 cos x 2sin x 1 2sin x 1 sin x 3 0
2sin x 1 0 hay 2 cos x sin x 3 0 vô nghiệm vì 1 2 3
π π⇔ = + π ∨ = + π ∈ 5x k2 x k2 , k
6 6
Bài 94 : Giải phương trình 
( )sin 2x cos2x 3sin x cos x 2 *− = + − 
Ta có (*) ( )22sin x cos x 1 2sin x 3sin x cos x 2⇔ − − = + − 
( )
( ) ( ) (
⇔ − + − +
⇔ − + − −
⇔ − = + − =
2cos x 2sin x 1 2sin x 3sin x 1 0
cos x 2sin x 1 sin x 1 2sin x 1 0
2sin x 1 0 hay cos x sin x 1 0
)
=
= 
π⎛ ⎞⇔ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
1sin x hay 2 cos x x 1
2 4
= 
π π π π⇔ = + π ∨ = + π − = ± + π ∈ 5x k2 x k2 hay x k2 , k
6 6 4 4
π π π⇔ = + π ∨ = + π = + π ∨ = π ∈ 5x k2 x k2 hay x k2 x k2 , k
6 6 2
Bài 95 : Giải phương trình 
( ) ( )2sin2x 3 cos2x 5 cos 2x *6π⎛ ⎞+ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Đặt t sin2x 3 cos2x= + , Điều kiện a b t a b− + = − ≤ ≤ = +2 2 2 22 2 
Thì 1 3t 2 sin2x cos2x 2cos 2x
2 2
⎛ ⎞
6
π⎛ ⎞= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
− 
Vậy (*) thành: 
− = ⇔ − − = ⇔ = ∨ = −2 2t 5t 5 2t t 10 0 t ( loại ) t
2 2
2 
 Do đó ( )* ⇔ cos 2x 1
6
π⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
π π⇔ − = π + π ⇔ = +72x k2 x k
6 1
π
2
Bài 96 : Giải phương trình ( )+ + =32 cos x cos2x sin x 0 * 
Ta có (*) 3 22 cos x 2 cos x 1 sin x 0⇔ + − + = 
( )
( )( ) ( )
( )( )
2
2
2 cos x cos x 1 1 sin x 0
2 1 sin x 1 cosx 1 sin x 0
1 sin x 0 hay 2 1 sin x 1 cosx 1 0
⇔ + − + =
⇔ − + − − =
⇔ − = + + − =
2
1 sin x 0 hay 1 2sin x cos x 2(sin x cosx) 0
1 sin x 0 hay (sin x cos x ) 2(sin x cos x) 0
⇔ − = + + + =
⇔ − = + + + = 
( )2 2 2sin x 1 haysin x cos x 0 hay sin x cos x 2 0 vô nghiệm do: 1 1 2⇔ = + = + + = + <
sin x 1 hay tgx 1⇔ = = − x k2 hay x k2 , k
2 4
π π⇔ = + π = − + π ∈¢ 
Bài 97 : Giải phương trình ( )21 cos2x1 cot g2x *sin 2x
−+ = 
Điều kiện : sin 2x 0 cos2x 1≠ ⇔ ≠ ±
Ta có (*) 
2
1 cos2x 11 cot g2x
1 cos2x1 cos 2x
1cot g2x 1
1 cos2x
cos2x cos2x
sin 2x 1 cos2x
−⇔ + = = +−
⇔ = −+
−⇔ = +
( )= ≠ ±⎡⎢⇔ −⎢ =⎢ +⎣
⇔ = ∨ + = −
⇔ = ∨ + =
cos2x 0 nhận do 1
1 1
sin 2x 1 cos2x
cos2x 0 1 cos2x sin 2x
cos2x 0 sin 2x cos2x 1−
1cos2x 0 sin 2x sin
4 42
52x k 2x k2 2x k2 , k
2 4 4 4 4
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ = ∨ + = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
π π π π π⇔ = + π∨ + = − + π∨ + = + π ∈¢
( )kx x k 2x k2 loại ,
4 2 4
kx , k
4 2
π π π⇔ = + ∨ == − + π∨ = π + π ∈
π π⇔ = + ∈
¢
¢
k
Bài 98 : Giải phương trình ( ) ( )4 44 sin x cos x 3 sin 4x 2 *+ + = 
Ta có : (*) 
( )22 2 2 24 sin x cos x 2sin x cos x 3 sin 4x 2⎡ ⎤⇔ + − +⎢ ⎥⎣ ⎦ = 
⎡ ⎤⇔ − + =⎢ ⎥⎣ ⎦
214 1 sin 2x 3 sin 4x 2
2
⇔ + = −
⇔ + =
π π⎛ ⎞⇔ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
π π⇔ − = ± + π
cos4x 3 sin 4x 1
1 3 1cos 4x sin 4x
2 2
2cos 4x cos
3 3
24x k2
3 3
−
2
4x k2 hay 4x k2 , k
3
x k hay x k ,k
4 2 12 2
π⇔ = π + π = − + π ∈
π π π π⇔ = + = − + ∈
¢
¢
Cách khác : ( )(*) 22 1 sin 2x 3 sin 4x 0⇔ − + = 
22 cos 2x 2 3 sin 2x cos2x 0
cos2x 0 cos2x 3 sin 2x 0
cos2x 0 cot g2x 3
⇔ + =
⇔ = ∨ +
⇔ = ∨ = −
= 
2x k 2x k , k
2 6
k kx x , k
4 2 12 2
π π⇔ = + π∨ = − + π ∈
π π π π⇔ = + ∨ = − + ∈
¢
¢
 Bài 99 : Giải phương trình ( )3 3 11 sin 2x cos 2x sin 4x *
2
+ + = 
Ta có (*) ( )( ) 11 sin 2x cos2x 1 sin 2x cos2x sin 4x
2
⇔ + + − = 
( )1 11 sin 4x sin 2x cos2x 1 sin 4x 0
2 2
11 sin 4x 0 hay 1 sin 2x cos2x 0
2
⎛ ⎞⇔ − + + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
⇔ − = + + =
( )sin 4x 2 loại
sin 2x cos2x 1
2 sin(2x ) 1
4
=⎡⇔ ⎢ + =⎣
π
−
⇔ + = −
 ( )
sin 2x sin( )
4 4
2x k2
4 4 k Z
52x k2
4 4
x k x k , k
4 2
π π⎛ ⎞⇔ + = −⎜ ⎟⎝ ⎠
π π⎡ + = − + π⎢⇔ ∈⎢ π π⎢ + = + π⎢⎣
π π⇔ = − + π ∨ = + π ∈¢
Bài 100 : Giải phương trình ( )( )tgx 3cot gx 4 sin x 3 cos x *− = + 
Điều kiện 
sin x 0
sin 2x 0
cos x 0
≠⎧ ⇔ ≠⎨ ≠⎩
Lúc đó : (*) ( )sin x cosx3 4 sin x 3 cocos x sin x⇔ − = + sx ( )
( )( )
2 2sin x 3cos x 4sin x cos x sin x 3 cos x
sin x 3 cos x sin x 3 cos x 2sin 2x 0
sin x 3 cos x
1 3sin x cosx sin 2x
2 2
⇔ − = +
⇔ + − − =
⎡ = −⎢⇔ ⎢ − =⎢⎣
tgx 3 tg
3
sin x sin 2x
3
x k x 2x k2 x 2x k2 , k
3 3 3
⎡ π⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎢⇔ ⎢ π⎛ ⎞− =⎢ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
π π π⇔ = − + π∨ − = + π∨ − = π − + π ∈Z
( )
4 k2x k x k2 x ,k
3 3 9 3
4 k2x k x nhận do sin 2x 0
3 9 3
π π π π⇔ = − + π∨ = − − π∨ = + ∈
π π π⇔ = − + π∨ = + ≠
¢
Bài 101 : Giải phương trình ( )3 3sin x cos x sin x cos x *+ = − 
Ta có : (*) 3 3sin x sin x cos x cosx 0⇔ − + + =( )
( )
( )
2 3
2 3
2
sin x sin x 1 cos x cosx 0
sin x cos x cos x cos x 0
cos x 0 hay sin x cos x cos x 1 0
cos x 0
sin 2x cos2x 3 vô nghiệm do 1 1 9
x 2k 1 , k Z
2
⇔ − + + =
⇔ − + + =
⇔ = − + + =
=⎡⇔ ⎢− + = − + <⎣
π⇔ = + ∈
Bài 102 : Giải phương trình ( )4 4 1cos x sin x *
4 4
π⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Ta có : (*) ( )
2
21 11 cos2x 1 cos 2x
4 4 2
⎡ π ⎤⎛ ⎞ 1
4
⇔ + + − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ = 
( ) ( )2 21 cos2x 1 sin 2x 1
cos2x sin 2x 1
1 3cos 2x cos
4 42
32x k2
4 4
x k x k , k
2 4
⇔ + + + =
⇔ + = −
π π⎛ ⎞⇔ − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠
π π⇔ − = ± + π
π π⇔ = + π∨ = − + π ∈Z
Bài 103 : Giải phương trình ( )3 34sin x.cos3x 4 cos x.sin3x 3 3 cos4x 3 *+ + = 
Ta có : (*) ( ) ( )⇔ − + − +3 3 3 34sin x 4 cos x 3cosx 4 cos x 3sin x 4sin x 3 3 cos4x 3= 
( )
⇔ − + + =
⇔ − + +
3 3
2 2
12sin x cosx 12sin x cos x 3 3 cos4x 3
4sin x cosx sin x cos x 3 cos4x 1= 
2sin 2x.cos2x 3 cos 4x 1
sin
3sin 4x cos 4x 1
cos
3
⇔ +
π
⇔ + =π
=
sin 4x.cos sin cos 4x cos
3 3
π π⇔ + =
3
π 
sin 4x sin
3 6
54x k2 4x k2 , k
3 6 3 6
k kx x , k
24 2 8 2
π π⎛ ⎞⇔ + =⎜ ⎟⎝ ⎠
π π π π⇔ + = + π∨ + = + π ∈
π π π π⇔ = − + ∨ = + ∈
¢
¢
Bài 104 : Cho phương trình : ( )2 22 sin x sin x cos x cos x m *− − =
 a/ Tìm m sao cho phương trình có nghiệm 
 b/ Giải phương trình khi m = -1 
Ta có : (*) ( ) ( )1 11 cos2x sin 2x 1 cos2x m
2 2
⇔ − − − + = 
sin 2x 3cos2x 2m 1⇔ + = − +
2
a/ (*) có nghiệm 2 2a b c⇔ + ≥
( )2
2
1 9 1 2m
4m 4m 9 0
1 10 1 10m
2 2
⇔ + ≥ −
⇔ − − ≤
− +⇔ ≤ ≤
b/ Khi m = -1 ta được phương trình 
( )sin 2x 3cos2x 3 1+ = 
( ) π• = + = =Nếu x 2k 1 thì sin 2x 0 và cos2x 1
2
− nên phương trình (1) không 
thỏa. 
( ) π• ≠ + ≠ =Nếux 2k 1 thì cosx 0,đặt t tgx
2
(1) thành 
( )2
2 2
3 1 t2t 3
1 t 1 t
−+ =+ + ( ) (2 2
2
2t 3 1 t 3 t 1
6t 2t 0
t 0 t 3
⇔ + − = +
⇔ − =
⇔ = ∨ =
)
Vậy (1) ⇔ tgx 0 hay tgx 3 tg x k= = = ϕ⇔ = π hay x k , k= ϕ+ π ∈¢ 
Bài 105 : Cho phương trình ( )2
35 4sin x
6tg2 *
sin x 1 tg
π⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ α⎝ ⎠ = + α 
 a/ Giải phương trình khi 
4
πα = − 
 b/ Tìm α để phương trình (*) có nghiệm 
Ta có : 3sin x sin x cos x
2 2
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
2
2
6tg 6sin .cos 3sin 2
1 tg cos
α α= α = α với cos 0+ α α α ≠ 
Vậy : ( ) ( )5 4 cosx* 3sin 2 điều kiện sin x 0 và cos 0
sin x
−⇔ = α ≠ α ≠ 
3sin 2 sin x 4 cosx 5⇔ α + = 
a/ Khi 
4
πα = − ta được phương trình 
( )3sin x 4 cos x 5 1− + = ( Hiển nhiên sin x = 0 không là nghiệm của (1)) 
3 4sin x cosx 1
5 5
⇔ − + = 
Đặt 3 4cos và sin với 0 2
5 5
ϕ = − ϕ = < ϕ < π 
Ta có pt (1) thành : 
 ( )sin x 1ϕ+ =
x k2
2
x k
2
π⇔ ϕ+ = + π
π⇔ = −ϕ+ + π2
≠
b/ (**) có nghiệm ( )23sin 2 16 25 và cos 0⇔ α + ≥ α
2
2
sin 2 1 và cos 0
sin 2 1
cos2 0
k ,k
4 2
⇔ α ≥ α ≠
⇔ α =
⇔ α =
π π⇔ α = + ∈¢
BÀI TẬP 
1. Giải các phương trình sau : 
 a/ ( )2 2 sin x cosx cosx 3 cos2x+ = + 
 b/ ( ) (2 cos x 1 sin x cos x 1− + ) =
 c/ ( )2 cos2x 6 cosx sin x= − 
 d/ 3sin x 3 3 cos x= − 
 e/ 2 cos3x 3 sin x cos x 0+ + = 
 f/ cos x 3 sin x sin 2x cos x sin x+ = + + 
 g/ 
3cosx 3 sin x
cosx 3 sin x 1
+ = + + 
 h/ si n x cos x cos2x+ =
 k/ 34sin x 1 3sin x 3 cos3x− = − 
 i / 63cosx 4sin x 6
3cos x 4sin x 1
+ + =+ + 
 j/ cos7x cos5x 3 sin 2x 1 sin 7x sin 5x− = − 
 m/ ( )4 44 cos x sin x 3 sin 4x 2+ + = 
 p/ 2 2cos x 3 sin 2x 1 sin x− = + 
 q/ ( )4sin 2x 3cos2x 3 4sin x 1− = −
 r/ 2tgx sin 2x cos2x 4 cosx
cosx
− − = − + 
 s/ 
( ) 2 x2 3 cosx 2sin 2 4 1
2 cosx 1
π⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎝ ⎠ =− 
2. Cho phương trình cosx + msinx = 2 (1) 
 a/ Giải phương trình m 3= 
 b/ Tìm các giá trị m để (1) có nghiệm (ĐS : m 3≥ ) 
3. Cho phương trình : 
 ( )m sin x 2 m cosx 2 1
m 2 cosx m 2sin x
− −=− − 
 a/ Giải phương trình (1) khi m = 1 
 b/ Khi m 0 và m 2≠ ≠ thì (1) có bao nhiêu nghiệm trên [ ]π π20 ,30 ? 
 (ĐS : 10 nghiệm) 
4. Cho phương trình 
 ( )2sin x cosx 1 a 1
sin x 2 cosx 3
+ + =− + 
 a/ Giải (1)khi 1a
3
= 
 b/ Tìm a để (1) có nghiệm 
Th.S Phạm Hồng Danh 
TT Luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn