Chuyên đề 1: Phương pháp giải toán chia hết trong Z

Chuyên đề 1: PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT TRONG Z
I. Kiến thức cơ bản:
1/ Định lý phép chia có dư:
Với với 
Khi ta nói .
Tóm lại : .
2/ Tính chất:
i) 	ii) 	 iii) 	iv) 
II. Một số phương pháp chứng minh chia hết:
1/ Phương pháp 1: Sử dụng tính chất : “Trong số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho ”.
Chứng minh:
Lấy số nguyên liên tiếp : chia cho ta có số dư là ,, -1 đôi một khác nhau, chắc chắn có một số chia cho sẽ có số dư là 0 đpcm.
*Ví dụ 1: a/ CMR: Tích hai số chắn liên tiếp thì chia hết cho .
b/ CMR: Tích số nguyên liên tiếp thì chia hết cho .
Giải:
a/ Giả sử hai số chẵn liên tiếp là và .
Ta có : (vì ).
b/ Giả sứ tích cố nguyên liên tiếp là . Ta có:
	 (vì có tích của ba số nguyên liên tiếp).
	 (vì có tích của hai số chẵn liên tiếp).
	 (vì có tích của 5 số nguyên liên tiếp).
Mà Hay .
*Ví dụ 2: CM trong số tự nhiên liên tiếp có một số có tổng các chữ số chia hết cho .
Giải:
Giả sử số tự nhiên liên tiếp là : 
Xét số tự nhiên từ : thuôc dãy số 
Suy ra có một số chia hết cho . 
Giả sử số đó là và giả sử có tổng các chữ số là .
Khi đó ta xét số tự nhiên gồm: 
Sẽ có tổng các chữ số gồm số tự nhiên liên tiếp là: 
 đpcm. (Trong dãy có một số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho ).
2/ Phương pháp 2: Muốn chứng minh ta phân tích sao cho .
Sử dụng hằng đẳng thức :
+ chẵn: 
+ tuỳ ý: 
*Ví dụ 3: CMR: với chẵn thì 
Giải:
Ta thấy: 
Ta có: 
Tương tự : 
Mà 
*Ví dụ 4: CMR: 
Giải: Ta có: 
3/ Phương pháp 3: Dùng định lý phép chia có dư: Để chứng minh 
Xét các trường hợp khi chia cho .
Ta có với 
Từ đây, xét các trường hợp 
*Ví dụ 5: CMR: 
Giải: 
Đặt 
Lấy chia cho ta được 
+ Với 
+ Với 
+ Với 
Vậy 
*Ví dụ 6: Chứng minh rằng : 
Giải:
Đặt 
Lấy chia cho 3 ta được: 
+ Với 
+ Với 
Vậy 
4/ Phương pháp 4: Nguyên tắc Drichlet:
“ Có con thỏ nhốt vào chuồng thì có ít nhất một chuồng có hai con thỏ trở lên (nhiều hơn một con thỏ).
 Trong toán học: “Có số nguyên đem chia cho thì có ít nhất hai số nguyên có cùng số dư”.
*Ví dụ 7: CMR trong số tự nhiên (mỗi số có ba chữ số) bao giờ cũng chọn được hai số mà khi viết liền nhau ta được một số có sáu chữa số chia hết cho .
Giải:
Ta có: Trong số tự nhiên (mỗi số có ba chữ số) khi chia cho , ta được ít nhất hai số có cùng số dư .
Giả sử: 
Ta có: 
 đpcm.