Chuyên đề 1: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Chuyên đề 1: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Vấn đề 1: Phương trình đường thẳng
Phương trình của đường thẳng:
Phương trình dạng tổng quát:
Đường thẳng đi qua M0(x0;y0) và có vectơ pháp tuyến (a;b) thì có phương trình:
: a(x - x0) + b(y - y0) = 0
ax + by + c = 0 (c = -ax0 -by0 ; a2 + b2 0)
Chú ý:
 *1. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn
(1)-
:
 = M().
.
*2. Phương trình đường thẳng đi qua M0(x0;y0) có hệ số góc k:
:
M0 y0 = kx0 y0x0:
Ví dụ: Cho A(2;1) viết phương trình đường thẳngđi qua A và hợp với chiều dương trục một góc .
Ta có: hệ số góc của đường thẳng là.
*3. Phương trình đi qua 2 điểm phân biệt:
Cho và Chọn . Vậy Ab đi qua và nhậnlàm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
Công thức (4) được gọi là phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng AB biết.
Phương trình đường thẳng AB là:
Bài 1: Cho ABC biết 
a, Viết phương trình các cạnh của ABC.
b, Viết phương trình các đường trung tuyến củaABC.
c, Viết phương trình các đường cao củaABC, từ đó suy ra tọa độ trực tâm H của H củaABC.
2. Phương trình dạng tham số:
a, Định nghĩa Vectơ chỉ phương:
- được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu u có giá song song hoặc trùng .
* Chú ý: + Nếu là vectơ chỉ phương của thì k(k0) cũng là vectơ chỉ phương của .
+ Một đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và có vectơ chỉ phương 
b, Phương trình dạng tham số:
- Cho đường thẳng đi qua M0(;) và có vectơ chỉ phương (a;b). Lấy M(x;y) bất kì thuộc 
=t
(a2+b2) (5)
Công thức trên được gọi là Phương trình tham số của đường thẳng trong mặt phẳng.
* Chú ý: (a;b) là vectơ chỉ phương của đường thẳng thì (b;-a) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng .
3. Phương trình dạng chính tắc:
(5) (6)
- Công thức (6) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng.
Ví dụ: Cho () :
1, Hãy tìm tọa độ của một điểm thuộc d và viết phương trình tham số của đường thẳng.
2, Hệ có phải là phương trình tham số của (d) không ?
3, Tìm tọa độ điểm sao cho OM= 2.
1, Lấy A(3;0) 
có vectơ pháp tuyến (2;-3) có vectơ chỉ phương (3;2).
Phương trình tham số của là
2,là phương trình đường thẳng đi qua B(2;-) phương trình có vectơ chỉ phương (= là vectơ chỉ phương của .
Vậylà phương trình tham số của
3, M(3+3t; 2t) 
OM=2
Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là và .
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
Góc giữa hai đường thẳng:
a, Định nghĩa:
- Cho 2 đường thẳng cắtthì sẽ tạo thành 4 góc và góc nhỏ nhất trong 4 góc nói trên được gọi là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau.
*Chú ý: gọi là góc giữa vàthì 
=hoặc
b, Cho:,:
Gọi là góc giữa và
 có vectơ pháp tuyến 
có vectơ pháp tuyến 
Khi đó:
c, Cho 
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Cho điểm M0(x0;y0) và đường thẳng 
Khoảng cách:
Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng:
Cho:,:
Phương trình đường phân giác:.
Bài 2: Lập phương trình các cạnh của nếu , đường cao AH:,đường phân giác CC’:.
- Viết phương trình cạnh BC: vì nên BC nhận vectơ chỉ phương của AH làm vectơ pháp tuyến và đi qua BCnên có phương trình: BC:
- Tìm tọa độ điểm C: Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:
- Viết phương trình cạnh AC: gọi k là hệ số góc của đường thẳng AC. Vì AC đi quanên có phương trình .
Theo bài ra ta có:
Ta loại nghiệm k=vì đó chính là cạnh BC
AC: 
Tìm tọa độ điểm A: Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
- Viết phương trình cạnh AB:
BTVN: Cho hai cạnh của một trong mặt phẳng tọa độ là:;. Viết phương trình cạnh thứ ba biết trực tâm của gốc tọa độ.
- Gọi là tam giác trong bài toán, gọi phương trình tọa độ của AB và AC lần lượt là: và .
Khi đó điểm A là nghiệm của hệ sau:
Ta có . Vectơ chỉ phương của đường thẳng AC là . Vì nên BH nhận làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
Ta có tọa độ điểm B là nghiệm của hệ sau:
BC nhận làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm B(-4;-7) nên có phương trình:
Vậy phương trình cạnh BC là .
Bài 4: Hãy lập phương trình các cạnh AB, AC, BC. Biết A(1;3) và hai đường trung tuyến có phương trình: .
- Vì A không thuộc hai đường trung tuyến đã cho, đặt (B’ là trung điểm của AC, C’ là trung điểm của AB)
Vì G là trọng tâm của tọa độ G là nghiệm của hệ:
Gọi A’ là trung điểm của BC:
Ta có: 
Theo bài ra ta có:.
Phương trình cạnh AB:.
Phương trình cạnh AC:.
Phương trình cạnh BC:
Bài 5: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC. Trong mặt phẳng tọa độ Obiếtvà 2 đường cao có phương trình:và .
Tọa độ điểm C không thỏa mãn 2 phương trình đường cao đã cho.
Gọi AA’:và BB’:.
Khi đó phương trình cạnh BC đi quavà nhậnlàm vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình:
Phương trình cạnh AC đi qua C và nhận làm vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình:
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ sau:
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ sau:
Phương trình cạnh AB là:
Bài 6: Cho 3 điểm P(2;3), Q(4;-1), R(-3;5) là các trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Hãy lập phương trình các cạnh của ABC.
Ta có , , .
Phương trình đường thẳng AB đi qua P(2;3) và nhậnlàm vectơ chỉ phương nên ta có phương trình:
.
Phương trình đường thẳng AC đi qua Q(4;-1) và nhậnlàm vectơ chỉ phương nên ta có phương trình :
.
Phương trình đường thẳng AC đi qua R(-3;5) và nhậnlàm vectơ chỉ phương nên ta có phương trình:
Bài 7: Cho 2 điểm A(-1;2) và B(3;4). Tìm C trên đường thẳng sao choABC vuông tại C.
Gọi . Ta có:
DoABC vuông tại C nên ta có:
Với .
Với
Bài 8: Lập phương trình các cạnh của hình vuông ABCD biết A(-4;5) và một đường chéo có phương trình:.
Phương pháp: Vì tọa độ A không thỏa mãn phương trình đường chéo đã cho nên BD:.
Tìm I = ACBD.
Tìm C, tìm B, D.
Bài 9 (ĐH- KB- 2010):Cho vuông tại A có C(-4;1), phân giác trong góc A có phương trình:. Viết phương trình BC biết diện tích =24 và có hoành độ dương.
Đặt d: .
Vì d là phân giác trong của góc A nên CA//.
Vì vuông tại A mà CA// nên AB.
Lại có S=24.
Mà .
Vậy phương trình BC:.
Bài 10 (ĐH- KA- 2010): Cho cân tại A, A(6;6). Đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh AB, AC và có phương trình:.Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết E(1;-3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của .
Bài 11(ĐH- KD- 2010): Cho A(0;2) và là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên . Viết phương trình đường thẳng , biết d(H;Ox)=AH.