Chuyên đề 8: Lượng giác

 33
Chuyên đề 8: LƯỢNG GIÁC 
 TÓM TẮTGIÁO KHOA 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 
I. Đơn vị đo góc và cung: 
 1. Độ: 
 bẹtgóc 01 Góc 180
1= 
 2. Radian: (rad) 
 rad 0180 π= 
 3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng: 
Độ 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 
Radian 0 
6
π 
4
π 
3
π 
2
π 
3
2π 
4
3π 
6
5π π π2 
II. Góc lượng giác & cung lượng giác: 
 1. Định nghĩa: 
 2. Đường tròn lượng giác: 
 Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt: 
ππ
π
ππ
ππ
ππ
π
k
CA
k
C
k
A
+→
→
+→
+→
+→
→
2 DB,
k ,
22- D
2k 
22 B
2k 
x
y
(tia gốc) 
Z)(k 2),( ∈+= πα kOyOx
+
t
(tia ngọn) 
O
α
. 
y x
o180
O
+
−
x
y
OC A
B
D
x
y
B
α M
α
(điểm gốc) 
+
t
O A
(điểm ngọn) 
πα 2kAB +=
 34
III. Định nghĩa hàm số lượng giác: 
1. Đường tròn lượng giác: 
• A: điểm gốc 
• x'Ox : trục côsin ( trục hoành ) 
• y'Oy : trục sin ( trục tung ) 
• t'At : trục tang 
• u'Bu : trục cotang 
2. Định nghĩa các hàm số lượng giác: 
 a. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=α . 
 Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox vàø y'Oy 
 T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu 
 Ta định nghĩa: 
cos 
sin 
tg 
cot 
OP
OQ
AT
g BU
α
α
α
α
=
=
=
=
 b. Các tính chất : 
• Với mọi α ta có : 
 1 sin 1 hay sin 1α α− ≤ ≤ ≤ 
 1 cos 1 hay cos 1α α− ≤ ≤ ≤ 
• tg xác định 
2
kπα α π∀ ≠ + 
• cotg xác định kα α π∀ ≠ 
c. Tính tuần hoàn 
sin( 2 ) sin
cos( 2 ) cos
( ) 
cot ( ) cot
k
k
tg k tg
g k g
α π α
α π α
α π α
α π α
+ =
+ =
+ =
+ =
 )( Zk ∈ 
+
−
x
y
OC A
B
D
1
1
1=R1−
1−
'x
'u
u
t
't
'y
y t
'u
't
t
x
u
'y
'x O
t
1−
Q
B
T
α
M
α
AP
U
Trục cosin 
Trục tang 
Trục sin Trục cotang 
+
−
 35
IV. Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt: 
 Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt 
- 3
-1
- 3 /3
(Điểm gốc)
t
t'
y
y'
xx'
uu'
- 3 -1 - 3 /3
1
1
-1
-1
-π/2
π
5π/6
3π/4
2π/3
-π/6
-π/4
-π/3
-1/2
- 2 /2
- 3 /2
-1/2- 2 /2- 3 /2 3 /22 /21/2
3 /2
2 /2
1/2
A
π/3
π/4
π/6
3 /3
3
B π/2 3 /3 1 3
O
 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 Góc 
Hslg 
0 
6
π 
4
π 
3
π 
2
π 
3
2π 
4
3π 
6
5π π π2 
sinα 0 
2
1 
2
2
2
3 1 
2
3 
2
2 2
1 0 0 
cosα 1 
2
3 
2
2
2
1 0 
2
1− 
2
2−
2
3− -1 1 
tgα 0 
3
3 
1 3 kxđ 3− -1 
3
3− 0 0 
cotgα kxđ 3 1 
3
3 0 
3
3− -1 3− kxđ kxđ 
+
−
 36
V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt: 
 Đó là các cung : 
 1. Cung đối nhau : và -α α (tổng bằng 0) (Vd: 
6
&
6
ππ − ,) 
 2. Cung bù nhau : và -α π α ( tổng bằng π ) (Vd: 
6
5&
6
ππ ,) 
 3. Cung phụ nhau : và 
2
πα α− ( tổng bằng 
2
π ) (Vd: 
3
&
6
ππ ,) 
 4. Cung hơn kém 
2
π : và 
2
πα α+ (Vd: 
3
2&
6
ππ ,) 
 5. Cung hơn kém π : và α π α+ (Vd: 
6
7&
6
ππ ,) 
1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau : 
cos( ) cos
sin( ) sin
( ) 
cot ( ) cot
tg tg
g g
α α
α α
α α
α α
− =
− = −
− = −
− = −
cos( ) cos
sin( ) sin
( ) 
cot ( ) cot
tg tg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
− = −
− =
− = −
− = −
3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém 
2
π 
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( ) 
2
cot ( ) t
2
tg cotg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
− =
− =
− =
− =
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( ) 
2
cot ( ) t
2
tg cotg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
+ = −
+ =
+ = −
+ = −
5. Cung hơn kém π : 
cos( ) cos
sin( ) sin
( ) 
cot ( ) cot
tg tg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
+ = −
+ = −
+ =
+ =
Đối cos Bù sin
Phụ chéo
Hơn kém 
2
π 
sin bằng cos 
cos bằng trừ sin 
Hơn kém π
tang , cotang 
 37
 Ví dụ 1: Tính )
4
11cos( π− , 
4
21πtg 
 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: )3cos()2cos()
2
cos( xxxA ++−++= πππ 
VI. Công thức lượng giác: 
 1. Các hệ thức cơ bản: 
2 2cos sin 1
sintg = 
cos
coscotg = 
sin
α α
αα α
αα α
+ =
2
2
2
2
11 tg = 
cos
11 cotg = 
sin
tg . cotg = 1 
α α
α α
α α
+
+ 
 Ví dụ: Chứng minh rằng: 
 1. 4 4 2 2cos sin 1 2sin cosx x x x+ = − 
 2. xxxx 2266 cossin31sincos −=+ 
 2. Công thức cộng : 
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
tg +tgtg( + ) = 
1 .
tg tgtg( ) = 
1 .
tg tg
tg tg
α β α β α β
α β α β α β
α β α β β α
α β α β β α
α βα β α β
α βα β α β
+ = −
− = +
+ = +
− = −
−
−− +
 Ví dụ: Chứng minh rằng: 
πα α α
πα α α
+ = −
− = +
1.cos sin 2 cos( )
4
2.cos sin 2 cos( )
4
 3. Công thức nhân đôi: 
α α α
α
α
α α
α α α
αα α
= −
= −
= −
= −
=
= −
2 2
2
2
4 4
2
cos2 cos sin
 2 cos 1
 1 2sin
 cos sin
sin 2 2sin .cos
22 
1
tgtg
tg
2
2cos1cos2 αα += 
2
2cos1sin 2 αα −= 
ααα 2sin
2
1cossin = 
 38
 4 Công thức nhân ba: 
3
3
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
α α α
α α α
= −
= − 
 5. Công thức hạ bậc: 
 α
αααααα
2cos1
2cos1;
2
2cos1sin;
2
2cos1cos 222 +
−=−=+= tg 
 6.Công thức tính sin ,cos ,tgα α α theo 
2
t tgα= 
2
2 2 2
2 1 2sin ; cos ; 
1 1 1
t t ttg
t t t
α α α−= = =+ + − 
 7. Công thức biến đổi tích thành tổng : 
[ ]
[ ]
[ ]
1cos .cos cos( ) cos( )
2
1sin .sin cos( ) cos( )
2
1sin .cos sin( ) sin( )
2
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
= + + −
= − − +
= + + −
 Ví dụ: 
 1. Biến đổi thành tổng biểu thức: xxA 3cos.5cos= 
 2. Tính giá trị của biểu thức: 
12
7sin
12
5cos ππ=B 
 8. Công thức biến đổi tổng thành tích : 
cos cos 2 cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2 cos .sin
2 2
sin( )
cos cos
sin( )
cos cos
tg tg
tg tg
α β α βα β
α β α βα β
α β α βα β
α β α βα β
α βα β α β
α βα β α β
+ −+ =
+ −− = −
+ −+ =
+ −− =
++ =
−− =
4
cos33coscos3 ααα += 
4
3sinsin3sin 3 ααα −= 
 39
 Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức: 3xsin 2x sinsin ++= xA 
 9. Các công thức thường dùng khác: 
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
π πα α α α
π πα α α α
+ = − = +
− = + = − −
8
4cos35sincos
4
4cos3sincos
66
44
ααα
ααα
+=+
+=+
B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
Các bước giải một phương trình lượng giác 
Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa 
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải 
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có) 
Bước 4: Kết luận 
I. Định lý cơ bản: ( Quan trọng ) 
u = v+k2
sinu=sinv 
u = -v+k2
u = v+k2
cosu=cosv 
u = -v+k2
tgu=tgv u = v+k (u;v )
2
cotgu=cotgv u = v+k (u;v k )
k
π
π π
π
π
ππ π
π π
⎡⇔ ⎢⎣
⎡⇔ ⎢⎣
⇔ ≠ +
⇔ ≠
 ( u; v là các biểu thức chứa ẩn và Zk ∈ ) 
Ví dụ : Giải phương trình: 
 1. sin3 sin( 2 )
4
x xπ= − 2. 
4
3cos)
4
cos( ππ =−x 
 3. xx 2sin3cos = 4. 4 4 1sin cos (3 cos6 )
4
x x x+ = − 
II. Các phương trình lượng giác cơ bản: 
1. Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m ( Rm∈∀ ) 
 * Gpt : sinx = m (1) 
• Nếu 1m > thì pt(1) vô nghiệm 
• Nếu 1m ≤ thì ta đặt m = sinα và ta có 
x = +k2
(1) sinx=sin 
x = ( - )+k2
α πα π α π
⎡⇔ ⇔ ⎢⎣ 
 * Gpt : cosx = m (2) 
 40
• Nếu 1m > thì pt(2) vô nghiệm 
• Nếu 1m ≤ thì ta đặt m = cos β và ta có 
x = +k2
(2) cosx=cos 
x = +k2
β πβ β π
⎡⇔ ⇔ ⎢ −⎣ 
* Gpt: tgx = m (3) ( pt luôn có nghiệm Rm∈∀ ) 
• Đặt m = tgγ thì 
 (3) tgx = tg x = +kγ γ π⇔ ⇔ 
* Gpt: cotgx = m (4) ( pt luôn có nghiệm Rm∈∀ ) 
• Đặt m = cotgδ thì 
 (4) cotgx = cotg x = +kδ δ π⇔ ⇔ 
Các trường hợp đặc biệt: 
sin 1 x = 2
2
sinx = 0 x = k
sin 1 x = 2
2
cos 1 x = 2
cosx = 0 x = + k
2
cos 1 x = 2
x k
x k
x k
x k
π π
π
π π
π π
π π
π
= − ⇔ − +
⇔
= ⇔ +
= − ⇔ +
⇔
= ⇔
 Ví dụ: 
 1) Giải các phương trình : 
 a) = 1sin 2
2
x b) 2cos( )
4 2
x π− = − 
 c) 03)
6
2sin(2 =+− πx d) 03)
3
cos(2 =−+ πx 
 e) 12cos2sin =+ xx f) xxx 2cossincos 44 =+ 
 2) Giải các phương trình: 
 a) 4 41 cos sin 2 cos2x x x+ − = c) 024sin)cos(sin4 44 =−++ xxx 
 b) 6 6sin cos cos4x x x+ = d) 3 3 1sin .cos cos .sin
4
x x x x− = 
 e) 4)
2
.1(sincot =++ xtgtgxxgx 
 41
2. Dạng 2: 
2
2
2
2
sin sin 0
cos cos 0
0
cot cot 0
a x b x c
a x b x c
atg x btgx c
a g x b gx c
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
 ( 0a ≠ ) 
 Cách giải: 
 Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx) 
 Ta được phương trình : 2 0at bt c+ + = (1) 
 Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x 
 Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có) 
 Ví dụ : 
 a) 22 cos 5sin 4 0x x+ − = b) 5cos2 4 cos 0
2
x x− + = 
 c) 22sin 4 5cosx x= + d) 2 cos cos2 1 cos2 cos3x x x x= + + 
 e) 4 4 1sin cos sin 2
2
x x x+ = − f) 0)2
2
cos()cos(sin2 44 =−−+ xxx π 
 g) 4 4sin cos 1 2sin
2 2
x x x+ = − h) 0cos.sincossin 44 =++ xxxx 
 k) 0
sin22
cos.sin)sin(cos2 66 =−
−+
x
xxxx l) 32cos)
2sin21
3sin3cos(sin5 +=+
++ x
x
xxx 
3. Dạng 3: 
 cos sin (1) ( a;b 0)a x b x c+ = ≠ 
 Cách giải: 
• Chia hai vế của phương trình cho 2 2a b+ thì pt 
2 2 2 2 2 2
(1) cos sina b cx x
a b a b a b
⇔ + =
+ + +
 (2) 
• Đặt 
2 2 2 2
bcos và sin
a
a
a b b
α α= =
+ +
 với [ )0;2α π∈ thì : 
2 2
2 2
c(2) cosx.cos + sinx.sin = 
a
c cos(x- ) = (3)
a
b
b
α α
α
⇔
+
⇔
+
 Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x. 
 42
 Chú ý : 
 2 2 2Pt acosx + bsinx = c có nghiệm a b c⇔ + ≥ 
 Ví dụ : Giải các phương trình : 
 a) + = −cos 3 sin 1x x b) 2sin3cos =+ xx 
 c) 4 44(sin cos ) 3 sin 4 2x x x+ + = d) 
x
tgx
cos
13 =− 
 e) 3
1sincos2
2sincos
2 =−−
−
xx
xx 
d. Dạng 4: 
 2 2sin sin .cos cos 0 (a;c 0)a x b x x c x+ + = ≠ (1) 
Cách giải 1: 
 Aùp dụng công thức hạ bậc : 2 21 cos2 1 cos2sin và cos
2 2
x xx x− += = 
 và công thức nhân đôi : 1sin .cos sin 2
2
x x x= thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3 
Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang ) 
 Chia hai vế của pt (1) cho 2cos x ta được pt: 
 2 0atg x btgx c+ + = 
 Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải 
 Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem x k
2
π= + π có phải là nghiệm của (1) không? 
Ví dụ : Giải phương trình: 
 031coscos.sin)31(sin3 22 =−+−−+ xxxx 
d. Dạng 5: 
 (cos sin ) sin .cos 0a x x b x x c+ + + = (1) 
Cách giải : 
• Đặt cos sin 2 cos( ) với - 2 2
4
t x x x tπ= + = − ≤ ≤ 
 Do 
2
2 t 1(cos sin ) 1 2sin .cos sinx.cosx=
2
x x x x −+ = + ⇒ 
• Thay vào (1) ta được phương trình : 
2 1 0
2
tat b c−+ + = (2) 
 43
• Giải (2) tìm t . Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt: 2 cos( )
4
x tπ− = tìm x. 
 Ví dụ : Giải phương trình : 
 sin 2 2 2(sin cos ) 5 0x x x− + − = 
Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng : (cos sin ) sin .cos 0a x x b x x c− + + = 
 Ví dụ : Giải phương trình : 
 sin 2 4(cos sin ) 4x x x+ − = 
4. Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng : 
a. Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác cơ bản đã biết 
 Ví dụ: Giải phương trình: 
 0
2
32sincossin 44 =−++ xxx 
b. Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số 
 Cơ sở của phương pháp là dựa vào các định lý sau đây: 
A=0
. 0 
B=0
A B
⎡= ⇔ ⎢⎣ hoặc 
A=0
. . 0 B=0
C=0
A BC
⎡⎢= ⇔ ⎢⎢⎣
 Ví dụ : Giải các phương trình : 
 a. 2 2 2sin sin 2 sin 3 2x x x+ + = b. 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = − 
 c. 32sin cos2 cos 0x x x+ − = d. 03)
4
sin(2cos222sin =++++ πxxx 
c. Phương pháp 3: Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ 
 Một số dấu hiệu nhận biết : 
* Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa) 
Ví dụ : Giải các phương trình : 
 a. 01cos2cos3cos =−−+ xxx 
 b. 01cos42coscos4 3 =+−− xxx 
 c. 12 cos2 8cos 7
cos
x x
x
− + = 
 d. 22cossin 24 =+ xx 
* Phương trình có chứa (cos sin ) và sinx.cosxx x± 
Ví dụ : Giải phương trình : a. + + =3 3 31 sin cos sin 2x
2
x x 
b. 1)cos(sin2cossin 33 −+=+ xxxx 
 44
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
DẠNG 1: Giải phương trình lượng giác 
Sử dụng 1 trong 3 phương pháp sau 
• Biến đổi phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản 
• Biến đổi phương trình về dạng phương trình tích số 
• Biến đổi phương trình về dạng có thể đặt ẩn số phụ chuyển về phương trình đại số 
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau 
 1) 03)
4
sin(2cos222sin =++++ πxxx 2) 07cos2sin
2
5cos
2
sin
2
3cos
2
7sin =++ xxxxxx 
 3) 
6
cos.3)
2
3(cos)
2
2(cos)
2
(cos 222 ππππ =−++++ xxx 
 4) 
)
4
(sin2
2sin1
2sin
2
sin
2
cos
2
44
π+
+=
−
x
x
x
xx
 5) xxxx 2sin3cos8sin7cos −=+ 
 6) 12sincossin2 +=+ xxx 
Bài 2 : Giải các phương trình lượng giác sau 
 1. 32sin cos2 cos 0x x x+ + = 8. 2 2 2sin ( ). cos 0
2 4 2
x xtg xπ− − = 
 2. 2 2 7sin .cos4 sin 2 4sin ( )
4 2 2
xx x x π− = − − 9. 
2cos (cos 1) 2(1 sin )
sin cos
x x x
x x
− = ++ 
 3. 9sin 6 cos 3sin 2 cos2 8x x x x+ − + = 10. 12 cos .sin3
3
tg x tgx x x− = 
 4. 
4 4sin cos 1 1cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x x g x
x x
+ = − 11. 12 cos2 8cos 7
cos
x x
x
− + = 
 5. 
2
4
4
(2 sin 2 )sin31
cos
x xtg x
x
−+ = 12. 2cos2 1cot 1 sin sin 2
1 2
xgx x x
tgx
− = + −+ 
 6. 3 ( 2sin ) 6 cos 0tgx tgx x x− + + = 13. 2cot 4sin 2
sin 2
gx tgx x
x
− + = 
 7. 2cos2 cos .(2 1) 2x x tg x+ − = 14. 2cos cos sin .(1 . )
2
xtgx x x x tgx tg+ − = + 
DẠNG 2: Phương trình lượng giác có chứa tham số 
Sử dụng phương pháp sau 
• Chọn ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ vừa chọn (tùy thuộc vào x) 
• Chuyển phương trình về phương trình đại số 
• Lập luận để chuyển bài toán đã cho theo ẩn phụ vừa chọn 
• Sử dụng phương pháp giải tích hoặc đại số để tìm tham số theo yêu cầu của đề bài 
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
 02sin
4
12coscossin 244 =++−+ mxxxx 
Bài 2: Định m để phương trình : m
xx
gxtgxxx =++++++ )
cos
1
sin
1cot(
2
11cossin 
 45
 có nghiệm ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∈
2
;0 πx 
Bài 3: Cho hàm số: 1)cos
cos
2()cos
cos
4(2 22 =−++ xxmxx 
 Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc ).
2
;0( π 
Bài 4: Cho phương trình : 01)cot(3
sin
3 2
2 =−+++ gxtgxmxtgx 
 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm. 
Bài 5: Xác định m để phương trình : 
 4 42(sin x cos x) cos4x 2sin2x m 0+ + + − = 
 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [0; ]
2
π
Bài 6: Cho phương trình : mxxx =−− )sin(cos42sin (1) 
 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm. 
Bài 7: Tìm m để phương trình : 4 4 6 6 24(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m+ − + − = có nghiệm. 
Bài 8: Cho phương trình cos4 6sin cos 0x x x m+ − = 
 Định m để phương trình có nghiệm 0;
4
x π⎡ ⎤∈⎢ ⎥⎣ ⎦ . 
Bài 9: Tìm m để phương trình : 0)cos)(sincos.(sin2cos2 =+−+ xxmxxx 
 có nghiệm trên đoạn ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
;0 π 
Bài 10: Cho phương trình: mtgx
xx
xx =−
+
22
66
sincos
sincos 
 Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm 
Bài 11: Cho phương trình: mxx =−+ 44 )1(sinsin 
 Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm 
Bài 12: Tìm m để phương trình : 22 2sin 2x m(1 cosx)+ = + có nghiệm x [ ; ]
2 2
π π∈ − 
--------------------------Hết--------------------------