Chuyên đề Bất đẳng thức

A. LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ 
Trong chương trình toán học phổ thông , bất đẳng thức là một vấn đề khó đối với học sinh , thường học sinh lúng túng khi làm bài, không biết bắt đầu từ đâu, xuất phát từ cái gì, sử dụng công thức nào cách biến đổi nào cho phù hợp . đọc bài giải , sách tham khảo thì có thể hiểu được nhưng khi thực hành thì khó và thường mắc sai lầm khi làm toán .
Trước thực trạntg đó bản thân tôi qua nhiều năm giảng dạy . đã đúc kết được một vài kinh nghiệm nhỏ khi giải toán bất đẳng thức . xin được trình bày dưới đây để đồng nghiệp và học sinh có thể tham khảo và góp ý kiến.
Đề tài bất đẳng thức thì rộng , ở đây tôi chỉ giới thiệu một khía cạnh nhỏ của bất đẳng thức là: 
Ưùng dụng bất đẳng thức côsi để tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức và chỉ ra những sai lầm mắc phải của học sinh khi làm toán bất đẳng thức. Biện pháp khắc phục sai lầm đó và cách dự đoán trong giải toán , chọn đúng điểm rơi của các biến . 
Bên cạnh đó đưa bài toán minh họa và cách giải cụ thể rỏ ràng. Từ thấp đến cao , từ đơn giải đến phức tạp, để học sinh có thể tham khảo và hình thành được phương pháp giải cho mình, từ đó thấy hứng thú hơn trong học tập môn Toán nói chung và bất đẳng thức nói riêng.
B.NỘI DUNG
1. Nhận Xét Chung:
Cho biểu thức: A≤ M thì max A = M nếu dấu bằng xảy ra
Cho biểu thức: A≥ m thì min A = m nếu dấu bằng xảy ra
2. Bất đẳng thức côsi:
 với mọi ai ≥ 0 đẳng thức xảy ra Û a1 = a2 = = an
3. Bài toán xuất phát:
Cho x,y > 0. tìm min của S = 
Lời giải: sử dụng bất đẳng thức côsi:
Vậy min S = 2 khi x = y.
4. Làm quen với điểm rơi trong bất đẳng thức côsi:
Bài 1: cho x≥ 5. tìm min của S = 
Bình luận và lời giải
sai lầm thường gặp:
S= x + Þ min S = 2.
Min S = 2 Û x = = 1 mâu thuẩn với giả thiết x≥ 5.
Phân tích và tìm tòi lời giải:
Xét bảng biến thiên của x, và S để dự đoán Min S 
x
5
6
7
19
20
S
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy khi x tăng thì S càng lớn và từ đó dẫn đến dự đoán khi x = 5 thì S nhận giá trị nhỏ nhất 
Hay ta nói Min S = đạt điểm rơi tại x = 5.
Do bất đẳng thức côsi xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia bằng nhau nên ta đưa vào tham số a sao cho tại điểm rơi x = 5 thì cặp số và phải bằng nhau.
Xác định điểm rơi : x = 5 với = Þ = Þ a = 25
Từ đó ta biến đổi S theo điểm rơi này.
Lời giải đúng: 
S = 
Vậy Min S = tại x = 5.
Bài 2: cho x≥ 3. tìm Min của S = x + 
Bình luận và lời giải
Xác định điểm rơi x = 3 cho cặp số và 
thì phải xảy ra Þa = 27
Sai lầm thường gặp :
S = x + = 
Với x = 3 thì Min S = 
Nguyên nhân sai lầm : mặc dù đã biến đổi S theo điểm rơi x = 3 và Min S = là đáp số đúng nhưng cách giải trên mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số : nếu x ≥ 3 thì là đánh giá sai.
Trong lời giải đúng ta biến đổi S sao cho khi sử dụng bất đẳng thức côsi sẽ khử hết biến số x ở cả tử số và mẫu số .
Lời giải đúng:
S = x + = 
Với x = 3 thì Min S = 
Bài 3: cho . Tìm min của S= xy + 
Bình luận và lời giải 
Sai lầm thường gặp:
S = xy + ≥ Þ Min S = 2
Nguyên nhân sai lầm : Min S = 2 Û xy = = 1
Þ 1= vô lí
Phân tích và tìm lời giải:
Nếu đặt t = xy hoặc t = thì S = là biểu thức chứa một biến số . khi đổi biến số ta cần phải tìm miền xác định cho biến số mới , cụ thể là:
Đặt t = Þ t = ≥ 
Dẫn đến bài toán phụ : cho t ≥ 4. tìm Min của S = 
Xác định điểm rơi : t = 4 cho cặp số thì 
Giải bài toán phụ : 
S = = 
Với t = 4 hay x = y = thì Min S = .
Lời giải khác: chọn điểm rơi nên 
S = = 
Với x = y = thì Min S = 
Bài 4: cho x ,y >0 thõa mãn x + y 
tìm Min của S = x +y + 
Bình luận và lời giải 
Sai lầm thường gặp 
Nguyên nhân sai lầm:
Min S = 6 Û x = y = =1Þ x + y = 2 > ( trái giả thiết)
Phân tích và tìm tòi lời giải: do S là một biểu thức đối xứng với x,y nên dự đoán minS đạt tại x = y = .
Xác định điểm rơi: x = y = cho các bộ số x = y = và thì phải xảy ra 
Lời giải đúng 
S = 
= 
Với x = y = thì min S = 5
Bài 5: cho x,y,z thõa mãn : x + y + z ≤ 
Tìm Min S=
bình luận và lời giải:
Sai lầm thương gặp:
 Þ Min S = 
Nguyên nhân sai lầm :
Min S = ( trái giả thiết)
Phân tích và tìm tòi lời giải: do S là một biểu thức đối xứng với x,y,z nên dự đoán min S đạt tại x = y = z = .
Xác định điểm rơi: x = y= z = cho các bộ số x2 = y2 = z2 = và 
 thì phải xảy ra 
Lời giải :
S = 
= 
= 
Với x = y = z = thì Min S = 
Bài tập làm thêm :
Bài 1: cho a,b,c,d > 0 tìm Min của 
Bài 2: cho a, b,c > 0 và a + b + c ≤ 1 tìm min của S = 
Bài 3: cho 
Tìm Min của 
Bài 4: cho x, y, z > 0 và x + y + z ≤ 1 
Chứng minh rằng 
 C.KẾT LUẬN 
Trên đây là chuyên đề nhỏ về bất đẳng thức mà tôi đã đúc kết được trong qúa trình giảng dạy và trình bày .
Đó là nhận thức chủ quan, viết ra những cái mình biết , học hỏi đồng nghiệp, học sinhsắp xếp lại thành một mạch kiến thức logic.
Cho nên trong quá trình bày không tránh khỏi những thiếu sót về nội dung lẫn hình thức mong các thầy cô đọc và góp ý chân thành để chuyên đề hoàn thiện hơn và phát triển thành một chuyên đề lớn.
	Vĩnh An ,Ngày 22/ 5/ 2009
 Giáo Viên Thực Hiện
 Lê Công Quý 
Giáo Aùn Hội Giảng Năm Học (2007-2008)
Giáo Viên : Lê Công Quý
Môn Toán
Bài Khảo Sát Hàm Số , Hàm Trùng Phương
Lớp 12A5
I. Mục tiêu
Về kiến thức: học sinh nắm được các bước khảo sát hàm số hàm trùng phương và bước đầu vận dụng bài tập.
Kỹ năng: thành thạo trong việc khảo sát hàm số y = ax4 + bx2 + c và biện luận số nghiệm bằng đồ thảu
Thái độ: cẩn thận chính xác
phương pháp: gợi mở , vấn đáp.
Chuẩn bị : phiếu học tập, phấn màu.
Tiến trình dạy học: 
Hoạt động 1: kiểm tra bài củ: học sinh nêu các bước khảo sát hàm số bậc 3.
Hoạt động 2: khảo sát hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c
Hoạt động 3: biện luận theo m số nghiệm phương trình
Hoạt động 4: củng cố các dạng đồ thị
Bài mới 
Hoạt động 1: kiểm tra bài củ: học sinh nêu các bước khảo sát hàm số bậc 3.
Hoạt động học sinh
Hoạt động giáo viên
Học sinh nêu các bước khảo sát hàm bậc 3 
Có bốn bước cơ bản
Bước 1: tập xác định
Bước 2: sự biến thiên
Bước 3: tính lồi lõm , điểm uốn
Bước 4: đồ thị 
Hoạt động 2: khảo sát hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c
Hoạt động học sinh
Hoạt động giáo viên
Ví dụ : cho hàm số 
a) khảo sát hàm số 
b)biện luận theo m số nghiệm phương trình : 
giải: a) MXĐ : D = R
y’ = 2x3 – 6x = 2x(x2 – 3)
y’ = 0 Û 
Giáo viên giao nhiệm vụ:
Một học sinh khảo sát sự biến thiên
Một học sinh khảo sát tính lồi lõm
Một học sinh lấy điểm cực trị, điểm uốn trên hệ tọa độ Oxy
Bảng biến thiên 
x
- ¥ 0 +¥
y’
 - 0 + 0 - 0 +
y
+¥ +¥
 CĐ
 -2 -2
 CT CT 
y’’ = 6x2 – 6 = 0 Û x= ± 1 Þ y’(± 1) = 0
bảng xét dấu y’’
x
- ¥ -1 1 +¥ 
y’’
 + 0 - 0 +
ĐT
 lõm Đ U lồi ĐU lõm
 (-1;0) (1;0)
Đồ thị: 
Hoạt động 3: biện luận theo m số nghiệm phương trình
Hoạt động học sinh
Hoạt động giáo viên
Học sinh dựa vào đồ thị chỉ ra nghiệm của phương trình
b) nếu m< - 2 thì PT vô nghiệm
nếu m = -2 thì PT có 2 nghiệm kép
nếu – 2< m < 5/2 thì PT có 4 nghiệm đơn phân biệt
nếu m = 5/2 thì PT có 2 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép.
Giáo viên : số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (C ) và đường thẳng 
d: y = m( d là đường thẳng song song Ox cắt Oy tại điểm có tung độ m)
Ví dụ 2: Khảo sát hàm số sau : y = 
Hoạt động học sinh
Hoạt động giáo viên
TXĐ: D = R
y’= -2x3 – 2x = -2x(x2 + 1)
y’ = 0 Û x = 0 Þ y’(0) = 
Gọi một học sinh lên bảng làm, tất cả học sinh khác nhìn vào phiếu học tập tự làm và so sánh kết quả với bạn.
Bảng biến thiên
x
 - ¥ 0 +¥
y’
 + 0 -
y
 - ¥ CĐ - ¥
y” = -6x2 – 2 < 0 , " xỴ R 
x
- ¥ +¥ 
y’’
 - 
ĐT
 Lồi 
Đồ thị: điểm đặc biệt (-1;0) (1;0)
Hoạt động 4: củng cố các dạng đồ thị