Chuyên đề Bất đẳng thức Bunhiacôpxki

Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn 
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 1 
I.Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ( BCS ) : 
 Cho 2 bộ số thực ( )1 2; ;...; na a a và ( )1 2; ;...; nb b b , mỗi bộ gồm n số. Khi đó ta có: 
 ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n na b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + + 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 
 1 2
1 2
... n
n
aa a
b b b
= = = với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0. 
II. Các hệ quả : 
Hệ quả 1: 
Nếu 1 1 ... n na x a x C+ + = (không đổi) thì ( )2 21 2 2
1
min ...
...n n
Cx x
a a
+ + = + + 
đạt được khi 1
1
... n
n
xx
a a
= = 
Hệ quả 2: 
 Nếu 2 2 21 ... nx x C+ + = (không đổi) thì ( ) 2 21 1 1max ... ...n n na x a x C a a+ + = + + 
đạt được khi 1
1
... 0n
n
xx
a a
= = ≥ 
 ( ) 2 21 1 1min ... ...n n na x a x C a a+ + = − + + 
Dấu “=” xảy ra 1
1
... 0n
n
xx
a a
⇔ = = ≤ 
III.Bất đẳng thức Bunhiacôpxki mở rộng: 
 • Mở rộng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 3 dãy số thực không âm 
( )1 2; ;...; na a a ; ( )1 2; ;...; nb b b ; ( )1 2; ;...; nc c c ta luôn có : 
( ) ( )( )( )2 3 3 3 3 3 3 3 3 31 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2... ... ... ...n n n n n na b c a b c a b c a a a b b b c c c+ + + ≤ + + + + + + + + + 
Chứng minh: 
 Đặt 3 3 3 3 3 3 3 3 33 3 31 2 1 2 1 2... , ... , ...n n nA a a a B b b b C c c c= + + + = + + + = + + + 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn 
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 2 
 Nếu 0A = hoặc 0B = hoặc 0C = thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì khi đó cả hai vế của bất đẳng thức 
đều bằng 0. 
 Vậy ta chỉ xét trường hợp 0; 0; 0A B C> > > 
 Đặt ; ;i i ii i i
a b c
x y z
A B C
= = = với 1;2;3i = 
 Khi đó ta có: 
3 3 3
1 2 3
3 3 3
1 2 3
3 3 3
1 2 3
1
1
1
x x x
y y y
z z z
⎧ + + =⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
 và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1x y z x y z x y z+ + ≤ 
 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm: ( )3 3 3; ; 1;2;3i i ix y z i = ta có:
3 3 3
1 1 1
1 1 1
3 3 3
2 2 2
2 2 2
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3
3
3
x x xx y z
x x xx y z
x x x
x y z
⎧ + +≤⎪⎪⎪ + +≤⎨⎪⎪ + +≤⎪⎩
 Cộng các bất đẳng thức trên lại ta được: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1x y z x y z x y z+ + ≤ (đpcm) 
Đẳng thức xảy ra 
1 1 1
1 1 1
2 2 2
2 2 2
3 3 3
3 3 3
a b c
A B Cx y z
a b cx y z
A B C
x y z a b c
A B C
⎧ = =⎪= =⎧ ⎪⎪ ⎪⇔ = = ⇔ = =⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎪ = =⎪⎩
Hay ( ): : : : 1;2;3i i ia b c A B C i= = tức là: 1 1 1 2 2 2 3 3 3: : : : : :a b c a b c a b c= = 
• Tổng quát : bất đẳng thức Bunhiacôpxki mở rộng cho rộng cho m dãy số thực không âm: 
Cho m dãy số thực không âm: 
( )1 2; ;...; na a a , ( )1 2; ;...; nb b b ,  , ( )1 2; ;...; nK K K 
Ta có: 
( ) ( )( ) ( )1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2... ... ... ... ... ... ... ...m m m m m m m m m mn n n n n na b K a b K a b K a a a b b b K K K+ + + ≤ + + + + + + + + + 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 
1 1 1 2 2 2: : ... : : : ... : : : ... :n n na b K a b K a b K= = ( chứng minh tương tự như trên) 
 I- MỘT SỐ VÍ DỤ : 
Bài 1: Cho , ,x y z là ba số dương thỏa 4 9 16 49x y z+ + = . Chứng minh rằng: 
1 25 64 49T
x y z
= + + ≥ 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn 
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 3 
Đẳng thức xảy ra khi nào? 
Hướng dẫn giải 
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho sáu số 2 ;3 ;4x y z và 1 5 8; ;
x y z
 ta được: 
( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 2 21 25 84 1 5 849. 4 9 16 2 3 4T x y z x y zx y z x y z
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎢ ⎥= + + + + = + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
2
21 5 82 . 3 . 4 . 49x y z
x y z
⎛ ⎞≥ + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 25 64 49T
x y z
⇒ = + + ≥ 
Đẳng thức xảy ra khi 
1
21 5 8
52 3 4
3
4 9 16 49 2
x
x y z y
x y z z
⎧ =⎪⎧ ⎪= =⎪ ⎪⇔ =⎨ ⎨⎪ ⎪+ + =⎩ =⎪⎪⎩
Bài 2 : Cho 0; 0x y> > và 2 2x y x y+ ≤ + .Chứng minh: 
3 2 5x y+ ≤ + 
Hướng dẫn giải 
Giả thiết: 
2 2
2 2 1 1 1
2 2 2
x y x y x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≤ + ⇔ − + − ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ( ) 1 11;3 ; ;
2 2
x y⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠ ta có: 
2 2 21 1 1 11. 1 3. 10 5
2 2 2 2
y x y
⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − ≤ − + − ≤⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
( )23 2 5x y⇒ + − ≤ 
3 2 5x y⇒ + − ≤ 
3 2 5x y⇒ + ≤ + 
Đẳng thức xảy ra khi 
1 5
2 10
1 3 5
2 10
x
y
⎧ = +⎪⎪⎨⎪ = +⎪⎩
Bài 3 : Cho , , 0a b c ≥ ; 1a b c+ + = .Chứng minh: 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn 
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 4 
2 2 2
1 1 1 1 30
ab bc aca b c
+ + + ≥+ + 
Hướng dẫn giải 
Gọi 2 2 2
1 1 1 1A
ab bc aca b c
= + + ++ + 
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: 
( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1; ; ;
;3 ;3 ;3
ab bc caa b c
a b c ab bc ca
⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
+ +
Ta có: ( ) ( )2 2 2 21 3 3 3 9 9 9a b c ab bc ca A+ + + ≤ + + + + + 
( ) ( )2100 7a b c ab bc ca A⎡ ⎤⇒ ≤ + + + + +⎣ ⎦ (*) 
Mà ( )21 1 (do 1)
3 3
ab bc ca a b c a b c+ + ≤ + + = + + = 
Do đó: (*) 30.A⇒ ≥ 
Đẳng thức xảy ra khi 1
3
a b c= = = 
Bài 4 : Cho ; ; 0x y z > và thoả 1x y z+ + ≤ .Chứng minh : 2 2 22 2 21 1 1 82x y zx y z+ + + + + ≥ 
Hướng dẫn giải 
Gọi 2 2 22 2 2
1 1 1S x y z
x y z
= + + + + + 
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ( ) 11;9 ; ;x
x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Ta có: 2 22 2
9 1 11 81. 82.x x x
x x x
+ ≤ + + = + (1) 
Tương tự: 
2
2
9 182.y y
y y
+ ≤ + ` (2) 
 2 2
9 182.z z
z z
+ ≤ + (3) 
Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được: 1 1 1. 82 9S x y z
x y z
⎛ ⎞≥ + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Hay ( ) ( )1 1 1. 82 81 9 80S x y z x y zx y z
⎛ ⎞≥ + + + + + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn 
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 5 
 ( ) 1 1 12.9.3. 80 162 80 82x y z
x y z
⎛ ⎞≥ + + + + − ≥ − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Vậy 2 2 22 2 2
1 1 1 82x y z
x y z
+ + + + + ≥ 
Bài 5 : Cho ba số thực dương , ,a b c thoả ab bc ca abc+ + = .Chứng minh rằng: 
2 2 2 2 2 22 2 2 3b a c b a c
ab bc ca
+ + ++ + ≥ 
Hướng dẫn giải 
Ta có: 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 1 12b a b a
ab a b a b
+ += = + (do ,a b dương) 
Đặt 1 1 1; ;x y z
a b c
= = = thì 
giả thiết 
, , 0 ; ; 0
1
a b c x y z
ab bc ca abc x y z
> >⎧ ⎧⇔⎨ ⎨+ + = + + =⎩ ⎩ 
và (đpcm) 2 2 2 2 2 22 2 2 3x y y z z x⇔ + + + + + ≥ 
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: 
( ) ( ) ( )22 2 2 2 23 2 3x y x y y x y y+ = + + ≥ + + 
 ( )2 2 12 2
3
x y x y⇒ + ≥ + 
Tương tự ( )2 2 12 2
3
y z y z+ ≥ + 
 ( )2 2 12 2
3
z x z x+ ≥ + 
Vậy ( )2 2 2 2 2 2 12 2 2 3 3 3 3
3
x y y z z x x y z+ + + + + ≥ + + = 
Đẳng thức xảy ra khi 1
3
x y z= = = 
Với 1
3
x y z= = = thì 3a b c= = = 
Bài 6 : Chứng minh: ( )1 1 1 1a b c c ab− + − + − ≤ + với mọi số thực dương ; ; 1a b c ≥ 
Hướng dẫn giải 
Đặt 2 2 21 ; 1 ; 1a x b y c z− = − = − = 
Với ; ; 0.x y z > Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 
( ) ( )( )2 2 21 1 1 1x y z z x y⎡ ⎤+ + ≤ + + + +⎣ ⎦ 
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn 
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 6 
( )( ) ( )( )2 2 2 21 1 1 1x y x y x y z x y z+ ≤ + + ⇒ + + ≤ + + + (1) 
( )( ) ( )( )2 2 2 2 21 1 1 1 1. 1x y z x y z+ + + ≤ + + + + (2) 
Kết hợp (1) và (2) ta có ( ) ( )( )2 2 21 1 1 1x y z z x y⎡ ⎤+ + ≤ + + + +⎣ ⎦ 
Vậy ( )1 1 1 1a b c c ab− + − + − ≤ + (đpcm) 
Bài 7 : Cho ; ; 0a b c > và thoả 1abc = .Chứng minh: 
 ( ) ( ) ( )3 3 3
1 1 1 3
2a b c b c a c a b
+ + ≥+ + + 
Hướng dẫn giải 
Đặt 1 1 1; ;x y z
a b c
= = = 1; 0; 0; 0xyz x y z⇒ = > > > 
Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau : A=
2 2 2 3
2
x y z
y z z x x y
+ + ≥+ + + 
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số : ( ); ; ; ; ;x y zy z z x x y
y z z x x y
⎛ ⎞+ + + ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠
Ta có: ( ) ( )2x y z y z z x x y A+ + ≤ + + + + + 
33 3.
2 2 2
x y zA xyz+ +⇒ ≥ ≥ = (do 1xyz = ) 3
2
A⇒ ≥ 
Đẳng thức xảy ra khi 1x y z= = = 
Với 1x y z= = = thì 1.a b c= = = 
Bài 8 : Cho ; ; 0a b c > .Chứng minh: 
( )( ) ( )( ) ( )( ) 1
a b c
a a b a c b b c b a c c a c b
+ + ≤+ + + + + + + + + 
Hướng dẫn giải 
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ( ) ( ); ; ;a b c a 
Ta có: 
( ) ( )( ) ( )( )2ac ab a b c a ac ab a b c a+ ≤ + + ⇒ + ≤ + + 
( )( )a ac ab a a b c a⇒ + + ≤ + + + 
( )( )
a a a
a ac ab a b ca a b a c
⇒ ≤ =+ + + ++ + + (1) 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn 
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 7 
Tương tự: ( )( )
b b
a b cb b c b a
≤ + ++ + + (2) 
 ( )( )
c c
a b cc c a c b
≤ + ++ + + (3) 
Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được: 
( )( ) ( )( ) ( )( ) 1
a b c
a a b a c b b c b a c c a c b
+ + ≤+ + + + + + + + + 
Đẳng thức xảy ra khi a b c= = . 
Bài 9 : Cho ; 0a b > và thoả 2 2 9a b+ = .Chứng minh : 3 2 3
3 2
ab
a b
−≤+ + 
Hướng dẫn giải 
Ta có: 2 2 9a b+ = 
( )
( )( )
22 9
2 3 3
ab a b
ab a b a b
⇔ = + −
⇔ = + + + − 
2 3
3
3
3 2 2
ab a b
a b
ab a b
a b
⇔ = + −+ +
+⇔ = −+ +
Mà theo BĐT Bunhiacôpxki thì 2 22. 3 2a b a b+ ≤ + = 
Nên 3 2 3
3 2
ab
a b
−≤+ + 
Đẳng thức xảy ra khi 2 2
; 0
39
2
a b
a b a b
a b
>⎧⎪⎪ + = ⇔ = =⎨⎪⎪ =⎩
Bài 10: Cho ; ; ;a b c d dương tuỳ ý.Chứng minh : 1 1 1 p q p q p q
a b c pa qb pb qc pc qa
+ + ++ + ≥ + ++ + + 
Hướng dẫn giải 
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có 
( ) ( )
2
2 . .p q p qp q pa qb pa qb
a b a b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + ≤ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Tương tự ta chứng minh được 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 ; p q p qp q pb qc p q pc qa
b c c a
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≤ + + + ≤ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
Cộng các vế tương ứng của ba bất đẳng thức ta có : 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn 
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 8 
( ) ( )2 1 1 1 1 1 1p q p q
pa qb pb qc pc qa a b c
⎡ ⎤ ⎛ ⎞+ + + ≤ + + +⎜ ⎟⎢ ⎥+ + + ⎝ ⎠⎣ ⎦ 
Hay ( ) 1 1 1 1 1 1p q
pa qb pb qc pc qa a b c
⎡ ⎤+ + + ≤ + +⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦ 
Vậy 1 1 1 p q p q p q
a b c pa qb pb qc pc qa
+ + ++ + ≥ + ++ + + 
Bài 11 : Cho 4 số dương ; ; ;a b c d .Chứng minh: 
3 3 3 3 2 2 2 2
3
a b c d a b c d
b c d c d a b d a a b c
+ + ++ + + ≥+ + + + + + + + 
Hướng dẫn giải 
Đặt 
3 3 3 3a b c dP
b c d c d a b d a a b c
= + + ++ + + + + + + + 
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: 
( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 3 3; ; ; ; ; ; ;a b c d a b c d b c d a c d b a d a b cb c d c d a b d a a b c⎛ ⎞ + + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + + + + + +⎝ ⎠ 
Ta có: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2a b c d P a b c d b c d a c d a b d a b c+ + + ≤ + + + + + + + + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦ 
 ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2a b c d P a b c d a b c d⎡ ⎤⇔ + + + ≤ + + + − + + +⎣ ⎦ (1) 
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ( ) ( ); ; ; ; 1;1;1;1a b c d ta được: 
( ) ( )2 2 2 2 24a b c d a b c d+ + + ≤ + + + (2) 
Từ (1) và (2) ta được ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
3
3
a b c d P a b c d
a b c d P
+ + + ≤ + + +
⇔ + + + ≤
Vậy 
3 3 3 3 2 2 2 2
3
a b c d a b c d
b c d c d a b d a a b c
+ + ++ + + ≥+ + + + + + + + 
Bài 12 : Cho các số dương ; ;a b c thỏa a + b ...  + + + + 
Hay ( ) ( ) ( )2 2 4a b c d ab bc cd da ac bd+ + + ≥ + + + + + 
 ( )2 2 2 2 2a b c d ac bd⇔ + + + ≥ + 
 ( ) ( )2 2 0a c b d⇔ − + − ≥ : BĐT đúng. 
Bài 8 : Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh: 
( )2 2 22 2 2 3
2
a b ca b c
b c c a a b
+ ++ + ≥+ + + 
Hướng dẫn giải 
Áp dụng BĐT BCS ta có: 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 22 2 22 2 2
2 2 2
a b ca b c
b c c a a b a b c b c a c a b
+ + = + ++ + + + + + 
( )
( ) ( ) ( )
22 2 2
2 2 2
a b c
a b c b c a c a b
+ +≥ + + + + + 
( )
( ) ( ) ( )
22 2 2a b c
ab a b bc b c ca c a
+ +≥ + + + + + (1) 
Áp dụng BĐT BCS dạng thông thường ta có: 
 ( ) ( ) ( ) 2ab a b bc b c ca c a+ + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2ab bc ca a b b c c a⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ + + + + + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
Mặt khác, ta có các BĐT sau: 
( ) ( ) ( ) ( )
22 2 2
2 2 2
3
a b c
ab bc ca
+ +• + + ≤ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 4a b b c c a a b c ab bc ca a b c• + + + + + = + + + + + ≤ + + 
Từ đó suy ra : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22 2 2
2 2 2 2.4
3
a b c
ab a b bc b c ca c a a b c
+ ++ + + + + ≤ + +⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )32 2 243 a b c= + + 
Hay ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22
3
ab a b bc b c ca c a a b c a b c+ + + + + ≤ + + + + 
Kết hợp với (1) ta suy ra: 
( )
( ) ( ) ( )
22 2 22 2 2 a b ca b c
b c c a a b ab a b bc b c ca c a
+ ++ + ≥+ + + + + + + + 
( )
( )
( )2 2 2 22 2 2
2 2 2 2 2 2
3
2 2
3
a b ca b c
a b c a b c
+ ++ +≥ =
+ + + +
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn 
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 32 
Bài 9 : Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh : 25 16 8a b c
b c c a a b
+ + >+ + + 
Hướng dẫn giải 
BĐT cần chứng minh tương đương với: 
 25 1 16 1 1 8 25 16 1 50a b c
b c c a a b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + > + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
Hay 25 16 1 50
b c c a a b a b c
+ + ≥+ + + + + (1) 
Ký hiệu P là vế trái của (1). Áp dụng BĐT BCS ta có: 
 ( )( ) ( ) ( )
22 2 2 5 4 15 4 1 50P
b c c a a b b c c a a b a b c
+ += + + ≥ =+ + + + + + + + + + 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
5 4 1
b c c a a b+ + += = 
Suy ra ( ) ( ) 2
5 4 1 5
c a a bb c b c a+ + ++ + += =+ , hay 0a = : trái với giả thiết 0a > 
Từ đó suy ra: 50P
a b c
> + + 
Do đó BĐT (1) đúng và ta có BĐT cần chứng minh. 
Bài 10 : Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh: 
2 2 2
3 .
2
a b c
ab b bc c ca a
+ + ≥+ + + 
Hướng dẫn giải 
Ký hiểu P là cế trái của BĐT cần chứng minh. Áp dụng BĐT BCS ta có: 
2
1 1 1 1 1 1
a b ca b c
b c ab c aP
a b c a b c
b c a b c a
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠= + + ≥
+ + + + + + + +
Hay 
( )2
1 1 1
x y z
P
x y z
+ +≥ + + + + + (1) với , ,
a b cx y z
b c a
= = = 
 ( chú ý 1xyz = ). 
Sử dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm ta có: 
 3 33. . . 3. 3.xy yz zx xy yz zx xyz+ + ≥ = = 
Suy ra: 
 ( ) ( ) ( )2 2 6x y z x y z xy yz zx x y z+ + = + + + + + ≥ + + + 
Mặt khác, áp dụng BĐT BCS (dạng thông thường ta có): 
 ( )1 1 1 3 3x y z x y z+ + + + + ≤ + + + 
Kết hợp hai BĐT vừa có với BĐT (1) ta nhận được: 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn 
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 33 
 ( )
_ 6
3 3
x y zP
x y z
+ +≥ + + + 
Hay 3
3
SP
S
+≥ với 33 3. 3 6S x y z xyz= + + + ≥ + = 
Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh đúng nếu ta có: 3 3
3 2
S
S
+ ≥ 
Hay 3 3 3
2
S
S
+ ≥ (2). 
Chú ý: 6S ≥ nên ta có các biến đổi như sau: 
 3 6 3 3 2 3 3(2) 3 2 .
2 2 2 2 2 2 2
S S SVT
S S
⎛ ⎞= + + ≥ + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Từ đó suy ra BĐT (2) đúng và ta có BĐT cần chứng minh 
Bài 11 : Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh: 
2
2 2 2
1
8 8 8
a b c
a bc b ca c ab
+ + ≥+ + + ( IMO 2001 ) 
Hướng dẫn giải 
Ký hiệu P là vế trái của BĐT BCS ta có:
2
2 2 28 8 8
a b cP
a a bc b b ca c c ab
= + ++ + + 
 ( )2
2 2 28 8 8
a b c
a a bc b b ca c c ab
+ +≥ + + + + + 
Từ đó suy ra BĐT đã cho đúng nếu ta chứng minh được: 
 ( )2
2 2 2
1
8 8 8
a b c
a a bc b b ca c c ab
+ + ≥+ + + + + 
Hay ( )22 2 28 8 8a a bc b b ca c c ab a b c+ + + + + ≤ + + (1) 
Ký hiệu Q là vế trái của BĐT (1). 
Áp dụng BĐT BCS ta có: 
 ( ) ( ) ( ) 22 2 2 28 8 8Q a a a bc b b b ca c c c ab⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ 
 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 28 8 8a b c a a bc b b ca c c ab⎡ ⎤≤ + + + + + + +⎣ ⎦ 
 ( )( )3 3 3 24a b c a b c abc= + + + + + 
Do đó BĐT (1) đúng nếu ta có: ( )33 3 3 24a b c abc a b c+ + + ≤ + + 
Ta đã biết: 
( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 2 2 2 2 2 23 3 3 6 .a b c a b c a b c b c a c a b abc+ + = + + + + + + + + + 
Từ đó suy ra BĐT trên tương đương với: 
 ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 6 .a b c b c a c a b abc+ + + + + ≥ 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn 
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 34 
Hay ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 0a b c bc b c a ca c a b ab+ − + + − + + − ≥ 
BĐT cuối cùng đúng vì nó tương đương với BĐT đúng: 
 ( ) ( ) ( )2 2 2 0a b c b c a c a b− + − + − ≥ ⇒đpcm 
Bài 12 : Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương , ,a b c : 
( ) ( ) ( )3 3 3
2 2 2 2 2 2 3
a b c ab bc ca
b bc c c ca a a ab b a b c
+ ++ + ≥− + − + − + + + 
 Hướng dẫn giải 
Ký hiệu P là vế trái của BĐT BCS ta có: 
Áp dụng BĐT BCS ta có: 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 22 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c
P
a b bc c b c ca a c a ab b
= + +− + − + − + 
( )
( ) ( ) ( )
22 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c
a b bc c b c ca a c a ab b
+ +≥ − + + − + + − + 
( )
( ) ( ) ( )
22 2 2
3
a b c
ab a b bc b c ca c a abc
+ += + + + + + − 
Mặt khác, áp dụng BĐT: ( ) ( )23 xy yz zx x y z+ + ≤ + + ta có: 
 3 ab bc ca a b c
a b c
+ + ≤ + ++ + 
Do đó để có BĐT đã cho ta chỉ cần chứng minh: 
( )
( ) ( ) ( )
22 2 2
3
a b c
a b c
ab a b bc b c ca c a abc
+ + ≥ + ++ + + + + − 
Hay 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 3a b c ab a b bc b c ca c a abc a b c+ + ≥ + + + + + − + +⎡ ⎤⎣ ⎦ 
( ) ( )4 4 4 2 2 2 2 2 22a b c a b b c c a⇔ + + + + + ≥ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 3ab a b bc b c ca c a abc a b b c c a abc a b c≥ + + + + + + + + + + + − + +⎡ ⎤⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 3 3 3a b c abc a b c a b c b c a c a b⇔ + + ≥ + + ≥ + + + + + 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 0a a bc a b c b b ca b c a c c ab a a b⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + + + − + + + − + ≥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 0a a b a c b b c b a c c a c b⇔ − − + − − + − − ≥ (1) 
Do vai trò của , ,a b c trong BĐT (1) là như nhau nên không nhấn mất tính tổng quát ta có thể giả sử 
0a b c≥ ≥ > . Khi đó ta có: 
VT (1) ( )( ) ( )( )2 2a a b a c b b c b a≥ − − + − − 
( ) ( ) ( )2 2a b a a c b b c⎡ ⎤= − − − −⎣ ⎦ 
( ) ( ) ( )3 3 2 2a b a b a c b c⎡ ⎤= − − − −⎣ ⎦ 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn 
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 35 
( ) ( )2 2 2a b a b ab ca cb= − + + − − 
( ) ( ) ( )2 0a b a a c b b c ab= − − + − + ≥⎡ ⎤⎣ ⎦ 
Từ đó suy ra BĐT (1) đúng. Do đó ta có BĐT cần chứng minh. 
Bài 13 : Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh: 
 1a b c a b b c
b c a b c a b
+ ++ + ≥ + ++ + 
 Hướng dẫn giải 
Ta chỉ cần chứng minh BĐT sau đúng: 
( )2 1a b c a b b c
ab bc ca b c a b
+ + + +≥ + ++ + + + 
Hay ( )
2
3 2
a b c a b b c
ab bc ca b c a b
+ + + +− ≥ + −+ + + + 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
2 2 23 2a b c ab bc ca a b b c a b b c
ab bc ca a b b c
+ + − + + + + + − + +⇔ ≥+ + + + 
 ( ) ( ) ( )( )
( )
( )( )
2 2 2 2
2
a b b c c a c a
ab bc ca a b b c
− + − + − −⇔ ≥+ + + + (1) 
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2a b b c a b b c a b b c− + − = − + − − − + −⎡ ⎤⎣ ⎦ 
 ( ) ( ) ( )2 2c a a b b c= − − − + − 
Từ đó suy ra BĐT (1) tương đương với: 
 ( ) ( )( ) ( )( )
( )
( )( )
2 2 22
2
c a a b b c c a c a
ab bc ca a b b c
− − − − + − −≥+ + + + 
Hay ( ) ( )( ) ( )( )( )
2 2c a a b b c c a
ab bc ca a b b c
− − − − −≥+ + + + 
 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 2 2 2c a a b b c a b b c c a ab bc ca⇔ − + + − − − ≥ − + + 
 ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 0c a b a b b c⇔ − − − − ≥ 
 ( )24 2 2 2 22 0 0b a c b ac b ac⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ : BĐT đúng. 
Từ đó ta có BĐT cần chứng minh. 
Bài 16 : Cho :f R R+ +→ là một hàm số thỏa mãn điều kiện: 
( ) ( ) ( )f x f z f y+ ≥ với mọi 0x y z≥ ≥ > 
Chứng minh BĐT sau đúng với mọi số thực dương , ,a b c : 
 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 0f a a b a c f b b c b a f c c a c b− − + − − + − − ≥ (1) 
 Hướng dẫn giải 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn 
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 36 
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử 0a b c≥ ≥ > . Theo giả thiết ta có: 
( ) ( ) ( )f a f c f b+ ≥ (2) 
Dễ dàng chứng minh rằng nếu a b= hoặc b c= thì (1) đúng. Do đó ta chỉ cần xét trường hợp 0a b c> > > . 
Khi đó ta viết BĐT (1) dưới dạng: 
 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )f a a b a c f c a c b c f b b c a b− − + − − ≥ − − 
Hay ( ) ( ) ( )f a f c f b
b c a b a c
+ ≥− − − (3) vì 0, 0, 0a c a b b c− > − > − > 
Áp dụng BĐT BCS ta có: 
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 2 2f a f c f a c f a cf a f c
b c a b b c a b b c a b a c
+ +
+ = + ≥ =− − − − − + − − 
Kết hợp BĐT trên với BĐT (2) ta nhận được: 
 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2f a cf a f c f b
b c a b a c a c
+
+ ≥ =− − − − ⇒BĐT (3) đúng và ta có ĐPCM. 
Nhận xét: 
Nếu hàm số :f R R+ +→ xác định bởi ( ) rf x x= với r là một số thực thì f thỏa mãn tính chất của bài toán. 
Thật vậy, với 0x y z≥ ≥ > ta có: 
i) Nếu 0r ≥ thì r rx y≥ nên r r r rx z x y+ > ≥ 
ii) Nếu 0r ≥ 
Do đó trong cả hai trường hợp ta đều có: ( ) ( ) ( )f x z f y+ ≥ 
Khi đó ta có BĐT: 
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0r r ra a b a c b b c b a c c a c b− − + − − + − − ≥ 
với mọi số thực dương , ,a b c 
 BÀI TẬP : 
Bài 1: Cho 1 2, ,..., na a a là các số thực dương. Chứng minh: 
2
1 2 1 2
1 1 1...
...n n
n
a a a a a a
+ + + ≥ + + + 
Bài 2: Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh; 
1) 
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ ++ + ≥+ + + 2) 
3 3 3 2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ ++ + ≥+ + + 
Bài 3: Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh : 1 1 1 1
2 2 3 3a b b a a b
+ ≤ ++ + 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn 
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 37 
Bài 4: Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1a b c+ + = . Tìm GTNN của biểu thức 
2 2 2
1 1 1 1P
a b c ab bc ca
= + + ++ + 
Bài 5: Cho , , , , ,a b c d e f là các số thực dương. Chứng minh: 
 3a b c d e f
b c c d d e e f f a a b
+ + + + + ≥+ + + + + + 
Bài 6: Cho ,a b là các số thực dương. Chứng minh : ( )2 2 2 22a b a bb a+ ≥ + 
Bài 7: Cho , , , , ,a b c x y z là các số thực dương. Chứng minh: 
2
xa yb zc x y zxy yz zx
b c c a a b
+ ++ + ≥ + + −+ + + 
Bài 8: Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh 
1) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 13 2 3 2 3 2
a b c
a b c bc b c a ca c a b ab
+ + ≥
+ + + + + + + + +
2) 
( )3
1
a b ca b c
a xb b xc c xa x
+ ++ + ≥+ + + + với 2x ≥ 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com