Chuyên đề Bất đẳng thức hay

CHUYÊN ĐỀ
BẤT ĐẲNG THỨC
Hoàng Thanh Thủy
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức 1
Mục lục
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2
1.1 Định nghĩa bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 3
2.1 Chứng minh bất đẳng thức dùng định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Phương pháp biến đổi tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức X2 ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Dùng các bất đẳng thức cổ điển để chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . 9
2.4.1 Bất đẳng thức Côsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4.2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Phương pháp phản chứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 Phương pháp quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7 Phương pháp tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.8 Phương pháp đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.9 Phương pháp hình học, toạ độ, véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.10 Phương pháp miền giá trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.11 Các phương pháp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.11.1 Phương pháp làm trội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.11.2 Phương pháp lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 48
3.1 Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
HOÀNG THANH THỦY
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức 2
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Định nghĩa bất đẳng thức
Định nghĩa 1.1. Cho hai số a và b, ta nói rằng a nhỏ hơn b và kí hiệu là a < b nếu a− b
âm. a < b⇐⇒ a− b âm.
Tương tự ta có a lớn hơn b và kí hiệu là a > b nếu a− b dương. a > b⇐⇒ a− b dương.
Định nghĩa 1.2. Cho a, b là hai biểu thức số, các mệnh đề dạng ”a b”
được gọi là bất đẳng thức.
Định nghĩa 1.3. Ta nói a nhỏ hơn hoặc bằng b nếu a < b hoặc a = b và kí hiệu là a ≤ b.
Vậy a ≤ b⇔ a < b ∨ a = b
Tương tự ta cũng có định nghĩa cho a lớn hơn hoặc bằng b.
1.2 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Tính chất 1.1. Tính bắc cầu: a < b và b < c suy ra a < c.
Tính chất 1.2. Quy tắc cộng bất đẳng thức với một số:
a < b⇐⇒ a+ c < b+ c, ∀c
Tính chất 1.3. Quy tắc chuyển vế: a < b+ c⇐⇒ a− c < b
Tính chất 1.4. Quy tắc cộng hai bất đẳng thức:{
a < b
c < d
⇒ a+ c < b+ d
Chú ý: Không có quy tắc trừ hai bất đẳng thức cùng chiều.
Tính chất 1.5. Quy tắc nhân hai bất đẳng thức với một số:
• a 0
• a bc nếu c < 0
Tính chất 1.6. Quy tắc nhân hai bất đẳng thức:
{
0 ≤ a < b
0 ≤ c < d ⇔ ac < bd
Chú ý: Chir được phép nhân hai bất đẳng thức không âm cùng chiều và không có phép chia
hai bất đẳng thức cùng chiều.
Tính chất 1.7. Với hai số a, b > 0; n nguyên dương ta có: a < b⇔ an < bn
Tính chất 1.8. Với a, b > 0, n ∈ N, n ≥ 1 ta có: a < b⇔ n√a < n√b
HOÀNG THANH THỦY
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức 3
2 PHƯƠNG PHÁP CHỨNGMINH BẤTĐẲNG THỨC
2.1 Chứng minh bất đẳng thức dùng định nghĩa
Để chứng minh A > B, ta đi chứng minh A−B dương và ngược lại, để chứng minh A < B
ta chứng minh A−B âm. Sau đây là các ví dụ:
VÍ DỤ MINH HOẠ
Ví dụ 2.1. Chứng minh rằng với mọi x, y ta luôn có
x2 + y2
2
≥ |xy|.
Lời giải. Xét hiệu
x2 + y2
2
− |xy|, ta có
x2 + y2
2
− |xy| = x
2 + y2 − 2|xy|
2
=
(|x|+ |y|)2
2
≥ 0.
Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi |x| = |y|.
Vậy bất đẳng thức đúng.
Ví dụ 2.2. Chứng minh rằng với mọi x, y ta luôn có
x4 + y4 ≥ x3y + xy3.
Lời giải. Xét hiệu x4 + y4 − (x3y + xy3), ta có
x4 + y4 − (x3y + xy3) = (x4 − x3y) + (y4 − xy3)
= x3(x− y) + y3(y − x)
= (x− y)(x3 − y3)
= (x− y)2(x2 + xy + y2)
= (x− y)2[(x+ y
2
)2 +
3y2
4
]
≥ 0.
Vậy bất đẳng thức luôn đúng. Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi x = y.
Ví dụ 2.3. Chứng minh rằng với mọi a, b ta luôn có
a2 + b2 + 1 ≥ ab+ a+ b.
Lời giải. Xét hiệu S = a2 + b2 + 1− (ab+ a+ b) = a2 + b2 + 1− ab− a− b.
Ta có
2S = 2a2 + 2b2 + 2− 2ab− 2a− 2b
= (a2 − 2ab+ b2) + (a2 − 2a+ 1) + (b2 − 2b+ 1)
= (a− b)2 + (a− 1)2 + (b− 1)2
≥ 0.
HOÀNG THANH THỦY
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức 4
Do đó S ≥ 0, dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi

a− b = 0
a− 1 = 0
b− 1 = 0
⇔ a = b = 1.
Bất đẳng thức đã được chứng minh.
Ví dụ 2.4. Cho các số dương a, b, chứng minh rằng
2
√
ab√
a+
√
b
≤ 4
√
ab.
Lời giải. Xét hiệu 4
√
ab− 2
√
ab√
a+
√
b
, ta có
4
√
ab− 2
√
ab√
a+
√
b
=
4
√
ab
(
1− 2
4
√
ab√
a+
√
b
)
=
4
√
ab√
a+
√
b
(
√
a− 2 4
√
ab+
√
b)
=
4
√
ab√
a+
√
b
( 4
√
a− 4
√
b)2
≥ 0.
Vậy bất đẳng thức đúng. Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài tập 2.1. CMR với mọi a, b, c, d, e ta đều có
a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b+ c+ d+ e).
Bài tập 2.2. CMR với mọi a, b, c ta luôn có
a2 + b2 + c2
3
≥ (a+ b+ c
3
)2
.
Bài tập 2.3. CMR với mọi a, b, c ta luôn có a2 + b2 + c2 ≥ ab+ bc+ ca.
Bài tập 2.4. Cho a, b, c ≥ −1, chứng minh rằng
2(1 + a+ b+ c+ ab+ bc+ ca) ≥ −abc.
Hướng dẫn: Chuyển vế, đưa về dạng
(1 + a)(1 + b)(1 + c) +
(a+ b+ c+ 1)2
2
≥ 0, (vì a, b, c ≥ −1).
Bài tập 2.5. Cho
{
a, b, c > 0
a+ b+ c = 1
. Chứng minh rằng b+ c ≥ 16abc
Bài tập 2.6. Cho a, b ≥ 0. Chứng minh rằng (a+ b)(1 + ab) ≥ 4ab.
HOÀNG THANH THỦY
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức 5
2.2 Phương pháp biến đổi tương đương
Biến đổi tương đương BĐT cần chứng minh về một BĐT đã biết hoặc BĐT hiển nhiên
đúng. Sau đây là các ví dụ:
VÍ DỤ MINH HOẠ
Ví dụ 2.5. Cho các số không âm a, b, chứng minh rằng
a+ b
2
≥
√
ab.
Lời giải. Ta có
a+ b
2
≥
√
ab⇔ a+ b− 2
√
ab ≥ 0⇔
(√
a−
√
b
)2
≥ 0
Đây là bất đẳng thức đúng. Từ đó suy ra đpcm
Ví dụ 2.6. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng
a
b
+
b
a
≥ 2
Lời giải.
a
b
+
b
a
≥ 2⇔ a
2 + b2
ab
≥ 2⇔ a
2 + b2 − 2ab
ab
≥ 0
⇔(a− b)
2
ab
≥ 0 Đúng vì a, b > 0
Đẳng thưc xảy ra ⇐⇒ a = b
Ví dụ 2.7. Chứng minh rằng ∀a, b ∈ R ta có: a4 + b4 ≥ a3b+ ab3
Lời giải. Ta có
a4 + b4 ≥ a3b+ ab3
⇔(a4 − a3b) + (b4 − ab3) ≥ 0
⇔a3(a− b) + b3(b− a) ≥ 0
⇔(a− b)(a3 − b3) ≥ 0
⇔(a− b)2
[
(a+
b
2
)2 + (
√
3
2
b)2
]
≥ 0 (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b.
Ví dụ 2.8. Cho các số thực dương a, b, chứng minh rằng
b√
a
+
a√
b
≥ √a+
√
b.
Lời giải. Bất đẳng thức trên tương đương với
b
√
b+ a
√
a√
ab
≥ √a+
√
b
⇔ b
√
b+ a
√
a− a
√
b− b√a ≥ 0 (do √ab > 0)
⇔ √a(a− b) +
√
b(b− a) ≥ 0
⇔ (√a−
√
b)(a− b) ≥ 0.
HOÀNG THANH THỦY
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức 6
Bất đẳng thức trên đúng vì
√
a − √b và a − b luôn cùng dấu. Vậy BĐT ban đầu đúng.
Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Ví dụ 2.9. Chứng minh rằng nếu ab ≥ 0 thì (a2 − b2)2 ≥ (a− b)4.
Lời giải. Ta có bất đẳng thức trên tương đương với
(a− b)2(a+ b)2 − (a− b)4 ≥ 0
⇔ (a− b)2[(a+ b)2 − (a− b)2] ≥ 0
⇔ 4ab(a− b)2 ≥ 0.
Bất đẳng thức cuối đúng vì ab ≥ 0, do đó bất đẳng thức ban đầu đúng.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc a = 0 hoặc b = 0.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài tập 2.7. Chứng minh rằng ∀a ∈ R∗+ ta có a+
1
a
≥ 2
Bài tập 2.8. Chứng minh rằng ∀a 6= 0 ta có |a+ 1
a
| ≥ 2.
Bài tập 2.9. Chứng minh rằng ∀a ta có a2 + 1
4
≥ a.
Bài tập 2.10. Cho các số a, b, c, x, y thoả mãn
{
ax+ by = c
a2 + b2 > 0
Chứng minh rằng x2 + y2 ≥ c
2
a2 + b2
.
Bài tập 2.11. Chứng minh rằng (a5 + b5)(a+ b) ≥ (a4 + b4)(a2 + b2) với ab > 0.
HOÀNG THANH THỦY
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức 7
2.3 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức X2 ≥ 0
Bất đẳng thức cổ điển nhất là x2 ≥ 0, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Ta sẽ nêu ra
hai dạng bất đẳng thức áp dụng bất đẳng thức trên.
• Với mọi a, b, ta có:
(a− b)2 ≥ 0⇔ a2 + b2 ≥ 2ab⇔ (a+ b)2 ≥ 4ab⇔ 2(a2 + b2) ≥ (a+ b)2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.
• Áp dụng bất đẳng thức trên ba lần cho ba số thực bất kì a, b, c, ta có:
a2+b2+c2 ≥ ab+bc+ca⇔ (a+b+c)2 ≥ 3(ab+bc+ca)⇔ 3(a2+b2+c2) ≥ (a+b+c)2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
VÍ DỤ MINH HOẠ
Ví dụ 2.10. Cho a+ b ≥ 2. Chứng minh rằng
a. a2 + b2 ≥ 2.
b. a2 + b2 ≥ a+ b
Lời giải. Ta có 2(a2 + b2) ≥ (a+ b)2 ⇔ a2 + b2 ≥ (a+ b)
2
2
.
a. Mà a+ b ≥ 2, nên ta suy ra ngay a2 + b2 ≥ 2.
b. Từ a2+b2 ≥ (a+ b)
2
2
= (a+b)
a+ b
2
. Mà a+b ≥ 2, nên ta suy ra ngay a2+b2 ≥ a+b.
Ở câu b. chúng ta có thể làm như sau:
Ta có: a2 + 1 ≥ 2a và b2 + 1 ≥ 2b, suy ra a2 + b2 ≥ a+ b+ (a+ b− 2) ≥ a+ b.
Bình luận Cả hai cách giải của câu b. chúng ta đã sử dụng phương pháp tách theo lượng
trội như sau: Để chứng minh A ≥ B, có thể làm theo hai cách:
C1. Chứng minh A ≥ B + C, rồi chứng minh C ≥ 0.
C2. Chứng minh A ≥ BC, (giả sử B > 0 ) rồi chứng minh C ≥ 1.
Vẫn sử dụng ý tưởng tách theo lượng trội như trên, ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 2.11. Cho a, b, c > 0 và a+ b+ c ≤ 3. Chứng minh rằng
√
a+
√
b+
√
c ≥
√
ab+
√
bc+
√
ca
HOÀNG THANH THỦY
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức 8
Lời giải. Đặt x =
√
a, y =
√
b, z =
√
c. Ta có x, y, z > 0 và x2 + y2 + z2 ≤ 3. Ta cần
chứng minh
x+ y + z ≥ xy + yz + zx
Ta có
3(xy + yz + zx) ≤ (x+ y + z)2 ⇔ xy + yz + zx ≤ (x+ y + z)x+ y + z
3
(1)
Mặt khác (x+ y + z)2 ≤ 3(x2 + y2 + z2) ≤ 9, ta được
x+ y + z ≤ 3 (2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
HOÀNG THANH THỦY
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức 9
2.4 Dùng các bất đẳng thức cổ điển để chứng minh bất đẳng
thức
2.4.1 Bất đẳng thức Côsi
1. Dạng tổng quát: Cho a1, a2, · · · , an là những số không âm. Khi đó
• a1 + a2 + · · ·+ an
n
≥ n√a1a2 · · · an
• Dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an
2. Trường hợp đặc biệt
• Với n = 2 ta có: a1 + a2
2
≥ √a1a2 dấu bằng xảy ra ⇐⇒ a1 = a2
• Với n = 3 ta có: a1 + a2 + a3
3
≥ 3√a1a2a3 dấu bằng xảy ra ⇐⇒ a1 = a2 = a3
VÍ DỤ MINH HOẠ
Ví dụ 2.12. Cho a1, a2, · · · , an > 0. Chứng minh rằng:
(a1 + a2 + · · ·+ an)
(
1
a1
+
1
a2
+ · · ·+ 1
an
)
≥ n2
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dương a1, a2, · · · an và 1
a1
,
1
a2
, · · · 1
an
ta
được:
a1 + a2 + · · ·+ an
n
≥ n√a1a2 · · · an (1)
1
a1
+
1
a2
+ · · ·+ 1
an
n
≥ n
√
1
a1a2 · · · an (2)
Do hai vế của ( 1) và ( 2) đều là số dương, nên nhân từng vế của chúng ta có điều phải
chứng minh.
Dấu bằng xảy ra
⇔
a1 = a2 = · · · = an1
a1
=
1
a2
= · · · = 1
an
⇔ a1 = a2 = · · · = an
Bình luận Bất đẳng thức trên tuy đơn giản, nhưng nó lại có ứng dụng rộng rãi. Người
ta thường hay sử dụng hai dạng đặc biệt của nó, đó là:
1. Với n = 2
(a+ b)(
1
a
+
1
b
) ≥ 4⇔ 1
a
+
1
b
≥ 4
a+ b
(3)
HOÀNG THANH THỦY
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức 10
2. Với n = 3
(a+ b+ c)(
1
a
+
1
b
+
1
c
) ≥ 9⇔ 1
a
+
1
b
+
1
c
≥ 9
a+ b+ c
(4)
Trong đó a, b, c là những số dương
Các bạn hãy xem ... h của một tam giác vuông, cạnh huyền c. Các
số thực x, y, z thoả mãn ax+ by = cz. Chứng minh rằng x2 + y2 ≥ z2.
Hướng dẫn: Từ ax+ by = cz suy ra
a
c
x+
b
c
y = z.
Chú ý rằng sinA =
a
c
; cosA =
b
c
. Xét các trường hợp x, y đồng thời bằng 0 và không đồng
thời bằng 0.
HOÀNG THANH THỦY
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức 47
Bài tập 2.90. Chứng minh rằng 4ab
√
(1− a2)(1− b2)+(2a2−1)(2b2−1) ≤ 1, với |b| ≤ 1.
Hướng dẫn: Đặt a = cosα; b = cos β.
Bài tập 2.91. Cho các số dương a, b, c thoả mãn a+ b = c.
Chứng minh rằng a3/4 + b3/4 > c3/4.
Hướng dẫn: Từ a+ b = c suy ra
a
c
+
b
c
= 1. Đặt sin2 α =
a
c
; cos2 α =
b
c
.
Bài tập 2.92. Cho 4x2 + 9y2 = 25. Chứng minh rằng |6x+ 12y| ≤ 25.
Hướng dẫn: Từ 4x2 + 9y2 = 25 suy ra
(2x
5
)2
+
(3y
5
)2
= 1.
Đặt sinα =
2x
5
; cosα =
3y
5
.
Bài tập 2.93. Chứng minh rằng với mọi n ≥ 2 và với mọi a ta có
−(1 + a2)n ≤ (2a)n + (1− a2)n ≤ (1 = a2)n.
Hướng dẫn: Viết BĐT dưới dạng
−1 ≤ ( 2a
1 + a2
)n
+
(1− a2
1 + a2
)n ≤ 1.
Đặt a = tg
α
2
,−pi < α < pi.
Bài tập 2.94. Cho x, y, z thoả mãn
{
0 < x, y, z < 1
xy + yz + zx = 1
. Chứng minh rằng
x
1− x2 +
y
1− y2 +
z
1− z2 ≥
3
√
3
2
.
Hướng dẫn: Đặt x = tgα; y = tgβ; z = tgγ, 0 < α, β, γ <
pi
4
. Đưa về
tg2α+ tg2β
1− tg2α.tg2β = −tg2γ.
Bài tập 2.95. Cho x, y, z thoả mãn x2 + y2 − 2x− 4y + 4 = 0. Chứng minh rằng
x2 − y2 + 2
√
3xy − 2(1 + 2
√
3)x+ (4− 2
√
3)y − 3 + 4
√
3 ≥ 1.
Bài tập 2.96. Cho x2 + y2 = u2 + v2 = 1. Chứng minh rằng
|x(u− v) + y(u+ v)| ≤
√
2.
HOÀNG THANH THỦY
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức 48
3 ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
3.1 Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
VÍ DỤ MINH HOẠ
Ví dụ 3.1. Giải phương trình
√
x− 1 +√5− x = 2√2
Lời giải. @ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai bộ số:
(1; 1) và (
√
x− 1;√5− x)
ta được:
(12 + 12)
[
(
√
x− 1)2 + (√5− x)2
]
≥
(√
x− 1 +√5− x
)2
⇔2(x− 1 + 5− x) ≥
(√
x− 1 +√5− x
)2
⇔
(√
x− 1 +√5− x
)2
≤ 8
⇔√x− 1 +√5− x ≤ 2
√
2
Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi:
√
x− 1
1
=
√
5− x
1
⇔x− 1 = 5− x
⇔x = 3
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
Ví dụ 3.2. Giải phương trình sau:
√
x2 + x+ 1 +
√
x2 − x+ 1 = 2 (1)
Lời giải. Do:
{
x2 + x+ 1 > 0
x2 + x+ 1 > 0
∀x ∈ R
nên tập xác định của phương trình là: x ∈ R.
Lời giải 1:
@ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương:
√
x2 + x+ 1,
√
x2 − x+ 1
HOÀNG THANH THỦY
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức 49
ta có:
√
x2 + x+ 1 +
√
x2 − x+ 1 ≥ 2
√√
x2 + x+ 1.
√
x2 − x+ 1
= 2
√√
[(x2 + 1) + x][(x2 + 1)− x]
= 2
√√
x4 + x2 + 1
= 2
4
√
x4 + x2 + 1
≥ 2
Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi{√
x2 + x+ 1 =
√
x2 − x+ 1
4
√
x4 + x2 + 1 = 1
⇔ x = 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0
Lời giải 2:
@ Chọn hai véctơ
−→u = (−x+ 1
2
;
√
3
2
) và −→v = (x+ 1
2
;
√
3
2
)
Ta có:
® |−→u | =
√
(x− 1
2
)2 + (
√
3
2
)2
® |−→v | =
√
(x+
1
2
)2 + (
√
3
2
)2
® |−→u +−→v | = 2
Khi đó phương trình (2) có dạng: |−→u |+ |−→v | = |−→u +−→v | (3)
Nhưng (3) xảy ra nếu và chỉ nếu{−→u = k.−→v
k ≥ 0
⇔

(−x+ 1
2
) = k.(x+
1
2
)√
3
2
= k.
√
3
2
k ≥ 0
⇔
{
k = 1
x = 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0
Lời giải 3:
@ Viết lại phương trình (1) dưới dạng tương đương sau:√
(x+
1
2
)2 + (
√
3
2
)2 +
√
(x− 1
2
)2 + (
√
3
2
)2 = 2 (2)
HOÀNG THANH THỦY
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức 50
Trong mặt phẳng toạ độ Đềcác vuông góc xOy chọn ba điểm
A(−1
2
;−
√
3
2
), B(
1
2
;
√
3
2
), M(x; 0)
Ta có:
• AM =
√
(x+
1
2
)2 + (
√
3
2
)2
• BM =
√
(x− 1
2
)2 + (
√
3
2
)2
• AB = 2
Do đó (2) trở thành:
AM +BM = AB ⇔M,A,B thẳng hàng
Dễ thấy phương trình đường thẳng AB là:
x+
1
2
1
=
y +
√
3
2√
3
Vì M,A,B thẳng hàng nên toạ độ của M phải thoả mãn phương trình đường thẳng AB,
từ đó tìm được x = 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0.
Bình luận Trên đây là ba cách giải đại diện cho ba hướng đánh giá khác nhau của một
"đối tượng". (với bài toán trên, bạn đọc có thể tìm hiểu trong [?] để biết thêm một số cách
giải thú vị khác) Trong ứng dụng của bất đẳng thức để giải phương trình, bất phương
trình, tuỳ thuộc vào từng đối tượng cần đánh giá mà ta chọn hình thức tương ứng, có thể
là dùng trực tiếp một bất đẳng thức quen thuộc nào đó; dùng đạo hàm, khảo sát hàm số;
cũng có thể dùng hình học, véctơ, toạ độ,...
Ví dụ 3.3. Giải phương trình sau:
√
x2 − 2x+ 5 +
√
x2 + 2x+ 10 =
√
29 (2)
Lời giải. Phương trình (2) được viết dưới dạng tương đương sau:√
(x− 1)2 + 22 +
√
(x+ 1)2 + 32 =
√
29 (2.1)
+) Tập xác định: x ∈ R
+) Đặt: −→u = (1− x; 2),−→v = (x+ 1; 3) ta có:
® |−→u | =√(1− x)2 + 22
® |−→v | =√(x+ 1)2 + 32
® |−→u +−→v | = √29
HOÀNG THANH THỦY
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức 51
Khi đó phương trình (2.1) có dạng: |−→u |+ |−→v | = |−→u +−→v | (2.2)
Nhưng (2.2) xảy ra nếu và chỉ nếu{−→u = k.−→v
k ≥ 0
⇔

(1− x) = k.(x+ 1)
2 = k.3
k ≥ 0
⇔

k =
2
3
x =
1
5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =
1
5
Ví dụ 3.4. Giải phương trình: 3x + 4x = 5x (3)
Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với:
(
3
5
)x + (
4
5
)x = 1 (3.1)
Dễ thấy x = 2 là một nghiệm của (3.1), ta sẽ chứng minh nó là nghiệm duy nhất.
Chú ý rằng hàm số y = ax nghịch biến khi 0 < a < 1
à Với x > 2 ta có: 
(
3
5
)x < (
3
5
)2
(
4
5
)x < (
4
5
)2
⇒(3
5
)x + (
4
5
)x < (
3
5
)2 + (
4
5
)2 = 1
⇒x > 2 không là nghiệm
à Với x < 2 ta có: 
(
3
5
)x > (
3
5
)2
(
4
5
)x > (
4
5
)2
⇒(3
5
)x + (
4
5
)x > (
3
5
)2 + (
4
5
)2 = 1
⇒x < 2 không là nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2
Ví dụ 3.5. Giải phương trình: (x− 1)2006 + (x− 2)2006 = 1 (7)
HOÀNG THANH THỦY
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức 52
Lời giải. Ta có:
(x− 1)2006 + (x− 2)2006 = 1
⇔
{
(x− 1)2006 = 1− (x− 2)2006 ≤ 1
(x− 2)2006 = 1− (x− 1)2006 ≤ 1
⇔
{
(x− 1)2 ≤ 1
(x− 2)2 ≤ 1
⇔
{
0 ≤ x ≤ 2
1 ≤ x ≤ 3
⇔1 ≤ x ≤ 2
Xét hàm số: f(x) = (x− 1)2006 + (x− 2)2006 trên đoạn [1; 2].
Ta có:
f ′(x) = 2006
(
(x− 1)2005 + (x− 2)2005
)
f ′(x) = 0⇔ (x− 1)2005 + (x− 2)2005 = 0
⇔ (x− 1)2005 = −(x− 2)2005
⇔ x− 1 = −(x− 2)
⇔ x = 3
2
Bảng biến thiên của f(x):
x
f ′(x)
f(x)
−4 −2 0
−∞
1
0
2
Từ bảng biến thiên ta có f(x) ≤ 1 ∀x ∈ [1; 2]
Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi x = 1 ∨ x = 2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 1, x2 = 2.
Ví dụ 3.6. Giải phương trình sau:
4sinx − 21+sinx. cos yx+ 2|x| = 0 (9)
Lời giải.
(9)⇔
[
(2sinx)2 − 2.2sinx. cosxy + cos2 xy
]
+
[
2|x| − cos2 xy
]
= 0
⇔
(
2sinx − cosxy
)2
+
(
2|x| − cos2 xy
)
= 0 (9.1)
Nhận xét rằng:
®
(
2sinx − cosxy
)2
≥ 0,∀x, y
HOÀNG THANH THỦY
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức 53
® 2|x| ≥ 20 = 1 ≥ cos2 xy, ∀x, y
⇒ 2|x| − cos2 xy ≥ 0,∀x, y
⇒ V T (9.1) ≥ 0,∀x, y
Vậy phương trình đã cho được thoả mãn nếu và chỉ nếu:{
2sinx = cos xy
2|x| = 1 = cos2 xy
⇔
{
x = 0
y ∈ R
Kết luận:
{
x = 0
y ∈ R là nghiệm của phương trình đã cho.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài tập 3.1. Giải các phương trình sau:
u
√
x+ 1 +
√
3− x = 2√2
Đ.S : x = 1
v x
√
x+ 1 +
√
3− x = 2√x2 + 1
Đ.S : x1 = 1, x2,3 = 1±
√
2
w
√
x+ 9 +
√
15− x = 2√12
Đ.S : x = 3
x
√
x− 2 +√4− x = x2 − 6x+ 11
Đ.S : x = 3
y
√
x2 + 4y2 + 6x+ 9 +
√
x2 + 4y2 − 2x− 12y + 10 = 5
Đ.S :

x = α
y =
1
8
(3α + 9)
−3 ≤ α ≤ 1
z sinx+
√
2− sin2 x+ sin x.
√
2− sin2 x = 3
Đ.S : x =
pi
2
+ kpi, k ∈ Z
{
√
x2 + xy + y2 +
√
y2 + yz + z2 =
√
x2 + xz + z2
Đ.S: PT vô nghiệm
Bài tập 3.2. Giải phương trình:
√
x− 2 +√4− x = x2 − 6x+ 11
ĐS: x = 3
Bài tập 3.3. Giải phương trình
√
3x2 − 7x+ 3−√x2 − 2 = √3x2 − 5x− 1−√x2 − 3x+ 4
ĐS: x = 2
Bài tập 3.4. Giải các phương trình sau:
1.
√
3x2 + 6x+ 7 +
√
5x2 + 10x+ 14 = 4− 2x− x2
ĐS: x = −1
2.
√
x− 1 +√x+ 3 + 2√(x− 1)(x+ 3) = 4− 2x
ĐS: x = 1
HOÀNG THANH THỦY
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức 54
3.
√
x−√x+ 1−√x+ 4 +√x+ 9 = 0
ĐS: x = 0
4.
√
(x+ 2)(2x− 1)− 3√x+ 6 = 4−√(x+ 6)(2x− 1) + 3√x+ 2
ĐS: x = 7
5. x
√
y − 1 + 2y√x− 1 = 3xy
2
ĐS: x = y = 2
6.
16√
x− 3 +
4√
y − 1 +
1225√
z − 665 = 82−
√
x− 3−
√
y − 1−√z − 665
ĐS:

x = 19
y = 5
x = 1890
7.
√
5− x6 − 3√3x4 − 2 = 1
ĐS: |x| = 1
8.
∣∣∣∣√x2 − 4x+ 5−√x2 − 10x+ 50∣∣∣∣ = 5
ĐS: x =
5
4
9. x
√
x+ 1 +
√
3− x = 2√x+ 1
ĐS: x = 1; x = 1 +
√
2
Bài tập 3.5. Giải bất phương trình
√
x− 1 +√x− 3 ≥√(2x− 3)2 + 2x− 2
ĐS: x = 5
3.2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Tư tưởng của phương pháp này: sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc đã biết, các đánh
giá khéo léo để chỉ ra dấu ” = ” trong các kết quả mong muốn. Từ đó xác định được
GTNN, GTLN. Sau đây là các ví dụ minh hoạ.
VÍ DỤ MINH HOẠ
Ví dụ 3.7. Cho x, y, z > 0 và x+ y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
P =
x
x+ 1
+
y
y + 1
+
z
z + 1
Lời giải. Ta có
P =
x+ 1− 1
x+ 1
+
y + 1− 1
y + 1
+
z + 1− 1
z + 1
= 3−
( 1
x+ 1
+
1
y + 1
+
1
z + 1
)
HOÀNG THANH THỦY
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức 55
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
(x+ 1 + y + 1 + z + 1)
( 1
x+ 1
+
1
y + 1
+
1
z + 1
)
≥
≥ 3 3
√
(x+ 1)(y + 1)(z + 1).3 3
√
1
(x+ 1)(y + 1)(z + 1)
⇔ 1
x+ 1
+
1
y + 1
+
1
z + 1
≥ 9
x+ y + z + 3
=
9
4
Từ đó suy ra P ≤ 3− 9
4
=
3
4
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
1
3
Vậy Pmax =
3
4
⇔ x = y = z = 1
3
Ví dụ 3.8. Cho a ≥ 3, b ≥ 4, c ≥ 2. Tìm giá trị lớn nhất của
P =
ab
√
c− 2 + bc√a− 3 + ca√b− 4
abc
Lời giải. Ta có
P =
√
c− 2
c
+
√
a− 3
a
+
√
b− 4
b
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương c− 2 và 2 ta được:
c = (c− 2) + 2 ≥ 2
√
2(c− 2)⇒
√
c− 2
c
≤ 1
2
√
2
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ c− 2 = 2⇔ c = 4.
Tương tự ta có
√
a− 3
a
≤ 1
2
√
3√
b− 4
b
≤ 1
4
Từ đó suy ra P ≤ 1
2
√
2
+
1
2
√
3
+
1
4
. Dấu bằng xảy ra ⇔

a = 6
b = 8
c = 4
Vậy Pmax =
1
2
√
2
+
1
2
√
3
+
1
4
Ví dụ 3.9. Cho x, y > 0 và
2
x
+
3
y
= 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của x+ y
Lời giải. Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
(
√
2 +
√
3)2 =
(√2√
x
√
x+
√
3√
y
√
y
)2
≤
(2
x
+
3
y
)
(x+ y) = 6(x+ y)
⇔x+ y ≥ (
√
2 +
√
3)2
6
=
5 + 2
√
6
6
HOÀNG THANH THỦY
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức 56
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔

2
x
+
3
y
= 6
√
2√
x√
x
=
√
3√
y√
y
⇔

x =
2 +
√
6
6
y =
3 +
√
6
6
Vậy (x+ y)min =
5 + 2
√
6
6
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài tập 3.6. Cho x, y là các số thay đổi thoả mãn điều kiện 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 4. Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức:
A = (3− x)(4− y)(2x+ 3y)
Bài tập 3.7. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = y − 4x+ 8 biết rằng 4x2 + y2 = 1
4
Bài tập 3.8. Cho (x− 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 1. Tìm x, y, z để |x+ 2y + 3z − 8| đạt
giá trị lớn nhất.
Bài tập 3.9. Cho 0 < x <
pi
2
. Tìm giá trị nhỏ nhất của y =
1
cosx
+
1
sinx
HOÀNG THANH THỦY