Chuyên đề Chương III: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng 
Trang 1 
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng 
 Vectơ u 0≠
 đgl vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc 
trùng với ∆. 
 Nhận xét: – Nếu u là một VTCP của ∆ thì ku (k ≠ 0) cũng là một VTCP của ∆. 
 – Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP. 
2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 
 Vectơ n 0≠
 đgl vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆. 
 Nhận xét: – Nếu n là một VTPT của ∆ thì kn (k ≠ 0) cũng là một VTPT của ∆. 
 – Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT. 
 – Nếu u là một VTCP và n là một VTPT của ∆ thì u n⊥  . 
3. Phương trình tham số của đường thẳng 
 Cho đường thẳng ∆ đi qua M x y0 0 0( ; ) và có VTCP u u u1 2( ; )=
 . 
 Phương trình tham số của ∆: 
x x tu
y y tu
0 1
0 2
 = +
 = +
 (1) ( t là tham số). 
 Nhận xét: – M(x; y) ∈ ∆ ⇔ ∃ t ∈ R: x x tu
y y tu
0 1
0 2
 = +
 = +
. 
 – Gọi k là hệ số góc của ∆ thì: 
 + k = tanα, với α = xAv , α ≠ 090 . 
 + k = 
u
u
2
1
, với u1 0≠ . 
x
y
A
v
O
∆
α
x
y
A
v
O ∆
α
4. Phương trình chính tắc của đường thẳng 
 Cho đường thẳng ∆ đi qua M x y0 0 0( ; ) và có VTCP u u u1 2( ; )=
 . 
 Phương trình chính tắc của ∆: 
x x y y
u u
0 0
1 2
− −
= (2) (u1 ≠ 0, u2 ≠ 0). 
 Chú ý: Trong trường hợp u1 = 0 hoặc u 2 = 0 thì đường thẳng không có phương trình 
 chính tắc. 
5. Phương trình tham số của đường thẳng 
 PT ax by c 0+ + = với a b2 2 0+ ≠ đgl phương trình tổng quát của đường thẳng. 
 Nhận xét: – Nếu ∆ có phương trình ax by c 0+ + = thì ∆ có: 
 VTPT là n a b( ; )= và VTCP u b a( ; )= − hoặc u b a( ; )= − . 
 – Nếu ∆ đi qua M x y0 0 0( ; ) và có VTPT n a b( ; )=
 thì phương trình của ∆ là: 
 a x x b y y0 0( ) ( ) 0− + − = 
CHƯƠNG III 
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
Trang 2 
 Các trường hợp đặc biệt: 
 • ∆ đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a b ≠ 0): Phương trình của ∆: x y
a b
1+ = . 
 (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) . 
 • ∆ đi qua điểm M x y0 0 0( ; ) và có hệ số góc k: Phương trình của ∆: y y k x x0 0( )− = − 
 (phương trình đường thẳng theo hệ số góc) 
6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng 
 Cho hai đường thẳng ∆1: a x b y c1 1 1 0+ + = và ∆2: a x b y c2 2 2 0+ + = . 
 Toạ độ giao điểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình: 
 a x b y c
a x b y c
1 1 1
2 2 2
0
0
 + + =
 + + =
 (1) 
 • ∆1 cắt ∆2 ⇔ hệ (1) có một nghiệm ⇔ 
a b
a b
1 1
2 2
≠ (nếu a b c2 2 2, , 0≠ ) 
 • ∆1 // ∆2 ⇔ hệ (1) vô nghiệm ⇔ 
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
= ≠ (nếu a b c2 2 2, , 0≠ ) 
 • ∆1 ≡ ∆2 ⇔ hệ (1) có vô số nghiệm ⇔ 
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
= = (nếu a b c2 2 2, , 0≠ ) 
7. Góc giữa hai đường thẳng 
 Cho hai đường thẳng ∆1: a x b y c1 1 1 0+ + = (có VTPT n a b1 1 1( ; )=
 ) 
 và ∆2: a x b y c2 2 2 0+ + = (có VTPT n a b2 2 2( ; )=
 ). 
  n n khi n n
n n khi n n
0
1 2 1 2
1 2 0 0
1 2 1 2
( , ) ( , ) 90( , )
180 ( , ) ( , ) 90
∆ ∆
 ≤= 
− >
   
    
  
n n a b a b
n n
n n a b a b
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2 2 2 2 21 2 1 1 2 2
.
cos( , ) cos( , )
. .
∆ ∆
+
= = =
+ +
 
 
  
 Chú ý: • ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a a b b1 2 1 2 0+ = . 
 • Cho ∆1: y k x m1 1= + , ∆2: y k x m2 2= + thì: 
 + ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2 + ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1. k2 = –1. 
8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 
 • Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 
 Cho đường thẳng ∆: ax by c 0+ + = và điểm M x y0 0 0( ; ) . 
ax by c
d M
a b
0 0
0 2 2
( , )∆
+ +
=
+
 • Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng 
 Cho đường thẳng ∆: ax by c 0+ + = và hai điểm M M N NM x y N x y( ; ), ( ; )∉ ∆. 
 – M, N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔ M M N Nax by c ax by c( )( ) 0+ + + + > . 
Các hệ số Phương trình đường thẳng ∆ Tính chất đường thẳng ∆ 
c = 0 0ax by+ = ∆ đi qua gốc toạ độ O 
a = 0 0by c+ = ∆ // Ox hoặc ∆ ≡ Ox 
b = 0 0ax c+ = ∆ // Oy hoặc ∆ ≡ Oy 
Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng 
Trang 3 
 – M, N nằm khác phía đối với ∆ ⇔ M M N Nax by c ax by c( )( ) 0+ + + + < . 
 • Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 
 Cho hai đường thẳng ∆1: a x b y c1 1 1 0+ + = và ∆2: a x b y c2 2 2 0+ + = cắt nhau. 
 Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là: 
a x b y c a x b y c
a b a b
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
+ + + +
= ±
+ +
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng 
 • Để lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ ta cần xác 
định một điểm M x y0 0 0( ; )∈ ∆ và một VTCP u u u1 2( ; )=
 của ∆. 
 PTTS của ∆: x x tu
y y tu
0 1
0 2
 = +
 = +
; PTCT của ∆: 
x x y y
u u
0 0
1 2
− −
= (u1 ≠ 0, u2 ≠ 0). 
 • Để lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ ta cần xác định một điểm 
M x y0 0 0( ; )∈ ∆ và một VTPT n a b( ; )=
 của ∆. 
 PTTQ của ∆: a x x b y y0 0( ) ( ) 0− + − = 
 • Một số bài toán thường gặp: 
 + ∆ đi qua hai điểm A A B BA x y B x y( ; ) , ( ; ) (với A B A Bx x y y,≠ ≠ ): 
 PT của ∆: A A
B A B A
x x y y
x x y y
− −
=
− −
 + ∆ đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): PT của ∆: x y
a b
1+ = . 
 + ∆ đi qua điểm M x y0 0 0( ; ) và có hệ số góc k: PT của ∆: y y k x x0 0( )− = − 
 Chú ý: Ta có thể chuyển đổi giữa các phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của một 
 đường thẳng. 
 • Để tìm điểm M′ đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta có thể thực hiện như sau: 
 Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M và vuông góc với d. 
 – Xác định I = d ∩ ∆ (I là hình chiếu của M trên d). 
 – Xác định M′ sao cho I là trung điểm của MM′. 
 Cách 2: Gọi I là trung điểm của MM′. Khi đó: 
 M′ đối xứng của M qua d ⇔ dMM u
I d
 ′ ⊥
∈


 (sử dụng toạ độ) 
 • Để viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, ta 
có thể thực hiện như sau: 
 – Nếu d // ∆: 
 + Lấy A ∈ d. Xác định A′ đối xứng với A qua ∆. 
 + Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ và song song với d. 
 – Nếu d ∩ ∆ = I: 
 + Lấy A ∈ d (A ≠ I). Xác định A′ đối xứng với A qua ∆. 
 + Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ và I. 
 • Để viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, ∆, ta có 
thể thực hiện như sau: 
 – Lấy A ∈ d. Xác định A′ đối xứng với A qua I. 
 – Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ và song song với d. 
Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
Trang 4 
 Baøi 1. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP u : 
 a) M(–2; 3) , u (5; 1)= − b) M(–1; 2), u ( 2;3)= − c) M(3; –1), u ( 2; 5)= − − 
 d) M(1; 2), u (5;0)= e) M(7; –3), u (0;3)= f) M ≡ O(0; 0), u (2;5)= 
Baøi 2. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTPT n : 
 a) M(–2; 3) , n (5; 1)= − b) M(–1; 2), n ( 2;3)= − c) M(3; –1), n ( 2; 5)= − − 
 d) M(1; 2), n (5;0)= e) M(7; –3), n (0;3)= f) M ≡ O(0; 0), n (2;5)= 
Baøi 3. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có hệ số góc 
k: 
 a) M(–3; 1), k = –2 b) M(–3; 4), k = 3 c) M(5; 2), k = 1 
 d) M(–3; –5), k = –1 e) M(2; –4), k = 0 f) M ≡ O(0; 0), k = 4 
Baøi 4. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B: 
 a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3; 8) 
 d) A(–2; 3), B(1; 3) e) A(4; 0), B(3; 0) f) A(0; 3), B(0; –2) 
 g) A(3; 0), B(0; 5) h) A(0; 4), B(–3; 0) i) A(–2; 0), B(0; –6) 
Baøi 5. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và song song 
với đường thẳng d: 
 a) M(2; 3), d: x y4 10 1 0− + = b) M(–1; 2), d ≡ Ox c) M(4; 3), d ≡ Oy 
 d) M(2; –3), d: x t
y t
1 2
3 4
 = −
 = +
 e) M(0; 3), d: x y1 4
3 2
− +
=
−
Baøi 6. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc 
với đường thẳng d: 
 a) M(2; 3), d: x y4 10 1 0− + = b) M(–1; 2), d ≡ Ox c) M(4; 3), d ≡ Oy 
 d) M(2; –3), d: x t
y t
1 2
3 4
 = −
 = +
 e) M(0; 3), d: x y1 4
3 2
− +
=
−
Baøi 7. Cho tam giác ABC. Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường cao 
của tam giác với: 
 a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1) b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2) 
 c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1) d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6) 
Baøi 8. Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác. Viết phương trình các 
đường cao của tam giác, với: 
 a) AB x y BC x y CA x y: 2 3 1 0, : 3 7 0, : 5 2 1 0− − = + + = − + = 
 b) AB x y BC x y CA x y: 2 2 0, : 4 5 8 0, : 4 8 0+ + = + − = − − = 
Baøi 9. Viết phương trình các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm của 
các cạnh BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P, với: 
 a) M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1) b) M N P3 5 5 7; , ; , (2; 4)
2 2 2 2
   
− − −   
   
 c) M N P3 12; , 1; , (1; 2)
2 2
   
− − −   
   
 d) M N P3 7;2 , ;3 , (1;4)
2 2
   
   
   
Baøi 10. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và chắn trên hai trục toạ độ 2 đoạn 
bằng nhau, với: 
 a) M(–4; 10) b) M(2; 1) c) M(–3; –2) d) M(2; –1) 
Baøi 11. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cùng với hai trục toạ độ tạo thành 
một tam giác có diện tích S, với: 
 a) M(–4; 10), S = 2 b) M(2; 1), S = 4 c) M(–3; –2), S = 3 d) M(2; –1), S = 4 
Baøi 12. Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d và điểm M′ đối xứng với M qua đường 
thẳng d với: 
 a) M(2; 1), d x y: 2 3 0+ − = b) M(3; – 1), d x y: 2 5 30 0+ − = 
 c) M(4; 1), d x y: 2 4 0− + = d) M(– 5; 13), d x y: 2 3 3 0− − = 
Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng 
Trang 5 
 Baøi 13. Lập phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, với: 
 a) d x y x y: 2 1 0, : 3 4 2 0∆− + = − + = b) d x y x y: 2 4 0, : 2 2 0∆− + = + − = 
 c) d x y x y: 1 0, : 3 3 0∆+ − = − + = d) d x y x y: 2 3 1 0, : 2 3 1 0∆− + = − − = 
Baøi 14. Lập phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, với: 
 a) d x y I: 2 1 0, (2;1)− + = b) d x y I: 2 4 0, ( 3;0)− + = − 
 c) d x y I: 1 0, (0;3)+ − = d) d x y I O: 2 3 1 0, (0;0)− + = ≡ 
VẤN ĐỀ 2: Các bài toán dựng tam giác 
 Đó là các bài toán xác định toạ độ các đỉnh hoặc phương trình các cạnh của một tam 
giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó. 
 Để giải loại bài toán này ta thường sử dụng đến các cách dựng tam giác. 
 Sau đây là một số dạng: 
 Dạng 1: Dựng tam giác ABC, khi biết các đường thẳng chứa cạnh BC và hai đường cao 
 BB′, CC′. 
 Cách dựng: – Xác định B = BC ∩ BB′, C = BC ∩ CC′. 
 – Dựng AB qua B và vuông góc với CC′. 
 – Dựng AC qua C và vuông góc với BB′. 
 – Xác định A = AB ∩ AC. 
 Dạng 2: Dựng tam giác ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường cao 
 BB′, CC′. 
 Cách dựng: – Dựng AB qua A và vuông góc với CC′. 
 – Dựng AC qua A và vuông góc với BB′. 
 – Xác định B = AB ∩ BB′, C = AC ∩ CC′. 
 Dạng 3: Dựng tam giác ABC, ... ương d của 2 đường tròn (C1) và (C2). Chứng minh rằng nếu K thuộc d thì 
khoảng cách từ K đến tâm của (C1) nhỏ hơn khoảng cách từ K đến tâm của (C2). 
 ĐS: d x y: 7 0+ + = , xét OK IK2 2 16 0− = − < ⇒ OK < IK 
Baøi 30. (ĐH 2005D–db1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương 
trình: C x y x y2 2( ) : 4 6 12 0+ − − − = . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d có 
phương trình : x y2 3 0− + = sao cho MI = 2R, trong đó I là tâm và R là bán kính củ a 
đường tròn (C). 
 ĐS: M M 24 63( 4; 5), ;
5 5
 
− −  
 
Baøi 31. (ĐH 2005D–db2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho 2 điểm A(0;5), B(2; 3) . 
Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có bán kính R = 10 . 
 ĐS: x y x y2 2 2 2( 1) ( 2) 10, ( 3) ( 6) 10+ + − = − + − = 
Baøi 32. (ĐH 2006A) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng lần lượt có 
phương trình: d x y d x y d x y1 2 3: 3 0, : 4 0, : 2 0+ + = − − = − = . Tìm toạ độ điểm M nằm 
trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng 
cách từ M đến đường thẳng d2. 
 ĐS: M(–22; –11), M(2; 1) 
Baøi 33. (ĐH 2006B) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình 
x y x y2 2 2 6 6 0+ − − + = và điểm M(–3; 1). Gọi T 1 và T2 là các tiếp điểm c ủa các tiếp 
tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng T1T2. 
 ĐS: Chứng tỏ toạ độ x y0 0( ; ) của T1, T2 thoả phương trình x y2 3 0+ − = . 
Baøi 34. (ĐH 2006D) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng 
d lần lượt có phương trình: (C): x y x y2 2 2 2 1 0+ − − + = , d x y: 3 0− + = . Tìm toạ độ 
điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn 
(C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C). 
 ĐS: M(1; 4), M(–2; 1) 
Baøi 35. (ĐH 2006A–db1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E): x y
2 2
1
12 2
+ = . Viết 
phương trình hypebol (H) có hai đường tiệm cận là y x2= ± và có hai tiêu điểm là hai 
tiêu điểm của elip (E). 
 ĐS: (H): x y
2 2
1
2 8
− = 
Baøi 36. (ĐH 2006A–db2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A 
thuộc đường thẳng x yd : 4 2 0− − = , cạnh BC song song với d. Phương trình đường cao 
BH: x y 3 0+ + = và trung điểm của cạnh AC là M(1; 1). Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C. 
 ĐS: A B C2 2 8 8; , ( 4;1), ;
3 3 3 3
   
− − −   
   
Baøi 37. (ĐH 2006B–db1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại B, 
Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
Trang 30 
 với A(1; –1), C(3; 5). Điểm B nằm trên đường thẳng d x y: 2 0− = . Viết phương trình 
các đường thẳng AB, BC. 
 ĐS: AB: x y23 24 0− − = , BC: x y19 13 8 0− + = 
Baøi 38. (ĐH 2006B–db2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 
1), đường cao qua đỉnh B có phương trình x y3 7 0− − = và đường trung tuyến qua đỉnh 
C có phương trình x y 1 0+ + = . Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác. 
 ĐS: B(–2; –3), C(4; –5) 
Baøi 39. (ĐH 2006D–db1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1; 1) và đường 
thẳng d x y: 1 2 0− + − = . Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A, gốc toạ độ 
O và tiếp xúc với đường thẳng d. 
 ĐS: C x y y C x y x2 2 2 21 2( ) : 2 0, ( ) : 2 0+ − = + + = 
Baøi 40. (ĐH 2006D–db2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình chính tắc của 
elip (E) có độ dài trục lớn bằng 4 2 , các đỉnh t rên trục nhỏ và các tiêu điểm của (E) 
cùng nằm trên một đường tròn. 
 ĐS: (E): x y
2 2
1
8 4
+ = 
Baøi 41. (ĐH 2007A) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), 
B(–2; –2), C(4; –2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của 
các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N. 
 ĐS: H(1; 1), x y x y2 2 2 0+ − + − = 
Baøi 42. (ĐH 2007B) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; 2) và các đường 
thẳng: d x y d x y1 2: 2 0, : 8 0+ − = + − = . Tìm toạ đ ộ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 
và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. 
 ĐS: B(–1; 3), C(3; 5) hoặc B(3; –1), C(5; 3) 
Baøi 43. (ĐH 2007D) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng 
d có phương trình: C x y d x y m2 2( ) : ( 1) ( 2) 9, : 3 4 0− + + = − + = 
Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB 
tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều. 
 ĐS: m = 19, m = –41 
Baøi 44. (ĐH 2007A–db1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 
x y2 2 1+ = . Đường tròn (C′) tâm I(2; 2) cắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB 2= . Viết 
phương trình đường thẳng AB. 
 ĐS: Chú ý AB ⊥ OI. Phương trình AB: y x 1= − ± 
Baøi 45. (ĐH 2007A–db2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm 
G(–2; 0), phương trình các cạnh AB: x y4 14 0+ + = , AC: x y2 5 2 0+ − = . Tìm toạ độ 
các đỉnh A, B, C. 
 ĐS: A(–4; 2), B(–3; –2), C(1; 0) 
Baøi 46. (ĐH 2007B–db1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường 
thẳng d lần lượt có phương trình: (C): x y x y2 2 8 6 21 0+ − + + = , d x y: 1 0+ − = . Xác 
định toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn (C), biết A nằm trên d. 
 ĐS: A(2; –1), B(2; –5), C(6; –5), D(6; –1) hoặc A(6; –5), B(6; –1), C(2; –1), D(2; –5) 
Baøi 47. (ĐH 2007B–db2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương 
trình x y x y2 2 2 4 2 0+ − + + = . Viết phương trình đường tròn (C′) có tâm M(5; 1) và (C′) 
cắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB 3= . 
 ĐS: C x y C x y' 2 2 ' 2 21 2( ) : ( 5) ( 1) 13, ( ) : ( 5) ( 1) 43− + − = − + − = . 
Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng 
Trang 31 
 Baøi 48. (ĐH 2007D–db1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; 1). Trên trục Ox, 
lấy điểm B có hoành độ Bx 0≥ , trên trục Oy, lấy điểm C có tung độ Cy 0≥ sao cho tam 
giác ABC vuông tại A. Tìm các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất. 
 ĐS: B(0; 0), C(0; 5) 
Baøi 49. (ĐH 2007D–db2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm A(0; 1), B(2; –1) 
và các đường thẳng 
 d m x m y m1 : ( 1) ( 2) 2 0− + − + − = , d m x m y m2 : (2 ) ( 1) 3 5 0− + − + − = 
 Chứng minh d1 và d2 luôn cắt nhau. Gọi P là giao điểm của d1 và d2. Tìm m sao cho PA + 
PB lớn nhất. 
 ĐS: Chú ý: PA PB PA PB B2 2 2 2( ) 2( ) 2A 16+ ≤ + = = . Do đó max(PA+PB)=4 khi P là 
 trung điểm của cung AB. Khi đó P(2; 1) hay P(0; –1) ⇒ m = 1 hoặc m = 2. 
Baøi 50. (ĐH 2008A) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình chính tắc của elip 
(E) biết rằng (E) có tâm sai bằng 5
3
 và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20. 
 ĐS: x y
2 2
1
9 4
+ = 
Baøi 51. (ĐH 2008B) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định toạ độ đỉnh C của tam 
giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(–1; –1), 
đường phân giác trong góc A có phương trình x y 2 0− + = và đường cao kẻ từ B có 
phương trình x y4 3 1 0+ − = . 
 ĐS: C 10 3;
3 4
 
− 
 
Baøi 52. (ĐH 2008D) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P): y x2 16= và điểm 
A(1; 4). hai điểm p hân b iệt B, C (B và C k hác A) d i đ ộ ng trên (P) sao ch o góc 
BAC 090= . Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định. 
 ĐS: Viết PT đường thẳng BC ⇒ BC đi qua điểm cố định I(17; –4) 
Baøi 53. (ĐH 2009A) 
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao 
điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm 
E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆: x y 5 0+ − = . Viết phương trình đường thẳng AB. 
 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn C x y x y2 2( ) : 4 4 6 0+ + + + = và 
đường thẳng ∆: x my m2 3 0+ − + = , với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn 
(C). Tìm m để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích ∆IAB lớn nhất. 
 ĐS: 1) y x y5 0, 4 19 0− = − + = 2) m= 0 hoặc m 8
15
= . 
Baøi 54. (ĐH 2009B) 
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x y2 2 4( 2)
5
− + = và hai 
đường thẳng x y x y1 2: 0, : 7 0∆ ∆− = − = . Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của 
đường tròn (C1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với các đường thẳng ∆1, ∆2 và tâm K ∈ (C) 
2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A( –1; 4) và 
các đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆: x y 4 0− − = . Xác định toạ độ các điểm B và C, biết 
diện tích tam giác ABC bằng 18. 
 ĐS: 1) K R8 4 2 5; ,
5 5 5
 
= 
 
 2) B C11 3 3 5; , ;
2 2 2 2
   
−   
   
 hoặc B C3 5 11 3; , ;
2 2 2 2
   
−   
   
Đinh Xuân Thạch Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
Trang 32 
 Baøi 55. (ĐH 2009D) 
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung điểm của 
cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 
x y x y7 2 3 0, 6 4 0− − = − − = . Viết phương trình đường thẳng AC. 
2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn C x y2 2( ) : ( 1) 1− + = . Gọi I là tâm 
của (C). Xác định toạ độ điểm M thuộc (C) sao cho IM 0O 30= . 
 ĐS: 1) AC x y: 3 4 5 0− + = 2) M 3 3;
2 2
 
± 
 
Baøi 56. (ĐH 2010A) 
1)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d x y1 : 3 0+ = và d x y2 : 3 0− = . 
Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai đ iểm B, C sao cho tam giác 
ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng 3
2
 và 
điểm A có hoành độ dương. 
 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đwòng 
thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x y 4 0+ − = . Tìm toạ 
độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1' –3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã 
cho. 
 ĐS: 1) T x y
2 2
1 3( ) : 1
22 3
   
+ + + =     
 2) B(0; –4), C(–4; 0) hoặc B(–6; 2), C(2; –6) 
Baøi 57. (ĐH 2010B) 
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C( –4; 1), phân 
giác trong góc A có phương trình x y 5 0+ − = . Viết phương trình đường thẳng BC, biết 
diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương. 
 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm ( )A 2; 3 và elip (E): x y
2 2
1
3 2
+ = . Gọi F1 và 
F2 là các tiêu điểm của (E) (F 1 có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của 
đường thẳng AF1 với (E); N là điểm đối xứng của F2 qua M. Viết phương trình đường 
tròn ngoại tiếp tam giác ABF2. 
 ĐS: 1) BC: x y3 4 16 0− + = 2) x y
2
2 2 3 4( 1)
3 3
 
− + − = 
 
Baøi 58. (ĐH 2010D) 
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; –7), trực tâm là H(3; –1), 
tâm đường tròn ngoại tiếp là I(–2; 0). Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương. 
 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và ∆ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là 
hình chiếu vuông góc của A trên ∆. Viết phương trình đường thẳng ∆, biết khoảng cách 
từ H đến trục hoành bằng AH. 
 ĐS: 1) ( )C 2 65;3− + 2) 2 đường ∆: ( ) x y5 1 2 5 2 0− ± − =