Chuyên đề: Động lực học chất điểm

[1] 
CHUYÊN ĐỀ: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. Tổng hợp và phân tích lực. Điều kiện cân bằng của chất điểm 
+ Lực là đại lượng véc tơ đặc trưng cho tác dụng của vật này vào vật khác mà kết quả là gây ra gia tốc cho vật 
hoặc làm cho vật biến dạng. 
+ Tổng hợp lực là thay thế các lực tác dụng đồng thời vào cùng một vật bằng một lực có tác dụng giống hệt như 
các lực ấy. Lực thay thế này gọi là hợp lực. 
+ Quy tắc hình bình hành: Nếu hai lực đồng quy làm thành hai cạnh của một hình bình hành, thì đường chéo kẻ 
từ điểm đồng quy biểu diễn hợp lực của chúng. 
+ Điều kiện cân bằng của một chất điểm là hợp lực của các lực tác dụng lên nó phải bằng không: 
→
F = 
→
1F + 
→
2F + ... + 
→
nF = 
→
0 
+ Phân tích lực là phép thay thế một lực bằng hai hay nhiều lực có tác dụng giống hệt như lực đó. Các lực thay 
thế này gọi là các lực thành phần. 
+ Chỉ khi biết một lực có tác dụng cụ thể theo hai phương nào thì mới phân tích lực theo hai phương ấy. 
2. Ba định luật Niu-tơn 
+ Định luật I Niu-tơn: Nếu không chịu tác dụng của lực nào hoặc chịu tác dụng của các lực có hợp lực bằng 
không, thì vật đang đứng yên sẽ tiếp tục đứng yên, đang chuyển động sẽ tiếp tục chuyển động thẳng đều. 
+ Quán tính là tính chất của mọi vật có xu hướng bảo toàn vận tốc cả về hướng và độ lớn. 
+ Chuyển động thẳng đều được gọi là chuyển động theo quán tính. 
+ Định luật II Niu-tơn: Gia tốc của một vật cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với 
độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật. 
→
a = 
m
F
→
 hay 
→
F = m
→
a 
 (Trong trường hợp vật chịu nhiều lực tác dụng thì 
→
F là hợp lực của các lực đó). 
+ Trọng lực là lực của Trái Đất tác dụng vào các vật và gây ra cho chúng gia tốc rơi tự do: 
→→ = gmP 
 Độ lớn của trọng lực tác dụng lên một vật gọi là trọng lượng của vật: P = mg 
+ Định luật III Niu-tơn: Trong mọi trường hợp, khi vật A tác dụng lên vật B một lực, thì vật B cũng tác dụng lại 
vật A một lực. Hai lực này có cùng giá, cùng độ lớn, nhưng ngược chiều: 
→→ −= BAAB FF 
+ Trong tương tác giữa hai vật, một lực gọi là lực tác dụng còn lực kia gọi là phản lực. 
[2] 
 Cặp lực và phản lực có những đặc điểm sau đây: 
 - Lực và phản lực luôn luôn xuất hiện (hoặc mất đi) đồng thời. 
 - Lực và phản lực là hai lực trực đối. 
 - Lực và phản lực không cân bằng nhau vì chúng đặt vào hai vật khác nhau. 
3. Lực hấp đẫn. Định luật vạn vật hấp dẫn 
+ Định luật vạn vật hấp dẫn: Lực hấp dẫn giữa hai chất điểm bất kì tỉ lệ thuận với tích hai khối lượng của chúng 
và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. 
 Fhd = G 2
21
r
mm
 ; với G = 6,67.10-11Nm2/kg2. 
+ Trọng lực tác dụng lên vật là lực hấp dẫn giữa Trái Đất và vật đó. 
+ Trọng lượng, gia tốc rơi tự do: 
 Ở sát mặt đất: P = mg = 2R
GMm ; g = 2R
GM . 
 Ở độ cao h : Ph = mgh = 2)( hR
GMm
+ ; gh = 2)( hR
GM
+ . 
 Khối lượng và bán kính Trái Đất: M = 6.1024 kg và R = 6400 km. 
4. Lực đàn hồi của lò xo. Định luật Húc 
+ Lực đàn hồi của lò xo xuất hiện ở cả hai đầu của lò xo và tác dụng vào vật tiếp xúc (hay gắn) với nó làm nó 
biến dạng. Khi bị dãn, lực đàn hồi của lò xo hướng vào trong, còn khi bị nén lực đàn hồi của lò xo hướng ra 
ngoài. 
+ Định luật Húc: Trong giới hạn đàn hồi, độ lớn của lực đàn hồi của lò xo tỉ lệ thuận với độ biến dạng của lò xo: 
 Fđh = - k|Δl| 
+ Đối với dây cao su, dây thép, , khi bị kéo lực đàn hồi được gọi là lực căng. 
+ Đối với các mặt tiếp xúc bị biến dạng khi ép vào nhau, lực đàn hồi có phương vuông góc với mặt tiếp xúc. 
5. Lực ma sát trượt 
+ Xuất hiện ở mặt tiếp xúc của vật đang trượt trên một bề mặt; 
+ Có hướng ngược với hướng của vận tốc; 
+ Có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của áp lực: Fms = μN 
 Hệ số ma sát trượt μ phụ thuộc vào vật liệu và tình trạng của hai mặt tiếp xúc. 
[3] 
6. Lực hướng tâm 
 Lực (hay hợp lực của các lực) tác dụng vào một vật chuyển động tròn đều và gây ra gia tốc hướng tâm gọi là 
lực hướng tâm. 
 Fht = r
mv2 = mω2r 
7. Chuyển động của vật ném ngang 
+ Chuyển động của vật ném ngang có thể phân tích thành hai chuyển động thành phần theo hai trục tọa độ (gốc O 
tại vị trí ném, trục Ox hướng theo vận tốc đầu 
→
0v , trục Oy hướng theo véc tơ trọng lực 
→
P ): 
 Chuyển động theo trục Ox có: ax = 0; vx = v0; x = v0t. 
 Chuyển động theo trục Oy có: ay = g; vy = gt; y = 2
1 gt2. 
+ Quỹ đạo chuyển động ném ngang có dạng parabol. 
+ Thời gian chuyển động bằng thời gian rơi của vật được thả cùng độ cao: t = 
g
h2 . 
+ Tầm ném xa: L = v0t = v0 g
h2 . 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
1. Tổng hợp, phân tích lực – Vật chuyển động chỉ dưới tác dụng của một lực 
* Các công thức 
+ Lực tổng hợp: 
→→→ += 21 FFF + ... + 
→
nF 
+ Quy tắc hình bình hành: Nếu hai lực đồng quy làm thành hai cạnh của một hình bình hành, thì đường chéo kẻ 
từ điểm đồng quy biểu diễn hợp lực của chúng: 
→→→ += 21 FFF ; với F2 = F12 + F22 + 2F1F2cosα.; F1 + F2 ≥ F ≥ |F1 – F2|. 
 Khi 
→
1F và 
→
2F cùng phương, cùng chiều (α = 00) thì F = F1 + F2. 
 Khi 
→
1F và 
→
2F cùng phương, ngược chiều (α = 1800) thì F = |F1 - F2| 
 Khi 
→
1F và 
→
2F vuông góc với nhau (α = 900) thì F = 2221 FF + . 
+ Điều kiện cân bằng của chất điểm: 
→→→→ +++= nFFFF ...21 = 
→
0 . 
[4] 
+ Định luật II Niu-tơn cho vật chỉ chịu tác dụng của một lực: a = 
m
F . 
* Phương pháp giải 
 Để tìm lực trong bài toán tổng hợp, phân tích lực hoặc trong bài toán cân bằng của chất điểm trước hết ta viết 
biểu thức (véc tơ) của lực tổng hợp hoặc điều kiện cân bằng của chất điểm sau đó dùng phép chiếu hoặc hệ thức 
lượng trong tam giác để chuyển biểu thức véc tơ về biểu thức đại số từ đó suy ra và tính lực cần tìm. 
 Để tìm lực hoặc gia tốc trong trường hợp vật chỉ chịu tác dụng của một lực ta sử dụng biểu thức định luật II 
Niu-tơn dạng đại số để giải. 
* Bài tập 
1. Cho hai lực đồng quy có độ lớn F1 = 16 N; F2 = 12 N. 
 a) Tìm độ lớn của hợp lực của hai lực này khi chúng hợp với nhau một góc α = 00; 600; 1200; 1800. 
 b) Tìm góc hợp giữa hai lực này khi hợp lực của chúng có độ lớn 20 N. 
2. Cho ba lực đồng qui cùng nằm trong một mặt phẵng có độ lớn bằng nhau và bằng 20 N. Tìm hợp lực của 
chúng biết rằng lực 
→
2F làm thành với hai lực 
→
1F và 
→
3F những góc đều là 60
0. 
3. Cho vật nặng khối lượng m = 8 kg được treo 
trên các đoạn dây như hình vẽ. Tính lực căng 
của các đoạn dây AC và BC. Lấy g = 10 m/s2. 
4. Một lực không đổi 0,1 N tác dụng lên vật có khối lượng 200 g lúc đầu đang chuyển động với vận tốc 2 m/s. 
Tính: 
 a) Vận tốc và quãng đường mà vật đi được sau 10 s. 
 b) Quãng đường mà vật đi được và độ biến thiên vận tốc của vật từ đầu giây thứ 5 đến cuối giây thứ 10. 
5. Một lực tác dụng vào một vật trong khoảng thời gian 0,6 s làm vận tốc của nó thay đổi từ 8 cm/s đến 5 cm/s 
(lực cùng phương với chuyển động). Tiếp theo đó, tăng độ lớn của lực lên gấp đôi trong khoảng thời gian 2,2 s 
nhưng vẫn giử nguyên hướng của lực. Hãy xác định vận tốc của vật tại thời điểm cuối. 
6. Một lực F truyền cho vật có khối lượng m1 một gia tốc bằng 6 m/s2, truyền cho vật khác có khối lương m2 một 
gia tốc bằng 3 m/s2. Nếu đem ghép hai vật đó lại thành một vật thì lực đó truyền cho vật ghép một gia tốc bằng 
bao nhiêu? 
* Hướng dẫn giải 
1. a) Hợp lực của hai lực hợp với nhau góc α: F = αcos2 212221 FFFF ++ 
 Khi α = 00; cosα = 1 ; F = 212221 2 FFFF ++ = F1 + F2 = 28 N. 
[5] 
 Khi α = 600; cosα = 
2
1 ; F = 21
2
2
2
1 FFFF ++ = 24,3 N. 
 Khi α = 1200; cosα = -
2
1 ; F = 21
2
2
2
1 FFFF −+ = 14,4 N. 
 Khi α = 1800; cosα = -1 ; F = 212221 2 FFFF −+ = F1 - F2 = 4 N. 
2. Lực tổng hợp của 
→
1F và 
→
2F : 
 F12 = 60cos2 21
2
2
2
1 FFFF ++ = 20 3 N ; 
→
12F hợp với 
→
2F góc 300 tức là vuông góc với 
→
3F . 
 Do đó: F123 = 23
2
12 FF + = 40 N. 
3. Điểm A chịu tác dụng của 3 lực: Trọng lực 
→
P , lực căng 
→
ACT của sợi dây AC, lực căng 
→
ABT của sợi dây AB. 
Điều kiên cân bằng: 
→
P + 
→
ACT + 
→
ABT = 0. 
Chiếu lên trục Oy ta có: 
 TACcos300 – P = 0 
 Ö TAC = 030cos
P
= 93,4 N. 
Chiếu lên trục Ox ta có: - TACcos600 + TAB = 0 
 Ö TAB = TACcos600 = 46,2 N. 
4. Gia tốc chuyển động của vật: a = 
m
F = 0,5 m/s2. 
 a) Vận tốc và quãng đường vật đi được sau 10 giây : 
 v = v0 + at = 7 m/s ; s = v0t + 
2
1 at2 = 45 m. 
 b) Quãng đường và độ viến thiên vận tốc: 
 s = s10 – s4 = v0.10 + 2
1
a.102 – (v0.4 + 2
1
a.42) = 33 m ; 
 Δv = v10 – v4 = v0 + a.10 – (v0 + a.4) = 3 m/s. 
5. Gia tốc của vật lúc đầu: a1 = 
1
12
t
vv − = - 0,05 m/s2. 
[6] 
 Gia tốc của vật lúc sau: a2 = m
F
m
F .22 = = 2a1 = - 0,1 m/s2. 
 Vận tốc tại thời điểm cuối: v3 = v2 + at2 = - 0,17 m/s = - 17 cm/s. 
 Dấu ‘‘-’’ cho biết vật chuyển động theo chiều ngược với lúc đầu. 
6. Ta có: a1 = 
1m
F ; a2 = 
2m
F Ö m1 = 
1a
F ; m2 = 
2a
F ; 
 Ö a = 
21
21
21
21 aa
aa
a
F
a
F
F
mm
F
+=+
=+ = 2 m/s
2. 
2. Vật chuyển động dưới tác dụng của nhiều lực 
* Các công thức 
+ Định luật II Niu-tơn: m nFFFa
→→→→ +++= ...21 . 
+ Trọng lực: 
→→ = gmP . 
+ Định luật III Niu-tơn: 
→→ −= BAAB FF . 
+ Lực ma sát: Fms = μN. 
* Phương pháp giải 
+ Vẽ hình, xác định các lực tác dụng lên vật. 
+ Viết biểu thức (véc tơ) của định luật II Niu-tơn cho vật. 
+ Dùng phép chiếu để chuyển biểu thức véc tơ về biểu thức đại số. 
+ Giải phương trình hoặc hệ phương trình để tìm các ẩn số. 
* Bài tập 
1. Một vật có khối lượng 0,5 kg chuyển động nhanh dần đều với vận tốc ban đầu 2 m/s. Sau thời gian 4 giây nó đi 
được quãng đường 24 m. Biết rằng vật luôn chịu tác dụng của lực kéo FK và lực cản FC = 0,5 N. 
 a) Tính độ lớn của lực kéo. 
 b) Nếu sau thời gian 4 giây đó, lực kéo ngưng tác dụng thì sau bao lâu vật dừng lại? 
2. Một ôtô có khối lượng 4 tấn đang chuyển động với vận tốc 18 km/h thì tăng tốc độ, sau khi đi được quãng 
đường 50 m, ôtô đạt vận tốc 54 km/h. Biết hệ số ma sát giữa bánh xe và mặt đường là μ = 0,05. Tính lực kéo của 
động cơ ôtô trong thời gian tăng tốc, thời gian từ lúc tăng tốc đến lúc đạt vận tốc 72 km/h và quãng đường ôtô đi 
được trong thời gian đó. 
[7] 
3. Một vật có khối lượng m = 1500 g được đặt trên một bàn dài nằm ngang. Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt bàn 
là μ = 0,2. Lấy g = 10 m/s2. Tác dụng lên vật một lực F = 4,5 N song song với mặt bàn. 
 a) Tính gia tốc, vận tốc chuyển động của vật sau 2 giây kể từ khi tác dụng lực. 
 b) Lực F chỉ tác dụng lên vật trong trong 2 giây. Tính quãng đường tổng cộng mà vật đi được cho đến khi 
dừng lại. 
4. Một vật có khối lượng 2 kg đặt trên mặt bàn nằm ngang. Hệ số ma sát giữa vật và mặt bàn là μ = 0,5. Tác dụng 
lên vật một lực 
→
F song song với mặt bàn. Cho g = 10m/s2. Tính gia tốc của vật trong mỗi trường hợp sau: 
 a) F = 7N. 
 b) F = 14N. 
5. Một mặt phẵng AB nghiêng một góc 300 so với mặt phẳng ngang BC. Biết AB = 1 m, BC = 10,35 m, hệ số ma 
sát trên mặt phẵng n ...  2 m/s2. Tính hệ số ma sát giữa các vật với mặt bàn và sức 
căng của sợi dây. Lấy g = 10 m/s2. 
* Hướng dẫn giải 
1. Khi vật nặng ở vị trí cân bằng thì: 
 k(l1 – l0) = m1g (1); k(l2 – l0) = m2g (2) ; k(l3 – l0) = m3g (3). 
 Từ (1) và (2) Ö 
4
3
2
1
02
01 ==−
−
m
m
ll
ll
 Ö l0 = 4l1 – 3l2 = 20 cm = 0,2 m. 
 Thay vào (1) ta có: k = 
01
1
ll
gm
− = 200 N/m. 
 Thay k và l0 vào (3) ta có: l3 = l0 + k
gm3 = 0,275 m = 27,5 cm. 
2. Khi vật nặng ở vị trí cân bằng thì: 
k(l1 – l0) = m1g (1); k(l2 – l0) = (m1 + m2)g (2) 
 Ö
3
2
21
1
02
01 =+=−
−
mm
m
ll
ll
 Ö l0 = 3l1 – 2l2 = 30 cm = 0,3 m. 
 Thay vào (1) ta có: k = 
01
1
ll
gm
− = 50 N/m. 
3. Khi vật nặng ở vị trí cân bằng thì: 
 k(l1 – l0) = m1g Ö k = 
01
1
ll
gm
− = 245 N/m. 
[14] 
 k(l2 – l0) = m2g Ö m2 = g
llk )( 02 − = 0,375 kg. 
4. Khi treo vào đầu dưới của lò xo vật nặng có khối lượng m thì lò xo giãn ra thêm một đoạn: Δl = 
k
mg = 0,05 m 
= 5 cm. 
 Vì độ cứng của lò xo tỉ lệ nghịch với chiều dài của lò xo nên nữa trên của lò xo có độ cứng k’ = 2k. Khi treo 
vào điểm giữa của lò xo vật nặng có khối lượng m thì nữa trên của lò xo sẽ giãn thêm một đoạn: Δl’ = 
'k
mg =
k
mg
2
= 0,025 m = 2,5 cm. 
 Chiều dài của lò xo khi đó: l = l0 + Δl + Δl’ = 47,5 cm. 
5. Gia tốc của đoàn tàu: a = 
t
vv 0− = 0,15 m/s2. 
 Lực gây ra gia tốc cho hai toa tàu là lực đàn hồi của lò xo nối đầu tàu với toa thứ nhất nên lò xo này giãn ra 
một đoạn: 
 Δl1 = k
amm )( 21 + = 0,06 m = 6 cm. 
 Lực gây ra gia tốc cho toa tàu thứ hai là lực đàn hồi của lò xo nối toa thứ nhất với toa thứ hai nên lò xo này 
giãn ra một đoạn: 
 Δl2 = k
am2 = 0,02 m = 2 cm. 
6. Lực ma sát: Fms = F – (m1 + m2)a = 2 N = μ(m1 + m2)g 
 Ö μ = 
gmm
F ms
)( 21 +
 = 0,05. 
 Với vật thứ hai: m2a = T - μm2g Ö T = m2a + μm2g = 5 N. 
5. Lực hướng tâm 
* Các công thức 
+ Lực hướng tâm: Fht = r
mv 2 . 
+ Áp lực ôtô đè lên mặt cầu khi ôtô chạy với tốc độ v qua điểm cao nhất của cầu vồng (cong lên): N = m(g - 
r
v2 ). 
+ Áp lực ôtô đè lên mặt cầu khi ôtô chạy với tốc độ v qua điểm thấp nhất của cầu võng (cong xuống): N = m(g + 
r
v2 ). 
[15] 
* Phương pháp giải 
 Để tìm các đại lượng liên quan đến lực hướng tâm ta viết biểu thức liên hệ giữa những đại lượng đã biết và 
đại lượng cần tìm từ đó suy ra để tính đại lượng cần tìm. 
* Bài tập 
1. Một vệ tinh có khối lượng m = 600 kg đang bay trên quỹ đạo tròn quanh Trái Đất ở độ cao bằng bán kính Trái 
Đất. Biết Trái Đất có bán kính R = 6400 km. Lấy g = 9,8 m/s2. Tính: 
 a) Tốc độ dài của vệ tinh. 
 b) Chu kỳ quay của vệ tinh. 
 c) Lực hấp dẫn tác dụng lên vệ tinh. 
2. Một ôtô có khối lượng 4 tấn chuyển động với tốc độ 72 km/h khi đi qua một chiếc cầu. Lấy g = 10 m/s2. Tính 
áp lực của ôtô nén lên cầu khi nó đi qua điểm giữa cầu trong các trường hợp: 
 a) Cầu phẵng nằm ngang. 
 b) Cầu lồi có bán kính cong r = 100 m. 
 c) Cầu lỏm có bán kính cong r = 200 m. 
3. Một người buộc một hòn đá vào đầu một sợi dây rồi quay trong mặt phẵng thẳng đứng. Hòn đá có khối lượng 
400 g chuyển động trên đường tròn bán kính 50 cm với tốc độ góc không đổi 8 rad/s. Lấy g = 10 m/s2. Tính lực 
căng của sợi dây ở điểm cao nhất và điểm thấp nhất của quỹ đạo. 
4. Một máy bay thực hiện một vòng bay trong mặt phẵng thẳng đứng. Bán kính vòng bay là R = 500 m, vận tốc 
máy bay có độ lớn không đổi v = 360 km/h. Khối lượng của phi công là 75 kg. Xác định lực nén của người phi 
công lên ghế ngồi tại điểm cao nhất và điểm thấp nhất của vòng bay. 
5. Một quả cầu khối lượng 500 g được buộc vào đầu một sợi dây dài 50 cm rồi quay dây sao cho quả cầu chuyển 
động tròn đều trong mặt phẵng nằm ngang và sợi dây làm thành một góc 300 so với phương thẳng đứng. Lấy g = 
10 m/s2. Tính tốc độ góc, tốc độ dài của vật và sức căng của sợi dây. 
6. Một hòn đá khối lượng 500 g được treo vào một điểm cố định bằng một sợi dây không dãn, khối lượng không 
đáng kể dài 2 m. Quay dây sao cho hòn đá chuyển động trong mặt phẵng nằm ngang và thực hiện được 30 vòng 
trong một phút. Lấy g = 9,8 m/s2. Tính góc nghiêng của dây so với phương thẳng đứng và sức căng của sợi dây. 
* Hướng dẫn giải 
1. a) Lực hấp dẫn giữa Trái đất và vệ tinh là lực gây ra gia tốc hướng tâm cho vệ tinh nên: Fhd = 2)2( R
GMm = Fht = 
maht = m R
v
2
2
Ö v2 = 
R
GM
2
; 
 Vì g = 2R
GM Ö GM = gR2 Ö v = 
2
gR = 5600 m/s. 
[16] 
 b) Chu kỳ quay của vệ tinh: T = 
v
R2.2π = 14354,3 s = 339 ph. 
 c) Lực hấp dẫn: Fhd = Fht = m R
v
2
2
 = 1500 N. 
2. Hợp lực của áp lực N của ô tô lên mặt cầu và trọng lực tác dụng lên ô tô là lực gây ra gia tốc hướng tâm cho ô 
tô nên: 
→
htF = 
→
P + 
→
N . 
 a) Trường hợp cầu phẵng nằm ngang (r = ∞): Fht = m r
v2 = 0 
 Với chiều dương hướng xuống, ta có: 
 0 = P – N Ö N = P = mg = 40000 N. 
 b) Trường hợp cầu cong lên (
→
htF hướng xuống), với chiều dương hướng xuống, ta có: 
 Fht = m r
v2 = P – N Ö N = P - m
r
v2 = mg - m
r
v2 = 24000 N. 
 c) Trường hợp cầu cong xuống (
→
htF hướng lên), với chiều dương hướng xuống, ta có: 
 - Fht = - m r
v2 = P – N Ö N = P + m
r
v2 = mg + m
r
v2 = 56000 N. 
3. Ta có: 
→
htF = 
→
P + 
→
T . 
 Ở điểm cao nhất (
→
htF hướng thẳng đứng xuống), với chiều dương hướng xuống: 
 Fht = mω2r = P + T Ö T = mω2r - P = mω2r – mg = 8,8 N. 
 Ở điểm thấp nhất (
→
htF hướng thẳng đứng lên), với chiều dương hướng xuống: 
 - Fht = - mω2r = P - T Ö T = mω2r + P = mω2r + mg = 16,8 N. 
4. Ta có: 
→
htF = 
→
P + 
→
N . 
 Ở điểm cao nhất (
→
htF hướng thẳng đứng xuống), với chiều dương hướng xuống: 
 Fht = m r
v2 = P + N Ö N = m
r
v2 - P = m
r
v2 - mg = 750 N. 
 Ở điểm thấp nhất (
→
htF hướng thẳng đứng lên), với chiều dương hướng xuống: 
[17] 
 - Fht = - m r
v2 = P - N Ö N = m
r
v2 + P = m
r
v2 + mg = 2250 N. 
5. Ta có: 
→
htF = 
→
P + 
→
T . 
 Chiếu lên phương ngang, chiều dương hướng về tâm của quỹ đạo: 
 Fht = m r
v2 = m αsin
2
l
v = Tsinα (1) 
 Chiếu lên phương thẳng đứng, chiều dương hướng xuống: 
 0 = P - Tcosα = mg - Tcosα 
 Ö T = αcos
mg (2) 
 Từ (2) và (1) Ö m αsin
2
l
v = mgtanα 
 Ö v = αα tansingl = 1,2 m/s. 
6. Ta có: 
→
htF = 
→
P + 
→
T . 
 Chiếu lên phương ngang, chiều dương hướng về tâm của quỹ đạo: 
 Fht = mω2r = mω2lsinα = Tsinα 
 Ö mω2l = T (1) 
 Chiếu lên phương thẳng đứng, chiều dương hướng xuống: 
 0 = P - Tcosα = mg - Tcosα 
 Ö T = αcos
mg (2) 
 Từ (2) và (1) Ö mω2l = = αcos
mg 
 Ö cosα = 
l
g
2ω = 2
1 = cos600 Ö α = 600. 
 Lưu ý: ω = 30 vòng/ph = 0,5 vòng/s = π rad/s. 
 Sức căng sợi dây: T = αcos
mg = 10 N. 
[18] 
6. Chuyển động của vật ném ngang 
* Kiến thức liên quan 
+ Chọn hệ trục tọa độ xOy: (gốc O tại vị trí ném, trục Ox hướng theo vận tốc đầu 
→
0v , trục Oy hướng theo véc tơ 
trọng lực 
→
P ): 
 Chuyển động theo trục Ox có: ax = 0; vx = v0; x = v0t. 
 Chuyển động theo trục Oy có: ay = g; vy = gt; y = 2
1
gt2. 
+ Quỹ đạo chuyển động ném ngang có dạng parabol. 
+ Thời gian từ lúc ném đến lúc chạm đất: t = 
g
h2 . 
+ Tốc độ của vật lúc chạm đất: v = ghv 220 + . 
+ Tầm ném xa: L = v0t = v0 g
h2 . 
* Phương pháp giải 
+ Chọn hệ trục tọa độ, gốc thời gian. 
+ Viết các phương trình vận tốc, phương trình chuyển động, phương trình tọa độ theo các số liệu đã cho có liên 
quan đến các đại lượng cần tìm. 
+ Giải phương trình hoặc hệ phương trình để tìm các đại lượng cần tìm. 
* Bài tập 
1. Một người đứng ở một vách đá nhô ra biển và ném một hòn đá theo phương ngang xuống biển với tốc độ 18 
m/s. Vách đá cao 50 m so với mặt nước. Lấy g = 9,8 m/s2. 
 a) Sau bao lâu thì hòn đá chạm mặt nước? 
 b) Tính tốc độ của hòn đá lúc chạm mặt nước. 
2. Từ một đỉnh tháp cao 40 m so với mặt đất người ta ném một quả cầu theo phương ngang với tốc độ v0 = 10 
m/s. Bỏ qua sức cản không khí, lấy g = 10 m/s2. 
 a) Viết phương trình toạ độ của quả cầu và xác định toạ độ của quả cầu sau khi ném 2 s. 
 b) Viết phương trình quỹ đạo của quả cầu và cho biết dạng quỹ đạo của quả cầu. 
 c) Quả cầu chạm đất ở vị trí nào? Tốc độ quả cầu khi chạm đất là bao nhiêu? 
3. Một máy bay, bay ngang với tốc độ v0 ở độ cao h so với mặt đất và thả một vật. 
[19] 
 a) Với h = 2,5 km; v0 = 120 m/s. Lập phương trình quỹ đạo của vật, xác định thời gian từ lúc thả đến lúc 
chạm đất, tìm quãng đường L (tầm bay xa) theo phương ngang kể từ lúc thả đến lúc chạm đất. 
 b) Khi h = 1000 m. Tính v0 để L = 1500 m. Bỏ qua lực cản không khí. 
4. Sườn đồi có thể coi là mặt phẵng nghiêng 300 so với mặt phẵng ngang. Từ điểm O trên đỉnh đồi người ta ném 
một vật nặng với tốc độ ban đầu v0 theo phương ngang. 
 a) Viết phương trình chuyển động của vật nặng và phương trình quỹ đạo của vật nặng. 
 b) Cho v0 = 10 m/s. Tính khoảng cách từ chổ ném đến điểm rơi A trên sườn đồi. 
 c) Điểm B ở chân đồi cách O một khoảng OB = 15 m. Tốc độ v0 phải có giá trị như thế nào để vật rơi quá 
chân đồi. Lấy g = 10 m/s2. 
* Hướng dẫn giải 
1. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có trục Ox nằm ngang, hướng theo hướng ném, trục Oy thẳng đứng, hướng xuống; 
gốc O trùng với điểm ném, ta có các phương trình: x = v0t; y = 2
1 gt2; vx = v0; vy = gt. 
 a) Khi hòn đá chạm mặt nước: y = 50 m Ö t = 
g
y2 = 3,2 s. 
 b) Khi hòn đá chạm mặt nước: vx = v0 = 18 m/s; vy = gt = 31,4 m/s Ö v = 22 yx vv + = 36,2 m/s. 
2. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có trục Ox nằm ngang, hướng theo hướng ném, trục Oy thẳng đứng, hướng xuống; 
gốc O trùng với điểm ném. 
 a) Phương trình tọa độ: x = v0t; y = 
2
1 gt2; 
 b) Phương trình quỹ đạo: t = 
0v
x
 Ö y = 
2
1
gt2 = 2
02v
g
x2 = 0,05 x2. 
 Dạng quỹ đạo của quả cầu là một nhánh của parabol. 
 b) Khi chạm đất: y = 40 m; t = 
g
y2 = 2 2 s; x = v0t = 20 2 m; tốc độ khi chạm đất: v = 2220 tgv + = 30 
m/s. 
3. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có trục Ox nằm ngang, hướng theo hướng bay, trục Oy thẳng đứng, hướng xuống; 
gốc O trùng với điểm thả vật. 
 a) Phương trình tọa độ: x = v0t; y = 2
1
gt2. 
 Phương trình quỹ đạo: y = 2
02v
g x2 = 3,5.10-4 x2. 
[20] 
 Khi chạm đất: y = 2500 m; t = 
g
y2 = 10 5 s; 
 Tầm bay xa theo phương ngang: L = v0t = 1200 5 m. 
 b) Ta có: L = v0t = v0 g
y2 Ö v0 = L y
g
2
 = 106 m/s. 
4. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có trục Ox nằm ngang, hướng theo hướng ném, trục Oy thẳng đứng, hướng xuống; 
gốc O trùng với điểm thả ném. 
 a) Phương trình tọa độ: x = v0t; y = 
2
1 gt2. 
 Phương trình quỹ đạo: y = 2
02v
g
x2. 
 b) Phương trình đường sườn đồi: y1 = )90tan(
1
0 α− x = 3
1 x. 
 Khi vật rơi chạm sườn đồi: y = y1 Ö 2
02v
g x2 = 
3
1 x 
 Ö x = 
3
2 20
g
v
 = 
3
20 m Ö y = y1 = 
3
1 . 
3
20 = 
3
20 m. 
 Khoảng cách từ điểm ném đến điểm rơi: 
 OA = 22 yx + = 13,33 m. 
 c) Tọa độ xB và yB của chân dốc: 
 xB = OBcos300 = 7,5 3 m và yB = OBcos600 = 7,5 m. 
 Thời gian rơi đến ngang chân đồi: t = 
g
yB2 . 
 Để vật rơi quá chân đồi thì: 
 L = v0t > xB Ö v0 > t
xB = xB
By
g
2
 = 10,6 m/s.