Chuyên đề Giải toán casio

 Trang 1 
Sưu tầm : Tăng Duy Khoa 
Nickhocmai :balep 
Việc sưu tầm không thể không thiếu sót 
Mong các bạn đọc gửi thắc mắc, góp ý hoặc chuyên đề qua email 
duykhoatang@gnail.com 
Để bài viết thêm phong phú hơn. 
 Trang 2 
I.CÁC BÀI TOÁN VỀ : “ PHÉP NHÂN TRÀN MÀN HÌNH ” 
Bài 1: 
Tính chính xác tổng S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16!. 
Giải: 
Vì n . n! = (n + 1 – 1).n! = (n + 1)! – n! nên: 
S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16! = (2! – 1!) + (3! – 2!) + ... + (17! – 16!) 
S = 17! – 1!. 
Không thể tính 17 bằng máy tính vì 17! Là một số có nhiều hơn 10 chữ số (tràn màn 
hình). Nên ta tính theo cách sau: 
Ta biểu diễn S dưới dạng : a.10n + b với a, b phù hợp để khi thực hiện phép tính, 
máy không bị tràn, cho kết quả chính xác. 
Ta có : 17! = 13! . 14 . 15 . 16 . 17 = 6227020800 . 57120 
Lại có: 13! = 6227020800 = 6227 . 106 + 208 . 102 nên 
S = (6227 . 106 + 208 . 102) . 5712 . 10 – 1 
 = 35568624 . 107 + 1188096 . 103 – 1 = 355687428096000 – 1 
 = 355687428095999. 
Bài 2: 
Tính kết quả đúng của các tích sau: 
a) M = 2222255555 . 2222266666. 
b) N = 20032003 . 20042004. 
Giải: 
a) Đặt A = 22222, B = 55555, C = 666666. 
Ta có M = (A.105 + B)(A.105 + C) = A2.1010 + AB.105 + AC.105 + BC 
Tính trên máy: 
A2 = 493817284 ; AB = 1234543210 ; AC = 1481451852 ; BC = 3703629630 
Tính trên giấy: 
A2.1010 4 9 3 8 1 7 2 8 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
AB.105 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 
AC.105 1 4 8 1 4 5 1 8 5 2 0 0 0 0 0 
BC 3 7 0 3 6 2 9 6 3 0 
M 4 9 3 8 4 4 4 4 4 3 2 0 9 8 2 9 6 3 0 
b) Đặt X = 2003, Y = 2004. Ta có: 
N = (X.104 + X) (Y.104 + Y) = XY.108 + 2XY.104 + XY 
Tính XY, 2XY trên máy, rồi tính N trên giấy như câu a) 
Kết quả: 
M = 4938444443209829630. 
N = 401481484254012. 
Bài tập tương tự: 
Tính chính xác các phép tính sau: 
a) A = 20!. 
b) B = 5555566666 . 6666677777 
c) C = 20072007 . 20082008 
d) 10384713 
e) 201220032 
II. TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA SỐ NGUYÊN 
a) Khi đề cho số bé hơn 10 chữ số: 
Số bị chia = số chia . thương + số dư (a = bq + r) (0 < r < b) 
 Trang 3 
Suy ra r = a – b . q 
Ví dụ : Tìm số dư trong các phép chia sau: 
1) 9124565217 cho 123456 
2) 987896854 cho 698521 
b) Khi đề cho số lớn hơn 10 chữ số: 
 Phương pháp: 
Tìm số dư của A khi chia cho B ( A là số có nhiều hơn 10 chữ số) 
- Cắt ra thành 2 nhóm , nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái). Tìm số dư phần 
đầu khi chia cho B. 
- Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa đủ 9 chữ số) rồi tìm số dư lần hai. 
Nếu còn nữa tính liên tiếp như vậy. 
Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 2345678901234 cho 4567. 
Ta tìm số dư của phép chia 234567890 cho 4567: Được kết quả số dư là : 2203 
Tìm tiếp số dư của phép chia 22031234 cho 4567. 
Kết quả số dư cuối cùng là 26. 
Bài tập: Tìm số dư của các phép chia: 
a) 983637955 cho 9604325 
b) 903566896235 cho 37869. 
c) 1234567890987654321 : 123456 
c) Dùng kiến thức về đồng dư để tìm số dư. 
* Phép đồng dư: 
+ Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a 
đồng dư với b theo modun c ký hiệu (mod )a b c 
+ Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+ 
 (mod )a a m 
 (mod ) (mod )a b m b a m   
 (mod ); (mod ) (mod )a b m b c m a c m    
 (mod ); (mod ) (mod )a b m c d m a c b d m      
 (mod ); (mod ) (mod )a b m c d m ac bd m    
 (mod ) (mod )n na b m a b m   
Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 126 cho 19 
Giải: 
 
2
36 2 3
12 144 11(mod19)
12 12 11 1(mod19)
 
  
Vậy số dư của phép chia 126 cho 19 là 1 
Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 2004376 cho 1975 
Giải: 
Biết 376 = 62 . 6 + 4 
Ta có: 
2
4 2
12 3
48 4
2004 841(mod1975)
2004 841 231(mod1975)
2004 231 416(mod1975)
2004 416 536(mod1975)

 
 
 
Vậy 
 Trang 4 
60
62
62.3 3
62.6 2
62.6 4
2004 416.536 1776(mod1975)
2004 1776.841 516(mod1975)
2004 513 1171(mod1975)
2004 1171 591(mod1975)
2004 591.231 246(mod1975)
 
 
 
 
 
Kết quả: Số dư của phép chia 2004376 cho 1975 là 246 
Bài tập thực hành: 
Tìm số dư của phép chia : 
a) 138 cho 27 
b) 2514 cho 65 
c) 197838 cho 3878. 
d) 20059 cho 2007 
e) 715 cho 2001 
III. TÌM CHỮ SỐ HÀNG ĐƠN VỊ, HÀNG CHỤC, HÀNG TRĂM... CỦA 
MỘT LUỸ THỪA: 
Bài 1: Tìm chữ số hàng đơn vị của số 172002 
Giải: 
 
2
10002 2000 1000
2
1000
2000
17 9(mod10)
17 17 9 (mod10)
9 1(mod10)
9 1(mod10)
17 1(mod10)

 



Vậy 2000 217 .17 1.9(mod10) . Chữ số tận cùng của 172002 là 9 
Bài 2: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số 232005. 
Giải 
+ Tìm chữ số hàng chục của số 232005 
1
2
3
4
23 23(mod100)
23 29(mod100)
23 67(mod100)
23 41(mod100)




Do đó: 
 520 4 5
2000 100
2005 1 4 2000
23 23 41 01(mod100)
23 01 01(mod100)
23 23 .23 .23 23.41.01 43(mod100)
  
 
   
Vậy chữ số hàng chục của số 232005 là 4 (hai chữ số tận cùng của số 232005 là 43) 
+ Tìm chữ số hàng trăm của số 232005 
1
4
5
20 4
2000 100
23 023(mod1000)
23 841(mod1000)
23 343(mod1000)
23 343 201(mod1000)
23 201 (mod1000)



 

 Trang 5 
5
100
2000
2005 1 4 2000
201 001(mod1000)
201 001(mod1000)
23 001(mod1000)
23 23 .23 .23 023.841.001 343(mod1000)



  
Vậy chữ số hàng trăm của số 232005 là số 3 (ba chữ số tận cùng của số 232005 là số 
343) 
III. TÌM BCNN, UCLN 
Máy tính cài sẵn chương trình rút gọn phân số thành phân số tối giản A a
B b
 
Tá áp dụng chương trình này để tìm UCLN, BCNN như sau: 
 + UCLN (A; B) = A : a 
 + BCNN (A; B) = A . b 
Ví dụ 1: Tìm UCLN và BCNN của 2419580247 và 3802197531 
HD: Ghi vào màn hình : 2419580247
3802197531
 và ấn =, màn hình hiện 7
11
UCLN: 2419580247 : 7 = 345654321 
BCNN: 2419580247 . 11 = 2.661538272 . 1010 (tràn màn hình) 
Cách tính đúng: Đưa con trỏ lên dòng biểu thức xoá số 2 để chỉ còn 419580247 . 11 
Kết quả : BCNN: 4615382717 + 2.109 . 11 = 26615382717 
Ví dụ 2: Tìm UCLN của 40096920 ; 9474372 và 51135438 
Giải: Ấn 9474372  40096920 = ta được : 6987 29570. 
UCLN của 9474372 và 40096920 là 9474372 : 6987 = 1356. 
Ta đã biết UCLN(a; b; c) = UCLN(UCLN(a ; b); c) 
Do đó chỉ cần tìm UCLN(1356 ; 51135438). 
Thực hiện như trên ta tìm được: 
UCLN của 40096920 ; 9474372 và 51135438 là : 678 
Bài tập: 
Cho 3 số 1939938; 68102034; 510510. 
a) Hãy tìm UCLN của 1939938; 68102034. 
b) Hãy tìm BCNN của 68102034; 510510. 
c) Gọi B là BCNN của 1939938 và 68102034. Tính giá trị đúng của B2. 
IV.PHÂN SỐ TUẦN HOÀN. 
Ví dụ 1: Phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn sau: 
a) 0,(123) 
b) 7,(37) 
c) 5,34(12) 
Giải: 
Ghi nhớ: 1 1 10, (1); 0,(01); 0, (001)
9 99 999
   ... 
a) Cách 1: 
Ta có 0,(123) = 0,(001).123 = 1 123 41.123
999 999 333
  
 Cách 2: 
Đặt a = 0,(123) 
Ta có 1000a = 123,(123) . Suy ra 999a = 123. Vậy a = 123 41
999 333
 
 Trang 6 
Các câu b,c (tự giải) 
Ví dụ 2: Phân số nào đã sinh ra số thập phân tuần hoàn 3,15(321) 
Giải: Đặt 3,15(321) = a. 
Hay 100.000 a = 315321,(321) (1) 
 100 a = 315,(321) (2) 
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta có 999000a = 315006 
 Vậy 
16650
52501
999000
315006
a 
Bài 3: Tính 2 2 2
0,19981998... 0,019981998... 0,0019981998...
A    
Giải 
Đặt 0,0019981998... = a. 
Ta có: 
1 1 12.
100 10
2.111
100
A
a a a
A
a
 
   
 

Trong khi đó : 100a = 0,19981998... = 0,(0001) . 1998 = 1998
9999
Vậy A = 2.111.9999 1111
1998
 
V. TÍNH SỐ LẺ THẬP PHÂN THỨ N SAU DẤU PHẨY. 
Ví dụ 1: 
Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 của phép chia 17 : 13 
Giải: 
Bước 1: 
+ Thực hiện phép chia 17 : 13 = 1.307692308 (thực chất máy đã thực hiện phép tính 
rồi làm tròn và hiển thị kết quả trên màn hình) 
Ta lấy 7 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân là: 3076923 
+ Lấy 1,3076923 . 13 = 16,9999999 
 17 - 16,9999999 = 0,0000001 
Vậy 17 = 1,3076923 . 13 + 0.0000001 
(tại sao không ghi cả số 08)??? Không lấy chữ số thập cuối cùng vì máy có thể đã 
làm tròn. Không lấy số không vì 
17 = 1,30769230 . 13 + 0,0000001= 1,30769230 . 13 + 0,0000001 
Bước 2: 
+ lấy 1 : 13 = 0,07692307692 
11 chữ số ở hàng thập phân tiếp theo là: 07692307692 
Vậy ta đã tìm được 18 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân sau dấu phẩy là: 
307692307692307692 
Vậy 17 : 13 = 1,(307692) Chu kỳ gồm 6 chữ số. 
Ta có 105 = 6.17 + 3 (105 3(mod 6) ) 
Vậy chự số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy là chữ số thứ ba của chu kỳ. Đó chính 
là số 7 
Ví dụ 2: 
Tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia 250000 cho 19 
Giải: 
 Trang 7 
Ta có 250000 1713157
19 19
  . Vậy chỉ cần tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu 
phẩy trong phép chia 17 : 19 
Bước 1: 
Ấn 17 : 19 = 0,8947368421. 
Ta được 9 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy là 894736842 
+ Lấy 17 – 0, 894736842 * 19 = 2 . 10-9 
Bước 2: 
Lấy 2 : 19 = 0,1052631579. 
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157 
+ Lấy 2 – 0,105263157 * 19 = 1,7 . 10-8 = 17 . 10-9 
Bước 3: 
Lấy 17 : 19 = 0,8947368421. 
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là 
+ Lấy 17 – 0,0894736842 * 19 = 2 . 10-9 
Bước 4: 
Lấy 2 : 19 = 0,1052631579. 
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157 
... 
Vậy 17 : 19 = 0, 894736842105263157894736842105263157 ... 
 = 0,(894736842105263157) . Chu kỳ gồm 18 chữ số. 
Ta có  6693 2007 3 66913 1(mod18) 13 13 1 (mod18)    
Kết quả số dư là 1, suy ra số cần tìm là sồ đứng ở vị trí đầu tiên trong chu kỳ gồm 
18 chữ số thập phân. 
Kết quả : số 8 
Bài tập: 
Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy khi chia: 
a) 1 chia cho 49 
b) 10 chia cho 23 
VI. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC 
Một số kiến thức cần nhớ: 
1. Định lý Bezout 
Số dư trong phép chia f(x) cho nhị thức x – a chính là f(a) 
Hệ quả: Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x – a 
2. Sơ đồ Hor nơ 
Ta có thể dùng sơ đồ Hor nơ để thìm kết quả của phép chia đa thức f(x) cho nhị 
thức x – a. 
Ví dụ: 
Thực hiện phép chia (x3 – 5x2 + 8x – 4) cho x – 2 bằng cách dùng sơ đồ Hor nơ. 
Bước 1: Đặt các hệ số của đa thức bị chia theo thứ tự vào các cột của dòng trên. 
Bước 2: Trong 4 cột để trống ở dòng dưới, ba cột đầu cho ta các hệ số của đa 
thức thương, cột cuối cùng cho ta số dư. 
- Số thứ nhất của dòng dưới = số tương ứng ở dòng trên 
a = 2 
-5 8 -4 1 
 Trang 8 
- Kể từ cột thứ hai, mỗi số ở dòng dưới được xác định bằng cách lấy a nhân với 
số cùng dòng liền trước rồi cộng với số cùng cột ở dòng trên 
Vậy (x3 – 5x2 + 8x – 4) = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + 0 
* Nếu đa thức bị chia là a0x3 + a1x2 + a2x + a3 , đa thức chia là x – a, ta được 
thương là b0x2 + b1x + b2 dư là r. Theo sơ đồ Hor nơ ta có: 
Bài 1: Tìm số dư trong các phép chia sau: 
a) x3 – 9x2 – 35x + 7 cho x – 12. 
b) x3 – 3,256 x + 7,321 cho x – 1,1617. 
c) Tính a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + 6 
d) 
5 3 26,723 1,857 6, 458 4,319
2,318
x x x x
x
   

e) Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625 
+ Tính P(2 2 ) 
+ Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3 
Bài 2 : 
Cho P(x) = x5 + ax4 +  ... eàn a -----> laáy caû voán laãn laõi A. 
  Caàn phaân tích caùc baøi toaùn moät caùch hôïp lyù ñeå ñöôïc caùc khoaûng tính 
ñuùng ñaén. 
  Coù theå suy luaän ñeå tìm ra caùc coâng thöùc töø 1) -> 4) töông töï nhö baøi 
toaùn môû ñaàu 
  Caùc baøi toaùn veà daân soá cuõng coù theå aùp duïng caùc coâng thöùc treân ñaây. 
V.Tìm ña thöùc thöông khi chia ña thöùc cho ñôn thöùc 
Baøi toaùn môû ñaàu: Chia ña thöùc a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta seõ ñöôïc 
thöông laø moät ña thöùc baäc hai Q(x) = b0x2 + b1x + b2 vaø soá dö r. Vaäy a0x3 + a1x2 + 
a2x + a3 = (b0x2 + b1x + b2)(x-c) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r + b2c). Ta 
laïi coù coâng thöùc truy hoài Horner: b0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3. 
Töông töï nhö caùch suy luaän treân, ta cuõng coù sô ñoà Horner ñeå tìm thöông vaø soá dö 
khi chia ña thöùc P(x) (töø baäc 4 trôû leân) cho (x-c) trong tröôøng hôïp toång quaùt. 
Ví duï: Tìm thöông vaø soá dö trong pheùp chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 cho x – 
5. 
-- Giaûi -- 
Ta coù: c = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = 
1. 
Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS) 
( ) 5 SHIFT STO M 1 ALPHA M 0 ALPHA M 2
ALPHA M ( ) 3 ALPHA M 0 ALPHA M 0
ALPHA M 1 ALPHA M ( )1
      
         
      
(-5) (23)
(-118) (590) (-2950)
(14751) (-73756)
 Trang 17 
Vaäy x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 = (x + 5)(x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 
14751) – 73756. 
VI.Phaân tích ña thöùc theo baäc cuûa ñôn thöùc 
AÙp duïng n-1 laàn daïng toaùn 2.4 ta coù theå phaân tích ña thöùc P(x) baäc n theo x-c: 
P(x)=r0+r1(x-c)+r2(x-c)2++rn(x-c)n. 
Ví duï : Phaân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo baäc cuûa x – 3. 
-- Giaûi -- 
Tröôùc tieân thöïc hieän pheùp chia P(x)=q1(x)(x-c)+r0 theo sô ñoà Horner ñeå ñöôïc 
q1(x) vaø r0. Sau ñoù laïi tieáp tuïc tìm caùc qk(x) vaø rk-1 ta ñöôïc baûng sau: 
 1 -3 0 1 -2 x4-3x2+x-2 
3 1 0 0 1 1 q1(x)=x3+1, r0 = 1 
3 1 3 9 28 q2(x)=x3+3x+1, r1 = 
28 
3 1 6 27 q3(x)=x+6, r0 = 27 
3 1 9 q4(x)=1=a0, r0 = 9 
Vaäy x4 – 3x3 + x – 2 = 1 + 28(x-3) + 27(x-3)2 + 9(x-3)3 + (x-3)4. 
Ví duï: Tìm taát caû caùc soá töï nhieân n (1010n2010) sao cho 
na 20203 21n  cuõng laø soá töï nhieân. 
-- Giaûi -- 
Vì 1010  n  2010 neân 203,5  41413  an  62413  249,82. 
Vì an nguyeân neân 204  n  249. Ta coù an2 = 20203 + 21n = 21.962 + 1 + 21n. 
Suy ra: an2 – 1 = 21(962+n), hay (an - 1)(an + 1) = 3.7.(962+n). 
Do ñoù,   2n n na 1 a 1 a 1    chia heát cho 7. 
Chöùng toû (an - 1) hoaëc (an + 1) chia heát cho 7. Vaäy an = 7k + 1 hoaëc an = 7k – 1. 
* Neáu an = 7k – 1 thi do 204  n =7k-1 249 => 29,42  k  35,7. Do k nguyeân 
neân  k 30;31;32;33;34;35 . Vì 2na 1 7k(7k 2)   chia heát cho 21 neân k chæ laø: 30; 
32; 33; 35. Ta coù: 
k 30 32 33 35 
n 1118 1406 1557 1873 
an 209 223 230 244 
* Neáu an = 7k + 1 thi do 204  n =7k-1 249 => 29,14  k  35,57. Do k 
nguyeân neân  k 30;31;32;33;34;35 . Vì 2na 1 7k(7k 2)   chia heát cho 21 neân k 
chæ laø: 30; 31; 33; 34. Ta coù: 
 Trang 18 
Nhö vaäy ta coù taát caû 8 ñaùp soá. 
Ví duï: Tính A = 999 999 9993 
-- Giaûi -- 
Ta coù: 93=729; 993= 970299; 9993=997002999; 99993= 99992.9999=99992(1000-
1)= 999700029999. 
Töø ñoù ta coù quy luaät:   3
n 1 chöõsoá n 1 chöõ soá nchöõ soá 9nchöõ soá 9
99...9 99...9 7 00...0 2 99...9
 
 
Vaäy 999 999 9993 = 999 999 997 000 000 002 999 999 999. 
VII.Kiểm tra một số là nguyên tố hay hợp số? 
 Cơ sở là nội dung Định lí sau: “a là một số nguyên tố nếu nó không chia 
hết cho mọi số nguyên tố không vượt quá a ” 
 Xuất phát từ cơ sở đó, ta lập 1 quy trình bấm phím liên tiếp để kiểm tra xem 
số a có chia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn a hay không! 
 Nhận xét: Mọi số nguyên tố đều là lẻ (trừ số 2), thế nên ta dùng phép chia a 
cho các số lẻ không vượt quá a . 
Cách làm: 
1. Tính a . 
2. Lấy phần nguyên b của kết quả. 
3. Lấy số lẻ lớn nhất c không vượt quá b. 
4. Lập quy trình 
c → A 
a  A → B 
A – 2 → A 
Gán số lẻ c vào ô nhớ A làm biến chạy. 
Dòng lệnh 1. B là một biến chứa. 
Dòng lệnh 2. A là một biến chạy. 
 IFTSH   ... Lặp 2 DL trên, ấn dấu  và quan sát đến 
khi A = 1 thì dừng. 
5. Trong quá trình ấn  : 
- Nếu tồn tại kq nguyên thì khẳng định a là hợp số. 
- Nếu không tồn tại kq nguyên nào thì khẳng định a là số nguyên tố. 
VD1: Xét xem 8191 là số nguyên tố hay hợp số? 
1. Tính 8191 được 90,50414355 
2. Lấy phần nguyên được 90. 
k 30 32 33 35 
n 1118 1406 1557 1873 
an 209 223 230 244 
 Trang 19 
3. Lấy số lẻ lớn nhất không vượt quá nó là 89. 
4. Lập quy trình: 
89 → A 
8191  A → B 
A – 2 → A 
 IFTSH   ... 
5. Quan sát các kết quả ta thấy đều không nguyên, cho nên khẳng định 
8191 là số nguyên tố. 
VD2: Xét xem 99 873 là số nguyên tố hay hợp số? 
1. Tính 99873 được 316,0268976. 
2. Lấy phần nguyên được 316. 
3. Lấy số lẻ lớn nhất không vượt quá nó là 315. 
4. Lập quy trình: 
315 → A 
99 873  A → B 
A – 2 → A 
 IFTSH   ... 
5. Quan sát màn hình thấy có kết quả nguyên là 441, cho nên khẳng định 
99 873 là hợp số. 
 5.6-Phân tích một số ra thừa số nguyên tố? 
 Nhận xét: Các số nguyên tố đều là số lẻ (trừ số 2) 
 Cách làm: 
 TH1: Nếu số a có ước nguyên tố là 2, 3 (Dựa vào dấu hiệu chia hết để nhận 
biết). Ta thực hiện theo quy trình: 
‘ a → C 
 2 → A (hoặc 3 → A) 
C : A → B 
B : A → C 
 IFTSH  
 
 
Máy báo kq nguyên → ta nghi 2 (hoặc 3)là một SNT. 
Các kq vẫn là số nguyên thì mỗi lần như thế ta nhận được 1 
TSNT là 2 (hoặc 3). 
Tìm hết các TSNT là 2 hoặc 3 thì ta phân tích thương còn lại 
dựa vào trường hợp dưới đây 
 VD1: Phân tích 64 ra thừa số nguyên tố? 
 Mô tả quy trình bấm phím Ý nghĩa hoặc kết quả 
 Trang 20 
 64 → C 
 2 → A 
C : A → B 
B : A → C 
 IFTSH  
 
 
 
 
Gán 
Gán 
Kq là số nguyên 32. Ghi TSNT 2 
Kq là số nguyên 16. Ghi TSNT 2 
Kq là số nguyên 8. Ghi TSNT 2 
Kq là số nguyên 4. Ghi TSNT 2 
Kq là số nguyên 2. Ghi TSNT 2 
Kq là số nguyên 1. Ghi TSNT 2 
 Vậy 64 = 26 
 VD2: Phân tích 540 ra thừa số nguyên tố? 
Mô tả quy trình bấm phím Ý nghĩa hoặc kết quả 
540 → C 
 2 → A 
C : A → B 
B : A → C 
3 → A 
C : A → B 
B : A → C 
C : A → B 
Gán 
Gán 
Kq là số nguyên 270. Ghi TSNT 2 
Kq là số nguyên 135. Ghi TSNT 2 
Nhận thấy 135  2 nhưng 135 3 ta gán: 
Kq là số nguyên 45. Ghi TSNT 3 
Kq là số nguyên 15. Ghi TSNT 3 
Kq là số nguyên 5. Ghi TSNT 3 
Thương là B = 5 là 1 TSNT. 
Vậy 540 = 22335 
 TH2: Nếu a là số không chứa TSNT 2 hoặc 3. Quy trình được minh hoạ qua 
các VD sau đây. 
VD3: Phân tích 385 ra thừa số nguyên tố? 
 Mô tả quy trình bấm phím Ý nghĩa hoặc kết quả 
 385 → C 
 3 → A 
C : A → B 
A + 2 → A 
 IFTSH  
 
Gán 
Gán 
Lập dòng lệnh 1 
Lập dòng lệnh 2 
Lặp 2 DL trên. 
Kq là số nguyên 77. 
Chứng tỏ CA, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn AC   rồi ghi SNT là 5 
 Trang 21 
  / B:A → C 
 A + 2 → A 
 IFTSH  
  
Kq là số nguyên 11. 
Chứng tỏ BA, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn AC   rồi ghi SNT là 7 
  / C:A → B 
 A + 2 → A 
 IFTSH  
   
Kq là số nguyên 1. (quá trình kết thúc) 
Chứng tỏ CA, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn AC   rồi ghi SNT là 11 
Vậy 385 = 5.7.11. 
 VD3: Phân tích 85 085 ra thừa số nguyên tố? 
 Mô tả quy trình bấm phím Ý nghĩa hoặc kết quả 
 85085 → C 
 3 → A 
C : A → B 
A + 2 → A 
 IFTSH  
  (2 lần dấu  ) 
Gán 
Gán 
Lập dòng lệnh 1 
Lập dòng lệnh 2 
Lặp 2 DL trên. 
Kq là số nguyên 17 017. 
Chứng tỏ CA, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn AC   rồi ghi SNT là 5 
  / B:A → C 
 A + 2 → A 
 IFTSH  
 
Kq là số nguyên 2431. 
Chứng tỏ BA, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn AC   rồi ghi SNT là 7 
  / C:A → B 
 A + 2 → A 
 IFTSH  
   
Kq là số nguyên 221. 
Chứng tỏ CA, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn AC   rồi ghi SNT là 11 
  / B:A → C 
 A + 2 → A 
 Trang 22 
 IFTSH  
 
Kq là số nguyên 17. 
Chứng tỏ BA, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn AC   rồi ghi SNT là 13 
  / C:A → B 
 A + 2 → A 
 IFTSH  
 
 
Kq là số nguyên 1. (Dừng lại ở đây) 
Chứng tỏ CA, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn AC   rồi ghi SNT là 17 
Vậy 85 085 = 5.7.11.13.17 
Bài tập: 
Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: 
 a) 94 325 
(527311) 
 b) 323 040 401. 
(7921913271 
VIII.Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử. 
Cơ sở: 
1. “Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có 2 nghiệm là x1, x2 thì nó viết được 
dưới dạng ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2)”. 
2. “Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+... + a1x + a0 có nghiệm hữu tỷ 
p
q
thì p 
là ước của a0, q là ước của a0”. 
3. Đặc biệt: “Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+... + a1x + a0 có a1=1 thì 
nghiệm hữu tỷ là ước của a0”. 
4. Nếu đa thức f(x) có nghiệm là a thì đa thức f(x) chia hết cho (x-a). 
 VD1: Phân tích đa thức f(x) = x2 + x - 6 thành nhân tử? 
 Dùng chức năng giải phương trình bậc hai cài sẵn trong máy để tìm nghiệm 
của f(x) ta thấy có 2 nghiệm là x1 = 2; x2 = -3. 
 Khi đó ta viết được: x2 + x - 6 = 1.(x-2)(x+3) 
 VD2: Phân tích đa thức f(x) = x3+3x2 -13 x -15 thành nhân tử? 
 Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm 
của f(x) ta thấy có 3 nghiệm là x1 = 3; x2 = -5; x3 = -1. 
 Khi đó ta viết được: x3+3x2 -13 x -15 = 1.(x-3)(x+5)(x+1). 
 VD3 :Phân tích đa thức f(x) = x5 + 5x4 – 3x3 – x2 +58x - 60 thành nhân 
tử? 
 Trang 23 
Nhận xét: Nghiệm nguyên của đa thức đã cho là Ư(60). 
 Ta có Ư(60) = 
{ 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60} 
Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức: 
Gán: -1 → X 
Nhập vào máy đa thức:X5 + 5X4 – 3X3–X2 +58X -60 rồi ấn dấu  máy báo kq -112 
Gán tiếp: -2 → X /  / máy báo kq -108 
Gán tiếp: -3 →X/  / máy báo 
kq 0 
Do vậy ta biết x = -3 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x+3). 
Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x-3). 
 Khi đó ta có f(x) = (x+3)(x4+2x3-9x2+26x-20) 
* Ta lại xét đa thức g(x) = x4+2x3-9x2+26x-20 
Nghiệm nguyên là ước của 20. 
Dùng máy ta tìm được Ư(20) = { 1; 2; 4; 5; 10; 20} 
Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức g(x): 
Gán: -1 → X 
Nhập vào máy đa thức: x4+2x3-9x2+26x-20 rồi ấn dấu  máy báo kq -96 
Gán tiếp: -2 → X /  / máy báo kq -148 
Gán tiếp: -4 → X /  / máy báo kq -180 
Gán tiếp: -5 → X /  / máy báo kq 0 
 Do vậy ta biết x = -5 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho 
(x+5). Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x+5). 
 Khi đó ta có g(x) = (x+5)(x3-3x2+6x-4) 
* Tiếp tục dùng chức năng giải phương trình bậc 3 để tìm nghiệm nguyên của đa 
thức h(x) = x3-3x2+6x-4 
Kết quả, là đa thức h(x) có nghiệm là x = 1 nên chia h(x) cho (x-1) ta được: 
 h(x) = (x-1)(x2-2x+4) 
Ta thấy đa thức (x2-2x+4) vô nghiệm nên không thể phân tích thành nhân tử. 
 Vậy f(x) = (x+3)(x+5)(x-1)(x2-2x+4)