Chuyên đề Hệ phương trình đại số

Chuyên đề 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 
 TÓM TẮT GIÁO KHOA 
I. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn 
1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 
a. Dạng : ⎨ (1) 1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =⎧
+ =⎩
 Cách giải đã biết: Phép thế, phép cộng ... 
b. Giải và biện luận phương trình : Quy trình giải và biện luận 
 Bước 1: Tính các định thức : 
• 1221
22
11 baba
ba
ba
D −== (gọi là định thức của hệ) 
• 1221
22
11 bcbc
bc
bc
Dx −== (gọi là định thức của x) 
• 1221
22
11 caca
ca
ca
Dy −== (gọi là định thức của y) 
Bước 2: Biện luận 
• Nếu thì hệ có nghiệm duy nhất 0≠D
⎪⎪⎩
⎪⎨ 
⎪⎧
=
=
D
D
y
D
Dx
y
x
• Nếu D = 0 và 0≠xD hoặc 0≠yD thì hệ vô nghiệm 
• Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm 
Ý nghĩa hình học: Giả sử (d1) là đường thẳng a1x + b1y = c1
 (d2) là đường thẳng a2x + b2y = c2
 Khi đó: 
1. Hệ (I) có nghiệm duy nhất (d1) và (d2) cắt nhau ⇔
2. Hệ (I) vô nghiệm ⇔ (d1) và (d2) song song với nhau 
3. Hệ (I) có vô số nghiệm ⇔ (d1) và (d2) trùng nhau 
Áp dụng: 
Ví dụ1: Giải hệ phương trình: ⎩⎨
⎧
=+
−=−
234
925
yx
yx
Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình : ⎩⎨
⎧
=+
+=+
2
1
myx
mymx
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình : ⎩⎨
⎧
=+
=+
1
32
myx
ymx
 9
 Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa x >1 và y > 0 
 ( 2 m 0)− < < 
Ví dụ 4: Với giá trị nguyên nào của tham số m hệ phương trình 
4 2mx y m
x my m
+ = +⎧⎨ + =⎩ có nghiệm duy nhất 
 (x;y) với x, y là các số nguyên. 
 (m 1 m 3= − ∨ = − ) 
II. Hệ phương trình bậc hai hai ẩn: 
 1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn: 
 Ví dụ : Giải hệ: 
⎩⎨
⎧
=−+
=+
522
52
22 xyyx
yx
 Cách giải: Giải bằng phép thế 
2. Hệ phương trình đối xứng : 
1. Hệ phương trình đối xứng loại I: 
a.Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau 
 thì hệ phương trình không thay đổi. 
b.Cách giải: 
Bước 1
 10
: Đặt x+y=S và xy=P với ta đưa hệ về hệ mới chứa hai ẩn S,P. 2 4S ≥ P
Bước 2: Giải hệ mới tìm S,P . Chọn S,P thoả mãn . 2 4S P≥
Bước 3: Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình : 
 ( định lý Viét đảo ). 2 0X SX P− + =
Chú ý: Do tính đối xứng, cho nên nếu (x0;y0) là nghiệm của hệ thì (y0;x0) cũng là nghiệm của hệ 
Áp dụng: 
Ví du 1ï: Giải các hệ phương trình sau : 
 1) 2) 
⎩⎨
⎧
=++
=++
2
422
yxxy
yxyx
2 2
7
3 3 16
x y xy
x y x y
+ + = −⎧⎨ + − − =⎩
 3) 4)⎨ ⎩⎨
⎧
=+
=++
30
11
22 xyyx
yxxy
⎩
⎧
=+++
=+
092)(3
1322
xyyx
yx
 5) 6) ⎪⎩
⎪⎨⎧ =+
=+
35
30
33
22
yx
xyyx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=+
20
6
22 xyyx
xyyx
 7) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+
=+
4
4
xyyx
yx
 8) 
⎩⎨
⎧
=+
=+
2
3444
yx
yx
1) (0;2); (2;0) 2) (2; 3),( 3;2),(1 10;1 10),(1 10;1 10)− − + − − + 3) ( 1;5),(5;1),(2;3),(3;2)
4) 10 10 10 10(3; 2),( 2;3),( 2 ; 2 ),( 2 ; 2 )
2 2 2
− − − + − − − − − +
2
 5) ( 6) (1 2;3);(3;2) ;4),(4;1)
7) (4;4) 8) (1 2;1 2),(1 2;1 2)− + + − 
Ví dụ2 : Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+
=+
myyxx
yx
31
1
2. Hệ phương trình đối xứng loại II: 
a.Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau 
 thì phương trình nầy trở thành phương trình kia của hệ. 
b. Cách giải: 
• Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số. 
• Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm của hệ . 
 11
Áp dụng: 
Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau: 
 1) 2) 3) 
2 2
2 2
2 3
2 3
x y y
y x x
⎧ + = −⎪⎨ + = −⎪⎩
2
2
x
⎪⎩
⎪⎨⎧ =+
=+
yxyy
xxyx
32
32
2
2 2 3 2
2 3 2
3 2
3 2
y x x
x y y
⎧
y
= − +⎪⎨ = − +⎪⎩
 4) 
2
2
13
13
x y
x
y x
y
⎧ + =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩
 5) 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=
2
2
2
2
23
23
y
xx
x
yy
III. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai: 
 a. Dạng : ⎪⎨
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d
⎧ + + =
+ + =⎪⎩
 b. Cách giải: 
 hoặc y t
x
= . Giả sử ta chọn cách đặt x t
y
= . x t
y
=Đặt ẩn phụ 
 Khi đó ta có thể tiến hành cách giải như sau: 
Bước 1: Kiểm tra xem (x,0) có phải là nghiệm của hệ hay không ? 
Bước 2: Với y 0 ta đặt x = ty. Thay vào hệ ta được hệ mới chứa 2 ẩn t,y .Từ 2 phương trình ta ≠
 khử y để được 1 phương trình chứa t . 
Bước 3: Giải phương trình tìm t rồi suy ra x,y. 
Áp dụng: 
Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau: 
 1) 2) 3) 
2 2
2 2
3 2 1
2 5 2
x xy y
x xy y
⎧ + + =⎪⎨ + + =⎪⎩
1
5
5
⎪⎩
⎪⎨⎧ =−−
=−−
495
5626
22
22
yxyx
yxyx 3 2
3 2
2 3
6 7
x x y
y xy
⎧ + =⎪⎨ + =⎪⎩
IV. Các hệ phương trình khác: 
 Ta có thể sử dụng các phương pháp sau: 
a. Đặt ẩn phụ: 
Ví dụ : Giải các hệ phương trình : 
 1) 2) ⎨ 3) ⎩⎨
⎧
=++−+
−=+−
6
3
22 xyyxyx
yxxy
⎩
⎧
=−−
=−−+
36)1()1(
1222
yyxx
yxyx 2 2
3 2 2 3
5
6
x y x y
x x y xy y
⎧ − + − =⎪⎨ − − + =⎪⎩
b. Sử dụng phép cộng và phép thế: 
2 2
2 2
x y 10x 0
x
 12
Ví dụ: Giải hệ phương trình : 
y 4x 2y 20 0
⎧ + − =⎪⎨ + + − − =⎪⎩
c. Biến đổi về tích số: 
 Ví dụ : Giải các hệ phương trình sau: 
 1) 2) 3) ⎪⎩
⎪⎨⎧ +=+
+=+
)(322
22
yxyx
yyxx
⎪⎩
⎪⎨⎧ ++=+
+=+
2
77
22
33
yxyx
yyxx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
−=−
12
11
3xy
y
y
x
x
--------------------------Hết------------------------