Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng loại (kiểu) I

ThS. ðoàn Vương Nguyên 
 Trang 1 
CHUYÊN ðỀ 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) I 
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 
I. Hệ ñối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát: 
f(x, y) = 0
g(x, y) = 0



, trong ñó 
f(x, y) = f(y, x)
g(x, y) = g(y, x)


Phương pháp giải chung: 
i) Bước 1: ðặt ñiều kiện (nếu có). 
ii) Bước 2: ðặt S = x + y, P = xy với ñiều kiện của S, P và 2S 4P≥ . 
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et ñảo tìm x, y. 
Chú ý: 
i) Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP. 
ii) ðôi khi ta phải ñặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv. 
iii) Có những hệ phương trình trở thành ñối xứng loại I sau khi ñặt ẩn phụ. 
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 
2 2
3 3
x y xy 30
x y 35
 + =
 + =
. 
GIẢI 
ðặt S x y, P xy= + = , ñiều kiện 2S 4P≥ . Hệ phương trình trở thành: 
2
2
30
PSP 30 S
90S(S 3P) 35
S S 35
S
 = =  ⇔    − =   − =    
S 5 x y 5 x 2 x 3
P 6 xy 6 y 3 y 2
   = + = = =      ⇔ ⇔ ⇔ ∨   
   = = = =      
. 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 
3 3
xy(x y) 2
x y 2
 − = −
 − =
. 
GIẢI 
ðặt t y, S x t, P xt= − = + = , ñiều kiện 2S 4P.≥ Hệ phương trình trở thành: 
3 3 3
xt(x t) 2 SP 2
x t 2 S 3SP 2
 + = =  ⇔ 
 + = − =  
S 2 x 1 x 1
P 1 t 1 y 1
  = = =    ⇔ ⇔ ⇔  
  = = = −    
. 
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 4
x y
 + + + =
 + + + =
. 
GIẢI 
ThS. ðoàn Vương Nguyên 
 Trang 2 
ðiều kiện x 0, y 0≠ ≠ . 
Hệ phương trình tương ñương với: 2 2
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 8
x y
       + + + =         

      + + + =         
ðặt 2
1 1 1 1
S x y ,P x y ,S 4P
x y x y
            = + + + = + + ≥                     
 ta có: 
2
1 1
x y 4
S 4 S 4 x y
P 4 1 1S 2P 8
x y 4
x y
       + + + =     = =         ⇔ ⇔      =− =      + + =        
1
x 2 x 1x
1 y 1
y 2
y
 + =  = ⇔ ⇔ 
  = + =
. 
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình 
2 2x y 2xy 8 2 (1)
x y 4 (2)
 + + =

 + =
. 
GIẢI 
ðiều kiện x, y 0≥ . ðặt t xy 0= ≥ , ta có: 
2xy t= và (2) x y 16 2t⇒ + = − . 
Thế vào (1), ta ñược: 
2t 32t 128 8 t t 4− + = − ⇔ = 
Suy ra: 
xy 16 x 4
x y 8 y 4
 = =  ⇔ 
 + = =  
. 
II. ðiều kiện tham số ñể hệ ñối xứng loại (kiểu) I có nghiệm 
Phương pháp giải chung: 
i) Bước 1: ðặt ñiều kiện (nếu có). 
ii) Bước 2: ðặt S = x + y, P = xy với ñiều kiện của S, P và 2S 4P≥ (*). 
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ ñiều kiện (*) tìm m. 
Chú ý: 
Khi ta ñặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác ñiều kiện u, v. 
Ví dụ 1 (trích ñề thi ðH khối D – 2004). Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình sau có nghiệm thực: 
x y 1
x x y y 1 3m
 + =

 + = −
. 
GIẢI 
ThS. ðoàn Vương Nguyên 
 Trang 3 
ðiều kiện x, y 0≥ ta có: 
3 3
x y 1 x y 1
x x y y 1 3m ( x) ( y) 1 3m
  + = + = 
⇔ 
 + = − + = −   
ðặt S x y 0,P xy 0= + ≥ = ≥ , 2S 4P.≥ Hệ phương trình trở thành: 
2
S 1 S 1
P mS 3SP 1 3m
 = =  ⇔ 
  =− = − 
. 
Từ ñiều kiện 2S 0,P 0,S 4P≥ ≥ ≥ ta có 10 m
4
≤ ≤ . 
Ví dụ 2. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình 
2 2
x y xy m
x y xy 3m 9
 + + =
 + = −
 có nghiệm thực. 
GIẢI 
2 2
x y xy m (x y) xy m
xy(x y) 3m 9x y xy 3m 9
 + + = + + =  ⇔ 
  + = −+ = − 
. 
ðặt S = x + y, P = xy, 2S 4P.≥ Hệ phương trình trở thành: 
S P m
SP 3m 9
 + =
 = −
. 
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình 2t mt 3m 9 0− + − = 
S 3 S m 3
P m 3 P 3
 = = −  ⇒ ∨ 
 = − =  
. 
Từ ñiều kiện ta suy ra hệ có nghiệm 
2
2
3 4(m 3) 21
m m 3 2 3
(m 3) 12 4
 ≥ −
⇔ ⇔ ≤ ∨ ≥ + − ≥
. 
Ví dụ 3. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình 
x 4 y 1 4
x y 3m
 − + − =

 + =
 có nghiệm. 
GIẢI 
ðặt u x 4 0, v y 1 0= − ≥ = − ≥ hệ trở thành: 
2 2
u v 4u v 4
21 3mu v 3m 5 uv
2
 + = + =  ⇔  − + = − =  
. 
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của 2 21 3mt 4t 0
2
−
− + = (*). 
Hệ có nghiệm ⇔ (*) có 2 nghiệm không âm 
/ 3m 130 0 132S 0 m 7
21 3m 3
0P 0
2
 −∆ ≥  ≥ ⇔ ≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤ 
  −  ≥≥   
. 
ThS. ðoàn Vương Nguyên 
 Trang 4 
Ví dụ 4. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình 
2 2x y 4x 4y 10
xy(x 4)(y 4) m
 + + + =
 + + =
 có nghiệm thực. 
GIẢI 
2 22 2
2 2
(x 4x) (y 4y) 10x y 4x 4y 10
xy(x 4)(y 4) m (x 4x)(y 4y) m
  + + + = + + + = ⇔ 
 + + = + + =  
. 
ðặt 2 2u (x 2) 0, v (y 2) 0= + ≥ = + ≥ . Hệ phương trình trở thành: 
u v 10 S 10
uv 4(u v) m 16 P m 24
 + = =  ⇔ 
 − + = − = +  
 (S = u + v, P = uv). 
ðiều kiện
2S 4P
S 0 24 m 1
P 0
 ≥ ≥ ⇔ − ≤ ≤
 ≥
. 
BÀI TẬP 
Giải các hệ phương trình sau 
1. 
2 2
 x y xy 5
x y xy 7
 + + =
 + + =
. ðáp số: 
x 1 x 2
y 2 y 1
 = =  ∨ 
 = =  
. 
2. 
2 2x xy y 3
2x xy 2y 3
 + + =
 + + = −
. ðáp số: 
x 1 x 3 x 3
y 1 y 3 y 3
   = − = = −   ∨ ∨  
  = − = − =     
. 
3. 
3 3
x y 2xy 2
x y 8
 + + =
 + =
. ðáp số: 
x 2 x 0
y 0 y 2
 = =  ∨ 
 = =  
. 
4. 
3 3x y 7
xy(x y) 2
 − =
 − =
. ðáp số: 
x 1 x 2
y 2 y 1
 = − =  ∨ 
 = − =  
. 
5. 
2 2
 x y 2xy 5
x y xy 7
 − + =
 + + =
. ðáp số: 
1 37 1 37
x xx 2 x 1
4 4
y 1 y 2 1 37 1 37
y y
4 4
  − + = =  = = −      ∨ ∨ ∨   
   = = − − − − +     = =    
. 
6. 
2 2
2 2
1
(x y)(1 ) 5
xy
1
(x y )(1 ) 49
x y
 + + =
 + + =
. ðáp số: 
x 1 x 17 3 5 7 3 5
x x
2 2 7 3 5 7 3 5
y yy 1 y 1
2 2
   = − = −   − +   = =   ∨ ∨ ∨   − +   = =   = − = −         
. 
ThS. ðoàn Vương Nguyên 
 Trang 5 
7. 
x y y x 30
x x y y 35
 + =

 + =
. ðáp số: 
x 4 x 9
y 9 y 4
 = =  ∨ 
 = =  
. 
8. 
x y 7
1
y x xy
x xy y xy 78
 + = +
 + =
 (chú ý ñiều kiện x, y > 0). ðáp số: x 4 x 9
y 9 y 4
 = =  ∨ 
 = =  
. 
9. ( )
2 23 3
3 3
2(x y) 3 x y xy
x y 6
 + = +
 + =
. ðáp số: 
x 8 x 64
y 64 y 8
 = =  ∨ 
 = =  
. 
10. Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình 
2 2 2x y z 8
xy yz zx 4
 + + =
 + + =
. Chứng minh 8 8x, y, z
3 3
− ≤ ≤ . 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
Hệ phương trình 
2 2 2 2 2x y 8 z (x y) 2xy 8 z
xy z(x y) 4 xy z(x y) 4
  + = −  + − = − ⇔ ⇔ 
 + + = + + =  
2 2(x y) 2[4 z(x y)] 8 z
xy z(x y) 4
 + − − + = −⇔ 
 + + =
2 2(x y) 2z(x y) (z 16) 0
xy z(x y) 4
 + + + + − =⇔ 
 + + =
2 2
x y 4 z x y 4 z
xy (z 2) xy (z 2)
 + = − + = − −  ⇔ ∨ 
 = − = +  
. 
Do x, y, z là nghiệm của hệ nên: 
2 2
2
2 2
(4 z) 4(z 2) 8 8
(x y) 4xy z
( 4 z) 4(z 2) 3 3
 − ≥ −
+ ≥ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ − − ≥ +
. 
ðổi vai trò x, y, z ta ñược 8 8x, y, z
3 3
− ≤ ≤ . 
11. 
x y
1 1 1
16 16 2
x y 1
       + =          + =
. ðáp số: 
1
x
2
1
y
2
 =

 =
. 
12. 
sin (x y)
2 2
2 1
2(x y ) 1
π + =
 + =
HƯỚNG DẪN GIẢI 
Cách 1: 
sin (x y)
2 2 2 22 2
sin (x y) 0 x y (1)2 1
2(x y ) 1 2(x y ) 1 (2)2(x y ) 1
π +  π + = + ∈ =    ⇔ ⇔  
  + = + =+ =   
Z
2
2 2
2
1 2 2
x x1 2 2 2(2) x y 2 x y 2
12 2 2y y
2 2 2
   ≤ − ≤ ≤  ⇔ + = ⇒ ⇒ ⇒ − ≤ + ≤ 
  ≤ − ≤ ≤   
. 
x y 0
(1)
x y 1
 + =
⇒  + = ±
 thế vào (2) ñể giải. 
ThS. ðoàn Vương Nguyên 
 Trang 6 
Cách 2: 
ðặt S = x + y, P = xy. Hệ trở thành: 
sinS
22
S2 1
4P 2S 12(S 2P) 1
π  ∈ =  ⇔ 
  = −− = 
Z
. 
Từ ñiều kiện 2S 4P≥ ta suy ra kết quả tương tự. 
Hệ có 4 nghiệm phân biệt 
1 1 1 1
x x x x
2 2 2 2
1 1 1 1
y y y y
2 2 2 2
         = = − = = −      ∨ ∨ ∨   
      = = − = − =         
. 
Tìm ñiều kiện của m ñể các hệ phương trình thỏa yêu cầu 
1. Tìm m ñể hệ phương trình 
2 2x xy y m 6
2x xy 2y m
 + + = +
 + + =
 có nghiệm thực duy nhất. 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành: 
2 2
2 2 2
3x m 6 3x 6 m m 3
m 21x 4x m x 4x 3x 6
   = +  − = = −  ⇔ ⇒    =+ = + = −    
. 
+ m = – 3: 
2 2 2x xy y 3 (x y) xy 3
2(x y) xy 3 2(x y) xy 3
  + + =  + − = ⇔ 
 + + = − + + = −  
x y 0 x y 2 x 3 x 3 x 1
xy 3 xy 1 y 1y 3 y 3
    + = + = − = = − = −     ⇔ ∨ ⇔ ∨ ∨    
    = − = = −= − =        
 (loại). 
+ m = 21: 
2 2 2x xy y 27 (x y) xy 27
2x xy 2y 21 2(x y) xy 21
  + + =  + − = ⇔ 
 + + = + + =  
x y 8 x y 6 x 3
xy 37 xy 9 y 3
  + = − + = =    ⇔ ∨ ⇔  
  = = =    
 (nhận). 
Vậy m = 21. 
2. Tìm m ñể hệ phương trình: 
2 2
x xy y m 1
x y xy m
 + + = +
 + =
 có nghiệm thực x > 0, y > 0. 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
2 2
x xy y m 1 (x y) xy m 1
xy(x y) mx y xy m
 + + = + + + = +  ⇔ 
  + =+ = 
x y 1 x y m
xy m xy 1
 + = + =  ⇔ ∨ 
 = =  
. 
Hệ có nghiệm thực dương 
2
m 0 1
0 m m 2
1 4m m 4 4
 >⇔ ⇔ < ≤ ∨ ≥
 ≥ ∨ ≥
. 
Vậy 10 m m 2
4
< ≤ ∨ ≥ . 
ThS. ðoàn Vương Nguyên 
 Trang 7 
3. Tìm m ñể hệ phương trình 
x y m
x y xy m
 + =

 + − =
 có nghiệm thực. 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
( )
22
x y mx y mx y m
m m
x y xy m xyx y 3 xy m
3
 + =  + = + =  ⇔ ⇔   −  + − = =+ − =     
. 
Suy ra x, y là nghiệm (không âm) của phương trình 
2
2 m mt mt 0
3
−
− + = (*). 
Hệ có nghiệm ⇔ (*) có 2 nghiệm không âm 
/ 2
2
0 m 4m 0
m 0
S 0 m 0
1 m 4
P 0 m m 0
 ∆ ≥ − ≤  =  ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔    ≤ ≤  ≥ − ≥   
. 
Vậy m 0 1 m 4= ∨ ≤ ≤ . 
4. Tìm m ñể hệ phương trình 
2 2
2
x y 2(1 m)
(x y) 4
 + = +
 + =
 có ñúng 2 nghiệm thực phân biệt. 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
2 2 2
2 2
x y 2(1 m) (x y) 2xy 2(1 m)
(x y) 4 (x y) 4
  + = +  + − = + ⇔ 
 + = + =  
xy 1 m xy 1 m
x y 2 x y 2
 = − = −  ⇔ ∨ 
 + = + = −  
. 
Hệ có ñúng 2 nghiệm thực phân biệt khi ( )
2
2 4(1 m) m 0± = − ⇔ = . 
5. Cho x, y là nghiệm của hệ phương trình 
2 2 2
x y 2m 1
x y m 2m 3
 + = −
 + = + −
. Tìm m ñể P = xy nhỏ nhất. 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
ðặt S x y, P xy= + = , ñiều kiện 2S 4P.≥ 
2 2 2 2 2
x y 2m 1 S 2m 1
x y m 2m 3 S 2P m 2m 3
 + = − = −  ⇔ 
 + = + − − = + −  
2 2 2
S 2m 1S 2m 1
3(2m 1) 2P m 2m 3 P m 3m 2
2
 = − = − ⇔ ⇔ 
 − − = + − = − +  
Từ ñiều kiện suy ra 2 2 4 2 4 2(2m 1) 6m 12m 8 m .
2 2
− +
− ≥ − + ⇔ ≤ ≤ 
Xét hàm số 23 4 2 4 2f(m) m 3m 2, m
2 2 2
− +
= − + ≤ ≤ . 
Ta có 4 2 11 6 2 4 2 4 2min f(m) f , m ;
2 4 2 2
   − − − +  = = ∀ ∈       
Vậy 11 6 2 4 2min P m
4 2
− −
= ⇔ = .