Chuyên đề: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị

 Trang 1 
Chuyên Đề: 
KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ 
I. BÀI TOÁN MỞ ĐẦU 
Bài toán 1. Cho 
, 0
1
a b
a b


 
, tìm GTNN của 
2 2
1 1
2
P
aba b
 

Giải 
Ta có: 
2 2 2 2 2
1 1 4 4
4
2 2 ( )aba b a ab b a b
   
   
Dấu “=” xảy ra 
1
12
Min 4 khi 
1 1 2
2
a
a b
P x y
a b
b

 
      
   

Bài toán 2. Cho 
, 0
1
a b
a b


 
, tìm GTNN của 
2 2
1 1
21
P
aba b
 
 
Giải 
Lời giải 1. Ta có: 
2 2 2 2 2
1 1 4 4 4
2
2 21 2 1 ( ) 1
P
aba b a ab b a b
     
      
Dấu “=” xảy ra 
2 2 21 2 ( ) 1 0
(voâ nghieäm)
1 1
a b ab a b
a b a b
       
  
     
. Vậy không tồn tại 
Min ...?..?P 
Lời giải 2. Ta có: 
2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 4 1
6 3 3 31 6 1 ( ) 1 4
P
ab ab ab aba b a ab b a b ab
      
       
Mặt khác 
2
1
2 4
a b
ab
 
  
 
. Vậy 
2 2
4 1 8
3
2 6
2 2
P
a b a b
  
    
    
   
Dấu “=” xảy ra 
2 21 3
1
2
1
a b ab
a b a b
a b
   

    
  

. 
Lời bình: Bài toán 1 và bài toán 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức 
1 1 4
a b a b
 

. Lời giải 1 tại sao sai? Lời giải 2 tại sao lại tách 
1 1 1
2 6 3ab ab ab
  ?..? Làm sao 
nhận biết được điều đó?...Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Và qua 
chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bài 
toán cực trị 
II. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 
 Trang 2 
Có thể nói tằng bài toán bất đằng thức nói chung và bài toán tìm GTNN, GTLN nói riêng là một 
trong nhửng bài toán được quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh Đại 
học,và đặc biệt hơn nữa là với xu hước ra đề chung của Bộ GD – ĐT. Trong kỳ thi tuyển sinh 
Đại học thì bài toán bất đẳng thức là bài toán khó nhất trong đề thi mặc dù chỉ cần sử dụng một 
số bất đẳng thức cơ bản trong Sách giáo khoa nhưng học sinh vẫn gặp nhiều khó khăn do một 
số sai lầm do thói quen như lời giải 1 trong bài toán mở đầu là một ví dụ. Để giúp học sinh hiểu 
sâu hơn về bài toán cực trị đặc biệt là các trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, tôi viết chuyên đề 
“Chọn điểm rơi trong giải toán bất đẳng thức”. 
III. NỘI DUNG 
1. Bổ túc kiến thức về bất đẳng thức 
a) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức 
Định nghĩa: 0a b a b    
 
a b
a c
b c

 

 a b a c b c     
 
a b
a c b d
c d

   

 
1 1
0a b
a b
    
b) Một số bất đẳng thức cơ bản 
 Bất đẳng thức Cauchy 
Cho n số thực không âm 1 2, ,..., ( 2)na a a n  ta luôn có 
1 2
1 2...
n n
n
a a a
a a a
n
  


. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 na a a   . 
 Một vài hệ quả quan trọng: 
 21 2
1 2
1 1 1
( ) vôùi 0, 1,n i
n
a a a n a i n
a a a
 
          
 
  
 
2
1 2 1 2
1 1 1
vôùi 0, 1,i
n n
n
a i n
a a a a a a
      
  


 Cho 2n số dương ( , 2n Z n  ): 1 2 1 2, ,..., , , ,...,n na a a b b b ta có: 
 1 1 2 2 1 2 1 2( )( )...( ) ... ...
n n n
n n n na b a b a b a a a b b b     
 Bất đẳng thức BCS 
Cho 2n số dương ( , 2n Z n  ): 1 2 1 2, ,..., , , ,...,n na a a b b b ta có: 
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )( )n n n na b a b a b a a a b b b            
Dấu “=’ xảy ra 1 2
1 2
(quy öôùc neáu 0 0)n i i
n
aa a
b a
b b b
       
 Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ) 
Cho hai dãy số 1 2 1 2, ,..., vaø , ,..., vôùi 0 1,n n ia a a b b b b i n   ta luôn có: 
2 22 2
1 21 2
1 2 1 2
( )n n
n n
a a a aa a
b b b b b b
  
   
  



 Trang 3 
Dấu “=’ xảy ra 1 2
1 2
n
n
aa a
b b b
    
2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 
Cho 1 2( , ,..., )nf x x x là một hàm n biến thực trên : :
n nD f D     
 
1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
1 2 1 2
( , ,..., ) ( , ,..., )
Max
( , ,..., ) : ( , ,..., )
n n
D
n n
f x x x M x x x D
f M
x x x D f x x x M
  
  
  
 
1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
1 2 1 2
( , ,..., ) ( , ,..., )
Min
( , ,..., ) : ( , ,..., )
n n
D
n n
f x x x m x x x D
f m
x x x D f x x x M
  
  
  
3. Phương pháp chọn điểm rơi 
Nhận xét: Các bất đẳng thức trong các đề thi đại học thông thường là đối xứng với các biến, và 
ta dự đoán dấu bằng xảy ta khi các biến bằng nhau và xảy ra tại biên. 
a) Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy 
Sử dụng hệ quả (1) và (2) 
Bài 1. Cho 
, 0
1
a b
a b


 
, tìm GTNN của biểu thức 
2 2
1 1
4P ab
aba b
  

. 
Sai lầm thường gặp: 
Sai lầm 1: Ta có : 
2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 4 1
4 4 4
2 2 2 22 ( )
P ab ab ab
ab ab ab aba b a b ab a b
 
          
     
. 
 Mặt khác 
1 1
4 2 .4 2 2
2 2
ab ab
ab ab
   . Vậy 4 2 2P   nên 2(2 2)MinP   
Sai lầm 2: 
2 2 2
1 1 1 1 4 1 1 1 1
4 2 4 . 4 2 6
4 4 2 4 4 4( )
P ab ab
ab ab ab ab ab ab aba b a b
 
            
  
Dấu bằng xảy ra 
2 2
2 2
2
1 1
16 2
1
a b ab
a b a b
a b
  


    

 

. Thay 
1
2
a b  vào ta được 7P  
7MinP  khi 
1
2
a b  . 
Nguyên nhân sai lầm: 
 Trang 4 
Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách 
1 1 1
2 2ab ab ab
  là do thói quen để 
làm xuất hiện 2 2 22 ( )a b ab a b    . 
1
4 2 2 4
2
1
a b
MinP ab VN
ab
a b



    

 
. Dấu “=” bất 
đẳng thức không xảy ra  không kết luận được 4 2 2MinP   
Sai lầm 2: Học sinh đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng khi 
1
2
a b  nên đã tách 
các số hạng và 7MinP  khi 
1
2
a b  là đúng, nhưng bước cuối học sinh làm sai ví dụ như 
2(1 )x x x   , dấu bằng xảy ra khi 1x  2( 1) 1??Min x x    
 
. 
Lời giải đúng: Do P là biểu thức đối xứng với ,a b , ta dự đoán MinP đạt tại 
1
2
a b  , ta có: 
2 2 2 2
1 1 1 1 4 1 1
4 2 4 . 7
2 4 4 2( )
4
2
P ab ab
ab ab ab aba b a b a b
 
         
    
 
 
Dấu bằng xảy ra 
2 2
2 2
2
1 1
16 2
1
a b ab
a b a b
a b
  


    

 

. 
Bài 2. Cho 
, 0
1
a b
a b


 
, tìm GTNN của biểu thức 
3 3 2 2
1 1 1
S
a b a b ab
  

. 
Sai lầm thường gặp: 
Ta có: 
3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2
1 1 1 2 2 9 2 1 1
33 3 3 3 3 3
S
a b a b ab a b ab a b a b ab a b ab
 
        
     
3 2
9 2 1 1 1 2 4 59
. 9 .
3 3( )
3.
2
ab a b a ba b a b
 
           
 
 
59
3
MinS  
Nguyên nhân sai lầm: 
3 3 23
59
( )
3
1
a b a b
MinS a b vn
a b
  

  
  

Lời giải đúng 
 Trang 5 
Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi 
1
2
a b  , và ta thấy 3 3 2 2 33 3 ( )a b a b ab a b     vì thế ta 
muốn xuất hiện 3( )a b ; ta áp dụng bất đẳng thức 
3 3 2 2
1 1 1
2 2a b a b ab
 

 và nếu vậy: 
3 3 2 2 3
1 1 1 9
2 2 ( ) ( )a b a b ab a b ab a b
  
   
, ta không đánh giá tiếp được cho nên ta phải áp 
dụng bất đẳng thức cho 5 số: 
3 3 2 2 2 2 3 3
3
1 1 1 1 1 25 25
20
2 2 2 2 ( ) ( ) ( )
( )
4
S
a b a b ab a b ab a b ab a b a b
a b
       
    
 
Dấu bằng xảy ra khi 
1
2
a b  . 
Bài 3. Cho 
, , 0
1 1 1
4
x y z
x y z



  

. Tìm GTLN của 
1 1 1
2 2 2
P
x y z x y z x y z
  
     
. 
Sai lầm thường gặp: 
Sai lầm 1: Ta có 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 10
9 2 9 2 9 2 18 9
P
x y z x y z x y z x y z
       
                   
       
10
9
MaxP  
Sai lầm 2: 
3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10
3 3 2 3 3 2 3 3 2 93 2 3 .2 3 2
P
x y z x y z x y zxyz x yz xy z
     
                 
     
Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải trên đều đã biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm 
rơi. 
2
2
10
( )2
9
1 1 1
4
x y z
y x z
MaxP vnz x y
x y z
 
  

   

   

, tức là không tồn tại 
10
( , , ) :
9
x y z D P  
Lời giải đúng: Từ hai lời giải trên với dự đoán MaxP đạt được tại 
4
3
x y z   nên tách các số 
2x x x  ra cho dấu bằng xẩy ra. 
Cách 1: Ta có 
1 1 1 1 1 1 1
2 16x y z x x y z x x y z
 
     
      
, tương tự và ta có: 
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
1
16
P
x y z x y z x y z
      
               
      
, vậy 1MaxP  khi 
4
3
x y z   . 
Cách 2: Ta có 4
24
1 1
2 4 . . .
2 4
x y z x x y z x x y z
x y z x yz
        
 
, mặt khác: 
 Trang 6 
4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
. . .
4 2 16x x y z x x y z x y z x y z
   
          
    
, tương tự ta có: 
1 1 1 1
.4 1
16
P
x y z
 
    
 
. Dấu “=” xảy ra khi 
1
4
x y z   , suy ra: 
1MaxP  khi
1
4
x y z   . 
Nhận xét: Ta có thể mở rộng bài 3: 
Cho 
, , 0
1 1 1
4
x y z
x y z



  

. Tìm GTLN của 
1 1 1
P
x y z x y z x y z        
  
     
. 
Với , , N    : Cách làm tương tự như bài 3, ta tách 
 soá 
,...x x x x

     . Nếu , , R  
 , 
thì bài toán có còn giải quyết được không? Câu trả lời dành cho độc giả trong phần sau” Kỹ 
thuật chọn điểm rơi trong BCS” 
Bài 4. Cho 
, , 0
3
a b c
a b c


  
. Chứng minh rằng: 3 3 3 32 2 2 3 3a b b c c a      . 
Sai lầm thương gặp: 
Ta có: 3
1 1 ( 2 ) 2 2
1.1( 2 )
3 3
a b a b
a b
    
   , tương tự ta có: 
3 3 3 2 2 2 2 2 22 2 2 5
3 3 3
a b b c c a
a b b c c a
     
         , 
mà 35 3 3 ñeà ra sai...?...?  
Nguyên nhân sai lầm: 
2 1
2 1
5, vaäy =5 ( )
2 1
3
a b
b c
P VT MaxP vn
c a
a b c
 
  
   
 
   
, vậy 5P  
Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra khi 1a b c   . Vậy ta áp dụng 
Cauchy cho ba số 2 ,3,3a b ta có: 
3 3
3 3 3
1 1 3 3 ( 2 ) 6 2
2 3.3( 2 ) .
39 9 3 9
a b a b
a b a b
    
     , tương tự ta có: 
3
3 3 3
6 2 6 2 6 2
3 3
3 9 3 9 3 9
a b b c c a
P
     
    , dấu bằng xảy ra khi 1a b c   
Bài 5. Cho 
, , 0
1
x y z
xyz



, chứng minh rằng: 
2 2 2 3
1 1 1 2
x y z
y z x
  
  
Sai lầm thường gặp: 
Sai lầm 1: P 
2 2 2 2
3
( )
3
1 1 1 (1 )(1 )(1 )
x y z xyz
y z x y z x
  
     
, mặt khác 
1 2
1 2
1 2
y y
z z
x x
  

 

 
, suy ra: 
 Trang 7 
(1 )(1 )(1 ) 8 8y z x xyz     . Vậy 
3
2
P  , dấu “=” xảy ra khi 1x y z   
Sai lầm 2: ta có:
2
2
2
(1 ) 2
1
(1 ) 2 2( ) ( ) 3 3
1
(1 ) 2
1
x
y x
y
y
z y P x y z x y z x y z
z
z
x z
x

  


              


  

, 
mặt khác 33 3 0x y z xyz P      
Nguyên nhân sai lầm: 
Ở sai lầm 1: Học sinh quên tính chất cơ bản của bất đẳng thức: 
1 1
0a b
a b
    
Ở sai lầm 2: Dấu “=” xảy ra 
2 2 2
1 , 1 , 1 ( )
1 1 1
1
x y z
x y z
y z x vn
y z x
xyz
 


      
  
 
Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi 1x y z   . Vì vậy khi áp dụng Cauchy cho 
2
1
x
y
 và 
1 y


: 
2 1 1 2
4
1 2
x y
y

 

    

Ta có: 
2
2
2
1
1 4
1 1 3 3 3 3
( ) ( ) ( )
1 4 4 4 4 4 2
1
1 4
x y
x
y
y z
y P x y z x y z x y z
z
z x
z
x
 
 

 
              

 
 

Dấu “=” xảy ra khi 1x y z   . 
Bài tập tương tự(trích dẫn trong các đề thi đại học) 
Bài 1. Cho 
, , 0
1
x y z
xyz



, chứng minh rằng 
3 3 3 3 3 3
3 3
m x y m y z m z x
xy yz zx
     
   , 
với : Neáu 1 laø ñeà thi Ñaïi hoïc khoái D naêm 2005m N m  
Bài 2. Cho , ,x y z là 3 số thỏa 0x y z   , chứng minh rằng: 
3 4 3 4 3 4 6x y z      (đề tham khảo 2005) 
Bài 3. Cho 2, 3, 4a b c   , tìm GTLN: 
4 2 3ab c bc a ca b
P
abc
    
 
Bài 4. Cho , ,a b c là các số dương thỏa mãn 
3
4
a b c   . 
 Trang 8 
Chứng minh rằng: 3 3 33 2 3 3a b b c c a      (ĐTK 2005) 
Bài 5. Cho 
, , 0
1
a b c
a b c


  
, tìm GTNN của các biểu thức sau: 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
P
ab bc caa b c
S
ab bc caa b b c c a
Q
ab bc caa bc b ca c ab
   
 
     
  
     
  
Bài 6. Cho 2 2 1u v  , chứng minh rằng: 
2 2
2 2
2 2
1 1 25
2
u v
u v
   
      
   
. 
Bài 7. Cho , ,a b c là các số dương. Tìm GTNN của: 
3 3 3
3 3 3
a b c
b c a
Q
a b c
b c a
 

 
(ĐHQGHN 2001-2002) 
Bài 8. Cho , ,a b c dương thỏa 1abc  , tìm GTNN của biểu thức: 
2 2 2( ) ( ) ( )
bc ca ab
Q
a b c b c a c a b
  
  
 (ĐH 2000 – 2001) 
Bài 9. Cho 
, , 0
1
x y z
x y


 
, tìm GTNN của 
1 1
x y
P
x y
 
 
(ĐHNT 2001 – 2002) 
Bài 10. Cho , ,x y z là ba số dương và 1x y z   , chứng minh rằng: 
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
x y z
      (ĐH 2003) 
b) Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức BCS. 
Bài 1. Cho , ,x y z là ba số dương và 1x y z   , chứng minh rằng: 
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
x y z
      
Nhận xét: chúng ta có thể dùng bất đẳng thức Cauchy như ở phần 1 
Sai lầm :  
2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 1 1
1 1
2
x x x x x
x x xx x
     
              
     
Tương tự ta có: 
1 1 1 1 2 1 1 1
( ) ( ) 3 2
2 2
P x y z x y z
x y z x y z
    
               
    
Vậy 3 2....?P  
 Trang 9 
Nguyên nhân sai lầm: 
1 1 1
, ,
1 1 13 2 ( )
1
x y z
x y zP vn
x y z

  
  
   
Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi 
1
3
x y z   ; và biểu thức trong căn gợi 
cho tam sử dụng BCS:  
2
2 2 2
2
1
x x
yx

  
  
      
   
 với ,  là những số thỏa mãn: 
2
1
1 1
9
x x x
x

   
     , chọn 1, 9   
Ta có  
2
2 2 2 2
2 2
1 9 1 1 9
1 9
82
x x x x
x xx x
     
            
     
, tương tự ta có: 
1 1 1 1
9 ) 9
82
P x y z
x y z
  
       
  
, do 
1 1 1
1; 9x y z
x y z
      nên ta tách: 
1 1 1 1 80 1 1 1 2 1 1 1 80 9
( ) ( ) 82
9 9 3 9
x y z x y z
x y z x y z x y z x y z
     
                   
      
Vậy 82P  , dấu “=” xảy ra khi 
1
3
x y z   . 
Bài 2. Cho 
, , .0
1 1 1
1
x y z
x y z



  

, tìm GTLN của 
1 1 1
2 2 2
P
x y z x y z x y z
  
     
Giải 
Áp dụng hệ qua (1) ta có: 
2 21 1 ( )
2 2
z
y zx x y z
  
  
 
, ta chọn  sao cho 3x y z   và 
1 1
1 2
2 2y zx
 
      
Vậy ta có: 
 
 
2
2
2
2
2 1 1 (2 2)
2 2
2 21 1 1 (2 2) 1 1 1 1
2 2 2 22 2
1 1 1 (2 2)
2 2
y zx x y z
P
x z x y zy x y z
x y z x y z
 
  
 
   
         
    
 
   
  
Dấu bằng xảy ra khi 
1
3 khi 3
2 2
x y z MaxP x y z       

Bài tập áp dụng 
 Trang 10 
Bài 1. Cho 
, , 0
1
a b c
abc



,chứng minh rằng 
3 3 3
1 1 1 3
2( ) ( ) ( )a b c b c a c a b
  
  
Bài 2. Cho 
, , 0
1
a b c
abc



, tìm GTNN của 
3 3 3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
a b c
P
b c c a a b
  
     
Bài 3. Cho , , , 0a b c d  , tìm GTNN của 
2 3 2 3 2 3 2 3
a b c d
P
b c d c d a d a b a b c
   
       
Bài 4. Cho 
1
0, 1,
1
i
n
i
i
x i n
x

  





, tìm GTNN của 1 21 1 1 nP x x x       
Bài 5. Cho , , 0a b c  , chứng minh rằng: 
2 2 2
1
8 8 8
a b c
a bc b ca c ab
  
  
IV. THAY CHO LỜI KẾT 
Để làm rõ vai trò quan trọng của việc chọn điểm rơi trong việc định hướng giải quyết bài toán 
và cũng là kết lại phần chuyên đề này, tôi xin nêu một phương pháp mới giải bài toán sau: 
Bài toán: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có 
3 3
sin sin sin
2
A B C   
Phân tích để đi đến lời giải: Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC là tam giác đều 
3
A B C

   . 
Vì A B C    ta giảm bớt số biến bằng sin sin cos sin cosC A B B A  
sin sin sin sin sin sin cos sin cosP A B C A B A B B A       , ta nghĩ đến: 
2 2
2 2
sin cos 1
sin cos 1
A A
B B
  

 
; ,A B không còn quan hệ ràng buộc, làm thế nào để xuất hiện 
2 2sin ,cosA A, ta nghĩ ngay đến bất đẳng thức 
2 2
2
a b
ab

 , 
3 1
sin sin ,cos cos
2 2
A B A B    , Ta áp dụng Cauchy: 
2 2
2 2sin sin 3 sin sincos cos 3 cos cos
2 33 3 3
A B A B
B A B A
     
         
       
Ta có:
2 21 3 3sin sin sin sin
4 43
A B A B
    
        
    
. Vậy: 
2 2
2 2 2 23 sin sin 1 3 3 3 3cos cos sin sin
2 3 3 4 4 23
A B
VT B A A B
         
                 
         