Chuyên đề Phương trình - Bất phương trình vô tỷ

www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng 
PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 
Vấn đề này xuất hiện nhiều trong các đề thi toán vào Đại 
học, Cao đẳng. Ngay từ lớp 10 các bạn cần nắm vững những 
phương pháp để giải quyết các phương trình, bất phương trình 
vô tỷ. 
1. Phương pháp lũy thừa 
Những điều cần lưu ý: 
- Phải đảm bảo các căn bậc chẵn có nghĩa. 
- Chỉ được bình phương hai vế của phương trình, bất phương trình 
khi hai vế không âm. 
- Một số phép biến đổi tương đương cơ bản 
a = b . ; 
a b
a 0
=
= a = b . 2
b 0
a b
=
=
a < b . 0 = a < b ; a b< . 2
b 0
a b
a 0
>
<
=
 
a b> . 
2
b 0
a 0
b 0
a b
 <
=
= >
- Thận trọng trước khi quyết định lũy thừa hai vế bởi sẽ làm tăng 
bậc của ẩn. Có khi phương trình, bất phương trình đưa về được 
dạng tích. 
Thí dụ 1: (Đề ĐHXD - 1997) Giải phương trình 
2x x 1+ + =1 (*) 
Giải: Ta có (*) . 2x 1 1 x+ = − . 
2
2 2
1 x 0
x 1 (1 x )

− >
+ = −
. . 2
1 x 1
(x 1)[1 (1 x) (1 x) ] 0
− = =
+ − − + = 2
1 x 1
x(x 1)(x x 1) 0
− = =
+ − − =
 . 
1 x 1
x 0
x 1
1 5x
2
− = =
=
= − ±
=
 . 
x 0
x 1
1 5x
2
=
= −
−
=
Thí dụ 2: Giải phương trình 
Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất 
 Nhà xuất bản Giáo dục 
www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng 
3x 1 2x 1 x+ − + = 
Giải: Ta có 3x 1 2x 1 (3x 1) (2x 1)+ − + = + − + 
 . ( )[ ]3x 1 2x 1 3x 1 2x 1 1 0+ − + + + + − = 
Trường hợp 1: 3x 1 2x 1+ = + . 3x + 1 = 2x + 1 = 0 
Trường hợp 2: 3x 1 2x 1 1+ + + = 
 . 
1x
3
5x 2 2 (3x 1)(2x 1) 1

= − + + + + =
 . 
2
1x
3
2 6x 5x 1 5x 1

= − + + = − −
. 
2
1 1x
3 5
x 10x 3

− = = −
− − = 0
 . x 5 2 7= − 
Tóm lại pt có 2 nghiệm x = 0 hoặc x = 5 2 . 7−
Chú ý: Nếu các bạn dùng phương pháp lũy thừa ngay từ đầu mà 
không đưa về dạng tích thì lời giải sẽ phức tạp hơn nhiều. 
Thí dụ 3: (Đề thi Tài chính Kế toán - 1997) 
Giải bất phương trình: 
251 2x x 1
1 x
− −
<
−
 (*) 
Giải: (*) . . 
2
2 2
2
1 x 0
51 2x x 0
1 x 0
51 2x x (1 x)
51 2x x 0
 − <
− − =
− >
− − < −
− − >
2
2
2
x 1
x 2x 51
x 1
x 25 0
x 2x 51
 >
+ − =
<
− > + − =
0
0
Giải từng hệ ta có nghiệm x (1; 1 2 13 ] [ 1 2 13; 5]. − + . − − − 
Chú ý: Nhiều bạn và nhiều cuốn sách luyện thi hiện nay đang sử 
dụng phép biến đổi: 
3 3a b+ = c (1) . ( ) 33 3 3 3a b 3 a . b a b c= + + = 
Sau đó thế 3 3a + b bởi c để được: 
33 3a b 3 a b .c c+ + = (2) 
Lưu ý rằng các nghiệm của (2) chưa hẳn đã là nghiệm của (1). Ta 
thử tìm mối liên hệ giữa tập nghiệm của (1) và (2). 
Ta có: (2) . 3 3 3a b ( c) 3 a b .( c) 0+ + − − − = 
Dùng kết quả: 
 3 3 3 2 2 2x y z 3xyz (x y z)(x y z xy yz zx)+ + − = + + + + − − −
 ta dẫn đến: 
Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất 
 Nhà xuất bản Giáo dục 
www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng 
 (2) . ( ) ( ) ( ) ( )2 23 3 3 3 3 3a b c a b a c b c + − − + + + + =  0 
. 
3 3
3 3
a b c
a b
 + =
= = − c
(1)
(3)
Như vậy: 
y Nếu (3) vô nghiệm thì (1) và (2) tương đương. 
y Nếu (3) có nghiệm x = α thì (2) cũng có nghiệm x = α. Nghiệm 
này thỏa mãn (1) . x = α là nghiệm của hệ 
3 3
3 3
a b c
a b
 + =
= = − c
 . a = b = c = 0 
Nghiệm này không thỏa mãn (1) . x = α 
 không thỏa mãn : a = b = c = 0. 
y Nếu x = α là nghiệm của (2), không là nghiệm của (3) sẽ là 
nghiệm của (1). 
Thí dụ 4: Giải phương trình: 
3 3 32x 1 x 1 3x 1+ + + = − (1) 
Giải: a = 2x + 1; b = x + 1; 3c 3x= −1 
Ta có phương trình (2) 
2x + 1 + x + 1 + 3 (2x 1)(x 1)(3x 1) 3x 1+ + − = −3 
. 3 (2x 1)(x 1)(3x 1) 1+ + − = − 
. . 3 26x 7x 0+ =
x 0
7x
6
= = −
Ta có (3) là 3 3 32x 1 x 1 3x 1+ = + = − − . x = 0. 
Vậy 7x
6
= − không là nghiệm của 93) nên là nghiệm của (1). Mặt 
khác x = 0 không thỏa mãn 2x + 1 = x + 1 = 3 3x 1 0− = nên 
không thỏa mãn (1). 
Tóm lại phương trình có nghiệm duy nhất 7x
6
= − . 
Chú ý: Các bạn giải bài trong đề 48 của Bộ đề thi tuyển sinh cần 
lưu ý (3) vô nghiệm nên (1) và (2) tương đuowng. 
2. Phương pháp đặt ẩn phụ 
Điều cần lưu ý các bạn là điều kiện của ẩn phụ phải thật chính xác, 
kẻo chuyển bài toán ban đầu về một bài toán không tương đương. 
Các hướng đặt ẩn phụ sẽ thể hiện qua các thí dụ: 
Thí dụ 5: (Đề thi ĐHKTQD - 1998). Xác định a để phương trình 
1 x 8 x a (1 x)(8 x)+ + − = − + − (*) có nghiệm. 
Giải: Đặt t 1 x 8= + + − x 
Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất 
 Nhà xuất bản Giáo dục 
www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng 
⇒ 8 x 1 x 7 2xt '
2 (1 x)(8 x) 2 (1 x)(8 x)( 8 x 1 x )
− − + −
= =
+ − + − − + +
. 
Lập bảng biến thiên của t: 
x -1 8 
t' + − 
t 
3 
3 2 
3 
Khi đó: 
2t 9 (1 x)(8 x)
2
−
= + − nên (*) trở thành 
2tt a
2
−
= −
9 . 
2t 9t a
2 2
+ − = (**) 
Phương trình (*) có nghiệm . (**) có nghiệm thỏa mãn 
t [3; 3 2 ]. . đường thẳng y = a có điểm chung với đồ thị 
2t 9y f (t) t
2 2
= = + − với t [3; 3 2]. . 
Vì f'(t) = t + 1 nên ta có bảng biến thiên: 
t −1 3 3 2 
f'(t) − 0 + + + 
f(t) 
3 
9 3 2
2
+ 
Do đó 9a 3; 3 2
2
 
. +   . 
Thí dụ 6: Giải phương trình: 
2 2(4x 1) x 1 2x 2x 1− − = + + 
Giải: Đặt 2t x 1= + =
22(t 1) 2x− +
1 1. thì Phương trình đưa về dạng 
2 2x t= −
(4x 1).t 1− = +
. 22t (4x 1)t 2x 1 0.− − + − =
Giải t theo x ta có 1t
2
= hoặc t = 2x − 1. 
Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất 
 Nhà xuất bản Giáo dục 
www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng 
Vì t = 1 nên t = 2x − 1 . 2x 1 2x+ = −1 . 
2 2
1x
2
x 1 (2x 1)

= + = −
. 
2
1x
2
3x 4x 0

=
− =
 . 4x
3
= . 
Thí dụ 7: Giải phương trình: 
3 3x 1 2 2x+ = −1 
Giải: Đặt 3t 2x= −
3x 1 2t.+ =
1 ,
t
x
1
1
0
 . khi đó phương trình đã cho 
trở thành Vậy ta có hệ: 
3t 1 2x+ =
3
3
x 1 2
t 1 2
 + =
+ =
Nếu x > t ⇒ ⇒ 2t > 2x ⇒ t > x mâu thuẫn. 3 3x 1 t+ > +
 Nếu x < t ⇒ ⇒ 2t < 2x ⇒ t < x cũng mâu thuẫn. 
Vậy t = x. Phương trình đã cho tương đương với 
3 3x 1 t+ < +
3x 1 2x+ = . ⇒ (x 3x 2x 1− + = 21)(x x 1) 0− + − =
 ⇒ 
x 1
1 5x
2
=
− ±
=
. 
Thí dụ 8: Giải phương trình 
4 4x 17 x+ − = 3 
Giải: Đặt 4u x= = 0 ; 4 7 x= − =v 1 , dẫn đến hệ: 0
7
=
0 0
4 4
u v 3
u v 1
+ =
+ =
 . 2 2 2
u v 3
[(u v) 2uv] 2(uv) 17
+ =
+ − − =
. . 2
u v 3
(uv) 18(uv) 32 0
+ =
− +
u v 3
uv 2
uv 16
+ =
=
=
Theo định lý Viet thì u, v là các nghiệm của phương trình: 
 . t = 1 và t = 2 hoặc (vô nghiệm). 2t 3t 2− + = 2t 3t 16− + =
Do đó: 
Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất 
 Nhà xuất bản Giáo dục 
www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng 
u 1
v 2
u 2
v 1
 =
=
=
=
 . 
4
4
4
4
x 1
17 x 2
x 2
17 x 1
 =
− = =
− =
 . . 
x 1
x 16
=
=
3. Sử dụng bất đẳng thức và tính chất hàm số 
Thí dụ 9: Giải phương trình 
2000 20001 x 1 x 1+ + − = 
Giải: Điều kiện căn thức có nghĩa: −1 = x = 1. 
Gọi vế trái là f(x). Nếu x > 0 thì 20001 x 1+ > nên f(x) > 1, không 
thỏa mãn. Nếu x 0 cũng không thỏa 
mãn. Tóm lại phương trình vô nghiệm. 
Thí dụ 10: (ĐH Ngoai thương - 1997). Giải phương trình: 
2 2x 15 3x 2 x 8+ = − + + . 
Giải: Viết phương trình về dạng: 
2 2x 15 x 8 3x+ − + = − 2 . 
Gọi vế trái là f(x) thì f(x) > 0 với mọi x nên 3x − 2 > 0 ⇒ 2x
3
> . 
Lưu ý: 
2 2
7x)
x 15 x 8
=
+ + +
f ( ta có: 
+ f(1) = 1 = 3.1 − 2 nên x = 1 là nghiệm. 
+ Nếu x > 1 thì f(x) < f(1) = 1 < 3x − 2 nên không thỏa 
mãn. 
+ Nếu 2 x 1
3
 f(1) = 1 > 3x − 2 nên cũng không thỏa 
mãn. 
Tóm lại: PT có nghiệm duy nhất x = 1. 
Chú ý: Các bạn lớp 12 có thể thấy f'(x) < 0 với 2x
3
> nên f(x) 
nghịch biến trên 2 ;
3
+ 8 
   . 
Thí dụ 11: Tìm m để phương trình: 
4 41 x 1 x 1 x 1 x m+ + − + + + − = có nghiệm duy nhất. 
Giải: Gọi vế trái là f(x) thì f(x) là hàm số chẵn trên [−1; 1]. 
Điều kiện cần: Giả sử phương trình có nghiệm duy nhất x = α, vì 
f(x) là hàm số chẵn nên f(α) = f(−α) ⇒ x = −α cũng là nghiệm. Vì 
nghiệm là duy nhất nên α = −α ⇒ α = 0. Thay x = 0 vào phương 
trình ta có m = f(0) = 4. 
Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất 
 Nhà xuất bản Giáo dục 
www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng 
Điều kiện đủ: Với m = 4, ta có phương trình f(x) = 4. Áp dụng bất 
đẳng thức Bunhiacôpski ta được 
( )21 x 1 x 2(1 x 1 x) 4+ + − = + + − = ⇒ 1 x 1 x 2+ + − = (1) 
Tương tự: ( ) ( )24 41 x 1 x 2 1 x 1 x 4+ + − = + + − = 
 ⇒ 4 41 x 1 x 2+ + − = (2) 
Từ (1), (2) suy ra: f(x) = 4. Vậy f(x) = 4 . (1), (2) đồng thời trở 
thành đẳng thức. 
. 
4 4
1 x 1 x
1 x 1 x
 + = −
+ = −
Do đó m = 4 là giá trị duy nhất thỏa mãn. 
Thí dụ 12. Giải bất phương trình 
2 9x x x 1 2 x+ − + > − +9 1 
Gọi vế trái là f(x) và vế phải là g(x) 
( ) 22 2
2 2 2
2x 11
(2x 1) 3 2x 1x x x 1 ' 2 x x 1f '(x)
2 x x x 1 2 x x x 1 4 x x x 1 . x 2x 1
−
+
− + + −+ − +
− +
= = =
+ − + + − + + − + − +2
2 2
| 2x 1| 2x 1 0
4 x x x 1 . x x 1
− + −
> =
+ − + − +
 mọi x 
⇒ f(x) đồng biến trên R. 
Mặt khác g'(x) = mọi x nên f(x) nghịch biến trên R. 299x 0− =
Ta có: f(1) = g(1) = 2 . Nếu x > 1 thì f(x) > f(1) = g(1) . g(x) 
 ⇒ x > 1 thỏa mãn. Nếu x < 1 thì f(x) < f(1) = g(1) < g(x) nên 
không thòa mãn. 
Tóm lại: Nghiệm của bất phương trình là x > 1. 
4. Phương pháp lượng giác hóa 
Nhiều phương trình, bất phương trình có thể lượng giác hóa để lợi 
dụng các công thức lượng giác rút gọn các biểu thức vô tỷ. 
Thí dụ 13: Giải phương trình 
( )2 21 1 x x 1 2 1 x+ − = + − 
Giải: Để căn thức có nghĩa thì x . [−1; 1]. Đặt x = sinα với 
;
2 2
π π
α . − 
 . Phương trình trở thành: 
Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất 
 Nhà xuất bản Giáo dục 
www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng 
1 cos sin (1 2cos )+ α = α + α . 
32 cos sin sin 2 2 cos 2sin cos
2 2
α α
= α + α =
2 2
α α 
;
2 2
π π 
α . −   02
α
.
3 2sin
2 2
α
=
3 3 3;
2 4 4
α π π 
. −  
3
2 4
α π
=
3 3
2 4
α π
= =
Vì nên cos . 
Do đó . 
Vì nên hoặc . 
6
π
α = hoặc 
2
π
α = . 1x
2
= hoặc x = 1. 
Thí dụ 14: Tìm m để bất phương trình: 
m x m x+ + − = 2 có nghiệm. 
Giải: Với m < 0 thì m − x vô nghĩa với mọi x nên bất PT vô 
nghiệm. Với m = 0 thì dễ thấy bất phương trình có nghiệm duy 
nhất x = 0. Với m > 0 thì điều kiện căn thức có nghĩa là 
x0 1
m
= = . 
Đặt x m cos= α với α . 0;
2
π    thì bất phương trình trở thành: 
m(1 cos ) m(1 cos )+ α + − α . 2= 1cos
2 4 m
α π 
− =   . Với 
0;
2
π
α .  
 thì 
2 cos .
2 2
α π
= − 1
4
    = 
Vậy bất phương trình có nghiệm: 
1
2m
=
2 . 0 = m = 2. Tóm lại: 0 = m = 2. 
Bài tập: 1. Giải phương trình 
a) 3 21 2(x 2)+ = +5 x 
b) 
2
2
5x 10x 1x 2
x 6x 1
− +
− =
+ − 1
c) 1 1x x x 2000
2 4
+ + + + = 
d) 3x 1 x 1 2x+ − + = 
2. Tìm m sao cho: 
a) 23x mx m 3 1 2x− + − + = có nghiệm duy nhất. 
Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất 
 Nhà xuất bản Giáo dục 
www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng 
b) 2 2x 2x m 3 2x x− + = + − thỏa mãn với . x [ 1; 3]. −
3. Giải bất phương trình: 
a) 1 1 xx 1
x x
−
− − − >
1
x
b) 3 3x 1 x 1 4.− + + > 
4*. Giải phương trình: 
2 3 31 1 x (1 x) (1 x) 2 1 x + − + − − = + −  2 . 
Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất 
 Nhà xuất bản Giáo dục