Chuyên đề Véc tơ

CHUYÊN ĐỀ : VÉC TƠ 
Dạng 01 - Chứng Minh Một Đẳng Thức Vectơ
Phương pháp: Ta có thể sử dụng các phương pháp sau
1. Biển đổi vế trái thành vế phải hay ngược lại.
2. Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức hiển nhiên đúng.
3. Biến đổi một đẳng thức vectơ cho trước tới một đẳng thức cần chứng minh.
4. Thường sử dụng 
Nếu thì
Bài 01: Cho tam giá ABC có trọng tâm G
1. Chứng minh rằng 
2. Chứng minh rằng nếu
thì M là trọng tâm của tam giác ABC
Bài 02: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng: 
1. 
2. 
3. 
Bài 03: Cho tứ giác ABCD, gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF. Chứng minh rằng :
1. 
2. 
Bài 04: Cho bên ngoài tam giác ABC, ta vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng 
Lời giải
Bài1:
Ta chứng minh rằng (tức chứng minh )
Ta có: 
(vì 
Theo giả thiết ta có
nên 
Dạng 02: Xác định vị trí của một điểm thỏa một vectơ cho trước 
Bài 01: Cho . Xác định vị trí điểm M sao cho:
Bài 02: Cho , gọi A' là điểm đối xứng với A qua B, B' là điểm đối xứng với B qua C, và C' là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh rằng 2 tam giác ABC, A'B'C' có cùng trọng tâm G.
Bài 03: G là trọng tân của tứ giác ABCD, A', B', C', D' lần lượt là trọng tâm các 
1. Chứng minh rằng G là điểm chung của các đoạn thẳng: AA', BB', CC', DD'.
2. Điểm G chia các đoạn thẳng AA', BB', CC', DD' theo các tỉ số nào ?
3. Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm của tứ giác A'B'C'D'.
Bài 04: Cho . Hãy xác định điểm M thỏa mãn điều kiện:
Bài 05: Cho 
a) Xác định điểm M sao cho 
b) XÁc định điểm N sao cho 
Dạng 03: Chứng minh 1 biểu thức vectơ không phụ thuộc vào điểm di động
Bài 01: Cho cố định và điểm M di động. Chứng minh rằng:
 không phụ thuộc vào vị trí của M.
Bài 02: Cho 
1. Cho M là điểm bất kì. Chứng minh rằng không phụ thuộc vào vị trí của M.
2. Gọi D là điểm sao cho , CD cắt AB tại K.
Chứng minh và .
Bài 03: Cho và một điểm M bất kì.
Chứng minh rằng không phụ thuộc vào vị trí điểm M. Dựng D sao cho 
Bài 04: Cho , M là 1 điểm tùy ý.
1. Chứng minh rằng không phụ thuộc vị trí điểm M
2. Hãy dựng điểm I sao cho .
3. Đường thẳng CI cắt AB tại N. Chứng minh:
a) 
b) 
Dạng 04: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng 
Phương pháp: Giả sử phải chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng ta cần chứng minh cùng phương với ( hay cùng phương với , hay cùng phương với ). 
Bài 01: Cho , đặt 
1. Gọi P là điểm đối xứng của B qua C. Tính theo 
2. Gọi Q và R là 2 điểm định bởi: và 
Tính và theo 
3. Suy ra 3 điểm P, Q, R thẳng hàng.
Bài 02: Cho , gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho 
1. Chứng minh rằng 
2. Tính vectơ theo 
Bài 03: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M là một điểm bất kì gọi 
Chứng minh rằng đường thẳng MS đi qua 1 điểm cố định khi M di động.3. Suy ra 3 điểm A, I, S thẳng hàng.
Bài 04: Cho lấy các điểm M, N, P sao cho:
1. Tính theo 
2. Chứng minh rằng M, N, P, thẳng hàng.
Dạng 05: Tìm tập hợp (quỹ tích) các điểm M thoả một hệ thức vectơ 
Bài 01: Cho 3 điểm cố định A, B, C không thẳng hàng. Gọi M là điểm di động sao cho cùng phương với BC.
1. Tìm tập hợp các điểm M.
2. Gọi N là điểm sao cho ABNM là hình bình hành. Tìm tập hợp các điểm N.
3. Gọi I la tâm của hình bình hành ABMN. tìm tập hợp các điểm I.
Bài 02: Cho , G là trọng tâm. Gọi M và N là 2 điểm di động.
1. Chứng minh rằng không phụ thuộc điểm N.
2 Tìm tập hợp các điểm M sao cho với a là độ dài cho trước.
Bài 03: Cho . Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện sau:
1. 
2. 
3.
Bài 04: Cho tứ giác ABCD.
1. Xác định điểm O sao cho 
2. Tìm tập hợp các điểm M thỏa hệ thức: 
Dạng 06: Tính tích vô hướng của hai vectơ 
Bài 01: Cho có: 
Tính theo 
Bài 02:
Cho đều, cạnh a. Tính các tích vô hướng sau đây:
Bài 03:
Cho tam giác vuông tại C có CA = b. Tính 
Bài 04:
Cho có BC = a, CA = b, AB = c.
1. Tính . Suy ra 
2. G là trọng tâm . Tính AG và cosin của góc nhọn hợp bởi AG và BC.
Dạng 07: Chứng minh một đảng thức về tích vô hướng và một đẳng thức các độ dài 
Bài 01:
Cho 2 điểm A, B và M là điểm bất kì. Gọi H là hình chiếu của M lên AB và I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng:
Bài 02:
Cho , G là trọng tâm. Chứng minh rằng:
1. 
2. với M là điểm bất kì.
3. Suy ra rằng:
với a, b, c là 3 cạnh.
với O là tâm, bán kính R đường tròn ngoại tiếp
Bài 03:
Cho vuông góc tại A, AB = 3, và M là 1 điểm trên cạnh AC.
1. Tính 
2. Gọi I là trung điểm trên cạnh BC sao cho . Tính 
Bài 04: 
Cho tam giác ABC cân tại A, H là trung điểm của BC và D là hình chiếu của H lên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh 
Dạng 08: Chứng minh 2 vectơ vuông góc & Tìm ĐK để 2 vectơ vuông góc 
* Chứng minh hai vectơ vuông góc
* Tìm điều kiện để hai vectơ vuông góc
Phương pháp:
* Để chứng minh hai vectơ và (hoặc hai đường thẳng cùng phương với và ) vuông góc. Ta chứng minh 
* Để tìm điều kiện vuông góc của hai vectơ ta sử dụng định lí:
Bài 01:
Cho cân tại A. Gọi H là trung điểm của BC. D là hình chiếu của H lên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh rằng: 
Bài 02:
Cho và 
Chứng minh rằng: vectơ vuông góc với vectơ 
Bài 03:
Cho với đường tròn ngoại tiếp của nó có tâm O. Gọi H là điểm xác định bởi 
1. Tính . Suy ra H là trực tâm của 
2. Tìm hệ thức giữa độ dài 3 cạnh của là a, b, c sao cho (M là trung điểm của BC)..
Bài 04:
Cho đường tròn C(O;R). Chứng minh điều kiện cần và đủ để AM là tiếp tuyến của C tại M là 
Dạng 09: Tập hợp điểm thỏa một đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài 
Tập hợp điểm thỏa một đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài
Phương pháp: Đưa đẳng thức về một trong các dạng sau.
1. ; cố định, không đổi. Thì tập hợp của M là đường thẳng qua A và cùng phương với .
2. với A, B cố định. Thì tập hợp của M là đường trung trực của AB.
3. với A cố định, không đổi. Thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A, bán 
Bài 01:
Cho . Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
Bài 02:
Cho , tìm tập hợp những điểm M thỏa các điều kiện sau:
Bài 03:
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Bài 04:
Cho . Tìm tập hợp các điểm M sao cho 
Dạng 10: Dùng phương pháp vectơ để giải quyết bài toán thuần túy 
Dùng phương pháp vectơ để giải quyết bài toán học thuần túy
Phương Pháp:
1. Diễn dịch bài toán hình học thuần túy thành bài toán về vectơ.
2. Dùng lí thuyết về vectơ để chứng minh hay tính toán các vấn đề đặt ra. 
Bài 01:
Chứng minh rằng hai đường chéo của một hình thoi ABCD vuông góc với nhau.
Bài 02:
Cho tứ giác ABCD bất kì. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CB, CD, DA. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành
Bài 03:
Cho 4 điểm A, B, C, D bất kì.
1. Chứng minh rằng 
2. Suy ra rằng 3 đường cao của một tam giác bất kì, đồng quy tại một điểm gọi là trực tâm.
Bài 04:
Cho bất kì, gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng:
Dạng 12: Các bài toán liên quan đến tọa độ trong hệ trục tọa độ Descarter vuông góc. 
Các bài toán liên quan đến tọa độ trong hệ trục tọa độ Descartes vuông góc.
Phương Pháp:
* Tìm tọa độ một vectơ, tổng, hiệu, tích.
* Áp dụng công thức tọa độ điểm M chia AB theo k.
* Áp dụng hệ thức Chasles.
* Biến đổi về vectơ. 
Bài 01:
Trong mặt phẳng Oxy, cho 3 điểm A(1; 0), B(-1; -5), C(-1; -4). Tìm tọa độ của:
1. Các cặp vectơ 
2. Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
3. Tâm I của hình bình hành ABCD.
Bài 02:
Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 điểm A(1; 3), B(13; 8).
1. Xác định tọa độ của 
2. Tìm khoảng cách giữa A và B.
3. Tìm tọa độ I trung điểm của AB.
4. Tìm tọa độ A', điểm đối xứng của A qua B.
Bài 03:
Trong mặt phẳng Oxy cho có trọng tâm G, M là trung điểm của BC
1. Chứng minh rằng : 
Áp dụng: Tìm G với A(2; 5), B(6; 3), C(-3; -4).
2. Tính tọa độ của các vectơ 
Bài 04:
Trong mặt phẳng Oxy, cho A(1; 3), B(0; 2), C(4; 5). Xác định 3 điểm E, F, G. Biết rằng:
1. 
2. 
3. G là trọng tâm của .