I. Định nghĩa:
1. Vectơ AB là một đoạn thẳng có định hướng từ A đến B, kí hiệu AB
a) A: điểm gốc.
b) B: điểm ngọn.
c) Đường thẳng AB: giá của AB
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 1 CHÖÔNG I: VECTÔ I. Ñònh nghóa: 1. Vectô AB laø moät ñoaïn thaúng coù ñònh höôùng töø A ñeán B, kí hieäu AB JJJG . a) A: ñieåm goác. B b) B: ñieåm ngoïn. c) Ñöôøng thaúng AB: giaù cuûa AB JJJG . A 2. Phöông cuûa AB JJJG : taäp hôïp caùc ñöôøng thaúng song song vôùi ñöôøng thaúng AB, hoaëc truøng vôùi ñöôøng thaúng AB. 3. Höôùng cuûa AB JJJG : höôùng (chieàu) töø A ñeán B theo phöông cuûa AB JJJG . 4. Moâñun cuûa AB JJJG , kí hieäu AB JJJG laø ñoä daøi cuûa ñoaïn thaúng AB. 5. Vectô khoâng, kí hieäu 0 G , laø vectô coù moâñun baèng 0 (ñieåm goác vaø ñieåm ngoïn truøng nhau). 0 G coù phöông vaø höôùng tuøy yù. II. Vectô cuøng phöông, cuøng höôùng, ngöôïc höôùng: B 1 2 3d // d // d (d1, d2, d3 cuøng phöông) E D a) AB JJJG vaø CD JJJG cuøng phöông, cuøng höôùng. A F b) AB JJJG vaø EF JJJG cuøng phöông ngöôïc höôùng. C III. Vectô baèng nhau, ñoái nhau, töï do: 1. Vectô baèng nhau: AB vaø CD cuøng phöông AB CD AB vaø CD cuøng höôùng AB CD ⎧⎪⎪= ⇔ ⎨⎪ =⎪⎩ JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJGJJJG 2. Vectô ñoái nhau: AB vaø EF cuøng phöông AB vaø EF ñoái nhau AB vaø EF ngöôïc höôùng AB EF ⎧⎪⎪⇔ ⎨⎪ =⎪⎩ JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJGJJJG Kí hieäu: AB EF; AB BA= − = −JJJG JJJG JJJG JJJG 3. Vectô töï do: laø caùc vectô baèng nhau a b c...= = vôùi goác tuøy yù. IV. Pheùp coäng vaø tröø vectô: 1. Toång cuûa hai vectô: c G a) Ñònh nghóa: OA a, AB b,OB c= = =JJJG G JJJG G JJJG G bG bG Neáu OB OA AB= +JJJG JJJG JJJG thì c a b= +G G G . aG b) Quy taéc ba ñieåm cuûa pheùp coäng vectô: O, A, B baát kyø: OB OA AB OB OA AC CD DB= + ⇒ = + + +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG aG Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 2 c) Tính chaát cuûa pheùp coäng vectô: ( ) ( ) a b b a a b c a b c + = + + + = + + G G G G G G G G G G ( ) a 0 0 a a a a 0 + = + = + − = G G G G G G G G d) Quy taéc hình bình haønh: A C OA OB OC OACB laø hình bình haønh + =JJJG JJJG JJJG 2. Hieäu cuûa hai vectô: O B a) Ñònh nghóa: ( )a b a b− = + −G G G G A b) Quy taéc ba ñieåm cuûa pheùp tröø vectô: O, A, B baát kyø: OB OA AB− =JJJG JJJG JJJG O B V. Pheùp nhaân vectô: 1. Ñònh nghóa: Cho a 0, m R, m 0≠ ∈ ≠G G b cuøng höôùng vôùi a neáu m>0 ma b : b ngöôïc höôùng vôùi a neáu m<0 b ma ⎧⎪⎪= ⎨⎪ =⎪⎩ G G G G G G G G Quy öôùc: m 00.a 0, a ma 0 a 0m.0 0, m ⎫ =⎧= ∀ ⎪ ⎪⇒ = ⇔⎬ ⎨ =⎪= ∀ ⎪ ⎩⎭ G G G G GG G 2. Tính chaát: ( ) ( ) ( ) m. n.a m.n .a m n .a ma na = + = + G G G G G ( ) ( ) ( ) m a b ma mb 1 .a 1. a a + = + − = − = − G G G G G G G 3. Vectô cuøng phöông: a vaø b cuøng phöông, b 0 coù m R duy nhaát sao cho a mb≠ ⇔ ∈ =G G G G G . Chuù yù: 1. ( )O, A, B thaúng haøng OA vaø OB cuøng phöông OA kOB k R⇔ ⇔ = ∈JJJG JJJG JJJG JJJG . 2. M laø tr ung ñieåm MA MB 0⇔ + =JJJG JJJG G . 3. AM laø tr ung tuyeán cuûa ABC AB AC 2AMΔ ⇔ + =JJJG JJJG JJJJG 4. G laø tr oïng taâm cuûa ABC GA GB GC 0Δ ⇔ + + =JJJG JJJG JJJG G . 5. 1 2 1 2OA OA A A , O= ⇒ ≡ ∀ JJJJG JJJJG BAØI TAÄP 1. Cho hai hình bình haønh ABCD vaø ABEF. Döïng caùc vectô EH JJJG vaø FG JJJG baèng vectô AD JJJG , chöùng minh raèng CDGH laø hình bình haønh. F G Höôùng daãn: Vì ABCD vaø ABEF laø hình bình haønh E H Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 3 neân: AB DC FE GH DC gt : FG EH FE GH ⎫= = ⎪⇒ =⎬= ⇒ = ⎪⎭ JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG A D Do G, H, D, C khoâng thaúng haøng. Vaäy CDGH laø hình bình haønh. B C 2. Cho boán ñieåm A, B, C, D. Tính caùc vectô sau: a) v AB DC BD CA= + + +G JJJG JJJG JJJG JJJG . b) u AB CD BC DA= + + +JG JJJG JJJG JJJG JJJG . Höôùng daãn: a) ( ) ( )v AB DC BD CA AB BD DC CA AD DA 0= + + + = + + + = + =G JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G . b) ( ) ( )v AB CD BC DA AB BC CD DA AC CA 0= + + + = + + + = + =G JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G . 3. Cho boán ñieåm A, B, C, D. Chöùng minh raèng AB CD AC DB− = +JJJG JJJG JJJG JJJG . Höôùng daãn: AB CD AC DB AB CD AC BD AB BD AC CD AD AD− = + ⇔ − = − ⇔ + = + ⇔ =JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG (ñaúng thöùc ñuùng). Caùch khaùc: ( ) ( )AB CD AC CB CB BD AC BD AC DB− = + − + = − = +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG . 4. Cho hình bình haønh ABCD, O laø giao ñieåm hai ñöôøng cheùo. Chöùng minh OA OB OC OD 0+ + + =JJJG JJJG JJJG JJJG G . Höôùng daãn: O laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng cheùo AC vaø BD: ( ) ( )OA OB OC OD OA OC OB OD 0+ + + = + + + =JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G 5. Cho saùu ñieåm A, B, C, D, E, F. Chöùng minh: AD BE CF AE BF CD+ + = + +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG . Höôùng daãn: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AD BE CF AE ED BF FE CD DF AE BF CD ED DF FE AE BF CD + + = + + + + + = + + + + + = + + JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 6. Cho hai vectô ( )a vaø b a, b 0≠G G . Haõy tìm moái quan heä giöõa a vaø bG G neáu coù moät trong hai ñieàu kieän sau: a b a b+ = +JG JJGG G ; a b a b+ = −G G G G . A Höôùng daãn: a G b G Neáu a b a b+ = +JG JJGG G O c a b= +G G G B Ta coù: OB OA AB A naèm giöõa O vaø B a, b cuøng höôùng= + ⇒ ⇒ G G Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 4 Neáu a b a b+ = −G G G G A bG B Ta coù: OB CA= aG Hình bình haønh OABC coù hai ñöôøng cheùo baèng nhau OABC laø hình chöõ nhaät OA OC⇒ ⇒ ⊥ a b⇒ ⊥G G O C 7. Cho töù giaùc ABCD, I vaø J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa hai ñöôøng cheùo AC vaø BD. Chöùng minh AB CD 2IJ+ =JJJG JJJG JJG . Höôùng daãn: A ( ) ( )AB CD AI IJ JB CI IJ JD+ = + + + + +JJJG JJJG JJG JJG JJG JJG JJG JJG ( ) ( )2IJ AI CI JB JD= + + + +JJG JJG JJG JJG JJG B D 2IJ= JJG C 8. Cho tam giaùc ABC. Goïi M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa BC, CA, AB. Chöùng minh: AM BN CP 0+ + =JJJJG JJJG JJJG G . Höôùng daãn: ( ) ( ) ( ) 1 1AM BN CP AB BM BC CN CB BP AB BC MC CN AB MN 02 2+ + = + + + + + = + + + = + =JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G . Vì 1 1BC CB 0, BP BA, BM MC, MN BA 2 2 + = = = =JJJG JJJG G JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG Caùch khaùc: Duøng quy taéc trung ñieåm ( ) ( ) ( ) 1AM AB AC 2 1BN BA BC ñpcm 2 1CP CA CB 2 ⎧ = +⎪⎪⎪ = + ⇒⎨⎪⎪ = +⎪⎩ JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 9. Cho töù giaùc ABCD, M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD vaø BC. Chöùng minh raèng ( )1MN AB DC2= +JJJG JJJG JJJG . Höôùng daãn: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1MN MB MC MA AB MD DC 2 2 1 1 1 MA MD AB DC AB DC 2 2 2 = + = + + + = + + + = + JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 5 10. Cho hai vectô a vaø b G G . Chöùng minh raèng: a) a b a b+ = +G G G G b) a b a b+ = −G G G G Khi naøo xaûy ra daáu ñaúng thöùc? Höôùng daãn: a) Döïng OA a, AB b,OB a b= = = +JJJG G JJJG G JJJG G G . Vôùi ba ñieåm O, A, B luoân coù OB OA+AB hay a b a b≤ + ≤ +G G G G . Daáu " " xaûy r a khi O, A, B thaúng haøng vaø A naèm tr ong OB= . b) Döïng OA a, OB b. Ta coù: a b OB OA BA= = − = − =JJJG G JJJG G G G JJJG JJJG JJJG . Suy r a: a b AB AB OA OB a b− = = ≥ − = −G G JJJG G G . Daáu " " xaûy r a khi a // b= G G . 11. Cho ñoaïn thaúng AB vaø hai soá ,α β khoâng ñoàng thôøi baèng 0. Chöùng minh raèng: a) Neáu 0 thì toàn taïi duy nhaát ñieåm M sao cho MA MB 0α + β ≠ α + β =JJJG JJJG G . b) Neáu 0 thì khoâng toàn taïi ñieåm M sao cho MA MB 0α + β = α + β =JJJG JJJG G . c) Neáu 0 thì v MA MB khoâng ñoåi, khoâng phuï thuoäc vò tr í ñieåm Mα + β = = α + βG JJJG JJJG . d) ( )Neáu 0 thì vôùi moïi ñieåm M, ta coù: MA MB MI,α +β ≠ α + β = α + βJJJG JJJG JJJG trong ñoù I laø ñieåm xaùc ñònh bôûi IA IB 0α +β =JJG JJG G . e) Neáu 0, M vaø N xaùc ñònh bôûi MN MA MBα +β ≠ ∀ = α + βJJJG JJJG JJJG . Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng ñi qua moät ñieåm coá ñònh. Höôùng daãn: a) ( ) ( )MA MB 0 MA AB AM 0 AM AB AM ABβα + β = ⇔ −α +β − = ⇔ α+β = β ⇔ = α+βJJJG JJJG G JJJG JJJG JJJJG G JJJJG JJJG JJJJG JJJG toàn taïi duy nhaát M⇒ . b) Giaû söû M∃ sao cho ( )MA MB 0 MA MB 0 MA MB 0α + β = ⇒ α −α = ⇔ α − =JJJG JJJG G JJJG JJJG G JJJG JJJG G BA 0⇒ α =JJJG G 0 0⇒ α = ⇒ β = : traùi giaû thieát. Vaäy khoâng toàn taïi M thoûa yeâu caàu baøi toaùn. c) v MA MB BA laø vectô khoâng ñoåi.= α +β = αG JJJG JJJG JJJG d) ( ) ( ) ( ) ( )MA MB MI IA MI IB MI IA IBα + β = α + + β + = α + β + α +βJJJG JJJG JJJG JJG JJJG JJG JJJG JJG JJG Vaäy ( )MA MB MI hay MI MA MBα βα + β = α + β = +α + β α +β JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG . e) Ñaët ( )MN MA MB MN MI MN // MI M, N, I thaúng haøng= α + β ⇒ = α+β ⇒ ⇒JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG Vaäy ñöôøng thaúng MN luoân qua ñieåm I coá ñònh. 12. Cho tam giaùc ABC. Goïi A1, B1, C1 laø caùc ñieåm xaùc ñònh bôûi 1 12A B 3A C 0+ = JJJJG JJJJG G , 1 12B C 3B A 0+ = JJJJG JJJJG G . Chöùng minh raèng tam giaùc ABC vaø A1B1C1 coù cuøng troïng taâm. Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 6 Höôùng daãn: Giaû thieát ta coù: ( ) ( )11 1 1 1 1 1 1 2GB 3GC 5GA 2GC 3GA 5GB 5 GA GB GC 5 GC GA GB GG 0 hay G G 2GA 3GB 5GC ⎫+ = ⎪⎪+ = ⇒ + + = + + ⇒ = ≡⎬⎪+ = ⎪⎭ JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG G JJJG JJJG JJJJG . Trong ñoù G laø troïng taâm tam giaùc ABC, G1 laø troïng taâm tam giaùc A1B1C1. 13. Cho hai vectô a, b khaùc 0 G G G vaø khoâng cuøng phöông. Goïi u, v JG G laø hai vectô ñònh bôûi 1 1u a b= α + β JG G G , 2 2v a b= α + β G G G . Chöùng minh raèng 1 2 1 2u v vaø = ⇔ α = α β = β JG G , coøn u, v JG G cuøng phöông 1 2 2 1 0⇔ α β −α β = . Höôùng daãn: • ( ) ( )1 1 2 2 1 2 2 1u v a b a b a b= ⇔ α +β = α + β ⇔ α −α = β −βJG G G G G G G G (1) Ñieàu naøy voâ lyù neáu 1 2 2 10 hoaëc 0α −α ≠ β −β ≠ . Vaäy ( ) 1 2 2 1 1 2 1 21 0 vaø ⇔ α −α = = β −β ⇒ α = α β = β . • Ta coù 2 21 2 1 1u vaø v cuøng phöông k ,k R; k k 0⇔ ∃ ∈ + > JG G Sao cho ( ) ( ) 1 1 2 21 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 k k 0 k u k v 0 k k a k k b 0 k k 0 α + α =⎧+ = ⇔ α + α + β + β = ⇔ ⎨ β + β =⎩ JG G G G G G . Heä coù nghieäm khi 1 2k k 0= = • Ñieàu kieän 1 22 21 2 1 2 2 1 1 2 k k 0 D 0 0 α α+ > ⇒ = = ⇔ α β − α β =β β 14. A, B, C laø ba ñieåm phaân bieät. Chöùng minh raèng: A, B, C thaúng haøng AB vaø AC cuøng phöông⇔ JJJG JJJG . Höôùng daãn: Thuaän: A, B,C thaúng haøng AB vaø AC cuøng giaù AB, AC cuøng phöông⇔ ⇒JJJG JJJG JJJG JJJG . Ñaûo: Neáu AB, AC JJJG JJJG cuøng phöông thì hai ñöôøng thaúng AB, AC cuøng phöông. Nhöng hai ñöôøng thaúng naøy coù chung ñieåm A neân truøng nhau. Suy ra A, B, C thaúng haøng 15. Cho hình thang ABCD coù hai ñaùy AB, CD vôùi AB 2CD= . Töø C veõ CI DA=JJG JJJG . Chöùng toû: a) I laø trung ñieåm AB. b) DI CB=JJG JJJG . Höôùng daãn: a) Do CI DA=JJG JJJG neân CIAD laø hình bình haønh AI // CD⇒ . Do ñoù I ôû treân AB. Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 7 Ma ... hì ( ) ( )1 MS MJ L⇔ = ⇒ = trung tröïc SJ Neáu k 1≠ . Goïi P, Q laø ñieåm chia SJ theo tæ soá 3k PS QS MS PS QS3k PJ QJ MJ PJ QJ ⇒ = = ⇒ = = Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 45 ⇒ MP, MQ laø phaân giaùc goùc SMJ ( )MP MQ L⇒ ⊥ ⇒ = ñöôøng troøn ñöôøng kính PQ. Baøi 8: Cho tam giaùc ABC, G laø troïng taâm. Goïi M vaø N laø hai ñieåm di ñoäng. 1) Chöùng minh raèng u NA NB 2NC= + −JG JJJG JJJG JJJG khoâng phuï thuoäc ñieåm N. 2) Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M sao cho MA MB MC a+ + =JJJG JJJG JJJG vôùi a laø moät ñoä daøi cho tröôùc. 3) Tìm taäp hôïp M thoûa MA MB MA MC+ = +JJJG JJJG JJJG JJJG . Höôùng daãn: 1) ( ) ( )u NA NB 2NC NC CA NC CB 2NC CA CB= + − = + + + − = +JG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG . Vaäy u JG khoâng phuï thuoäc vaøo ñieåm N. 2) MA MB MC a MG GA MG GB MG GC a+ + = ⇔ + + + + + =JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG 3MG a⇔ =JJJJG (G laø troïng taâm Δ ABC) aMG 3 ⇔ = . Do tam giaùc ABC coá ñònh neân G coá ñònh. Vaäy taäp hôïp ñieåm M laø ñöôøng troøn taâm G, baùn kính aR 3 = . 3) MA MB 2ME+ =JJJG JJJG JJJG (E laø trung ñieåm AB) MA MC 2MF+ =JJJG JJJG JJJG (F laø trung ñieåm AC) MA MB MA MC 2ME 2MF ME MF+ = + ⇔ = ⇔ =JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG Vaäy taäp hôïp caùc ñieåm M caàn tìm laø ñöôøng trung tröïc EF. Baøi 9: Cho tam giaùc ABC vaø vectô v 3MA 2MB MC, M= − − ∀JJJG JJJG JJJGG . 1) Chöùng minh vG laø vectô khoâng ñoåi. 2) Veõ vectô AD v=JJJG G . Chöùng minh ñöôøng thaúng AD luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh khi M thay ñoåi. Baøi 10: Cho tam giaùc ABC. Tìm taäp hôïp ñieåm M sao cho: 1) ( )MA kMB kMC k R+ = ∈JJJG JJJG JJJG . 2) ( ) ( ) ( )MA 1 k MB 1 k MC 0 k R+ − + + = ∈JJJG JJJG JJJG G . 3) ( ) ( )MA 1 k MB kMC 0 k R+ − − = ∈JJJG JJJG JJJG G . 4) ( )MA kMB kMC 0 k R+ + = ∈JJJG JJJG JJJG G . 5) ( ) ( )kMA 1 k MB 0 k R+ − = ∈JJJG JJJG G . 6) ( ) ( )2MA 3 k MB kMC 0 k R+ − + = ∈JJJG JJJG JJJG G . 7) ( ) ( )2MA 1 k MB 3kMC 0 k R− + − = ∈JJJG JJJG JJJG G . 8) v MA MB 2MC cuøng phöông BC= + +G JJJG JJJG JJJG JJJG . Baøi 11: Cho hai ñieåm A, B coá ñònh. Tìm taäp hôïp ñieåm M sao cho: 1) MA MB MA MB+ = −JJJG JJJG JJJG JJJG . Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 46 2) 2MA MB MA 2MB+ = +JJJG JJJG JJJG JJJG . 3) MA MB MA MB+ = +JJJG JJJG JJJG JJJG . 4) 2MA MB 2 MA MB+ = +JJJG JJJG JJJG JJJG . Baøi 12: Cho tam giaùc ABC. Tìm taäp hôïp ñieåm M thoûa maõn ñieàu kieän: 1) MA MB=JJJG JJJG . 2) MA MB MC 0+ + =JJJG JJJG JJJG G . 3) MA MB MA MC+ = +JJJG JJJG JJJG JJJG . 4) MA MB MA MB MC+ = + +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG . Baøi 13: Cho tam giaùc ABC vaø ñieåm M tuøy yù. Goïi A’, B’, C’ laàn löôït laø ñieåm ñoái xöùng cuûa M qua caùc ñieåm K, I, J cuûa caùc caïnh BC, AC, AB. 1) Chöùng minh raèng ba ñöôøng thaúng AA’, BB’, CC’ ñoàng quy taïi moät ñieåm N. 2) Chöùng minh raèng khi M di ñoäng, ñöôøng thaúng MN luoân ñi qua troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC. Baøi 14: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A. Ñieåm M trong tam giaùc ABC coù hình chieáu xuoáng BC, CA, AB laø D, E, F. 1) Tìm taäp hôïp ñieåm M sao cho v MD ME MF cuøng phöông BC= + +JJJG JJJG JJJG JJJGG . 2) Tìm taäp hôïp ñieåm M sao cho v MA= JJJGG . VAÁN ÑEÀ 6: PHEÙP QUAY VAØ CHIEÁU VECTÔ Baøi 1: 1) Cho tam giaùc ABC ñeàu taâm O, laáy M. Goïi D, E, F laø hình chieáu cuûa M leân AB, BC, CA. Chöùng minh 2 MD ME MF MO 3 + + =JJJG JJJG JJJG JJJG . 2) Cho tam giaùc ABC vaø ñieåm M xaùc ñònh bôûi 3MA 2MB 5MC 0+ + =JJJG JJJG JJJG G . Goïi A’ laø giao ñieåm cuûa AM vaø BC. Tính A B MA, A C MA ′ ′ ′ . Höôùng daãn: 1) Goïi A’, B’, C’ ñoái xöùng vôùi M qua BC, CA, AB. Ta caàn chöùng minh MA MB MC 3MO′ ′ ′+ + =JJJJG JJJJG JJJJG JJJG n n n( ) n oB AC 2 MAD MAF 2BAC 120′ ′ = + = = Töông töï ta coù: n n oC BA A CB 120 ; AC AB AM′ ′ ′ ′ ′ ′= = = = . Xeùt pheùp quay f goùc o120 : Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 47 AC AB u AC BA CB BA BC v AB BC CA CB CA ⎫′ ′→ ⎪ ⎧ ′ ′ ′= + +⎪ ⎪′ ′→ ⇒⎬ ⎨ ′ ′ ′= + +⎪⎪ ⎩′ ′→ ⎪⎭ JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJGGJJJG JJJG JJJG JJJG JJJGGJJJG JJJG Maø u v AC BA CB AB BC CA AC C B BA A C CB B A 0′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− = + + − − − = + + + + + =JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG GG G ( )u v u f u u 0 AC BA CB 0′ ′ ′⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ + + =G JJJJG JJJG JJJG GG G G ( ) ( ) ( )MC MA MA MB MB MC 0 MA MB MC MA MB MC 3MO ′ ′ ′⇒ − + − + − = ′ ′ ′⇔ + + = + + = JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG G JJJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 2) Xeùt pheùp chieáu vectô AA’ xuoáng ñöôøng thaúng BC Töø giaû thieát: 5 A B 53MA 2MB 5MC 0 0 2A B 5A C 0 A B A C 2 A C 2 ′′ ′ ′ ′+ + = ⇒ + + = ⇒ = − ⇒ =′ JJJG JJJG JJJG G G JJJG JJJJG G JJJG JJJJG . Xeùt pheùp chieáu vectô BC xuoáng ñöôøng thaúng AA’ ta ñöôïc: MA 33MA 2MA 5MA 0 3MA 7MA 0 MA 7 ′ ′ ′+ + = ⇔ + = ⇒ =′ JJJG JJJJG JJJJG G JJJG JJJJG G Baøi 2: 1) I laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC, AB c, BC a, AC b= = = . Chöùng minh v aIA bIB cIC 0= + + =JJG JJG JJG GG . 2) M trong tam giaùc ABC, a MBC b MCA c MABS S , S S , S S= = = . Chöùng minh a b cS .MA S .MB S .MC 0+ + = JJJG JJJG JJJG G . Höôùng daãn: 1) Chieáu leân (d) qua D vaø vuoâng goùc AD: A D; B B ;C C′ ′→ → → ; ( )v f v bDB cDC′ ′→ = +JJJG JJJJGG G Maø ( ) ( )DB DB c DB c vì BB //CC bDB cDC 0 f v 0 DC DC b bDC ′ ′− − −′ ′ ′ ′= = ⇒ = ⇒ + = ⇒ =′ ′ JJJG JJJG JJJJG G GJJJJG Töông töï hình chieáu cuûa ( )v leân d BE : v 0′ ⊥ = GG G 2) AM BC D; BM AC B′= =∩ ∩ . Chieáu ( )d AD : B B ; C C ; A D ; M D′ ′ ′⊥ → → → → Neân a b cv S .MA S .MB S .MC= + + JJJG JJJG JJJGG laø x b cV S .DB S .DC′ ′= + JJJG JJJJG Maø cAMB x AMC b SSDB DB V 0 DC DC S S ′ −−= = = ⇒ =′ Töông töï chieáu ( )v leân d MB : v 0′ ⊥ = GG G . VAÁN ÑEÀ 7: ÖÙNG DUÏNG ÑIEÀU KIEÄN VEÀ SÖÏ ÑOÄC LAÄP TUYEÁN TÍNH Cho a, b GG khoâng coäng tuyeán. Neáu ma nb 0+ = GGG thì ( )m 0 a.b 0n 0=⎧ ≠⎨ =⎩ GGG Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 48 Baøi 1: Cho tam giaùc ABC coù troïng taâm g. 1) Chöùng minh neáu aGA bGB cGC+ +JJJG JJJG JJJG thì tam giaùc ABC ñeàu. 2) Treân ba caïnh cuûa tam giaùc A BC; B CA; C AB′ ′ ′∈ ∈ ∈ sao cho AA BB CC 0′ ′ ′+ + =JJJJG JJJG JJJG G . Chöùng minh: a) A B B C C A k A C B A C B ′ ′ ′ ′ ′= = =′ ′ ′ JJJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG . b) Tìm k ñeå AA’, BB’, CC’ ñoàng quy. Höôùng daãn: 1) Vì ( ) ( )b a GB c a GC 0 GA GB GC 0 b a c a 0 a b c GB GC ⎧ − + − =⎪+ + = ⇒ ⇒ − = − = ⇒ = =⎨ ≠⎪⎩ JJJG JJJG GJJJG JJJG JJJG G JJJG JJJG 2) a) Ta coù: 1 2 3 BA k BC CB k CA AA BB CC 0 AB BA BC CB CA AC 0 AC k AB ⎫′ = ⎪⎪′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= ⇒ + + = ⇔ + + + + + =⎬⎪′ = ⎪⎭ JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG G JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG G JJJJG JJJG ( ) ( ) ( ) 1 2 3 0 1 2 3 3 1 1 2 3 1 1 2 1 2 3 AB BC CA k BC k CA k AB 0 k AC AB k AC k AB 0 k k AB k k AC 0 AB AC k k k k 0 k k k A B B C C A A C B A ⇒ + + + + + = ⇔ − − + = ⎧ − + − =⎪⇒ ⎨ ≠⎪⎩ ⇒ − = − = ⇒ = = ′ ′ ′⇒ = =′ ′ G JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G JJJG JJJG JJJG JJJG G JJJG JJJG G JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG k C B =′ JJJG JJJG b) AA’, BB’, CC’ ñoàng quy A B B C C A. . 1 A C B A C B ′ ′ ′⇔ = −′ ′ ′ JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG (ñònh lyù Meùneùlais) 3k 1 k 1⇔ = − ⇔ = − . OÂN TAÄP VAØ KIEÅM TRA ÑEÀ 1: (Thôøi gian laøm baøi 45 phuùt) Baøi 1 (6 ñieåm): Cho tam giaùc ABC, ñaët AB u, AC v= =JJJG JJJGG G vaø G laø troïng taâm. 1) Tính AG JJJG theo u, vG G . 2) Goïi E laø ñieåm treân caïnh AB sao cho 1AE BE 2 = , F treân caïnh AC sao cho 1AF CF 2 = . Tính AG theo AE, AF JJJG JJJG JJJG vaø AG caét EF taïi I. Xaùc ñònh ñieåm I. Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 49 3) Goïi P laø trung ñieåm EF. Tính AP theo u, v JJJG G G . Vaø AP caét BC taïi K. Xaùc ñònh K vaø tính AP AK . Baøi 2 (4 ñieåm): Cho nguõ giaùc ñeàu A1A2A3A4A5 coù taâm O. Chöùng minh 1 2 3 4 5OA OA OA OA OA 0+ + + + = JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG G Höôùng daãn: Baøi 1: 1) ( ) ( )1 13AG AB AC AA AG AB AC u v3 3= + + ⇒ = + = +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G G 2) ( ) ( )1 1 1 3 1AG AB AC 3AE AF AE AF3 3 3 2 2⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟⎝ ⎠JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG Goïi I’ laø ñieåm treân EF sao cho 1I E I F 0 2 ′ ′+ =JJJG JJG G 3AG AI 2 ′⇒ = ⇒JJJG JJJG A, G, I’ thaúng haøng I AG EF I I′ ′⇒ ∈ ⇒ ≡∩ Vaäy 3AG AI 2 = ⇒JJJG JJG I laø ñieåm thuoäc AG vaø 2AI AG 3 = . 3) ( )1 1 1 1 2 1 1AP AE AF AB AC u v2 2 3 2 3 6 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G G Goïi K’ laø ñieåm treân BC sao cho 1 1K B K C 0 6 3 ′ ′+ =JJJJG JJJJG G 1 1AP AK 6 3 ⎛ ⎞ ′⇒ = + ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠ JJJG JJJJG A, P, K’ thaúng haøng K AP BC K K′ ′⇒ ∈ ⇒ ≡∩ . Vaäy 1 AP 1AP AK 2 AK 2 = ⇒ =JJJG JJJG . Baøi 2: Goïi G laø troïng taâm cuûa nguõ giaùc ñeàu ñaõ cho. 2Neáu G O. Ta xoay nguõ giaùc quay quanh taâm O, goác quay 5 π≠ = Ta thaáy: 1 2 3 4 5v OA OA OA OA OA= + + + + JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJGG khoâng ñoåi sau pheùp quay ⇒ Troïng taâm G’ cuûa nguõ giaùc cuõng phaûi khoâng ñoåi, nghóa laø G G′≡ . Ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi döõ kieän ( ) 2OG, OG 5π′ =JJJG JJJJG . Vaäy G O≡ . OÂN TAÄP VAØ KIEÅM TRA Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 50 ÑEÀ 1: (Thôøi gian laøm baøi 45 phuùt) Baøi 1 (6 ñieåm): Cho tam giaùc ABC, ñaët AB u, AC v= =JJJG JJJGG G vaø G laø troïng taâm. 4) Tính AG JJJG theo u, vG G . 5) Goïi E laø ñieåm treân caïnh AB sao cho 1AE BE 2 = , F treân caïnh AC sao cho 1AF CF 2 = . Tính AG theo AE, AF JJJG JJJG JJJG vaø AG caét EF taïi I. Xaùc ñònh ñieåm I. 6) Goïi P laø trung ñieåm EF. Tính AP theo u, v JJJG G G . Vaø AP caét BC taïi K. Xaùc ñònh K vaø tính AP AK . Baøi 2 (4 ñieåm): Cho nguõ giaùc ñeàu A1A2A3A4A5 coù taâm O. Chöùng minh 1 2 3 4 5OA OA OA OA OA 0+ + + + = JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG G Höôùng daãn: Baøi 1: 4) ( ) ( )1 13AG AB AC AA AG AB AC u v3 3= + + ⇒ = + = +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G G 5) ( ) ( )1 1 1 3 1AG AB AC 3AE AF AE AF3 3 3 2 2⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟⎝ ⎠JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG Goïi I’ laø ñieåm treân EF sao cho 1I E I F 0 2 ′ ′+ =JJJG JJG G 3AG AI 2 ′⇒ = ⇒JJJG JJJG A, G, I’ thaúng haøng I AG EF I I′ ′⇒ ∈ ⇒ ≡∩ Vaäy 3AG AI 2 = ⇒JJJG JJG I laø ñieåm thuoäc AG vaø 2AI AG 3 = . 6) ( )1 1 1 1 2 1 1AP AE AF AB AC u v2 2 3 2 3 6 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G G Goïi K’ laø ñieåm treân BC sao cho 1 1K B K C 0 6 3 ′ ′+ =JJJJG JJJJG G 1 1AP AK 6 3 ⎛ ⎞ ′⇒ = + ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠ JJJG JJJJG A, P, K’ thaúng haøng K AP BC K K′ ′⇒ ∈ ⇒ ≡∩ . Vaäy 1 AP 1AP AK 2 AK 2 = ⇒ =JJJG JJJG . Baøi 2: Goïi G laø troïng taâm cuûa nguõ giaùc ñeàu ñaõ cho. 2Neáu G O. Ta xoay nguõ giaùc quay quanh taâm O, goác quay 5 π≠ = Ta thaáy: 1 2 3 4 5v OA OA OA OA OA= + + + + JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJGG khoâng ñoåi sau pheùp quay ⇒ Troïng taâm G’ cuûa nguõ giaùc cuõng phaûi khoâng ñoåi, nghóa laø G G′≡ . Ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi döõ kieän ( ) 2OG, OG 5π′ =JJJG JJJJG . Vaäy G O≡ .
Tài liệu đính kèm: