Chuyên đề Vecto đầy đủ

Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
1 
CHÖÔNG I: VECTÔ 
I. Ñònh nghóa: 
1. Vectô AB laø moät ñoaïn thaúng coù ñònh höôùng töø A ñeán B, kí hieäu AB
JJJG
. 
a) A: ñieåm goác. B 
b) B: ñieåm ngoïn. 
c) Ñöôøng thaúng AB: giaù cuûa AB
JJJG
. A 
2. Phöông cuûa AB
JJJG
: taäp hôïp caùc ñöôøng thaúng song song vôùi ñöôøng thaúng AB, hoaëc truøng vôùi ñöôøng 
thaúng AB. 
3. Höôùng cuûa AB
JJJG
: höôùng (chieàu) töø A ñeán B theo phöông cuûa AB
JJJG
. 
4. Moâñun cuûa AB
JJJG
, kí hieäu AB
JJJG
 laø ñoä daøi cuûa ñoaïn thaúng AB. 
5. Vectô khoâng, kí hieäu 0
G
, laø vectô coù moâñun baèng 0 (ñieåm goác vaø ñieåm ngoïn truøng nhau). 0
G
 coù 
phöông vaø höôùng tuøy yù. 
II. Vectô cuøng phöông, cuøng höôùng, ngöôïc höôùng: B 
 1 2 3d // d // d (d1, d2, d3 cuøng phöông) E D 
a) AB
JJJG
 vaø CD
JJJG
 cuøng phöông, cuøng höôùng. A F 
b) AB
JJJG
 vaø EF
JJJG
 cuøng phöông ngöôïc höôùng. C 
III. Vectô baèng nhau, ñoái nhau, töï do: 
1. Vectô baèng nhau: 
AB vaø CD cuøng phöông
AB CD AB vaø CD cuøng höôùng
AB CD
⎧⎪⎪= ⇔ ⎨⎪ =⎪⎩
JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJJGJJJG 
2. Vectô ñoái nhau: 
AB vaø EF cuøng phöông
AB vaø EF ñoái nhau AB vaø EF ngöôïc höôùng
AB EF
⎧⎪⎪⇔ ⎨⎪ =⎪⎩
JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJGJJJG 
 Kí hieäu: AB EF; AB BA= − = −JJJG JJJG JJJG JJJG 
3. Vectô töï do: laø caùc vectô baèng nhau a b c...= = vôùi goác tuøy yù. 
IV. Pheùp coäng vaø tröø vectô: 
1. Toång cuûa hai vectô: c
G
a) Ñònh nghóa: OA a, AB b,OB c= = =JJJG G JJJG G JJJG G bG bG 
 Neáu OB OA AB= +JJJG JJJG JJJG thì c a b= +G G G . aG 
b) Quy taéc ba ñieåm cuûa pheùp coäng vectô: 
 O, A, B baát kyø: OB OA AB OB OA AC CD DB= + ⇒ = + + +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG aG 
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
2 
c) Tính chaát cuûa pheùp coäng vectô: 
 ( ) ( )
a b b a
a b c a b c
+ = +
+ + = + +
G G G G
G G G G G G ( )
a 0 0 a a
a a 0
+ = + =
+ − =
G G G G G
G G G 
d) Quy taéc hình bình haønh: A C 
 OA OB OC
OACB laø hình bình haønh
+ =JJJG JJJG JJJG 
2. Hieäu cuûa hai vectô: O B 
a) Ñònh nghóa: ( )a b a b− = + −G G G G A 
b) Quy taéc ba ñieåm cuûa pheùp tröø vectô: 
 O, A, B baát kyø: OB OA AB− =JJJG JJJG JJJG 
 O B 
V. Pheùp nhaân vectô: 
1. Ñònh nghóa: Cho a 0, m R, m 0≠ ∈ ≠G G 
b cuøng höôùng vôùi a neáu m>0
ma b : b ngöôïc höôùng vôùi a neáu m<0
b ma
⎧⎪⎪= ⎨⎪ =⎪⎩
G G
G G G G
G G 
 Quy öôùc: 
m 00.a 0, a
ma 0
a 0m.0 0, m
⎫ =⎧= ∀ ⎪ ⎪⇒ = ⇔⎬ ⎨ =⎪= ∀ ⎪ ⎩⎭
G G G G GG G 
2. Tính chaát: 
( ) ( )
( )
m. n.a m.n .a
m n .a ma na
=
+ = +
G G
G G G 
( )
( ) ( )
m a b ma mb
1 .a 1. a a
+ = +
− = − = −
G G G G
G G G 
3. Vectô cuøng phöông: a vaø b cuøng phöông, b 0 coù m R duy nhaát sao cho a mb≠ ⇔ ∈ =G G G G G . 
Chuù yù: 
1. ( )O, A, B thaúng haøng OA vaø OB cuøng phöông OA kOB k R⇔ ⇔ = ∈JJJG JJJG JJJG JJJG . 
2. M laø tr ung ñieåm MA MB 0⇔ + =JJJG JJJG G . 
3. AM laø tr ung tuyeán cuûa ABC AB AC 2AMΔ ⇔ + =JJJG JJJG JJJJG 
4. G laø tr oïng taâm cuûa ABC GA GB GC 0Δ ⇔ + + =JJJG JJJG JJJG G . 
5. 1 2 1 2OA OA A A , O= ⇒ ≡ ∀
JJJJG JJJJG
BAØI TAÄP 
1. Cho hai hình bình haønh ABCD vaø ABEF. Döïng caùc vectô EH
JJJG
 vaø FG
JJJG
baèng vectô AD
JJJG
, chöùng minh 
raèng CDGH laø hình bình haønh. F G 
Höôùng daãn: 
Vì ABCD vaø ABEF laø hình bình haønh E H 
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
3 
neân: AB DC FE
GH DC
gt : FG EH FE GH
⎫= = ⎪⇒ =⎬= ⇒ = ⎪⎭
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG JJJG A D 
Do G, H, D, C khoâng thaúng haøng. Vaäy CDGH laø hình bình haønh. B C 
2. Cho boán ñieåm A, B, C, D. Tính caùc vectô sau: 
a) v AB DC BD CA= + + +G JJJG JJJG JJJG JJJG . 
b) u AB CD BC DA= + + +JG JJJG JJJG JJJG JJJG . 
Höôùng daãn: 
a) ( ) ( )v AB DC BD CA AB BD DC CA AD DA 0= + + + = + + + = + =G JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G . 
b) ( ) ( )v AB CD BC DA AB BC CD DA AC CA 0= + + + = + + + = + =G JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G . 
3. Cho boán ñieåm A, B, C, D. Chöùng minh raèng AB CD AC DB− = +JJJG JJJG JJJG JJJG . 
Höôùng daãn: 
 AB CD AC DB AB CD AC BD AB BD AC CD AD AD− = + ⇔ − = − ⇔ + = + ⇔ =JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG (ñaúng thöùc ñuùng). 
 Caùch khaùc: ( ) ( )AB CD AC CB CB BD AC BD AC DB− = + − + = − = +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG . 
4. Cho hình bình haønh ABCD, O laø giao ñieåm hai ñöôøng cheùo. 
 Chöùng minh OA OB OC OD 0+ + + =JJJG JJJG JJJG JJJG G . 
Höôùng daãn: 
 O laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng cheùo AC vaø BD: 
 ( ) ( )OA OB OC OD OA OC OB OD 0+ + + = + + + =JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G 
5. Cho saùu ñieåm A, B, C, D, E, F. Chöùng minh: AD BE CF AE BF CD+ + = + +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG . 
Höôùng daãn: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
AD BE CF AE ED BF FE CD DF
 AE BF CD ED DF FE
 AE BF CD
+ + = + + + + +
= + + + + +
= + +
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG
6. Cho hai vectô ( )a vaø b a, b 0≠G G . Haõy tìm moái quan heä giöõa a vaø bG G neáu coù moät trong hai ñieàu kieän 
sau: a b a b+ = +JG JJGG G ; a b a b+ = −G G G G . A 
Höôùng daãn: a
G
 b
G
 Neáu a b a b+ = +JG JJGG G O c a b= +G G G B 
 Ta coù: OB OA AB A naèm giöõa O vaø B a, b cuøng höôùng= + ⇒ ⇒ G G 
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
4 
 Neáu a b a b+ = −G G G G A bG B 
 Ta coù: OB CA= aG 
 Hình bình haønh OABC coù hai ñöôøng cheùo baèng nhau 
 OABC laø hình chöõ nhaät OA OC⇒ ⇒ ⊥ 
 a b⇒ ⊥G G O C 
7. Cho töù giaùc ABCD, I vaø J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa hai ñöôøng cheùo AC vaø BD. 
 Chöùng minh AB CD 2IJ+ =JJJG JJJG JJG . 
Höôùng daãn: A 
 ( ) ( )AB CD AI IJ JB CI IJ JD+ = + + + + +JJJG JJJG JJG JJG JJG JJG JJG JJG 
 ( ) ( )2IJ AI CI JB JD= + + + +JJG JJG JJG JJG JJG B D 
 2IJ= JJG 
 C 
8. Cho tam giaùc ABC. Goïi M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa BC, CA, AB. 
 Chöùng minh: AM BN CP 0+ + =JJJJG JJJG JJJG G . 
Höôùng daãn: 
 ( ) ( ) ( ) 1 1AM BN CP AB BM BC CN CB BP AB BC MC CN AB MN 02 2+ + = + + + + + = + + + = + =JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G . 
 Vì 1 1BC CB 0, BP BA, BM MC, MN BA
2 2
+ = = = =JJJG JJJG G JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
 Caùch khaùc: Duøng quy taéc trung ñieåm 
( )
( )
( )
1AM AB AC
2
1BN BA BC ñpcm
2
1CP CA CB
2
⎧ = +⎪⎪⎪ = + ⇒⎨⎪⎪ = +⎪⎩
JJJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG
9. Cho töù giaùc ABCD, M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD vaø BC. 
 Chöùng minh raèng ( )1MN AB DC2= +JJJG JJJG JJJG . 
 Höôùng daãn: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1MN MB MC MA AB MD DC
2 2
1 1 1 MA MD AB DC AB DC
2 2 2
= + = + + +
= + + + = +
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
5 
10. Cho hai vectô a vaø b
G G
. Chöùng minh raèng: 
a) a b a b+ = +G G G G 
b) a b a b+ = −G G G G 
 Khi naøo xaûy ra daáu ñaúng thöùc? 
Höôùng daãn: 
a) Döïng OA a, AB b,OB a b= = = +JJJG G JJJG G JJJG G G . 
 Vôùi ba ñieåm O, A, B luoân coù OB OA+AB hay a b a b≤ + ≤ +G G G G . 
 Daáu " " xaûy r a khi O, A, B thaúng haøng vaø A naèm tr ong OB= . 
b) Döïng OA a, OB b. Ta coù: a b OB OA BA= = − = − =JJJG G JJJG G G G JJJG JJJG JJJG . 
 Suy r a: a b AB AB OA OB a b− = = ≥ − = −G G JJJG G G . 
 Daáu " " xaûy r a khi a // b= G G . 
11. Cho ñoaïn thaúng AB vaø hai soá ,α β khoâng ñoàng thôøi baèng 0. Chöùng minh raèng: 
a) Neáu 0 thì toàn taïi duy nhaát ñieåm M sao cho MA MB 0α + β ≠ α + β =JJJG JJJG G . 
b) Neáu 0 thì khoâng toàn taïi ñieåm M sao cho MA MB 0α + β = α + β =JJJG JJJG G . 
c) Neáu 0 thì v MA MB khoâng ñoåi, khoâng phuï thuoäc vò tr í ñieåm Mα + β = = α + βG JJJG JJJG . 
d) ( )Neáu 0 thì vôùi moïi ñieåm M, ta coù: MA MB MI,α +β ≠ α + β = α + βJJJG JJJG JJJG trong ñoù I laø ñieåm xaùc ñònh 
bôûi IA IB 0α +β =JJG JJG G . 
e) Neáu 0, M vaø N xaùc ñònh bôûi MN MA MBα +β ≠ ∀ = α + βJJJG JJJG JJJG . 
 Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng ñi qua moät ñieåm coá ñònh. 
 Höôùng daãn: 
a) ( ) ( )MA MB 0 MA AB AM 0 AM AB AM ABβα + β = ⇔ −α +β − = ⇔ α+β = β ⇔ = α+βJJJG JJJG G JJJG JJJG JJJJG G JJJJG JJJG JJJJG JJJG 
 toàn taïi duy nhaát M⇒ . 
b) Giaû söû M∃ sao cho ( )MA MB 0 MA MB 0 MA MB 0α + β = ⇒ α −α = ⇔ α − =JJJG JJJG G JJJG JJJG G JJJG JJJG G BA 0⇒ α =JJJG G 
 0 0⇒ α = ⇒ β = : traùi giaû thieát. Vaäy khoâng toàn taïi M thoûa yeâu caàu baøi toaùn. 
c) v MA MB BA laø vectô khoâng ñoåi.= α +β = αG JJJG JJJG JJJG 
d) ( ) ( ) ( ) ( )MA MB MI IA MI IB MI IA IBα + β = α + + β + = α + β + α +βJJJG JJJG JJJG JJG JJJG JJG JJJG JJG JJG 
 Vaäy ( )MA MB MI hay MI MA MBα βα + β = α + β = +α + β α +β
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
. 
e) Ñaët ( )MN MA MB MN MI MN // MI M, N, I thaúng haøng= α + β ⇒ = α+β ⇒ ⇒JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
 Vaäy ñöôøng thaúng MN luoân qua ñieåm I coá ñònh. 
12. Cho tam giaùc ABC. Goïi A1, B1, C1 laø caùc ñieåm xaùc ñònh bôûi 1 12A B 3A C 0+ =
JJJJG JJJJG G
, 1 12B C 3B A 0+ =
JJJJG JJJJG G
. 
Chöùng minh raèng tam giaùc ABC vaø A1B1C1 coù cuøng troïng taâm. 
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
6 
Höôùng daãn: 
 Giaû thieát ta coù: 
 ( ) ( )11 1 1 1 1 1
1
2GB 3GC 5GA
2GC 3GA 5GB 5 GA GB GC 5 GC GA GB GG 0 hay G G
2GA 3GB 5GC
⎫+ = ⎪⎪+ = ⇒ + + = + + ⇒ = ≡⎬⎪+ = ⎪⎭
JJJG JJJG JJJJG
JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG G
JJJG JJJG JJJJG . 
 Trong ñoù G laø troïng taâm tam giaùc ABC, G1 laø troïng taâm tam giaùc A1B1C1. 
13. Cho hai vectô a, b khaùc 0
G G G
 vaø khoâng cuøng phöông. Goïi u, v
JG G
laø hai vectô ñònh bôûi 1 1u a b= α + β
JG G G
, 
2 2v a b= α + β
G G G
. Chöùng minh raèng 1 2 1 2u v vaø = ⇔ α = α β = β
JG G
, coøn u, v
JG G
 cuøng phöông 1 2 2 1 0⇔ α β −α β = . 
 Höôùng daãn: 
• ( ) ( )1 1 2 2 1 2 2 1u v a b a b a b= ⇔ α +β = α + β ⇔ α −α = β −βJG G G G G G G G (1) 
Ñieàu naøy voâ lyù neáu 1 2 2 10 hoaëc 0α −α ≠ β −β ≠ . 
Vaäy ( ) 1 2 2 1 1 2 1 21 0 vaø ⇔ α −α = = β −β ⇒ α = α β = β . 
• Ta coù 2 21 2 1 1u vaø v cuøng phöông k ,k R; k k 0⇔ ∃ ∈ + >
JG G
Sao cho ( ) ( ) 1 1 2 21 2 1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2
k k 0
k u k v 0 k k a k k b 0
k k 0
α + α =⎧+ = ⇔ α + α + β + β = ⇔ ⎨ β + β =⎩
JG G G G G G
. 
Heä coù nghieäm khi 1 2k k 0= = 
• Ñieàu kieän 1 22 21 2 1 2 2 1
1 2
k k 0 D 0 0
α α+ > ⇒ = = ⇔ α β − α β =β β 
14. A, B, C laø ba ñieåm phaân bieät. 
 Chöùng minh raèng: A, B, C thaúng haøng AB vaø AC cuøng phöông⇔ JJJG JJJG . 
Höôùng daãn: 
 Thuaän: A, B,C thaúng haøng AB vaø AC cuøng giaù AB, AC cuøng phöông⇔ ⇒JJJG JJJG JJJG JJJG . 
 Ñaûo: Neáu AB, AC
JJJG JJJG
 cuøng phöông thì hai ñöôøng thaúng AB, AC cuøng phöông. Nhöng hai ñöôøng thaúng naøy 
coù chung ñieåm A neân truøng nhau. Suy ra A, B, C thaúng haøng 
15. Cho hình thang ABCD coù hai ñaùy AB, CD vôùi AB 2CD= . Töø C veõ CI DA=JJG JJJG . Chöùng toû: 
a) I laø trung ñieåm AB. 
b) DI CB=JJG JJJG . 
Höôùng daãn: 
a) Do CI DA=JJG JJJG neân CIAD laø hình bình haønh AI // CD⇒ . 
 Do ñoù I ôû treân AB. 
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
7 
 Ma ... hì ( ) ( )1 MS MJ L⇔ = ⇒ = trung tröïc SJ 
 Neáu k 1≠ . Goïi P, Q laø ñieåm chia SJ theo tæ soá 3k PS QS MS PS QS3k
PJ QJ MJ PJ QJ
⇒ = = ⇒ = = 
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
45 
 ⇒ MP, MQ laø phaân giaùc goùc SMJ ( )MP MQ L⇒ ⊥ ⇒ = ñöôøng troøn ñöôøng kính PQ. 
Baøi 8: Cho tam giaùc ABC, G laø troïng taâm. Goïi M vaø N laø hai ñieåm di ñoäng. 
1) Chöùng minh raèng u NA NB 2NC= + −JG JJJG JJJG JJJG khoâng phuï thuoäc ñieåm N. 
2) Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M sao cho MA MB MC a+ + =JJJG JJJG JJJG vôùi a laø moät ñoä daøi cho tröôùc. 
3) Tìm taäp hôïp M thoûa MA MB MA MC+ = +JJJG JJJG JJJG JJJG . 
Höôùng daãn: 
1) ( ) ( )u NA NB 2NC NC CA NC CB 2NC CA CB= + − = + + + − = +JG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG . 
 Vaäy u
JG
 khoâng phuï thuoäc vaøo ñieåm N. 
2) MA MB MC a MG GA MG GB MG GC a+ + = ⇔ + + + + + =JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG 
 3MG a⇔ =JJJJG (G laø troïng taâm Δ ABC) aMG
3
⇔ = . 
 Do tam giaùc ABC coá ñònh neân G coá ñònh. 
 Vaäy taäp hôïp ñieåm M laø ñöôøng troøn taâm G, baùn kính aR
3
= . 
3) MA MB 2ME+ =JJJG JJJG JJJG (E laø trung ñieåm AB) 
 MA MC 2MF+ =JJJG JJJG JJJG (F laø trung ñieåm AC) 
 MA MB MA MC 2ME 2MF ME MF+ = + ⇔ = ⇔ =JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
 Vaäy taäp hôïp caùc ñieåm M caàn tìm laø ñöôøng trung tröïc EF. 
Baøi 9: Cho tam giaùc ABC vaø vectô v 3MA 2MB MC, M= − − ∀JJJG JJJG JJJGG . 
1) Chöùng minh vG laø vectô khoâng ñoåi. 
2) Veõ vectô AD v=JJJG G . Chöùng minh ñöôøng thaúng AD luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh khi M thay ñoåi. 
Baøi 10: Cho tam giaùc ABC. Tìm taäp hôïp ñieåm M sao cho: 
1) ( )MA kMB kMC k R+ = ∈JJJG JJJG JJJG . 
2) ( ) ( ) ( )MA 1 k MB 1 k MC 0 k R+ − + + = ∈JJJG JJJG JJJG G . 
3) ( ) ( )MA 1 k MB kMC 0 k R+ − − = ∈JJJG JJJG JJJG G . 
4) ( )MA kMB kMC 0 k R+ + = ∈JJJG JJJG JJJG G . 
5) ( ) ( )kMA 1 k MB 0 k R+ − = ∈JJJG JJJG G . 
6) ( ) ( )2MA 3 k MB kMC 0 k R+ − + = ∈JJJG JJJG JJJG G . 
7) ( ) ( )2MA 1 k MB 3kMC 0 k R− + − = ∈JJJG JJJG JJJG G . 
8) v MA MB 2MC cuøng phöông BC= + +G JJJG JJJG JJJG JJJG . 
Baøi 11: Cho hai ñieåm A, B coá ñònh. Tìm taäp hôïp ñieåm M sao cho: 
1) MA MB MA MB+ = −JJJG JJJG JJJG JJJG . 
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
46 
2) 2MA MB MA 2MB+ = +JJJG JJJG JJJG JJJG . 
3) MA MB MA MB+ = +JJJG JJJG JJJG JJJG . 
4) 2MA MB 2 MA MB+ = +JJJG JJJG JJJG JJJG . 
Baøi 12: Cho tam giaùc ABC. Tìm taäp hôïp ñieåm M thoûa maõn ñieàu kieän: 
1) MA MB=JJJG JJJG . 
2) MA MB MC 0+ + =JJJG JJJG JJJG G . 
3) MA MB MA MC+ = +JJJG JJJG JJJG JJJG . 
4) MA MB MA MB MC+ = + +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG . 
Baøi 13: Cho tam giaùc ABC vaø ñieåm M tuøy yù. Goïi A’, B’, C’ laàn löôït laø ñieåm ñoái xöùng cuûa M qua caùc ñieåm 
K, I, J cuûa caùc caïnh BC, AC, AB. 
1) Chöùng minh raèng ba ñöôøng thaúng AA’, BB’, CC’ ñoàng quy taïi moät ñieåm N. 
2) Chöùng minh raèng khi M di ñoäng, ñöôøng thaúng MN luoân ñi qua troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC. 
Baøi 14: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A. Ñieåm M trong tam giaùc ABC coù hình chieáu xuoáng BC, CA, AB laø D, 
E, F. 
1) Tìm taäp hôïp ñieåm M sao cho v MD ME MF cuøng phöông BC= + +JJJG JJJG JJJG JJJGG . 
2) Tìm taäp hôïp ñieåm M sao cho v MA= JJJGG . 
VAÁN ÑEÀ 6: PHEÙP QUAY VAØ CHIEÁU VECTÔ 
Baøi 1: 
1) Cho tam giaùc ABC ñeàu taâm O, laáy M. Goïi D, E, F laø hình chieáu cuûa M leân AB, BC, CA. Chöùng minh 
2
MD ME MF MO
3
+ + =JJJG JJJG JJJG JJJG . 
2) Cho tam giaùc ABC vaø ñieåm M xaùc ñònh bôûi 3MA 2MB 5MC 0+ + =JJJG JJJG JJJG G . Goïi A’ laø giao ñieåm cuûa AM vaø 
BC. Tính A B MA,
A C MA
′ ′
′ . 
Höôùng daãn: 
1) Goïi A’, B’, C’ ñoái xöùng vôùi M qua BC, CA, AB. Ta caàn chöùng minh MA MB MC 3MO′ ′ ′+ + =JJJJG JJJJG JJJJG JJJG 
 n n n( ) n oB AC 2 MAD MAF 2BAC 120′ ′ = + = = 
 Töông töï ta coù: n n oC BA A CB 120 ; AC AB AM′ ′ ′ ′ ′ ′= = = = . 
 Xeùt pheùp quay f goùc o120 : 
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
47 
AC AB
u AC BA CB
BA BC
v AB BC CA
CB CA
⎫′ ′→ ⎪ ⎧ ′ ′ ′= + +⎪ ⎪′ ′→ ⇒⎬ ⎨ ′ ′ ′= + +⎪⎪ ⎩′ ′→ ⎪⎭
JJJJG JJJG
JJJJG JJJG JJJGGJJJG JJJG
JJJG JJJG JJJGGJJJG JJJG 
 Maø u v AC BA CB AB BC CA AC C B BA A C CB B A 0′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− = + + − − − = + + + + + =JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG GG G 
 ( )u v u f u u 0 AC BA CB 0′ ′ ′⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ + + =G JJJJG JJJG JJJG GG G G 
 ( ) ( ) ( )MC MA MA MB MB MC 0
MA MB MC MA MB MC 3MO
′ ′ ′⇒ − + − + − =
′ ′ ′⇔ + + = + + =
JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG G
JJJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
2) Xeùt pheùp chieáu vectô AA’ xuoáng ñöôøng thaúng BC 
 Töø giaû thieát: 5 A B 53MA 2MB 5MC 0 0 2A B 5A C 0 A B A C
2 A C 2
′′ ′ ′ ′+ + = ⇒ + + = ⇒ = − ⇒ =′
JJJG JJJG JJJG G G JJJG JJJJG G JJJG JJJJG
. 
 Xeùt pheùp chieáu vectô BC xuoáng ñöôøng thaúng AA’ ta ñöôïc: 
 MA 33MA 2MA 5MA 0 3MA 7MA 0
MA 7
′ ′ ′+ + = ⇔ + = ⇒ =′
JJJG JJJJG JJJJG G JJJG JJJJG G
Baøi 2: 
1) I laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC, AB c, BC a, AC b= = = . 
 Chöùng minh v aIA bIB cIC 0= + + =JJG JJG JJG GG . 
2) M trong tam giaùc ABC, a MBC b MCA c MABS S , S S , S S= = = . 
 Chöùng minh a b cS .MA S .MB S .MC 0+ + =
JJJG JJJG JJJG G
. 
Höôùng daãn: 
1) Chieáu leân (d) qua D vaø vuoâng goùc AD: A D; B B ;C C′ ′→ → → ; ( )v f v bDB cDC′ ′→ = +JJJG JJJJGG G 
 Maø ( ) ( )DB DB c DB c vì BB //CC bDB cDC 0 f v 0
DC DC b bDC
′ ′− − −′ ′ ′ ′= = ⇒ = ⇒ + = ⇒ =′ ′
JJJG JJJG JJJJG G GJJJJG 
 Töông töï hình chieáu cuûa ( )v leân d BE : v 0′ ⊥ = GG G 
2) AM BC D; BM AC B′= =∩ ∩ . 
 Chieáu ( )d AD : B B ; C C ; A D ; M D′ ′ ′⊥ → → → → 
 Neân a b cv S .MA S .MB S .MC= + +
JJJG JJJG JJJGG laø x b cV S .DB S .DC′ ′= +
JJJG JJJJG
 Maø cAMB x
AMC b
SSDB DB
V 0
DC DC S S
′ −−= = = ⇒ =′ 
 Töông töï chieáu ( )v leân d MB : v 0′ ⊥ = GG G . 
VAÁN ÑEÀ 7: ÖÙNG DUÏNG ÑIEÀU KIEÄN VEÀ SÖÏ ÑOÄC LAÄP TUYEÁN TÍNH 
Cho a, b
GG khoâng coäng tuyeán. Neáu ma nb 0+ = GGG thì ( )m 0 a.b 0n 0=⎧ ≠⎨ =⎩
GGG 
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
48 
Baøi 1: Cho tam giaùc ABC coù troïng taâm g. 
1) Chöùng minh neáu aGA bGB cGC+ +JJJG JJJG JJJG thì tam giaùc ABC ñeàu. 
2) Treân ba caïnh cuûa tam giaùc A BC; B CA; C AB′ ′ ′∈ ∈ ∈ sao cho AA BB CC 0′ ′ ′+ + =JJJJG JJJG JJJG G . Chöùng minh: 
a) A B B C C A k
A C B A C B
′ ′ ′ ′ ′= = =′ ′ ′
JJJJG JJJJG JJJG
JJJJG JJJG JJJG . 
b) Tìm k ñeå AA’, BB’, CC’ ñoàng quy. 
Höôùng daãn: 
1) Vì 
( ) ( )b a GB c a GC 0
GA GB GC 0 b a c a 0 a b c
GB GC
⎧ − + − =⎪+ + = ⇒ ⇒ − = − = ⇒ = =⎨ ≠⎪⎩
JJJG JJJG GJJJG JJJG JJJG G
JJJG JJJG 
2) a) Ta coù: 
1
2
3
BA k BC
CB k CA AA BB CC 0 AB BA BC CB CA AC 0
AC k AB
⎫′ = ⎪⎪′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= ⇒ + + = ⇔ + + + + + =⎬⎪′ = ⎪⎭
JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG G JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG G
JJJJG JJJG 
( )
( ) ( )
1 2 3
0
1 2 3
3 1 1 2
3 1 1 2 1 2 3
AB BC CA k BC k CA k AB 0
k AC AB k AC k AB 0
k k AB k k AC 0
AB AC
k k k k 0 k k k
A B B C C A
A C B A
⇒ + + + + + =
⇔ − − + =
⎧ − + − =⎪⇒ ⎨ ≠⎪⎩
⇒ − = − = ⇒ = =
′ ′ ′⇒ = =′ ′
G
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G
	
JJJG JJJG JJJG JJJG G
JJJG JJJG G
JJJG JJJG
JJJG JJJG
JJJJG JJJG k
C B
=′
JJJG
JJJG
 b) AA’, BB’, CC’ ñoàng quy A B B C C A. . 1
A C B A C B
′ ′ ′⇔ = −′ ′ ′
JJJG JJJG JJJG
JJJJG JJJG JJJG (ñònh lyù Meùneùlais) 3k 1 k 1⇔ = − ⇔ = − . 
OÂN TAÄP VAØ KIEÅM TRA 
ÑEÀ 1: (Thôøi gian laøm baøi 45 phuùt) 
 Baøi 1 (6 ñieåm): Cho tam giaùc ABC, ñaët AB u, AC v= =JJJG JJJGG G vaø G laø troïng taâm. 
1) Tính AG
JJJG
 theo u, vG G . 
2) Goïi E laø ñieåm treân caïnh AB sao cho 1AE BE
2
= , F treân caïnh AC sao cho 1AF CF
2
= . Tính 
AG theo AE, AF
JJJG JJJG JJJG
 vaø AG caét EF taïi I. Xaùc ñònh ñieåm I. 
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
49 
3) Goïi P laø trung ñieåm EF. Tính AP theo u, v
JJJG G G . Vaø AP caét BC taïi K. Xaùc ñònh K vaø tính AP
AK
. 
 Baøi 2 (4 ñieåm): 
 Cho nguõ giaùc ñeàu A1A2A3A4A5 coù taâm O. Chöùng minh 1 2 3 4 5OA OA OA OA OA 0+ + + + =
JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG G
Höôùng daãn: 
Baøi 1: 
1) ( ) ( )1 13AG AB AC AA AG AB AC u v3 3= + + ⇒ = + = +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G G 
2) ( ) ( )1 1 1 3 1AG AB AC 3AE AF AE AF3 3 3 2 2⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟⎝ ⎠JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
 Goïi I’ laø ñieåm treân EF sao cho 1I E I F 0
2
′ ′+ =JJJG JJG G 
 3AG AI
2
′⇒ = ⇒JJJG JJJG A, G, I’ thaúng haøng I AG EF I I′ ′⇒ ∈ ⇒ ≡∩ 
 Vaäy 3AG AI
2
= ⇒JJJG JJG I laø ñieåm thuoäc AG vaø 2AI AG
3
= . 
3) ( )1 1 1 1 2 1 1AP AE AF AB AC u v2 2 3 2 3 6 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G G 
 Goïi K’ laø ñieåm treân BC sao cho 1 1K B K C 0
6 3
′ ′+ =JJJJG JJJJG G 
 1 1AP AK
6 3
⎛ ⎞ ′⇒ = + ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠
JJJG JJJJG
A, P, K’ thaúng haøng K AP BC K K′ ′⇒ ∈ ⇒ ≡∩ . 
 Vaäy 1 AP 1AP AK
2 AK 2
= ⇒ =JJJG JJJG . 
Baøi 2: 
 Goïi G laø troïng taâm cuûa nguõ giaùc ñeàu ñaõ cho. 
 2Neáu G O. Ta xoay nguõ giaùc quay quanh taâm O, goác quay
5
π≠ = 
 Ta thaáy: 1 2 3 4 5v OA OA OA OA OA= + + + +
JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJGG khoâng ñoåi sau pheùp quay 
 ⇒ Troïng taâm G’ cuûa nguõ giaùc cuõng phaûi khoâng ñoåi, nghóa laø G G′≡ . Ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi döõ kieän 
( ) 2OG, OG 5π′ =JJJG JJJJG . Vaäy G O≡ . 
OÂN TAÄP VAØ KIEÅM TRA 
Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt  
50 
ÑEÀ 1: (Thôøi gian laøm baøi 45 phuùt) 
 Baøi 1 (6 ñieåm): Cho tam giaùc ABC, ñaët AB u, AC v= =JJJG JJJGG G vaø G laø troïng taâm. 
4) Tính AG
JJJG
 theo u, vG G . 
5) Goïi E laø ñieåm treân caïnh AB sao cho 1AE BE
2
= , F treân caïnh AC sao cho 1AF CF
2
= . Tính 
AG theo AE, AF
JJJG JJJG JJJG
 vaø AG caét EF taïi I. Xaùc ñònh ñieåm I. 
6) Goïi P laø trung ñieåm EF. Tính AP theo u, v
JJJG G G . Vaø AP caét BC taïi K. Xaùc ñònh K vaø tính AP
AK
. 
 Baøi 2 (4 ñieåm): 
 Cho nguõ giaùc ñeàu A1A2A3A4A5 coù taâm O. Chöùng minh 1 2 3 4 5OA OA OA OA OA 0+ + + + =
JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG G
Höôùng daãn: 
Baøi 1: 
4) ( ) ( )1 13AG AB AC AA AG AB AC u v3 3= + + ⇒ = + = +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G G 
5) ( ) ( )1 1 1 3 1AG AB AC 3AE AF AE AF3 3 3 2 2⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟⎝ ⎠JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
 Goïi I’ laø ñieåm treân EF sao cho 1I E I F 0
2
′ ′+ =JJJG JJG G 
 3AG AI
2
′⇒ = ⇒JJJG JJJG A, G, I’ thaúng haøng I AG EF I I′ ′⇒ ∈ ⇒ ≡∩ 
 Vaäy 3AG AI
2
= ⇒JJJG JJG I laø ñieåm thuoäc AG vaø 2AI AG
3
= . 
6) ( )1 1 1 1 2 1 1AP AE AF AB AC u v2 2 3 2 3 6 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G G 
 Goïi K’ laø ñieåm treân BC sao cho 1 1K B K C 0
6 3
′ ′+ =JJJJG JJJJG G 
 1 1AP AK
6 3
⎛ ⎞ ′⇒ = + ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠
JJJG JJJJG
A, P, K’ thaúng haøng K AP BC K K′ ′⇒ ∈ ⇒ ≡∩ . 
 Vaäy 1 AP 1AP AK
2 AK 2
= ⇒ =JJJG JJJG . 
Baøi 2: 
 Goïi G laø troïng taâm cuûa nguõ giaùc ñeàu ñaõ cho. 
 2Neáu G O. Ta xoay nguõ giaùc quay quanh taâm O, goác quay
5
π≠ = 
 Ta thaáy: 1 2 3 4 5v OA OA OA OA OA= + + + +
JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJGG khoâng ñoåi sau pheùp quay 
 ⇒ Troïng taâm G’ cuûa nguõ giaùc cuõng phaûi khoâng ñoåi, nghóa laø G G′≡ . Ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi döõ kieän 
( ) 2OG, OG 5π′ =JJJG JJJJG . Vaäy G O≡ .