Chuyên đề Vectơ - Hình học 10

CHƯƠNG I: VECTƠ
CÁC ĐỊNH NGHĨA
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT:
1. Để xác định một vectơ cần biết 1 trong 2 điều kiện sau:
	- Điểm đầu và điểm cuối của vectơ
	- Độ dài và hướng
2. Hai vectơ và cùng phương khi giá của chúng // hoặc nhau
 Hai vectơ và cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng
3. Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó
4. = khi và , cùng hướng
5. Với mỗi diểm A ta gọi là vectơ không. Vectơ không được kí hiệu là và quy ước , vectơ không cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
Dạng 1: Xác định một vectơ, sự cùng phương và hướng của hai vectơ
FPhương pháp giải:
Để xác định vectơ ta cần biết độ lớn và hướng của vectơ, hoặc biết điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Ví dụ 2 điểm phân biệt A, B ta có 2 vectơ khác nhau là và 
Vectơ là vectơ-không khi và chỉ khi hoặc với A là điểm bất kì.
FBài tập:
Câu 1: Cho . Có bao nhiêu vectơ được lập ra từ các cạnh của tam giác đó.
Câu 2: Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D. Có bao nhiêu vectơ được lập ra từ 4 điểm đã cho.
Câu 3: Cho ngũ giác ABCDE.
	a. Có bao nhiêu vectơ được lập ra từ các cạnh và đường chéo của ngũ giác.
	b. Có bao nhiêu vectơ được lập ra từ các dỉnh của ngũ giác.
Dạng 2: Khảo sát sự bằng nhau của 2 vectơ.
Fphương pháp giải: Để chứng minh 2 vectơ bằng nhau có 3 cách:
ABCD là hbh và 
Nếu = , = thì = 
FBài tập: 
Câu 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Tìm các vectơ bằng nhau và chứng minh.
Câu 2: Cho điểm M và . Dựng điểm N sao cho:
	a. 
	b. cùng phương với và có độ dài bằng .
Câu 3: Cho hình vuông ABCD tâm O. Liệt kê tất cả các vectơ bằng nhau (khác ) nhận đỉnh và tâm của hình vuông làm điểm đầu và điểm cuối.
Câu 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC. Chứng minh rằng nếu và , thì ABCD là hình bình hành.
Câu 5: Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng nếu thì
TỔNG HIỆU CỦA HAI VECTƠ
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT:
1. Định nghĩa tổng của 2 vectơ và quy tắc tìm tổng:
Cho 2 vecto tùy ý và . Lấy điểm A tùy ý, dựng , . Khi đó + = 
Với 3 điểm A, B, C tùy ý ta luôn có: (Quy tắc 3 điểm)
Tứ giác ABCD là hbh, ta có (Quy tắc hbh)
2. Vectơ đối:
Vectơ là vectơ đối của nếu và , ngược hướng nhau. Kí hiệu = - 
Nếu là vectơ đối của thì là vectơ đối của hay –(–)=
Mỗi vectơ đều có vectơ đối. Vectơ đối của là . Vectơ đối của là 
3. Định nghĩa hiệu và quy tác tìm hiệu:
 - = +(-)
Với 3 điểm A, B, O bất kì ta có: (Quy tắc trừ)
4. Tính chất phép cộng các vectơ: Với ,, là 3 vect ơ bất kì ta có:
 + = + (tính chất giao hoán)
( + ) + = + (+) (tính chất kết hợp) 
 + = + = (tính chất vectơ-không)
 + (-) = - + = 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
Dạng 1: Tìm tổng của hai vectơ và tổng của nhiều vectơ
Fphương pháp giải:
Dùng định nghĩa tổng của 2 vectơ, quy tắc 3 điểm, quy tắc hbh và các tính chất của tổng các vectơ
FBài tập:
Câu 1: Cho hbh ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.
Tìm tổng của 2 vectơ và ; và ; và 
Chứng minh 
Câu 2: Cho lục giác đều ABCDEFF tâm O. Chứng minh 
Câu 3: Cho năm điểm A, B, C, D, E. Hãy tính tổng 
Dạng 2: Tìm vectơ đối và hiệu của 2 vectơ
Fphương pháp giải:
Theo định nghĩa, tìm hiệu - , ta làm hai bước sau:
- Tìm vectơ đối của 
- Tính tổng 
Vận dụng quy tắc với ba điểm O, A, B bất kì.
FBài tập:
Câu 1: Cho tam giac ABC. Các điểm M, N và P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC
Tìm hiệu 
Phân tích theo 2 vectơ và 
Câu 2: Cho 4 điểmA, B, C, D. Chứng minh 
Câu 3: Cho 2 điểm phân biệt A và B. Tìm điểm M thỏa mãn 1 trong các điều kiện sau:
	a. 	b. 	c. 
Câu 4: Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoaạn thẳng AB khi và chỉ khi 
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức vectơ
Fphương pháp giải:
Dùng định nghĩa
Dùng qui tắc 3 điểm, qui tắc hình bình hành.
Tính chất trung điểm: ; 
Tính chất trọng tâm :
Vectơ cùng phương
FBài tập:
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Cmr 
Bài 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của 2 đường chéo AC và BD. 
Cmr 
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
	a. Với M tùy ý, Hãy chứng minh 
	b. Chứng minh rằng: 
Bài 4: ABC có G là trọng tâm, các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh 
Bài 5: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB và CD. 
Chứng minh rằng: 2
Bài 6: CMR nếu G và G' lần lượt là trọng tâm của ABC và A'B'C' thì 
Bài 7: Cho ABC. I là điểm trên cạnh AC sao cho , J là điểm mà 
a. Chứng minh rằng 
b. Chứng minh B, I, J thẳng hàng.
HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT:
1. Định nghĩa tọa độ của một vectơ, độ dài đại số của một vectơ trên một trục
M có tọa độ là (x; y) với O là gốc tọa độ;
x = , y = , trong đó và lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống Ox và Oy
 và 
2. Tọa độ của 
Cho 
Ta có 
Hai vectơ và () cùng phương khi và chỉ khi có số k thỏa mãn 
3. I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi: 
 G là trọng tâm của tam giác ABC thì: 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
Dạng1: Xác định tọa độ của véctơ và của một điểm trên mp tọa độ Oxy
Fphương pháp giải:
Căn cứ vào định nghĩa tọa độ của vectơ và tọa độ của một điểm trêm mp tọa độ Oxy.
* Để tìm tọa độ của véctơ ta làm như sau:
	Vẽ 
	Gọi M1, M2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox, Oy. Khi đó . Trong đó 
* Để tìm tọa độ của điểm A ta tìm tọa độ của vectơ . Như vậy A(x;y). Trong đó x=
A1, A2 là chân đường vuông góc hạ từ A xuống Ox và Oy.
* Nếu biết tọa độ hai điểm A (xA,yA), B(xB, yB) thị ta tính được tọa độ của .
* Nếu M và N có tọa độ lần lượt là a, b thì 
FBài tập:
Bài 1: Cho các điểm A, B, C trên trục Ox như hình vẽ 
a)Tìm tọa độ các điểm A, B, C.
b)Tính 
Bài 2: Trên trục (O, ) cho hai điểm M và N có tọa độ lần lượt là -5; 3. tìm tọa độ điểm P trên trục sao cho 
Bài 3: Cho hình vuông ABCD trong đó và cùng hướng; và cùng hướng. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, giao điểm I của hai đường chéo, trung điểm N của BC và trung điểm N của BC và trung điểm N của CD. 
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có AD=4 và chiều cao ứng với cạnh AD=3. góc BAD=600, chọn hệ trục (A; ) sao cho và cùng hướng. Tìm tọa độ các vectơ .
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có A(-1;3); B(2;4), C(0;1). Tìm tọa độ đỉnh D.
Bài 6: Cho ABC, các điểm M(1;0); N(2;2) và P(-1;3) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC; CA; AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
Bài 7: Cho ABC, các điểm M(1;1); N(2;3) và P(0;4) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC; CA; AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
Bài 8: Cho ABC, các điểm A(-5;6); B(-4;-1) và C(4;3). Tìm tọa độ trung điểm I của AC. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 9: Cho 3 điểm A(2;5); B(1;1); C(3;3).
	a. Tìm tọa độ điểm D sao cho .
	b. Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm hình bình hành đó.
Bài 10: Cho tam giác ABC có A(-1;1), B(5;-3), C nằm trên Oy và trọng tâm G nằm trên Ox. Tìm tọa độ C.
Dạng 2: Tìm tọa độ của các vectơ 
Fphương pháp giải: Tính theo công thức tọa độ 
FBài tập:
Bài 1: Cho . 
a)Tìm tọa độ của vectơ 
b)Tìm tọa độ vectơ 
c)Tìm hai số j; k sao cho 
Bài 2: Cho 
a)Tìm tọa độ các vectơ ; ; và xem vectơ nào trong các vectơ cùng phương với véctơ và cùng phương với 
b)Tìm các số m, n sao cho 
Bài 3: Tìm x để các cặp vectơ sau cùng phương 
a) 
b) 
c) 
Dạng 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Fphương pháp giải: Sử dụng điều kiện cần và đủ sau:
	*Hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi có số k để 
	*Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k để 
FBài tập:
Bài 1: Cho 3 điểm A(-1;1); B(1;3) và C(-2;0). Chứng minh rằng 3 điểm A; B; C thẳng hàng.
Bài 2: Cho 3 điểm M(); N(2;1) và P(1;3). Chứng minh rằng 3 điểm M; N; P thẳng hàng.
Bài 3: Cho 3 điểm A(0; 1); B(-1; -2) và C(1; 5). Hỏi 3 điểm A, B, C có thẳng hàng không.
Bài 4: Cho 3 điểm A(-4; 1); B(2; 4) và C(2; -2). Hỏi 3 điểm A, B, C có thẳng hàng không.
Bài 5: Cho 3 điểm A(3; 4); B(2; 5) và C(1; 5). Tìm x để (-7; x) thuộc đường thẳng AB.
Bài 6: Cho 3 điểm A(-3; 4); B(1; 1) và C(9; -5). 
a. Chứng minh rằng 3 điểm A; B; C thẳng hàng.
b. Tìm tọa độ điểm D sao cho A là trung điểm của BD.
c. Tìm tọa độ điểm E trên trục Ox sao cho A; B; E thẳng hàng.