Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chuyên đề 9: Hệ thức lượng trong tam giác

Chuyeân ñeà 9: HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC 
 TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA 
I. Caùc kyù hieäu: 
• A, B, C: laø caùc goùc ñænh A, B, C 
• a, b, c : laø ñoä daøi caùc caïnh ñoái dieän vôùi caùc ñænh A, B, C 
• ha, hb, hc : laø ñoä daøi caùc ñöôøng cao haï töø caùc ñænh A, B, C 
• ma, mb, mc : laø ñoä daøi caùc ñöôøng trung tuyeán keû töø A, B, C 
• la, lb, lc : laø ñoä daøi caùc ñöôøng phaân giaùc trong keû töø A, B, C 
• R : laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC 
• r : laø baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC 
• p = 
2
1 (a+b+c) : laø nöõa chu vi tam giaùc ABC 
• S : laø dieän tích tam giaùc ABC 
c
a
b
malaha
H D MB
A
C
II. Caùc heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng : 
Trong tam giaùc vuoâng ABC . Goïi b', c' laø ñoä daøi caùc hình chieáu caùc caïnh goùc vuoâng leân caïnh huyeàn ta coù 
caùc heä thöùc: 
⎩⎨
⎧
==
==
⎩⎨
⎧
==
===
+=
=
+=
==
gBbtgCbc
gCctgBcb
BaCac
CaBab
cbha
cbh
cbh
cba
cabab
cot..
cot..
.7
cos.sin.
cos.sin.
.6...5
111.4
..3
.2
...1
222
''2
222
''2
c & 2
 46
c b
a
h
c' b'
H
A
B C
II. Caùc heä thöùc löôïng trong tam giaùc thöôøng 
1. Ñònh lyù haøm soá COÂSIN: 
 Trong tam giaùc ABC ta luoân coù : 
Cabbac
Bcaacb
Abccba
cos2
cos2
cos2
222
222
222
−+=
−+=
−+=
 47
c b
a
A
B C
Ghi nhôù: Trong moät tam giaùc, bình phöông moãi caïnh baèng toång bình phöông hai caïnh kia tröø ñi hai 
 laàn tích hai caïnh aáy vôùi coâsin cuûa goùc xen giöõa chuùng. 
Heä quaû: Trong tam giaùc ABC ta luoân coù : 
bc
acbA
2
cos
222 −+= , 
ac
bcaB
2
cos
222 −+= , 
ab
cbaC
2
cos
222 −+= 
2. Ñònh lyù haøm soá SIN: 
 Trong tam giaùc ABC ta coù : 
 R
C
c
B
b
A
a 2
sinsinsin
=== 
 Heä quaû: Vôùi moïi tam giaùc ABC, ta coù: 
 CRcBRbARa sin2,sin2,sin2 === 
ca
b
O
A
B C
Ghi nhôù: 
Trong moät tam giaùc, tyû soá giöõa moät caïnh cuûa tam giaùc vaø sin cuûa goùc ñoái dieän vôùi caïnh ñoù baèng ñöôøng 
kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc. 
3. Ñònh lyù veà ñöôøng trung tuyeán: 
 Trong tam giaùc ABC ta coù : 
42
42
42
222
2
222
2
222
2
cbam
bcam
acbm
c
b
a
−+=
−+=
−+=
 48
4. Ñònh lyù veà dieän tích tam giaùc: 
Dieän tích tam giaùc ABC ñöôïc tính theo caùc coâng thöùc sau: 
))()((.5
.4
4
.3
sin
2
1sin
2
1sin
2
1.2
2
1
2
1
2
1.1
cpbpappS
prS
R
abcS
AbcBacAabS
chbhahS cba
−−−=
=
=
===
===
c
a
b
ma
MB
A
C
ca
bha
HB
A
C
5. Ñònh lyù veà ñöôøng phaân giaùc: 
ba
Cab
l
ca
Bac
l
cb
Abc
l cba +=+=+=
2
cos2
;2
cos.2
;2
cos.2
CAÙC DAÏNG TOAÙN CÔ BAÛN 
Daïng 1: CHÖÙNG MINH ÑAÚNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC TRONG TAM GIAÙC 
Ñeå chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc A=B ta coù theå thöïc hieän theo moät trong caùc phöông phaùp sau 
Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi veá naøy thaønh veá kia 
Phöông phaùp 2: Xuaát phaùt töø moät moät heä thöùc ñuùng ñaõ bieát ñeå suy ra ñaúng thöùc caàn chöùng minh 
VÍ DUÏ MINH HOÏA: 
Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau: 
a) A Bsin A sin B sin C 4.cos .cos .cos
2 2
+ + = C
2
b) 2 2 2sin A sin B sin C 2 2 cosA.cosB.cosC+ + = +
Ví duï 2: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau: 
a) (tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC+ + = ΔABC khoâng vuoâng) 
b) A B B C C Atg .tg tg .tg tg .tg 1
2 2 2 2 2 2
+ + = 
Daïng 2: CHÖÙNG MINH BAÁT ÑAÚNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC TRONG TAM GIAÙC 
I. Baát ñaúng thöùc trong tam giaùc : 
Neáu a, b, c laø ba caïnh cuûa moät tam giaùc thì : 
• a > 0, b > 0, c > 0 
• b c a b c− < < + 
• c a b c a− < < + 
• a b c a b− < < + 
• a b c A B C> > ⇔ > >
II. Caùc baát ñaúng thöùc cô baûn : 
1. Baát ñaúng thöùc Cauchy: 
 49
 Cho hai soá khoâng aâm a; b ta coù : 
2
a b ab+ ≥ 
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a=b 
Toång quaùt : 
Cho n soá khoâng aâm a1,a2,...an ta coù : 
 1 2 1 2
... . ...n n n
a a a
a a a
n
+ + + ≥ 
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a1 = a2 =...= an 
2 . Baát ñaúng thöùc Bunhiacoápski :
Cho boán soá thöïc a,b,x,y ta coù : 
 2 2 2 2 2( ) ( )( )ax by a b x y+ ≤ + +
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi ay = bx 
Toång quaùt : 
Cho hai boä soá ( , vaø ta coù : 1 2 ,... )na a a 1 2( , ,..., )nb b b
 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2( ... ) ( ... )( ... )n n n na b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi 1 2
1 2
... n
n
aa a
b b b
= = = vôùi quy öôùc raèng neáu maãu baèng 0 thì töû cuõng baèng 
3) Baát ñaúng thöùc cô baûn: 
1 1 1 1( )
4
≤ ++x y x y a) Cho hai soá döông x, y ta luoân coù: 
 Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi x = y 
 b) Vôùi moïi soá thöïc x, y ta luoân coù: xyyx 222 ≥+
 Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi x = y 
III. Baát ñaúng thöùc JENSEN : 
 1) Neáu haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm caáp hai f''(x) < 0 );( bax∈∀ (f laø haøm loài) thì 
 Vôùi moïi ta coù: );(,...,, 21 baxxx n ∈
 )
...
(
)(...)()( 2121
n
xxx
f
n
xfxfxf nn ++≤+++ )2( ≥n
 Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi nxxx === ...21 
 2) Neáu haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm caáp hai f''(x) > 0 );( bax∈∀ (f laø haøm loõm) thì 
 Vôùi moïi ta coù: );(,...,, 21 baxxx n ∈
 50
 )
...
(
)(...)()( 2121
n
xxx
f
n
xfxfxf nn ++≥+++ )2( ≥n
 Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi nxxx === ...21 
Ñeå chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc A, ≥≤, ) ta coù theå thöïc hieän theo moät trong caùc phöông 
phaùp sau: 
Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh ñeán ñeán moät baát ñaúng thöùc hieån nhieân ñuùng 
Phöông phaùp 2: Söû duïng caùc baát ñaúng thöùc cô baûn ñaõ bieát (Coâ si, BCS,...) ñeå suy ra baát ñaúng thöùc caàn 
chöùng minh 
VÍ DUÏ MINH HOÏA: 
Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh raèng: 
8
1
2
sin.
2
sin.
2
sin ≤CBA 
Ví duï 2: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh raèng: 
 a) 
2
33
2
cos
2
cos
2
cos ≤++ CBA 
 b) 
2
33sinsinsin ≤++ CBA 
 c) 3
222
≥++ CtgBtgAtg 
Ví duï 3: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh raèng: 
 a) 
8
33
2
cos.
2
cos.
2
cos ≤CBA 
 b) 33≥++ tgCtgBtgA 
 c) 
33
1
2
.
2
.
2
≤CtgBtgAtg 
Daïng 3: NHAÄN DAÏNG TAM GIAÙC 
KIEÅU ÑEÀ TOAÙN 1: 
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
Δ⇒⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 bieät....ñaëc goùc coù giaùc tamlaø 
ñeàu giaùc tamlaø 
caân giaùc tamlaø 
caân vuoâng giaùc tamlaø 
vuoâng giaùc tamlaø 
ABC 
 tröôùc" cho kieänÑieàu" 
maõn thoûa ABC giaùc tam Cho
THÌ
KIEÅU ÑEÀ TOAÙN 2: 
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
Δ⇔⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 bieät....ñaëc goùc coù giaùc tamlaø 
ñeàu giaùc tamlaø 
caân giaùc tamlaø 
caân vuoâng giaùc tamlaø 
vuoâng giaùc tamlaø 
ABC 
 tröôùc" cho kieänÑieàu" 
maõn thoûa ABC giaùc tam Cho
VAØ ÑUÛ CAÀN
 51
"Ñieàu kieän cho tröôùc" coù theå laø: 
• Ñaúng thöùc löôïng giaùc veà goùc 
• Ñaúng thöùc löôïng giaùc + ñoä daøi (caïnh, trung tuyeán, phaân giaùc,...) 
• Ñaúng thöùc ñoä daøi 
• Heä ñaúng thöùc 
1) Nhaän daïng tam giaùc vuoâng
 Phöông phaùp: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông hoaëc heä quaû ñeå bieán ñoåi "Ñieàu kieän cho 
 tröôùc" ñeán moät ñaúng thöùc maø töø ñoù ta deå daøng keát luaän ñöôïc tính chaát cuûa tam giaùc 
2) Nhaän daïng tam giaùc caân
 Phöông phaùp: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông hoaëc heä quaû ñeå bieán ñoåi "Ñieàu kieän cho 
 tröôùc" ñeán moät ñaúng thöùc maø töø ñoù ta deå daøng keát luaän ñöôïc tính chaát cuûa tam giaùc 
3) Nhaän daïng tam giaùc ñeàu 
 Ngoaøi phöông phaùp ñaõ neâu treân ta coù theå giaûi quyeát baøi toaùn theo caùch sau 
 Phöông phaùp söû duïng baát ñaúng thöùc: Goàm 2 böôùc (aùp duïng khi "Ñieàu kieän cho tröôùc" coù daïng 
 ñaúng thöùc A = B 
 Böôùc 1: CM baát ñaúng thöùc BA ≥ hoaëc BA ≤ (1) 
 Böôùc 2: Laäp luaän ñeå ñaúng thöùc ôû (1) xaõy ra maø khi ñaúng thöùc (1) xaûy ra thì tam giaùc ABC ñeàu 
VÍ DUÏ MINH HOÏA: 
Ví duï 1: Tam giaùc ABC coù tgA
AB
BA =+
+
cossin
cossin . Chöùng minh raèng ΔABC vuoâng 
Ví duï 2: Chöùng minh raèng neáu thoûa maõn ñieàu kieän ABCΔ 012cos2cos2cos =+++ CBA thì tam 
 giaùc ñoù laø tam giaùc vuoâng 
Ví duï 3: Chöùng minh raèng neáu tam giaùc ABC thoaû maõn moät trong caùc ñieàu kieän sau laø tam giaùc caân 
 1) CtgA tgB 2.cot g
2
+ = 2) sin A sin B sin C A Ccot g .cot g
sin A sin B sin C 2 2
+ + =+ − 
Ví duï 4: Chöùng minh raèng neáu tam giaùc ABC thoaû maõn moät trong caùc ñieàu kieän sau laø tam giaùc ñeàu 
 2) 
A B Ccos cos cos
2 2 2 3
1 cosA 1 cosB 1 cosC
+ + =+ + + 
 52
 1) 1cosA.cosB.cosC
8
=
 3) A BcosA cosB cosC sin sin sin
2 2
+ + = + + C
2
 4) 1 1 1 1 1 1
A BcosA cosB cosC sin sin sin
2 2
+ + = + + C
2
Ví duï 5: Xaùc ñònh daïng cuûa tam giaùc ABC bieát: 
 1) Ca b tg (a.tgA b.tgB)
2
+ = + 
 2) b c a
cosB cosC sin B.sin C
+ = 
 3) b ccosB cosC
a
++ = 
 4) a.cosA b.cosB c.cosC 1
a b c 2
+ + =+ + 
Ví duï 6: Haõy tính caùc goùc cuûa tam giaùc ABC neáu trong tam giaùc ñoù ta coù : 
 2 2 2 9sin A sin B sin C 3cosC cos C
4
+ + = + + 2 
Ví duï 7: Tính caùc goùc cuûa tam giaùc ABC bieát raèng 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
≤−
8
332
2
sin
2
sin
2
sin
)(4
CBA
bcapp
 trong ñoù BC = a, AB = c, 
2
cbap ++= 
--------------------------------Heát--------------------------- 
 53