Đề cương ôn tập Toán học kì II

A. ĐẠI SỐ: 
BẤT ĐẲNG THỨC:
 Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân( BĐT Cô – si): 
Cho a, b là hai số thực:
 a,b0 	Đẳng thức: xảy ra Ûa=b 
Bài tập:
1. CMR: 
2. Cho a, b, c >0. CMR:
a) 	b) 	
3. CMR: 
4. CMR: 
5. CMR: 
 6. CMR: 
7. CMR: 
8. CMR: 
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH:
 1) Nhị thức bậc nhất:
x
– –b/a +
ax + b
Trái dấu a 0 cùng dấu a
2) Tam thức bậc hai:
* f(x) = cùng dấu với a nếu vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
* có hai nhiệm phân biệt x1 x2 thì 
x
– x1 x2 +
 cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 cùng dấu a
Bài tập:
1. Giải các bất phương trình sau: 
a) 	ĐS: T = (–; +)	
b) 	ĐS: T= 	
c) 	ĐS: T = (–; -1] [7/5; +)
d) (3x – 1)( )>0	ĐS: T = (–5; 1/3) (2; +)
e) 	ĐS: T = (–3/5; 1) [3; +)
f)	HD: Bpt ó ĐS: T = (2/3; +)
g) x – 2 > 	HD: Bpt ó	ĐS: T = (2; +)
h) 	ĐS: T = (–;–7/3) (2/3; 1)
2. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 
a) y = 	HD: hs xác định khi 0	ĐS: D = (–; 3] [5; +)
b) y = 	HD: hs xác định khi > 0	ĐS: D = (–2; 3)
III. THỐNG KÊ
1. Thời gian hoàn thành một sản phẩm của môt nhóm công nhân:
Thời gian (phút)
42
44
45
48
50
54
Cộng
 Tần số
4
5
20
10
8
3
50
Tìm số trung bình cộng, số trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số trên
 ĐS: ; Me = 45; Mo = 45; Độ lệch chuẩn : Sx 3; Phương sai: 8,9
2. Cho bảng phân bố tần số ghép lớp điểm thi toán của lớp 10A: 
Lớp điểm thi
Tần số
[0 , 2)
2
[2 , 4)
4
[4 , 6)
12
[6 , 8)
28
[8 , 10]
4
Cộng
50
a)Tìm số trung bình; phương sai; độ lệch chuẩn (chính xác đến 0,1) 	ĐS: ; 3,2; Sx 1,8
b) Lập bảng phân bố tần suất
c)Vẽ biểu đồ hình cột, hình quạt và đường gấp khúc mô tả tần suất 
3. Để khảo sát kết quả thi môn toán trong kỳ tuyển thi đại học vừa qua của trường A người điều tra chọn một mẫu gồm 60 học sinh tham gia kỳ thi tuyển sinh đó . Điểm môn toán thang điểm 10 của các học sinh này được cho ở bảng phân bố tần số sau: 
Điểm
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tần số
1
2
3
5
8
13
19
24
14
10
2
N= 100
a/ Tìm mốt 
b/ Tìm số trung bình ( chính xác đến hàng phần trăm) 
c/ Tìm số trung vị 
d/ Tìm phương sai độ lệch chuẩn ( chính xác đến hàng phần nghìn) 
4.Cho bảng tần số, tần suất ghép lớp như sau:
Lớp
Tần Số
Tần Suất
[160;162]
6
16,7%
[163;165]
12
33,3%
[166; * ]
**
27,8%
[169;171]
5
***
[172;174]
3
8,3%
N =36
100%
a/ Hãy điền số thích hợp vào dấu *
b/ tìm các giá trị đại diện của các lớp 
c/ Tìm số trung bình ( chính xác đến hàng phần trăm) 
d/ Tìm phương sai độ lệch chuẩn ( chính xác đến hàng phần nghìn) 
IV. LƯỢNG GIÁC
1. Các công thức lượng giác cơ bản:
2. Chú ý:
1) 
2) 	
3. Công thức cộng:
*cos() =coscos sinsin 	*sin() =sincos sincos
* tan(+) =	* tan(-) = 
4. CT nhân đôi :
*cos2= cos2-sin2
 =2cos2-1.
 =1 - 2sin2
 * sin2= 2sincos	* tan2= 	(Với tan2; tan) có nghĩa.
 5. công thức hạ bậc:
; 	;	
6. Công thức biến đổi tích thành tổng:
*cosa cosb= [cos(a +b) + cos(a -b) ]
*sina sinb= [cos(a +b) - cos(a -b)]	*sina cosb= [sin(a +b) + sin(a -b)]
7. Công thức biến đổi tổng thành tích:
Bài tập: 
1.Cho và . Tính cos, tan, cot, sin2. 
	ĐS: cos = 4/5, tan = ¾, cot = 4/3, sin2 = 24/25 
2.Cho và . Tính sin, cot, cos2.
	ĐS: sin = 4/5, cot = –3/4, cos2 = –7/25
3.Cho tan = 2 và . Tính cot, sin.	
ĐS: cot = ½, sin = –
4. Cho cot = –3 và . Tính tan, cos.	
ĐS: tan = –1/3, cos = 
5. Tính các GTLG của góc biết : 
6*. Tính : ; B= 4sinx .sin2x . sin3x; C = 
7* Biến đôi thành tích :	M = sin 2x – sin 4x + sin 6x .
8* Chứng minh rằng:	 
9*. Chứng minh đẳng thức :
a) 
*HD:	+BĐ vế phải 
+Đưa cot về sin ; cos 
b) sin(a+b).sin(a-b)= 
*HD:	+BĐVT theo CT cộng 
+sử dụng hđt (a-b).(a+b)
10. Tính sin 2a ; cos 2a ; tan 2a biết : a) sina = -0,6 & ; b)sina + cosa = -5/9 & 
*HD:a) + Tính cosa
 + Tính sin 2a ; tan 2a theo CT nhân đôi .
b) + Bình phương 2 vế đẳng thức đã cho 
+Tìm được sin 2a ; cos 2a ; tan 2a .
11*. Rút gọn biểu thức :	A= 
Từ kết quả tìm được hãy tính giá trị của A biết cot 3x = -5/7
*HD	:+BĐ tử & mẩu thành tích 
+Đưa về tan 3x
+ Tính A theo cot 3x 
12 *Chứng minh rằng:( Khi các biếu thức có nghĩa)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
B. HÌNH HỌC: 
I. TÍCH VÔ HƯỜNG CỦA HAI VECTƠ VÀ CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC - GIẢI TAM GIÁC:
1.Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ :	 với = ( )
2.Bình phương vô hướng hai vectơ : 	.= 2 = ( )2 = | |2
3.Bieåu thöùc toïa ñoä :	Cho =(a1, a2) ; =(b1,b2) . Khi đó: .= a1.b1+ a2.b2
4.Độ dài của vectơ: | |= 
5. Góc tạo giữa hai vectơ: ( , )
* a1.b1+ a2.b2 = 0
6. Khoảng cách giữa hai điểm: Cho A( xA; yA) ; B(xB;yB) Khi đó AB = 
7. Định lý côsin trong tam giác : 
 ABC có AB= c, BC=a, AC =b 
 a2 = b2 + c2 - 2 bc.cosA
 b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB
 c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC
8. HQ: 	*;	* ;	*
9. Công thức trung tuyến
;	;	
10.Định lý sin trong tam giác: = 2R (R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
11.Công thức tính diện tích tam giác:
S = 
S = pr
S = (CT: Hê-rông)
Bài tập:
1.Cho ABC vuông cân có AB=AC =a . Tính các tích vô hướn 
2. Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai biết:
a.) =(2;-3).; = (6;4)	b) .=(3;2) ; =(5;-1)
3. Cho ABC có AB = 5; AC = 8, . Tính BC.
4. ABC a = 7; b = 24; c = 23. Tính góc A , B, C của tam giác ABC, tính độ dài trung tuyến ma
5. Cho tam giác ABC có và b= 210. Tính góc A , các cạnh còn lại và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
6.Cho ABC có a=13 , b= 14 ; c=15 .Tính SABC, R, r .
7. ChoABC biết a =17,4 B = 44030’, C =640 . Tính góc A và các cạnh b , c . 
ĐS: A = 71031’ b= 12.9 ; c= 16.5
8. Cho ABC biết a =49.4, b = 26.4 , C =470 20’ . Tính góc A , B và cạnh c 
*HD: Theo định lí cosin ta có :
 c2 = a2 +b2 -2abcosC 1369.58c 37.0; cosA = -0.1913 A 10102’ ; B 1800 –(10102’ +470 20’) 31038’ 
9. Cho ABC có a=24 b= 13 c=15 .Tính các góc A,B,C 
*HD: Theo hệ quả của định lí cosin tacó 
cosA = -0.4667 A 117049’ Vì = nên sinB = 0.4791vì AC ngắn nhất nên B nhọn B 28038’ 
10. Giải ABC vuông tại A, biết a= 72, B= 580 . Tính đường cao ha,.
*HD: = 900 - = 320 ; b = asinB = 72 . sịn580 ; c = a isnC = 72.sin320 38,15; ha = ; C 33033’
11. Cho ABC, biết a= 50,1; b= 85 ; c = 5442, Tính góc A, B,C.
*HD: Theo đl côsin ta có 
 0,8090 A = 360 
CosB = -0,2834 B 1060 28’ ; 3732’
12. Giải ABC. Biết A=1200 b= 8, c =5 . Tính góc B,C và cạnh a. 
*HD: Theo đl côsin ta có 
a2 = b2 +c2 -2bc cosA= 126 a 11,36
CosB = 0,79B 370 48’ & C 220 12’
13. Cho ABC có b=7cm, c = 5cm và . Tính a, sinA và SrABC, ha, R.
(ĐS: )
14. Cho ABC. Biết A=600, b = 8cm, c = 5cm. Tính a, sinA và SrABC, ha, R.
(ĐS: )
15. Cho ABC, biết a = 21cm, b = 17cm, c = 10cm. Tính SrABC, ha, r, ma.
(ĐS: 
16. Cho ABC, biết b = 14cm, c = 10cm, A= 1450. Tính a, 
17.Cho ABC, biết a = 4cm, b = 5cm, c = 7cm. Tính .
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG TRÒN, ELIP, KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC, VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI 
· đi qua M(x0; y0) và có VTCP = (u1; u2), PTTS là : 
· đi qua M(x0; y0) và có VTPT = (a; b), PTTQ là: a(x – x0) + b(y – y0) = 0
· Đường tròn tâm I(a; b), bán kính R, PTCT: (x – a)2 + (y – b)2 = R2
Dạng khai triển(PTTQ) : x2 + y2 – 2ax – 2by + c =0 có tâm I(a; b), bán kính R = 
· Đường elip: 	có trục lớn A1A2 = 2a, trục nhỏ B1B2 = 2b, tiêu cự F1F2 = 2c, các tiêu điểm F1(–c; 0), F2(c; 0); Các đỉnh A1(–a; 0), A2(a; 0), B1(0; –b), B2(0; b), tâm sai: 
· Khoảng cách từ M(x0; y0) đến : ax + by + c = 0 là: 
· Góc giữa và là: 
· Hệ 
+ Có nghiệm duy nhất () là (x0; y0) thì cắt tại (x0; y0)
+Vô nghiệm () thì // 
+Vô số nghiệm () thì trùng với 
Bài tập:
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(-1;3) , B(-3;1) và C(2;-1).
a)Viết PTTQ của đường thẳng AB	ĐS: 
b) Viết PT TQ của đường cao CH	ĐS: 
c) Viết PT TS của đường thẳng BC	ĐS: x = –3+5t, y = 1–2t
d) Viết PT TS của đường cao AK	ĐS: x = –1+2t, y = 3+5t
c) Viết phương trình tròn đương kính AB 	ĐS: (x + 2)2 + (y –2)2 = 2
d)Viết phương trình đường tròn tâm B và đi qua C	ĐS: (x +3)2 + (y –1)2 = 29
2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng : 
a)Tính khoảng cách từ I(2;5) đến đường thẳng . 	ĐS:
b)Viết phương trình đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng	ĐS:
3. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua N(2;-1) và có vectơ chỉ phương 	
	ĐS: 
4. Tính góc giữa hai đường thẳng sau: và 	ĐS: 86038’
5. Cho 2 đường thẳng : và 
 a) Chứng minh rằng: và cắt nhau.Tìm toạ độ giao điểm của và 	ĐS: (–6/7; –1/7)
 b)Viết phương trình tổng quát đường thẳng d đi qua điểm M(1;-3) và song song ĐS: 2x–5y–17= 0
6. a)Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(3;-2) và bán kính R= 5. 	ĐS: 
 b)Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M(0;2) 	ĐS: 
7. Cho đường tròn . Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) ĐS: I(–2; 1), R = 
8. Cho elip có phương trình:. Hãy xác định độ dài các trục, tiêu cự, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh, tâm sai.
9. Viết phương trình chính tắc của (E) có đỉnh (-3,0) và tiêu điểm (1 , 0)	ĐS: 
10. Viết phương trình chính tắc của (E) có trục lớn 10 và tiêu điểm ( 3 , 0)	ĐS: