Đề cương ôn tập Toán Lớp 10 - Dạng 1: Tính tích vô hướng. Tính góc. Chứng minh và thiết lập vuông góc

Dạng 1. Tính tích vô hướng – Tính góc – Chứng minh & thiết lập vuông góc
¶¶¶
 Tính tích vô hướng
Ta có thể lựa chọn một trong các hướng sau đây
Hướng 1. Sử dụng định nghĩa bằng cách đưa hai véctơ và về cùng gốc để xác định chính xác góc , từ đó: .
Hướng 2. Sử dụng các tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai véctơ.
Hướng 3. Nếu đề bài cho dạng tọa độ .
‚ Tính góc: .
ƒ Chứng minh vuông góc
Ta có thể lựa chọn một trong các hướng sau đây
Hướng 1. Nếu đề bài không cho tọa độ, ta sử dụng tính chất của tích vô hướng. Đặc biệt:
Hướng 2. Nếu đề bài cho dạng tọa độ thì .
Cho ∆ABC vuông tại A có . Tính các tích vô hướng
a/ .	b/ .	c/ .
Cho ∆ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng
a/ .	b/ .	c/ .
Cho ∆ABC vuông cân có có AH là đường cao. Tính các tích vô hướng sau
a/ .	b/ .	c/ và .
Cho ∆ABC vuông tại A, có và .
a/ Tính các cạnh của ∆ABC.
b/ Gọi I, J là các điểm thỏa các đẳng thức véctơ . Tính theo 
	hai véctơ .
Cho ∆ABC vuông tại A có .
a/ Tính các tích vô hướng: .
b/ Nếu .
Tính và .
Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho . Hãy tính .
Cho ∆ABC vuông tại A có là trung điểm của BC. Biết rằng . 
Hãy tính .
Cho ∆ABC đều cạnh a và AM là trung tuyến của tam giác. Tính các tích vô hướng sau
a/ .	b/ .
c/ .	d/ .
e/ .	f/ .
Cho ∆ABC có . Tính các tích vô hướng sau theo a, b, c
a/ .	b/ .	c/ .
Cho ∆ABC có . Tính . Suy ra độ dài cạnh BC và độ dài 
đường trung tuyến AM.
Cho ∆ABC có 
a/ . Hãy tính độ dài cạnh BC.
b/ . Hãy tính độ dài cạnh AC.
c/ . Hãy tính độ dài cạnh AB.
Cho ∆ABC có . Chứng minh rằng:
	(Định lý hàm cos)
Cho ∆ABC có .
a/ Tính cosA, cosB, cosC.
b/ Tính .
c/ Tính độ dài ba đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC.
Cho tam giác ABC có .
a/ Tính , rồi suy ra giá trị của góc A.
b/ Tính .
c/ Gọi D là điểm trên CA sao cho . Tính .
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau
a/ .	b/ .
c/ .	d/ .
e/ .	f/ .
g/ .	h/ .
Cho ∆ABC có . Gọi G là trọng tâm và D, E, F lần lượt là chân đường phân giác trong của góc A, B, C. Tính
a/ Tích vô hướng của các véctơ: .
b/ Độ dài các cạnh .
c/ Tính giá trị của .
Cho tam giác ABC có .
a/ Tính , rồi suy ra cosA, cosB, cosC.
b/ Gọi G là trọng tâm của DABC. Tính .
c/ Tính giá trị biểu thức .
d/ Gọi AD là phân giác trong của góc . Tính theo , suy ra AD.
HD: a/ , 	b/ 	c/ .
 d/ Đường phân giác Þ , .
Cho tam giác ABC có . Gọi M là trung điểm của BC.
a/ Tính BC, AM.	
b/ Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi: .
HD: a/ .	b/ .
Cho hình thang vuông ABCD, đường cao đáy lớn đáy nhỏ .
a/ Tính các tích vô hướng: .
b/ Gọi I là trung điểm của CD, tính . Suy ra góc của hai véctơ và .
Cho hình thang vuông ABCD có đường cao , canh đáy .
a/ Tính . Suy ra góc nhọn tạo bởi hai đường AC và BD.
b/ Gọi G là trọng tâm của ∆BCD và tính .
Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I, cạnh . Tính theo a, b các tích vô hướng
a/ .
b/ với M là điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.
Cho tam giác ABC có .
a/ Tính . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
b/ Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c/ Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC.
d/ Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
e/ Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.
f/ Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N.
g/ Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.
h/ Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO.
i/ Tìm toạ độ điểm T thoả .
k/ Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B.
l/ Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của DABC.
Cho tam giác ABC có . Câu hỏi tương tự như bài 302.
Xác định hình dạng của tam giác ABC khi biết
a/ .	b/ .
c/ .	d/ .
Xác định hình dạng của tứ giác khi biết
a/ .	b/ .
c/ .	d/ .
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho .
a/ Chứng minh .	b/ Tìm x để .
c/ Tìm x để cùng phương với .	d/ Tìm tọa độ véctơ để và 
Trong mặt phẳng Oxy, cho và véctơ .
a/ Tìm m để cùng phương với .	b/ Tìm m để .
Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm: .
a/ Tìm y để ∆ABC vuông tại C.	b/ Tìm x để 3 điểm A, B, D thẳng hàng.
Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm .
a/ Tìm để .	b/ Tìm để A, B, N thẳng hàng.
Tính góc giữa hai véctơ và trong các trường hợp sau
a/ .	b/ .
c/ .	d/ .
Cho ∆ABC với .
a/ Tìm tọa độ trực tâm H.	b/ Vẽ . Xác định tọa độ điểm K.
Cho tam giác ABC có .
a/ Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC.
b/ Tìm toạ độ điểm M biết .
c/ Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Cho ∆ABC cso .
a/ Chứng minh ∆ABC vuông tại B.
b/ Tìm tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c/ Tìm tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Cho ∆ABC biết .
a/ Tìm tọa độ hình chiếu của A lên BC.	b/ Tìm diện tích tam giác ABC.
Cho ba điểm . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên BC. Từ 
đó suy ra tọa độ điểm A1 là điểm đối xứng với A qua BC.
Cho ∆ABC, biết .
a/ Tính .	b/ Tính cos và sin góc A.
c/ Tìm tọa độ chân đường cao A1 của ∆ABC.	d/ Tìm tọa độ trực tâm H của ∆ABC.
e/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.	f/ Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp ∆.
g/ Chứng minh rằng I, H, G thẳng hàng.
Cho .
a/ Chứng minh: ∆ABC vuông.	b/ Chứng minh: ABCD là hình chữ nhật.
c/ Gọi C' thỏa . Tìm C', suy ra D đối xứng với C' qua B.
Cho ∆ABC có . Gọi D là trung điểm cạnh là điểm thỏa 
. Chứng minh BD vuông góc với AM.
Cho ∆ABC có góc A nhọn. Vẽ bên ngoài ∆ABC các tam giác vuông cân đỉnh A là ∆ABD, ∆ACE. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: .
Nếu góc A tù hoặc vuông thì kết quả trên còn đúng không ? Tại sao ?
Cho ∆ABC cân tại A, H là trung điểm của BC và D là hình chiếu của H lên là trung 
điểm của HD. Chứng minh .
Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. 
a/ Chứng minh: .
b/ Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".
Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF.
Chứng minh: .
Cho ∆ABC đều, trên BC, CA, AB lấy các điểm D, E, F thỏa và 
. Chứng minh: .
Cho hình vuông OACB và một điểm M thuộc OC. Kẻ đường PP' qua M và vuông góc với OA, đường QQ' qua M và vuông góc với OB.
a/ Chứng minh: .	b/ Chứng minh: .
Cho ba điểm A, B, M. Gọi O là trung điểm của AB.
Chứng minh rằng: .
Cho ∆ABC có . Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến BM và CN vuông góc nhau là .
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là .
Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm . Gọi H là điểm xác định bởi .
a/ Tính . Suy ra H là trực tâm của tam giác ABC.
b/ Tìm hệ thức giữa độ dài ba cạnh tam giác ABC là a, b, c sao cho với M là trung 
	điểm của BC.
Cho hình vuông ABCD.
a/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Chứng minh .
b/ Gọi P, Q tương ứng trên BC, CD sao cho .
	Chứng minh.
Cho hình chữ nhật ABCD có
a/ . Gọi K là trung điểm của AD. Chứng minh: .
b/ . Gọi K là trung điểm của AD và L trên tia DC sao cho .
	Chứng minh: .
Cho tứ giác ABCD có tại M. Gọi P là trung điểm của AD. Chứng minh rằng: .
Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên AC sao cho . Gọi N là trung điểm của 
DC. Chứng minh tam giác BMN là tam giác vuông cân.
Cho hình thang vuông ABCD có đường cao , cạnh đáy . Tìm điều kiện giữa a, b, h để:
a/ .	b/ với I là trung điểm của CD.
Cho hình thang vuông ABCD, đường cao .
a/ Tính . Suy ra góc giữa AC và BD.
b/ Gọi I là trung điểm của CD, J là điểm di động trên cạnh BC. Dùng tích vô hướng để tính BJ 
	sao cho AJ và BI vuông góc.
Cho hình thang vuông ABCD, hai đáy , đường cao . Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, h để
a/ với I là trung điểm của AB.	b/ .
c/ với M, N lần lượt theo thứ tự là trung điểm của AC và BD.
ĐS: a/ . b/ . c/ .
Cho tứ giác ABCD.
a/ Chứng minh: .
b/ Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là:
Cho ∆ABC vuông tại A, gọi M là trung điểm của BC. Lấy các điểm B1, C1 trên AB và AC sao 
cho . Chứng minh: .
Cho ∆ABC cân đỉnh A, O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, M là trung điểm của AB, E là 
trọng tâm của ∆ACM. Chứng minh: .
Cho ∆ABC cân đỉnh A, O là tâm đương tròn ngoại tiếp, gọi BB1 và CC1 là đường cao của tam 
giác ABC. Chứng minh: .
Cho đường tròn tâm O và một điểm P thuộc miền trong của đường tròn. Qua P, kẻ hai dây AB, CD vuông góc nhau. Gọi M là trung điểm của dây BD. Chứng minh: .
Dạng 2. Chứng minh đẳng thức và tìm quỹ tích điểm thỏa biểu thức về tích vô hướng hay độ dài. Sử dụng tích vô hướng giải bài toán cực trị.
¶¶¶
 Chứng minh đẳng thức tích vô hướng hay độ dài
Với các biểu thức về tích vô hướng, ta sử dụng định nghĩa hoặc tích chất của tích vô hướng. Cần đặc biệt lưu ý phép phân tích véctơ để biến đổi (quy tắc ba điểm , quy tắc trung điểm, quy tắc hình bình hành, ).
Với các công thức về độ dài, ta thường sử dụng: . Cần nắm vững 
các hình tính của những hình cơ bản.
‚ Xác định điểm, quỹ tích điểm thỏa mãn đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài
Bài toán: Tìm điểm M thỏa mãn đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài.
 Ta biến đổi biểu thức ban đầu về một trong các dạng sau:
µ Dạng 1. , thì điểm M thuộc đường tròn tâm A, bán kinh .
µ Dạng 2. với A, B cố định và k không đổi. Khi đó:
Gọi I là trung điểm của AB, ta được: 
.
.
Khi đó:
● Nếu thì M không tồn tại.
● Nếu thì là trung điểm của AB.
● Nếu thì M thuộc đường tròn tâm I bán kính .
µ Dạng 3. với A, B cố định. Khi đó:
Gọi theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M, A len BC, ta được: , có giá trị không đổi và do Ao cố 
định nên Mo cố định.
Vậy điểm M thuộc đường vuông góc với BC tại Mo. Đặc biệt, khi thì M 
thuộc đường thẳng qua A và vuông góc với BC.
ƒ Sử dụng tích vô hướng giải bài toán cực trị
đặt
Phương pháp: Sử dụng tích vô hướng biến đổi biểu thức cần tìm cực trị về biểu thức độ dài, chẳng hạn như: 
	 với c là hằng số và I cố định.
	 đạt được khi .
@ Lưu ý: Cần nắm vững cách tìm cực trị ở phần đại số (BĐT Cauchy, BCS,)
Chứng minh đẳng thức tích vô hướng hay về độ dài
Cho hai điểm A và B. Gọi O là trung điểm của AB và M là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng: .
Cho ∆ABC, gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: .
Cho ∆ABC đều, cạnh a, có đường cao AH và trọng tâm G. Tính .
Cho ∆ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh: .
Chứng minh rằng:
a/ với mọi điểm M, A, B, C. (gọi là hệ thức Euler).
b/ với mọi điểm A, B, C.
c/ với mọi điểm M, N, P, Q.
Cho ∆ABC với ba đường trung tuyến AD, BE, CF. 
Chứng minh: .
Cho I là trung điểm của đoạn AB, M là một điểm tùy ý. Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng AB. Chứng minh rằng:
a/ .	b/ .
c/ .	d/ .
Cho hình chữ nhật ABCD và điểm M tùy ý. Chứng minh:
a/ .	b/ .
Cho hai điểm M, N nằm trên đường tròn đường kính . Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN.
a/ Chứng minh: .
b/ Tính theo R.
Cho ∆ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh: .
Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh:
a/ 	b/ 
c/ (O là tâm của hình chữ nhật).
Cho ∆ABC có là các trung tuyến, G là trọng tâm, M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng:
a/ .
b/ .
c/ .
d/ .
e/ .
Cho ∆ABC có G là trọng tâm và M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng:
a/ .
b/ .
c/ (đẳng thức Leibnizt).
Cho ∆ABC, M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. 
Chứng minh rằng: .
Cho ∆ABC, H là trực tâm, M là trung điểm của BC, I là trung điểm AM. Chứng minh rằng:
a/ .	b/ .
Cho ∆ABC đều nội tiếp trong đường tròn tam O bán kính R, . Chứng minh rằng:
a/ .	b/ .
c/ (M thuộc cung nhỏ BC).
Cho đường thẳng AB cắt đường thẳng d ở M và một điểm C trên d (C khác M). Chứng minh rằng d là tiếp tuyến của đường tròn khi và chỉ khi .
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh: . Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau.
Cho ∆ABC và hai điểm bất kỳ. Gọi I và I', Hvà H', K và K' theo thứ tự là hình chiếu của M và M' lên BC, CA, AB. Chứng minh: .
Cho hình thoi ABCD có cạnh a và góc . Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có .
Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn , H là trực tâm của ∆ABC. Chứng minh rằng: với a, b, c là độ dài tương ứng của ∆ABC.
Cho MM1 là đường kính bất kỳ của đường tròn tâm O, bán kính R và A là một điểm cố định, đặt . Giả sử AM cắt tại N.
a/ Chứng minh rằng tích vô hướng có giá trị không phụ thuộc vào điểm M.
b/ Chứng minh rằng tích vô hướng có giá trị không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
Cho nửa đường tròn đường kính AB, có AC, BD là hai dây cung thuộc nửa đường tròn, cắt nhau tại E. Chứng minh: .
Cho ∆ABC đều cạnh bằng a. Gọi M là điểm tùy ý trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Chứng minh rằng: .
Tập hợp điểm và cực trị
Cho ∆ABC có . Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện
a/ .	b/ .
Cho có trung điểm I. Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện
a/ .	b/ (k cho trước).
c/ .	d/ .
d/ .	e/ (k cho trước)
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tìm tập hợp điểm M sao cho
a/ .	b/ .
c/ .	d/ (k cho trước).
e/ .	f/ .
g/ .
Cho ∆ABC. Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện
a/ .	b/ .
c/ .	d/ (k cho trước).
e/ .	f/ .
g/ .	h/ .
i/ .	k/ .
l/ .	m/ .
Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tập hợp điểm M sao cho: .
Cho ∆ABC đều cạnh a. Tìm tập điểm M thỏa điều kiện
a/ .	b/ .
c/ .	d/ .
e/ .	f/ .
g/ .	h/ .
Cho hình bình hành ABCD. Biện luận theo k tập hợp những điểm thỏa mãn: .
Cho ∆ABC có G là trọng tâm và M là điểm tùy ý.
a/ Chứng minh rằng: .
b/ Chứng minh rằng: . Từ đó suy ra vị trí của điểm M để đạt giá trị nhỏ nhất.
ĐS: .
Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M là điểm bất kỳ.
a/ Chứng minh rằng: .
b/ Giả sử M di động trên đường tròn , tìm các vị trí của M để đạt giá trị nhỏ nhất.
ĐS: M là hình chiếu vuông góc của D lên .
Cho ∆ABC đều, cạnh bằng . Lấy M là một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Đặt . Tìm vị trí của điểm M để S đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất ?
ĐS: .
Cho ∆ABC, G là trọng tâm và M là điểm tùy ý.
a/ Chứng minh rằng véctơ không phụ thuộc vào vị trí M.
b/ Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Chứng minh rằng: .
c/ Giả sử M di động trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Tìm vị trí của điểm M để đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Cho ∆ABC nhọn. Tìm điểm M sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho ∆ABC có . Tìm điểm M sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho ∆ABC nhọn. Tìm trên các đường thẳng BC, CA, AB các điểm X, Y, Z sao cho chu vi ∆XYZ đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho ∆ABC có M là điểm tùy ý. Tìm vị trí M trong các trường hợp sau
a/ đạt giá trị nhỏ nhất.
b/ M thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và đạt giá trị lớn nhất.
Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O.
a/ Chứng minh rằng: M nằm trên đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
b/ Chứng minh rằng: .
c/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của khi M di động trên đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.