Đề tài Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số

Phần thứ nhất: Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài:
 Trong nhà trường THCS, môn Toán giữ một vai trò hết sức quan trọng. Những tri thức và kỹ năng toán học cùng với những phương pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tập các môn học khác, là công cụ của nhiều ngành khoa học và đời sống thực tế. Vì vậy toán học là một phần không thể thiếu trong nền văn hóa của con người mới.
 Trong quá trình giảng dạy chương trình Đại số lớp 8 và lớp 9 bản thân tôi thấy việc giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (hay bài toán cực trị) là một vấn đề khó đối với học sinh. Vì các bài toán cực trị thường không cho sẵn điều phải chứng minh, chúng đòi hỏi học sinh phải tự tìm lấy kết quả của bài toán. Đối với bài toán cực trị thường có nhiều con đường để đi đến đích, trong đó có những cách giải ngắn gọn, hợp lí, đôi khi có cả những phưong án độc đáo và sáng tạo. Các bài toán cực trị cũng gắn toán học với thực tiễn bởi việc đi tìm những giá trị lớn nhất, nhỏ nhất,nhiều nhất, ít nhất, chính là đi tìm những cái tối ưu thường đặt ra trong đời sống và kỹ thuật.
 ở đề tài này, tôi mạnh dạn đưa ra một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất để giúp các em học sinh nâng cao kiến thức và kỹ năng tìm cực trị.
2. Mục đích nghiên cứu:
 - Giúp bản thân tự học hỏi, tự nâng cao kiến thức về phần này.
 - Vận dụng vào quá trình giảng dạy, đặc biệt là ôn luyện cho học sinh khá giỏi.
 - Giúp học sinh nắm vững kiến thức, làm cơ sở để học những lớp trên.
 - Có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán thực tế.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
3.1. Đối tượng nghiên cứu:
 Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
3.2. Phạm vi nghiên cứu:
 Học sinh lớp 9B trường THCS Thiệu Long.
4. Các nhiệm vụ nghiên cứu:
 Đề tài này nêu và giải quyết một số vấn đề sau:
 - Một số cơ sở lý luận liên quan đến đề tài.
 - Cơ sở thực tế của vấn đề nghiên cứu.
 - Một số phưong pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
 - Những kết quả đạt được.
 - Một số bài học kinh nghiệm.
5. Giới hạn đề tài:
 Đề tài này chỉ giới hạn trong việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số áp dụng cho học sinh lớp 9. Bắt đầu từ tháng 09 năm 2006 đến tháng 03 năm 2007
6. Phương pháp nghiên cứu:
 - Quan sát sư phạm 
 - Điều tra giáo dục
 - Nghiên cứu tài liệu
 - Kiểm tra đánh giá.
Phần thứ hai: Nội dung
1. Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu:
 Dạy học là một quá trình luôn luôn vận động và phát triển không ngừng. Sự vận động và phát triển mang tính quy luật thống nhất giữa hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò.
 Người giáo viên, với vai trò chủ thể tác động sư phạm phải biết thiết kế và tổ chức quy trình dạy học như: xác định mục tiêu, nhiệm vụ dạy học, lựa chọn nội dung, vận dụng các phương pháp, phương tiện và hình thức tổ chức dạy học.
 Trong quá trình dạy học, người thầy phải biết chọn lọc những kiến thức cơ bản quan trọng để truyền thụ cho học sinh. Đồng thời phải dẫn dắt học sinh biết tìm tòi, phát hiện tri thức mới và từng bước giải quyết các vấn đề đó thông qua các phương pháp dạy học phong phú, linh hoạt, phù hợp với từng đối tượng học sinh.
 Trong quá trình dạy học, học sinh không ngừng phát huy tính tích cực nhận thức, tự mình rèn luyện các thao tác trí tuệ. Vì vậy giáo viên phải giúp học sinh tự mình khám phá trên cơ sở tự giác và được tự do suy nghĩ, tranh luận, đề xuất các vấn đề cần được giải quyết. Khi học sinh phát hiện được một bài toán hay, điều đó sẽ giúp các em học toán có hiệu quả hơn và được hưởng trọn niềm vui khi tự mình giải được bài toán.
 Vậy khi dạy học toán là phải biết phát huy tính sáng tạo và khả năng tư duy toán học sẵn có của học sinh, tạo cho các em niềm tin vào môn học này. Đặc trưng của toán học là tính trừu tượng cao độ, tính lôgic và tính thực nghiệm. Vì thế, người giáo viên phải chú ý đến tất cả các phương diện đó mới có thể hướng dẫn học sinh học toán, mới khai thác được đầy đủ tiềm năng môn toán để thực hiện mục tiêu giáo dục toàn diện.
2. Cơ sở thực tế của vấn đề nghiên cứu:
 - Nhìn chung, nội dung kiến thức về tìm giá trị lớn nhất, được nói đến rất ít trong SGK đại số lớp 8 và lớp 9 bởi chúng là một phần kiến thức khó. Đa số học sinh tiếp thu kiến thức này một cách mơ màng và khó khăn nên chưa thể tự mình tiến tới giải các bài toán dạng này. Trong khi đó, phần nhiều giáo viên chưa dành nhiều thời gian để nghiên cứu sâu về các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất để đóng vai trò chủ thể trong quá trình dẫn dắt học sinh phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề. 
 - Trường THCS Thiệu Long có đầy đủ cơ sơ vật chất tạo điều kiện tốt cho việc giảng dạy nói chung và bộ môn toán nói riêng. Phần lớn học sinh chịu khó học hỏi, tìm tòi, say mê bộ môn toán. Song do trình độ tiếp thu có hạn nên ít em có thể tự mình làm được các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
 - Qua khảo sát và kiểm tra đầu năm học 2006-2007 về phần kiến thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ở lớp 9B kết quả đạt được như sau:
 Tổng số học sinh được tham gia khảo sát: 44 em
 Loại giỏi:	 3	Tỉ lệ:	 6,8%
 Loại khá:	 8	Tỉ lệ:	18,2%
 Loại TB:	 22	Tỉ lệ:	 50%
 Loại yếu,kém: 11	Tỉ lệ: 25%	
 Chất lượng trên thể hiện một bộ phận học sinh cũng đã biết cách giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số. Vì vậy tôi tập trung nghiên cứu sâu hơn về các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất để đưa ra cho học sinh tìm hiểu, áp dụng giúp các em có thêm công cụ để giải toán dạng này. Đặc biệt là những em có năng khiếu về môn toán, càng làm cho các em phát triển tư duy trí tuệ. Trong quá trình giảng dạy, bản thân đã dạy cho học sinh các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất như sau:
3. Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số đã áp dụng dạy học cho học sinh lớp 9 ở trường THCS Thiệu Long:
3.1.Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
 Để dùng hằng đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số thì trước hết học sinh phải nắm được các hằng đẳng thức thường sử dụng là:
 Phương pháp này thường dùng để tìm giá trị lớn, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số là tam thức bậc hai, đa thức bậc cao hơn hai có thể đưa về được tam thức bậc hai, phân thức có tử là hằng số và mẫu là tam thức bậc hai.
 Vì ở lớp 8 học sinh đã được làm các bài tập tìm cực trị của biểu thức là tam thức bậc hai hoặc đa thức bậc cao có thể đưa được về tam thức bậc hai nên ở đây giáo viên chỉ củng cố lại cho học sinh.
 Giáo viên hướng dẫn học sinh phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số là tam thức bậc hai như sau:
 - Đối với biểu thức đại số là tam thức bậc hai thì đưa tam thức đó về dạng hoặc (trong đó a là hằng số) bằng cách áp dụng các hằng đẳng.
 - Đối với biểu thức đại số là đa thức bậc cao sau khi đã đưa về được dạng tam thức bậc hai thì cũng làm tương tự như tam thức bậc hai.
 - Đối với biểu thức đại số là phân thức có tử là hằng số và mẫu là tam thức bậc hai thì đưa biểu thức đó về dạng hoặc (a,b là các hằng số)
 Sau đây là một số ví dụ cụ thể:
 Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Phần hướng dẫn của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Gv: Hãy đưa đa thức trên về dạng bằng cách áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu.
Gv: Có nhận xét gì về biểu thức . Từ đó rút ra được kết luận gì về biểu thức A ?
Gv: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là bao nhiêu ? Đạt được tại giá trị nào của x ?
Hs: Ta có: 
Hs: Do với mọi 
 nên với mọi 
suy ra với mọi 
Hs: Ta nhận thấy: 
Vậy min khi và chỉ khi 
 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Phần hướng dẫn của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Gv: Hãy so sánh kết quả của phép nhân 
 với 
Gv: Nếu đặt y = hãy biễu diễn qua y. Khi đó biểu thức B có dạng như thế nào ?
Gv: Có nhận xét gì về biểu thức B ?
Gv: Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B ?
Hs: = 
suy ra: = + 2
Hs: 
 Khi đó: 
Hs: Biểu thức B là tam thức bậc hai
Hs: 
Do với mọi 
nên với mọi 
Vậy min khi và chỉ khi 
 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 = 
Phần hướng dẫn của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Gv: Có nhận xét gì về biểu thức C ?
Gv: Hãy biến đổi mẫu thức của C về dạng .
Gv: Ta thấy: 0 với mọi 
nên với mọi 
 Từ đó hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C.
Hs: Biểu thức C là một phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai.
Hs: Ta có:
 = 
 = 
 =
Hs: Vì với mọi 
nên 
 suy ra hay C 
 = 
Vậy max = khi và chỉ khi 
3.2. Xét biểu thức phụ:
 Có những biểu thức đại số mà việc trực tiếp đi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là khó khăn. Ta sử dụng một phương pháp gián tiếp là xét biểu thức phụ. Các biểu thức phụ thường xét là: , hoặc sai khác một hằng số.
 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Phần hướng dẫn của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Gv: Hãy tìm tập xác định của biểu thức trên. 
Gv: Có nhận xét gì về biểu thức A (âm hay dương) ?
Gv: Hãy xét biểu thức phụ .
Gv: Biểu thức nhận những giá trị nào ? Từ đó hãy suy ra giá trị của A’.
Gv: Từ giá trị của A’ hãy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.
Hs: Tập xác định là: 
Hs: Ta nhận thấy .
Hs: 
Hs: Ta có: 
Hs: Từ 
 suy ra min
 khi đó max
 max 
	khi đó min
 Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Phần hướng dẫn của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Gv: Có nhận xét gì về giá trị của biểu thức B (âm hay dương) ?
Gv: Hãy xét biểu thức phụ B’= B2
Gv: Biểu thức B’ nhận những giá trị nào ? Từ đó hãy tìm giá trị nhỏ nhất của B’.
Gv: Từ min. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của B.
Hs: Ta nhận thấy với mọi 
Hs: 
Hs: 
 khi đó min
Hs: min khi và chỉ khi 
 Giáo viên lưu ý cho học sinh khi xét các biểu thức phụ: 
 Chú ý: Khi xét biểu thức phụ phải chú ý là .Khi đó: lớn nhất nhỏ nhất
nhỏ nhất lớn nhất
 lớn nhất lớn nhất
nhỏ nhất nhỏ nhất
3.3. Đổi biến và tìm cực trị đối với biến mới:
Trong trường hợp việc tìm cực trị đối với biến của biểu thức đã cho là khá phức tạp thì một trong những phương pháp để đưa bài toán về dạng đơn giản là đổi biến và tìm cực trị đối với biến mới. 
 Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Phần hướng dẫn của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Gv: Đặt . Cần có điều kiện gì cho y ? Hãy biểu diễn A qua y.
 Gv: Biểu thức A nhận những giá trị nào ?
Gv: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là bao nhiêu ? Đạt được tại giá trị nào của x ?
Hs: Điều kiện .
Vì 
 thay vào biểu thức , ta có:
Hs: 
Hs: Vì	 nên 
min 
Chú ý: Sau khi đổi biến và tìm được cực trị đối với biến mới.Cần chỉ ra được tồn tại các giá trị của biến cũ để có cực trị đó.
3.4. Vận dụng các bất đẳng thức đã biết:
 Khi tìm cực trị của một biểu thức đại số, người ta thường sử dụng tính chất của bất đẳng thức, các hằng bất đẳng thức và hai bất đẳng thức quan trọng là bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốpx-ki.
 Giáo viên giới thiệu cho học sinh một số các hằng bất đẳng thức, các bất đẳng thức thường dùng để tìm cực trị của biểu thức đại số. 
 Các hằng bất đẳng thức thường dùng là:
- Dấu xảy ra khi và chỉ khi 
- Dấu xảy ra khi và chỉ khi 
- Dấu xảy ra khi và chỉ khi 
- Dấu xảy ra khi và chỉ khi 
- Dấu xảy ra khi và chỉ khi và 
 (các điều kiện này còn có thể diễn đạt là hoặc ).
 Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy):
 Với n số thì 
 (dấu xảy ra khi và chỉ khi )
 Với n = 2 thì 
 Với n = 3 thì 
 Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốpx-ki:
 (dấu xảy ra khi và chỉ khi )
 Giáo viên lấy ví dụ để hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp này. 
 Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Phần hướng dẫn của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Gv: Điều kiện xác định của biểu thức A là gì ?
Gv: Xét biểu thức:
Gv: Hai số và âm hay dương, tổng của chúng bằng bao nhiêu ? Ta có thể áp dụng bất đẳng thức nào cho chúng ?
Gv: Từ hãy tìm giá trị lớn nhất của A. Giá trị lớn nhất đó đạt được tại giá trị nào của x ?
Hs: Điều kiện xác định của biểu thức A là: 
Hs: 
Hs: Từ điều kiện xác định ta thấy và là hai số không âm và có tổng là 2 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số đó, ta có: 
Hs: Do 
 (thỏa mãn đkxđ).
Vậy max khi và chỉ khi hay max khi và chỉ khi .
 Ngoài cách làm như trên giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải ví dụ trên bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốpx-ki như sau:
 Ví dụ 8: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 biết rằng 
Phần hướng dẫn của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Gv: Xét biểu thức: và áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốpx-ki với 
Gv: Từ hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của A. Giá trị đó đạt được tại giá trị nào của x ?
Hs: Xét biểu thức: 
áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốpx-ki, ta có: 
Hs: 
Do nên 
min
max
 Trong bài toán trên, nếu áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côpx-ki với: ,ta có:
 Như vậy,với cách trên ta không chỉ ra được hằng số để .
Ví dụ 9: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Phần hướng dẫn của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Gv: Điều kiện xác định của biểu thức A là gì ?
Gv: Xét biểu thức phụ: 
và áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốpx-ki cho biểu thức đó.
Gv: Hai số và âm hay dương,tổng của chúng bằng bao nhiêu?
Gv: Từ hãy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A.
Hs: Đkxđ của biểu thức là: 
Hs: áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côpx-ki,ta có: 
Hs: Là hai số không âm và tổng của chúng bằng 200 nên ta áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số này.
Hs: 
Do đó: min khi và chỉ khi 
 max khi và chỉ khi 
3.5. Chia khoảng để tìm cực trị:
 Khi giải toán cực trị bằng phương pháp chia khoảng, ta cần xét biểu thức trên từng khoảng giá trị của biến, sau đó so sánh các giá trị của biểu thức trong các khoảng ấy để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 với 
Phần hướng dẫn của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Gv: Với thì A nhận giá nào ?
Gv: Với thì A < 0
Xét biểu thức: 
 và áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm .
Gv: Với thì -A nhận giá trị nào ? Từ đó suy ra giá trị của A.
Gv: Từ hai trường hợp trên hãy tìm giá trị nhỏ nhất của A ?
Hs: Với thì A > 0 (1)
Hs:
Hs: Với thì 
 (2)
Hs: So sánh (1) và (2), ta có: 
min
Vậy min khi và chỉ khi 
Ví dụ 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Phần hướng dẫn của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Gv: Để tìm giá trị nhỏ nhất của A ta phải làm gì ?
Gv: Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét giá trị của x trong những khoảng nào ?
Gv: Hãy tính giá trị của A trong ba khoảng đó ?
Gv: So sánh giá trị của A trong ba khoảng đó và tìm giá trị nhỏ nhất của A?
Hs: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối
Hs: Ba khoảng là: , , 
Hs: - Với thì 
 Do nên 
 (1)
- Với thì 
 (2)
- Với thì 
 Do nên 
 (3)
Hs: So sánh (1),(2) và (3), ta được:
 min khi và chỉ khi 
 Ta cũng có thể giải ví dụ trên bằng cách áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối như sau:
 Do giá trị tuyệt đối của một số luôn lớn hơn hoặc bằng số đó nên:
 Do đó min
3.6. Dùng đồ thị để tìm cực trị:
 Phương pháp này ít được đề cập đến ở bậc THCS. Tuy nhiên, trong một số bài toán cụ thể ta có thể sử dụng phương pháp này để giải một cách ngắn gọn. Sau đây là ví dụ về tìm cực trị bằng phương pháp đồ thị để các bạn tham khảo.
Ví dụ 12: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 với 
Phần hướng dẫn của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Gv: Hãy bỏ dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức y ?
Gv:Trong mỗi trường hợp hãy vẽ đồ thị của các hàm số đó ?
Hs:- Với thì:
Với thì:
 - Với thì:
- Với thì:	
Hs: Vẽ đồ thị hàm số đó trong mỗi trường hợp trên cùng mặt phẳng toạ độ.
 Hình vẽ đồ thị của hàm số với trên mặt phẳng tọa độ (đơn vị trên hai trục tọa độ được lấy khác nhau để dễ quan sát).
y
E
20
A
16
B
D
C
13
8
x
3
O
2
1/4
3/2
1
Gv: Tìm những điểm cao nhất và thấp nhất của đồ thị ?
Gv: Điểm E là điểm cao nhất của đồ thị nên tung độ của nó là giá trị lớn nhất. Những điểm thuộc đoạn CD là những điểm thấp nhất của đồ thị nên tung độ của nó là giá trị nhỏ nhất.
Hs: Điểm E là điểm cao nhất của đồ thị. Những điểm thuộc đoạn CD là những điểm thấp nhất của đồ thị.
Hs: Từ đồ thị ta thấy:
 max
 min
 Phương pháp này thường được sử dụng đối với các bài toán cực trị mà đồ thị của nó xét trên từng khoảng là các đường thẳng.
 Đối với phương pháp này giáo viên có thể đưa ra cho học sinh sau khi học về đồ thị của hàm số 
3.7. Tìm sự liên hệ giữa biểu thức đã cho và biểu thức phải tìm cực trị:
Ví dụ 13: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 biết rằng và 
Phần hướng dẫn của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Gv: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ta tìm mối liên hệ giữa và . 
 Với thì nhận giá trị nào ?
Gv: Từ hãy tìm mối liên hệ giữa và .
Gv: Tương tự: , 
 Suy ra mối liên hệ giữa với và tìm giá trị lớn nhất của A.
Hs: Ta có: 
 nên 
Hs: 
suy ra: 	
do đó 
Hs: Từ 
suy ra: 
 Vậy max khi và chỉ khi trong ba số có một số bằng 3, hai số bằng -1.
 Phương pháp này được sử dụng để tìm cực trị của biểu thức đại số nhiều biến và có quan hệ ràng buộc giữa các biến. Khi giải bằng phương pháp này phải tìm được mối liên hệ giữa biểu thức đã cho và biểu thức phải tìm cực trị.
4. Những kết quả đạt được: 
 Từ việc hướng dẫn học sinh các phương pháp tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số. Sau một thời gian bản thân đã tiến hành kiểm tra kết quả việc tiếp thu của học sinh qua bài kiểm tra với những bài tập tương tự. Kết quả thu được như sau:
- Tổng số học sinh được kiểm tra: 44
Điểm giỏi:	 7	 đạt tỉ lệ 15,9%
Điểm khá:	 12	 đạt tỉ lệ 27,3%
Điểm Tb:	 19	 đạt tỉ lệ 43,2%
Điểm yếu: 6 đạt tỉ lệ 13,6%.
Từ kết quả trên nhận thấy chất lượng của học sinh được nâng lên, nhiều học sinh đã biết giải một số bài tập thuộc dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
Đạt 1 giải học sinh giỏi môn Toán cấp huyện.
Phần thứ ba: kết luận
1. kết luận:
 Việc hướng dẫn, giới thiệu các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số là một việc làm thường xuyên của một giáo viên dạy môn Toán, đặc biệt là dạy chương trình toán lớp 8 và lớp 9 THCS. Thực hiện được công việc này chính là người giáo viên đã góp phần nâng cao chất lượng dạy học và nhất là chất lượng cho đội ngũ học sinh giỏi môn toán. Qua thời gian nghiên cứu và thử nghiệm trong công tác giảng dạy, bước đầu đã đạt được kết quả. Từ việc nghiên cứu cho thấy các phương pháp mà phù hợp với khả năng tiếp thu và mang lại kết quả đó là :
- Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
- Phương pháp đổi biến.
- Phương pháp chia khoảng.
- Phương pháp đồ thị.
 Để đạt được kết quả trong công tác giảng dạy trong những năm tiếp theo người thầy phải thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ. Trong quá trình giảng dạy người thầy phải thường xuyên hướng dẫn, kiểm tra đánh giá. Đối với học sinh sau khi được học các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số sẽ giúp các em sử dụng các phương pháp để giải các bài tập, khai thác các bài tập trong sách giáo khoa, phát triển óc tư duy sáng tạo, kích thích sự tìm tòi kiến thức. 
2. Một số bài học kinh nghiệm:
 Qua việc nghiên cứu về vấn đề này, bản thân đã rút ra bài học kinh nghiệm bổ ích đó là:
 - Nắm được đặc điểm năng lực, khả năng chuyên biệt của học sinh thì người giáo viên sẽ lựa chọn và sử dụng cac phương pháp một cách phù hợp.
 - Thông qua việc dạy học sinh mà người giáo viên giúp cho đồng nghiệp làm tốt hơn trong công tác tuyển chọn và bồi dưỡng học sinh giỏi ở các cấp.
 - Việc tìm tòi các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất kích thích tinh thần tự học, tự nghiên cứu tài liệu của giáo viên.
3. Các tài liệu tham khảo:
- Nâng cao và phát triển toán 8, 9 của NXB Giáo dục.
- Toán nâng cao và các chuyên đề 8, 9 của NXB Giáo dục.
- 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp của NXB Giáo dục.
Các mục lục
STT
Tên mục
Từ trang đến trang
1
Phần thứ nhất: mở đầu
01
2
1. Lý do chọn đề tài
01
3
2. Mục đích nghiên cứu
01
4
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
01-02
5
4. Các nhiệm vụ nghiên cứu
02
6
5. Giới hạn đề tài
02
7
6. Phương pháp nghiên cứu
02
8
Phần thứ hai: Nội dung
02
9
1. Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu
02-03
10
2. Cơ sở thực tế của vấn đề nghiên cứu
03-04
11
3. Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số đã áp dụng dạy cho học sinh lớp 9 ở Trường THCS Thiệu Long.
05
12
3.1. Dùng hằng đẳng thức
05-08
3.2. Xét biểu thức phụ
08-10
13
3.3. Đổi biến và tìm cực trị đối với biến mới
11
14
3.4. Vận dụng các bất đẳng thức đã biết
12-16
15
3.5. Chia khoảng để tìm cực trị
16-18
16
3.6. Dùng đồ thị để tìm cực trị
18-20
17
3.7. Tìm sự liên hệ giữa biểu thức đã cho và biểu thức phải tìm cực trị
20-21
18
4. Những kết quả đạt được.
21
19
Phần thứ ba : Kết luận
22
20
1. Kết luận
22-23
21
2. Một số bài học kinh nghiệm. 
23
22
3. Tài liệu tham khảo.
23
23
4. Các mục lục
24-25