Đề tài Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có hiệu quả

PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT 
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CÓ HIỆU QUẢ
PHẦN I. MỞ ĐẦU.
A.Lý do chọn đề tài.
Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất( GTLN và GTNN) là một bài toán tương đối khó. Bởi vì cơ sở lý thuyết ngắn , nhưng lại đa dạng về kĩ thuật và thủ thuật làm toán. Nó đòi hỏi một thời gian lớn để thấu hiểu và giải được bài toán, mà còn đòi hỏi sự nhạy cảm và khả năng tư duy cao . Đặc biệt để giải bài toán tìm GTLN và GTNN thì các kiến thức tổng hợp về đại số, giải tích, hình họcthường được sử dụng. Trong phạm vi nào đó, việc dự đoán GTLN và GTNN còn đồi hỏi kinh nghiệm , lẫn sự thông minh định ra con đường và phương tiện để chứng minh. Hơn nữa, bài toán tìm GTLN và GTNN là dạng bài toán hay gặp trong các kì thi tốt nghiệp, ĐH và CĐ.
 Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở trường THPT Phước Long tôi nhận thấy khi dạy phần này tôi thường gặp những khó khăn sau đây:
Khó khăn thứ nhất: Đối tượng học sinh dù có học lực khá, ham thích học toán thì cũng “ngại” giải bài toán này.
Khó khăn thứ hai: Học sinh hay mắc phải sai lầm và thiếu sót từ việc chứng minh và cả việc kết luận bài toán.
Khó khăn thứ ba :Đối với học sinh khối 10, khi áp dụng bất đẳng thức đề gỉai bài toán tìm GTLN và GTNN lại còn gặp rất nhiều khó khăn hơn. Đặc biệt, trong tài liệu tự chọn nâng cao (TLTCNC) học sinh 10 tự nhiên không dễ dàng tiếp thu và giải được.
Thực tế trên đã làm cho tôi trăn trở rất nhiều năm. Phải làm sao cho học sinh hứng thú học tập khi gặp bài toán này nói chung và dễ dàng tiếp thu bài toán tìm GTLN và GTNN khi áp dụng bất đẳng thức nói riêng ? Vì vậy , tôi quyết định chọn đề tài phương pháp tìm GTLN và GTNN có hiệu quả , với mong muốn góp một phần nhỏ kinh nghiệm của mình vào công tác giảng dạy bài toán tìm GTLN và GTNN cho học sinh lớp 10 và tạo tiền đề để học sinh tiếp tục tiếp cận bài toán trên trong các kì thi tốt nghiệp , ĐH và CĐ.
B. Phương pháp thực hiện.
 Qua nhiều năm giảng dạy chương trình đại số 10 tôi thấy học sinh khó tiếp cận bài toán và hay mắc phải một số sai lầm để đi đến kết luận bài toán. Do đó khi dạy phần này tôi cho học sinh làm thật tốt bài toán bất đẳng thức , nắm vững cơ sở lý thuyết cơ bản của bài toán GTLN và GTNN , giải bài toán trong phạm vi phương pháp 1, phương pháp 2 (được trình bày trong phần nội dung) để làm nền tảng vào phương pháp 3 (được trình bày trong phần nội dung), đồng thời chỉ ra những sai lầm mà học sinh hay mắc phải.
C. Thời gian thực hiện.
 Tiết 44 , tuần 18. Tiết 64, tuần 25 . Mà chủ yếu thực hiện trong thời gian làm bài tập tự chọn chủ đề tự chọn nâng cao.
D. Tài liệu tham khảo: 
Sách giáo khoa 10 nâng cao.
Phương pháp tìm GTLN và GTNN của Nguyễn Văn Nho.
Một số bài viết trên diễn đàn toán học.
 ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
PHẦN II. NỘI DUNG.
A. Kiến thức cơ bản bất đẳng thức (BÑT ) :
I. Tính chaát cô baûn
* Quy öôùc: 
1) 
à A > C
 	A > B 
2) 	B > C
3)	 A > B Û A+C > B+C (C )
4) 	A > B Û A.C > B.C (C > 0)
	A > B Û A.C < B.C (C < 0)
II. Caùc pheùp toaùn veà baát ñaúng thöùc:
1) Coäng 2 baát ñaúng thöùc cuøng chieàu:
à A + C> B+D
	A > B 
	C > D
* Chuù yù: Tröø 2 BÑT cuøng chieàu thì sai.
2) Tröø 2 bñt ngöôïc chieàu
à A - C > B - D
	A > B 
	C < D
3) Nhaân 2 bñt döông cuøng chieàu
à A . C > B.D > 0
	A > B > 0 
	C > D > 0
4) Bình phöông một BÑT döông
	A > B > 0 à A2 > B2
Tq: A > B > 0 à An > Bn
5) Khai caên baäc n ³ 2 moät bñt
6) Nghòch ñaûo moät BĐT: 
III. Moät soá BÑT quan troïng:
1) Baát ñaúng thöùc giaù trò tuyeät ñoái
a) 	|A+B| £ ½A½+½B½
	“ = “ Û A, B cuøng daáu
 TQ: 	êa1+a2+  + anꣽa1½+ ½a2½++ ½an½
b) 	½½A½-½B½½£½A-B½
	“ = “ Û A, B cuøng daáu
2) Baát ñaúng thöùc Cauchy
Cho n soá thuoäc döông a1, a2,, an ³0. Ta coù:
Daïng 1: 
Daïng 2: 
	“ = “ Û a1 = a2 = . = an
* Ta thöôøng duøng:
a,b ³ 0. Ta coù :
 a + b ³ 
“=” Û a = b
a, b, c ³ 0. Ta coù:
3) Baát ñaúng thöùc Shwartz ( Bunhiacovski )
Cho 2n soá thực tùy ý : 
Daïng 1: (a1.b1+a2.b2+  + anbn)2 £ (a12+a12++a12) (b12+b12++bn2)
Daïng2:½a1.b1+a2.b2++an.bn½
* Ta thöôøng duøng baát ñaúng thöùc cho 4 số bất kỳ nhö sau:
½ax+by½ £ 
 * Chuù yù trong quaù trình laøm baøi taäp ta cuõng coù theå duøng caùc heä quaû sau:
Heä quaû 1: cho n soá döông: a1, a2, , an > 0
 Ta coù: 	
Thaät vaäy: áp dụng BÑT Coâsi cho n soá döông: . 
 Ta coù: 
 à 
 Hệ quả 2 : Cho n số dương : a1 , a2 , ., an.
 Ta có: 
Thaät vaäy: AD BĐT Shwartz daïng 1, ta coù:
à 
à 
B. Các phương pháp thộng dụng CM BÑT
I. Phöông phaùp 1: Phöông phaùp quy öôùc ñuùng CM BÑT(biến đổi tương đương).
1. Phöông phaùp:
*) Cô sôû cuûa phöông phaùp laø söû duïng quy öôùc:
	A > B Û A - B > 0
Nghóa laø ñeå CM BÑT A > B, ta laøm nhö sau:
B1: 	Xeùt A - B
B2: CM: A - B > 0 luoân ñuùng.
* Tương töï:	A ³ B Û A - B 0
	 A < B Û A - B < 0
	 A £ B Û A - B 0
2. Caùc ví dụ
Baøi 1: Cho a, b > 0. CM: 
 Giaûi 
 (1) 
	 (ĐPCM).
Baøi 2: CM: (2)
Giaûi
+ a + b £ 0 à (2) ñuùng
+ a + b > 0 à (2) Û 
	Û (a-b)2 ³ 0 (ñuùng)
Vaäy (ĐPCM).
Baøi 3: Cho a, b > 0. CM: 	(3)
Giaûi
(3) 
	(ñuùng)
Baøi taäp 1à 3 laø những baát ñaúng thöùc CM baèng caùch bieán ñoåi td tröïc tieáp. Sau ñaây laø BĐT thoâng qua keát quaû baát ñaúng thöùc khaùc.
Bài 4 (1.TLTCNC)
Cho a, b.CMR: .
 Giaûi
Ta có: .
 (đúng).(1)
Ta có: (2).
Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM.
Baøi 5 : Cho a, b, c ³ 0. CM: a) (1)
 b)(2)
 Giaûi
Ta CM: a2+b2+c2³ ab + bc + ca (*)
Cách 1: Ta có : 
 Tương tự
Caùch 2: 
Cách 1
a).
(1)
	 (đúng)ĐPCM.
b).
 Cách 2:
 a) Ta coù: 
	à (ĐPCM).
 b)Tacoù: 
 .
II. Duøng caùc baát ñaúng thöùc thöôøng gaëp (BDT Côsi – BDT Shwartz).
 Bài 1: Cho 
a) CMR: b + c ≥ 16abc
(TLTCNC)
 Giải
Cách 1:Ta coù b + c = (b + c) [a + (b + c)]2 ≥ (b + c)4a(b + c)=(b + c)2. 4a
	Maø (b + c)2 ≥ 4bc
	do ñoù b + c ≥ 16abc (ñpcm)
 Cách 2: Ta coù b + c ≥ 16abc Û b + c ≥ 16bc (1 - b - c)
	Û b + c ≥ 16bc - 16b2c - 16bc2
	Û 16b2c + 16bc2 - 16bc + b + c ≥ 0
	Û c (16b2 - 8b + 1) + b(16c2 - 8c + 1) ≥ 0
	Û c (4b - 1)2 + b(c-1)2 ≥ 0 	(ñuùng)
à b + c ≥ 16abc (ñpcm)
Cách 3: Ta coù b + c ≥ 16abc Û b + c ≥ 16bc (1 - b - c)
	Û b + c ≥ 16bc - 16bc (b + c) Û (b + c)(1 + 16bc) ≥ 16bc (*)
 Ñeå CM (*) ta xuaát phaùt töø (b + c)2 ≥ 4bc
Ta có: (b + c)2 ≥ 4bc Û (b + c)2(1 + 16bc)2 ≥ 4bc (1 + 16bc)2 ≥(4bc)2
 Û (b + c)(1 + 16bc) ≥ 16bc ((*) đúng)
 Suy ra: b + c ≥16abc (ñpcm)
Cách 4 : 
 Ta coù b + c ≥ 16abc	Û b + c ≥ 16bc (1 - b - c)
	Û
 Suy ra: b + c ≥16abc (ñpcm)
b) CM: ab + bc + ca ≥ 9abc
(TLTCNC)
 Giải
 Ta coù:	
à (a+b+c) (ab+bc+ca) ≥ 9abc Û ab+bc+ca ³ 9abc (a+b+c = 1)
c) CM: ab + bc + ca 2abc
 Giải
Ta coù ab + bc + ca - 2abc ³ 0 Û ab(1-c) + bc (1-a) + ca ≥ 0 (ñuùng)
Ta có : ab + bc + ca – 2abc 0 ab(1- c) + bc(1 – a) + ca 0 (đúng)
Do a + b + c = 1; a, b, c > 0 ;1 > c, 1 > a ; ab, bc, ca>0)
 Suy ra: ab + bc + ca ³ 2abc (ĐPCM)
d) CM: 
 Giải
Caùch 1: 
 Ta có : 1 + a = a + b + c + a ≥ 4 
	1 + b = a+ b + c + b ≥ 4 
	1 + c = a+ b + c + c ≥ 4 
 à (1 + a (1 + b) (1 + c) ≥ 43 
 Suy ra: (1 + a)(1 + b) (1 + c) ≥ 64 abc
Cách 2 :	
 Ta có: 
Suy ra:	
Baøi 2:
 Cho a1, a2, , an > 0; a1 + a2 +  + an = 1
 CM : .
 Giải
 Cách 1: 
 Ta coù:	 
 à	 
	 (ĐPCM)
 Cách 2: 
 Ta coù: 
 .
 Suy ra: (ñpcm)
Baøi 3: Cho n soá dương a1, a2, , an . CMR:
Giaûi
ADBÑT Cosi, ta coù
	à 
 T. tö:ï	
.
Suy ra :đđpcm.
Baøi 4(TLTCNC): Cho a, b. CM: (*).
Giaûi
‌‌‌‌(*)
Áp BÑT Cosi:
	à (*) ñuùng à (ñpcm).
Bài 5(TLTCNC): Cho a,b > 0.CMR:(1).
Giaûi
 Đặt 
(1) .
 ..( với S = x + y , P = xy ).
Vậy (1) đúng.
Bài 6 (TLTCNC): Cho a,b là số thực .CMR: (2).
Giaûi
 (2).(S = a + b;P = ab )
 .
 Vậy (2) đúng.
 Baøi 7: a) Cho a, b vaø a2 + b2 = 1
	CM: a8 + b8 1/8
 b) a, b > 0 vaø a2 + b2 = 4
	CM: 	
Giaûi
	a) Ta có 
	b) Ta coù 
	.
C.ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC 
VÀO BÀI TOÁN TÌM GTLN và GTNN.
 Cơ sở lý thuyết tìm GTLN và GTLN.
Để tìm GTLN của bt A(x) với ta làm như sau:
CMR ta có A(x) C (C là hằng số )
CMR tồn tại x0 D sao cho A(x0) = C.
Kết luận GTLN của A(x) là C tại x = x0.
Để tìm GTNN của bt A(x) với ta làm như sau:
CMR ta có A(x) C (C là hằng số )
CMR tồn tại x0 D sao cho A(x0) = C.
Kết luận GTNN của A(x) là C tại x = x0.
 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙
1.PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP NHÓM – SO SÁNH
 Để tiến hành giải bài toán tìm GTNN và GTLN Ta có thể dùng các phép biến đổi đại số để nhóm các số hạng và đưa bất đẳng thức ban đầu về dạng như sau:
,
,
,
 ,
.
Tất nhiên là dấu bất đẳng thức xảy ra trong miền xác định của các biến số.
Chú ý : Nếu ta sử dụng nhiều bất đẳng thức so sánh thì dấu “=” xảy ra phải mang tính đồng thời ở các bất đẳng thức đó.
Ví dụ1.
Tìm GTNN của : 
 Giải:
a).TXD : .
Ta có : 
 .
Vì , dấu “=” xảy ra khi .
 Vậy khi .
b).
 .
Dấu “=” xảy ra chỉ khi .
 Vậy MinF = 5.
c). 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy MinP = khi 
Ví dụ 2.
Tìm GTLN của :
a). b). 
 Giải:
a). TXD : .
 .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = - 3 .
 Vậy khi x = - 3.
b). TXD:.
 .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = - 1.
 Vậy khi x = - 1.
Lời bình: Bài toán trên có nhiều cách giải khác nữa. Nhưng trong phạm vi kiến thức của học sinh lớp 10, bài toán trên ta có thể giải bằng phương pháp đại số khác. Đó là phương pháp đưa về việc khảo sát tam thức bậc hai, sẽ được trình bày ở phần 2.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN NÂNG CAO.
Bài 1. Cho thõa điều kiện x + y = 2.
 Tìm GTNN của 
Giải:
Sử dụng các hằng đẳng thức ta được :
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x - y = 0, kết hợp với đk x + y = 2. 
Suy ra x = y =1 .
 Vậy MinA = 2 khi x = y = 1 .
Áp dụng kết quả trên ta có: 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
 Vậy MinB = 2 khi x = y = 1.
Từ kết trên ta có : 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1.
 Vậy MinC = 2 khi x = y = 1.
Bài 2. Cho a, b, c > 0 và abc = 1 . Tìm GTLN của : 
 .
Giải:
Ta có: 
.
 .
Từ đó : .
Suy ra : .
Tương tự: ,
 .
Suy ra .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
 Vậy MaxA = 1 khi a = b = c = 1.
 ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
2.PHƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ VIỆC KHẢO SÁT TAM THỨC BẬC HAI.
 i). Xét phương trình bậc hai : Ax2 + Bx + C = 0 , 
Nếu phương trình có nghiệm thì .
Nếu thì af(x)
 ii). Xét bài toán tìm GTLN và GTNN của , với tập xác định .
 Ta chuyển biểu thức y về phương trình dạng trong đó , hiển nhiên A,B,C phụ thuộc y. Sau đó ta dựa vào i.
Chú ý: Xét A = 0 và so sánh với giá trị y (miền giá trị) 
 Xét .
 và so sánh với giá trị y (miền giá trị) ở hai trường hợp trước khi đ đến kết luận.
Ví dụ 1. 
 Tìm GTLN của :
a). b). 
 Giải:
a). TXD : .
Ta có : (1).
y = 0 trở thành : - 2 = 0 ( vô lý ).
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
 Vậy Maxy = 2/3 khi x = -3.
b). TXD : .
Ta có: (2).
y = 3 trở thành : - 4 = 0 ( vô lý ).
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
 Vậy Maxy = 7 khi x = 1.
Ví dụ 2 : 
 Tìm GTNN và GTLN của: .
 Giải:
Ta có: (3).
y = 0 trở thành : - 4x - 3 = 0 .
.
Mặt khác : y(- 2) = - 1 và y(1/2) = 4 .
 Vậy Maxy = 4 khi x = 1/2 và Miny = -1 khi x = -2.
Ví dụ 3 : 
Tìm GTNN và GTLN của:.
 Giải:
Dễ dàng ta thấy mẫu thức của y luôn luôn dương với mội x nên tập xác định của y là .
* Ta có : 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Suy ra Minf(x) = 0 khi 
* Ta có: .
+ Nếu y = 0 thì (4) có nghiệm x = 1.
+ Nếu y thì (4) có nghiệm là : .
Khi đó ta có maxy = 3 tại x = 2 , miny = -1 tại x = 0.
Suy ra Maxf(x) = Max.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2.
Vậy Minf(x) = 0 khi và Maxf(x) = 3 khi x = 2.
Lời bình: Theo tôi học sinh lớp 10 muốn làm tốt những bài toán tìm GTLN và GTNN thì học sinh phải nắm vững phương pháp 1 và 2 nêu trên . Sau đó cho học sinh tiếp cận những bài toán tìm GTLN và GTNN áp dụng BẤT ĐẲNG THỨC CÔ- SI và BU- NHI- A- CỐP- XKI có phần phức tạp hơn.	
3. PHƯƠNG PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY và SHWARTZ.	
Ví dụ 1.( bài 17 sgk đại số 10 NC).
 Tìm GTNN và GTLN của : .
 Giải:
Đk: .
Có một học sinh giải như sau: 
Ta có : .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy tại .
Nhận xét : Cách giải trên là sai. Do học sinh không hiểu được sự tồn tại đồng thời x = 1 và x = 4 là mâu thẫu.
Lời giải đúng :
Ta có : .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x - 1 = 4 – x .
Và .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy tại và tại .
Bài toán trên có thể áp dụng BDT Bunhiacopxki để tìm GTLN của A.
Ta có .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x -1 = 4 – x.
Ví dụ 2. ( bài 13 sgk đại số 10 NC).
 Tìm GTNN của hàm số ( x > 1 ).
 Giải:
 Có một bạn học sinh giải :
Ta có : .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi.
Vậy tại .
Nhận xét : Cách giải trên là sai. Do học sinh hiểu .
Lời giải đúng :
Ta có : .
Dấu“=”xảyra khi và chỉ khi .
Vậy tại .
Ví dụ 3.( bài 78 sgk đại số 10 NC).
 Tìm GTNN của hàm số sau :
 a). b). .
Giải:
a). Ta có: ( dox và 1/x cùng dấu ).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy tại .
b). Ta có : .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x2 +1 = 1x = 0
Vậy tại x = 0.
Bài toán trên học sinh hay mắc sai lầm là GTNN bằng 0 .
Ví dụ 4: Tìm GTNN và GTLN của : 
 Giải:
TXD: .
Áp dụng bất đẳng thức Bu- nhi- a- cốp- xki ta có:
.
Ta thấy f(x) = 5 khi x = 3/5. Suy ra Maxy = 5 khi x = 3/5.
Mặt khác, ta có : 
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = -1. Suy ra 	Miny = -3 khi x = -1.
 Vậy Maxy = 5 khi x = 3/5 và Miny = -3 khi x = - 1.
Lời bình : Bài tập này học sinh có thể vội vàng kết luận miny = -5 tại x = -1. Mà thực ra không có giá trị của x để f(x) = -5.
 Phần trên là những bài toán có phần đơn giản trong SGK nhưng học sinh lại gặp sai lầm mà tôi đã chỉ ra để học sinh khắc phục khi làm bài .
 ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN NÂNG CAO.
Bài 1 (TLTCNC): 
 Cho 
 Tìm GTLN của 
 Giải:
Đk : Ta có :
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2 , y = 4 , z = 6.
Vậy Max M = .
Bài 2 (TLTCNC): 
Cho .
Tìm GTLN Và GTNN của S = xy + yz + zx.
 Giải:
Ta có:
Dấu “=” xảy ra chẳng hạn x = 0, 
 Vậy Min S = -1/2 .
Mặt khác , ta có : 
Dấu “ = “ xảy ra khi .
 Vậy Max S = 1
Bài 3 (TLTCNC): Cho x, y, z > 0 thõa xyz = 1.
 Tìm GTNN của .
Giải:
 Ap dụng BĐT Cô si cho 3 số dương ta có:
 Tương tự: 
Suy ra:
 .
 BĐT xảy ra khi x = y = z = 1.
Vậy MinS = khi x = y = z = 1.
Bài 4 (TLTCNC) :
Tìm GTLN của 
 Giải:
Ta có: 
 (1)
Ta đặt a = 1/x, b = 1/y
Mà (*).
Cách 1:
Ta có: A = ( a + b)2 
Ta biết : ( vì a + b > 0 )
“ = “ xảy ra a = b.
Từ đó suy ra : 
“ = “ xảy ra a = b = 2.
Vậy Max A = 16 khi 1/x = 1/y = 2.
Cách 2 : 
Ta có: A= a3 + b3 = (a+b)(a2 –ab + b2 ) = (a + b)2.
Từ (1) suy ra : a + b = (a + b)2 -3ab
Màà:
 Vậy MaxA = 16. khi x = y = ½.
Cách 3:
Đặt S = x + y , P = xy với S2 - 4P . 
Từ gt suy ra :.
Ta có: 
Ta có: 
 Vậy MaxA = 16 ( khi x = y = ½ ).
Bài 5 (TLTCNC) :
Cho 
Tìm GTLN và GTNN của 
Giải:
Ta có: .
 “=”.
Do 
∙ ta không xét.
∙x < 0, y < 0.
Gt: x2 + y2 = 1 .
Ta có : 
 .
 .
 .
 Vậy: MaxS = và MinS = -1
Bài 6 (TLTCNC): Cho 
 Tìm GTLN của S = .
Giải: 
Ta có: .
 (1).
Mà: (2).
 Từ (1) và (2) (a).
Ta có S=(b)
 Từ (a) và (b) S =
 “ = “ .
 Vậy MaxS = 4 khi x = y = 3.
 ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ 
PHẦN III. KẾT QUẢ.
 Những kinh nghiệm này tôi đã đúc kết từ nhiều năm và đã vận dụng trong năm học này . Khi áp dụng phương pháp này cho học sinh , nhất là khi tôi chỉ ra những sai lầm của học sinh , tôi thấy học sinh tiến bộ nhiều hơn trong việc trình bày và việc kết luận bài toán .Đặc biệt , những học sinh trung bình trong lớp tự nhiên khắc phục được những sai lầm. Tôi tin chắc rằng kết quả này sẽ khả quan hơn trong việc ôn thi ĐH và CĐ.
 Mặc dù trong quá trình biên soạn tôi đã cố gắng hết sức, nhưng không tránh những thiếu sót . Do đó rất mong được sự trao đổi và đóng góp ý kiến chân tình của quý thấy cô để SKKN này được áp dụng rộng rãi hơn.
Phước long, ngày 15 tháng 2 năm 2009.
 Người thực hiện
 Nguyễn Văn Việt .
NHẬN XÉT CỦA TỔ CHUYÊN MÔN TRƯỜNG
Xếp loại:
NHẬN XÉT CỦA HĐKH TRƯỜNG THPT PHƯỚC LONG
Xếp loại:..
NHẬN XÉT CỦA HĐKH SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC
Xếp loại:.