Đề tài Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày một số phương pháp giải phương trình vô tỷ

Mục lục
 Trang
Mở đầu
Chương I. Yêu cầu của việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh 
5
1.1. Vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán
5
1.2. Phương pháp tìm lời giải các bài toán
8
1.3. Cách thức dạy học tìm lời giải các bài toán
12
Chương II. Xây dựng một số phương pháp giải phương trình vô tỷ nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh 
14
A. Kiến thức cơ sở và kiến thức phục vụ giải phương trình vô tỷ
14
B. Các phương pháp giải phương trình vô tỷ
25
Chương III. Kiểm chứng sư phạm
74
Tài liệu tham khảo
79
Mở đầu
I. Lý do chọn đề tài
	Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán, nó có vai trò giá mang hoạt động của học sinh thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Vì vậy, rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một vấn đề quan trọng trong dạy học, nó phải được tiến hành có kế hoạch, thường xuyên, hệ thống, bền bỉ, liên tục qua tất cả các lớp.
	Việc giải một bài toán là một quá trình mò mẫm, tìm tòi dựa trên hiểu biết của người giải toán. Có người phải mò mẫm rất lâu, thử hết cách này đến cách khác, trong khi có người lại có thể tìm được cách giải rất nhanh. Vậy đâu là bí quyết cho kỹ năng giải toán nhanh gọn và chính xác? Cách rèn luyện chúng như thế nào? Những con đường mà người giải toán có thể trải qua để đi đến các lời giải thoả đáng là gì? 
	Trong giai đoạn hiện nay, việc đổi mới phương pháp dạy học chủ yếu theo hướng hoạt động hoá người học với phương châm "Học tập trong hoạt động và bằng hoạt động". Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một yêu cầu của việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay. 
	Trong chương trình môn toán, phương trình vô tỷ được đưa vào từ lớp 9 và xuyên suốt trong chương trình môn toán trường phổ thông. Nó có vai trò quan trọng và làm cơ sở để nghiên cứu về các kiến thức toán học có liên quan.
	Trong chương trình toán THPT, phương trình vô tỷ được thể hiện dưới các hình thức chủ yếu: Các phương trình vô tỷ thông thường, các phương trình vô tỷ chứa các hàm lượng giác, các phương trình vô tỷ chứa hàm lôgarit. Việc giải thành thạo các phương trình vô tỷ thể hiện khả năng lựa chọn công cụ, sự linh hoạt và sáng tạo trong suy luận và phân tích bài toán.
	Từ những lý do đã nói trên với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: 
"Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày một số phương pháp giải phương trình vô tỷ"
II. Mục đích nghiên cứu
	Xác định nội dung và phương pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trên cơ sở trình bày các phương pháp giải phương trình vô tỷ, nhằm góp phần nâng cao hiệu quả của việc dạy và học môn toán.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Làm rõ các khâu tìm lời giải và giải bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
3.2. Xây dựng các phương pháp giải phương trình vô tỷ theo hướng rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
3.3. Xây dựng các ví dụ và bài tập vận dụng nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
IV. Giả thuyết khoa học
	Nếu xây dựng được một hệ thống các phương pháp giải phương trình vô tỷ theo hướng rèn luyện kỹ năng giải toán và sử dụng có hiệu quả hệ thống các phương pháp đó thì có thể phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán ở trường phổ thông.
V. phương pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về lý luận dạy học, phương pháp dạy học để hiểu rõ tầm quan trọng của việc giải bài tập toán.
	Nghiên cứu về SGK, sách tham khảo về phương trình vô tỷ để thấy được vị trí và tầm quan trọng của phương trình vô tỷ, những vấn đề về nội dung và phương pháp giảng dạy phương trình vô tỷ. 
5.2. Điều tra quan sát 
+ Thực tiễn dạy học giải phương trình vô tỷ ở trường THPT 
+ Những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải phương trình vô tỷ.
VI. Cấu trúc luận văn
- Mở đầu
- Chương I: Yêu cầu của việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh 
- Chương II: Xây dựng các phương pháp giải phương trình vô tỷ nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
- Chương III: Kiểm chứng sư phạm.
Chương I
Yêu cầu của việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
1.1. Vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán
	* Theo tâm lý học thì kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (Khái niệm, cách thức, phương pháp ) để giải quyết một nhiệm vụ mới. Thực chất của sự hình thành kỹ năng là hình thành cho học sinh nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể.
	Muốn vậy, khi hình thành kỹ năng (chủ yếu là kỹ năng học tập) cho học sinh cần: 
- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để tìm ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng.
- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải quyết các bài tập, các đối tượng cùng loại.
- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức tương ứng.
* Việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh bao gồm hai nội dung chủ yếu đó là: Rèn luyện việc tìm lời giải bài toán và rèn luyện việc giải bài toán. Trong quá trình rèn luyện, hai nội dung này có khi tiến hành đồng thời nhưng cũng có khi tách thành hai quá trình riêng biệt. Tuy vậy về mặt nhận thức cần phân biệt hai nội dung trên là hoàn toàn khác nhau, độc lập với nhau nhưng chúng có mối quan hệ hỗ trợ lẫn nhau. Mỗi nội dung đảm nhận một yêu cầu riêng biệt trong công việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
Trong quá trình dạy học người giáo viên cần làm cho học sinh nhận thức rõ ý nghĩa, tác dụng của mỗi nội dung và mối quan hệ giữa hai nội dung đó.
1.1.1. Vấn đề giải bài toán
	Đây là vấn đề quan trọng trong quá trình rèn luyện kỹ năng giải toán. Vì rằng, từ chỗ tìm ra được phương hướng giải bài toán đến việc giải hoàn chỉnh bài toán là cả một quá trình rèn luyện bao gồm nhiều khâu: Từ việc nắm vững các kiến thức cơ bản về nội dung lý thuyết và các phương pháp thực hành đến việc luyện tập thành thạo các quy trình và thao tác có tính chất kỹ thuật. Nói một cách ngắn gọn lời giải phải đúng và tốt. Điều này đòi hỏi người giải toán phải học tập nghiêm túc, chăm chỉ và hiệu quả.
	Để phát huy tác dụng của việc giải bài toán trước hết cần nắm vững các yêu cầu của lời giải. Theo [6], tác giả Nguyễn Bá Kim, để thuận tiện cho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, có thể cụ thể hoá các yêu cầu sau:
(i) Kết quả đúng, kể cả các bước trung gian;
Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng thoả mãn yêu cầu đề ra. Kết quả các bước trung gian cũng phải đúng. Như vậy, lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, suy luận, biến đổi biểu thức 
(ii) Lập luận chặt chẽ;
(iii) Lời giải đầy đủ;
Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không được bỏ sót một trường hợp nào, một khả năng, một chi tiết cần thiết nào. Cụ thể là giải phương trình không được thiếu nghiệm, phân chia trường hợp không được thiếu một khả năng nào 
(iv) Ngôn ngữ chính xác;
Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn. Việc dạy học môn toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này.
(v) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật;
Yêu cầu này đặt ra đối với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố (chữ, số, hình, ký hiệu, ) trong lời giải.
(vi) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất;
Ngoài các yêu cầu (i) - (v), cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho cùng một bài toán, phân tích, so sánh những cách giải khác nhau để tìm ra lời giải ngắn gọn, hợp lý nhất trong số các lời giải đã tìm được hay nói cách khác là nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ.
(vii) Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Bốn yêu cầu (i), (ii), (iii) và (iv) là các yêu cầu cơ bản, (v) là yêu cầu về mặt trình bày còn (vi) và (vii) là những yêu cầu đề cao.
Quá trình phân tích trên chứng tỏ tính chất quan trọng trong việc rèn luỵện giải bài toán (khi đã có đường lối giải). Nhưng dù sao vẫn phải xem việc rèn luyện khả năng tìm lời giải các bài toán là khâu có tính chất quyết định trong toàn bộ công việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
1.1.2. Vấn đề rèn luyện khả năng tìm lời giải các bài toán 
Đây là khâu rất quan trọng có tính chất quyết định trong việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. Vì vậy, trong quá trình dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần tổ chức cho học sinh tập luyện khâu này thật kỹ lưỡng, làm cho họ ý thức được vai trò đặc biệt quan trọng của khâu này, thể hiện ở chỗ:
- Khi giải bài tập toán, dù có kỹ thuật cao, có thành thạo trong thực hiện các thao tác, các phép tính hay các phép biến đổi nhưng khi chưa có phương hướng giải hoặc chưa có phương hướng giải tốt thì chưa thể có lời giải hoặc lời giải tốt. 
- Khi đã có phương hướng giải thì việc thực hiện các thao tác khi trình bày lời giải có tính chất kỹ thuật, không thể có những sáng tạo, những phân tích quan trọng lớn như khi tìm phương hướng giải. 
- Mặt khác, ý thức được tầm quan trọng của khâu rèn luỵên phương pháp tìm lời giải của bài toán chính là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện khả năng làm việc độc lập sáng tạo, một khả năng không thể thiếu được đối với người giải toán.
Như vậy, từ hai vấn đề đã nêu trên, ta có thể khẳng định: Trong quá trình rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thì khâu giải bài toán tuy rất quan trọng nhưng quyết định vẫn là khâu tìm lời giải của các bài toán. 
1.2. Phương pháp tìm lời giải các bài toán
Chúng ta không thể có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán. Ngay cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, có trường hợp không có thuật giải. Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết. 
Sau đây ta có thể nêu phương pháp chung để tìm lời giải các bài toán: 
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích và nghiên cứu đề bài
Với một bài toán công việc của người giải toán cần đặt ra là tìm hiểu nội dung bài toán: phân biệt cái đã cho bao gồm các giả thiết, các điều kiện cho trong bài toán để từ đó xác định được dạng bài toán, tìm được phương hướng giải bài toán và lựa chọn công cụ thích hợp. 
Bước 1 là một yêu cầu quan trọng và quyết định trong việc tìm lời giải bài toán. Năng lực của người giải toán thể hiện rõ ở bước này. Nhiều người khi giải toán, không tìm hiểu kỹ nội dung đề ra, không phân tích các giả thiết hay tìm ra mối liên hệ quan trọng trong bài toán mà cứ ghi chép, nháp lia lịa, mặc dù chưa biết mình giải quyết cái gì. Đó là cách tìm lời giải máy móc và không hiệu quả. Có thể nói bước này là thước đo năng lực của người giải toán, vì rằng không thể đánh giá kỹ năng giải toán tốt mà chỉ thể hiện ở khâu tiếp thu và  ... ự x < -2 cũng không thể là nghiệm của (1).
Vậy phương trình nhận x =- 2 làm nghiệm duy nhất.
* Nhận xét: Phương trình còn có cách giải đặc biệt như sau: 
Viết phương trình đã cho dưới dạng tương đương 
 (*)
Từ (*) Þ " x > -2 (tức x + 2 > 0) và x < - 2 (tức x + 2 < 0)
đều không thể thoả mãn (*). Rõ ràng x = -2 làm cho phương trình có nghĩa và thoả mãn (*) Þ x = -2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. 
Ví dụ 3: Trở lại Ví dụ 3 - Phương pháp 6
	Giải phương trình: 
x2 + x + 12 = 36
ĐKXĐ: x ³ - 1
Đặt f(x) = x2 + x +12 - 36, x ³ -1
Nhận xét rằng f(3) = 0, do đó x = 3 là nghiệm của phương trình 
Mặt khác f'(x) = 2x+1 + , " x> -1 nên f(x) đồng biến trên [-1. +¥). Từ đó nếu f(x) = 0 có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. 
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình. 
Ví dụ 4: Giải phương trình: 
x2 +x + = 2 + 
ĐKXĐ: x ³ -1
Xét hàm số f(x) = x2 +x + - 2 - 
	f'(x) = 2x2 +1+ 
	Ta thấy f'(x) không luôn dương với mọi x> -1. Vì vậy để áp dụng phương pháp này ta phải tách thành nhiều khoảng. Mặt khác f'(x) > 0, " x ³ 0, từ đó ta xét các trường hợp sau: 
+ Nếu x ³ 0 Þ f'(x) > 0 Þ f(x) đồng biến trên [0, +¥) nên với x Î [0, +¥), f(x) = 0 có nghiệm thì nghiệm đó duy nhất.
Ta nhận ra f(1) = 0 suy ra trong [0, +¥), f(x) = 0 có một nghiệm duy nhất x = 1.
+ Nếu -1 £ x < 0 thì 
 	Phương trình không có nghiệm thuộc [-1, 0)
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 1
10.3. Bài tập vận dụng
Giải các phương trình: 
a) 
Hướng dẫn: Đưa phương trình trên về dạng tương đương
=4
ĐS: x = 7
b) = 1
ĐS: x = ± 1
c) 
ĐS: x = 1
11. Phương pháp 11
Sử dụng phương trình hệ quả hoặc phương trình tương đương
11.1. Sử dụng phương trình hệ quả
Phương pháp này thường dùng để giải các phương trình dạng 
	(*) 
Muốn để khử căn bậc ba, ta lập phương hai vế để được phương trình tương đương . Sau đó dùng công thức.
rồi thay thế tổng bởi và đi đến phương trình: 
f(x) + g(x) + 3.= h(x) 	(**)
Rõ ràng (**) chỉ là phương trình hệ quả của phương trình (*) mà thôi. Do đó cần phải thử lại nghiệm. 
* Chú ý 1: Nếu đặt =a, = b, = c
Khi đó (**) trở thành: 
	a3 + b3 + 3abc = c3
Û a3 + b3 + 3abc - c3 = 0
Û (a+b)3 - 3ab(a + b) - c3 + 3abc = 0 
Û (a+b-c) . [(a + b)2 + c (a + b) + c2] - 3ab (a + b - c) = 0 
Û (a + b - c) [a2 + b2 + c2 + ac +bc - ab] = 0 
Û(a + b - c) [(a - b)2 + (a + c)2 +(b + c)2] = 0 
Vậy phương trình (**) tương đương với:
 ´
Û	 
	Như vậy (**) chỉ tương đương với (*) khi hệ (2) vô nghiệm hoặc tập nghiệm của (2) nằm trong tập nghiệm của (1). Nghiệm x0 của (2) không thoả (1) chính là nghiệm ngoại lai. 
Ví dụ 1: Giải phương trình:
Giải: 
Lập phương hai vế ta nhận được phương trình tương đương sau: 
 2x - 1 + x - 1 + 
Û 	(1)
Do nên từ (1) dẫn đến phương trình sau: 
	(2)
Û 	(2x2 - 3x +1) (3x + 1) = 1
Û 	6x3 - 7x2 = 0 
Û 	x = 0 hoặc x = 
Vậy (2) có hai nghiệm x = 0 và x =
Do phép biến đổi từ (1) sang (2) là phép biến đổi hệ quả nên ta phải thử lại để tìm nghiệm đúng của phương trình.
Ta thấy x = 0 không thoả (1) còn x = thoả mãn.
Vậy phương trình có nghiệm là x = .
* Chú ý 2: Ta có thể mở rộng dạng toán trên thành dạng sau: 
 mà cách giải như dạng đầu, trong đó tổng thay bởi tổng 
Ví dụ 2: Giải phương trình:
	(1)
Û x2 - x + 1 + x2 + x + 1 + 
 + 
= 	x2 - 2x + 1 + x2 + 2x + 1 + 
 + 
Û 
= 	(2)
thay được:
 = 
Û = 0
Û
Û (x2 - x + 1) (x2 + x + 1) = (x2 - 2x + 1) (x2 + 2x + 1)
(Vì vô nghiệm).
Û (x2 + 1)2 - x2 = (x2 + 1)2 - 4 x2
Û - x2 = - 4x2
Û x = 0
Thử nghiệm x = 0 vào (1), ta thấy thoả mãn 
Vậy phương trình có một nghiệm x = 0 
11.2. Sử dụng phương trình tương đương
* Phương pháp này thường sử dụng đối với những phương trình không có gì đặc biệt hoặc những phương trình phải qua nhiều phép biến đổi tương đương mới xuất hiện những dạng đặc biệt và ta có thể giải tiếp bằng những phương pháp đã trình bày. 
Ví dụ 3: Giải phương trình: 	(1)
ĐKXĐ: 
Để ý rằng: 
Þ (1) Û 
Đặt u = ³ 1, ta thu được phương trình ẩn u: 
u2 + Û u3 - 2u + 1 = 0
Û (u - 1) (u2 + u -1) = 0 Û 
Đối chiếu điều kiện u ³ 1, chỉ có u = 1 thoả mãn. Với u = 1 ta có: 
=1 Û 
	 Û 	Û x = 1
	Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
Ví dụ 4: Giải phương trình: 
4 (x + 1)2 = (2x + 10)	(2)
Giải: ĐKXĐ: x ³ - 
* Nhận xét: Để ý mối liên hệ giữa các biểu thức tham gia trong bài toán, ta phát hiện được.
Khi đó: 
(3) Û 
 Û 
 Û 
 Û 
 Û 
Đối chiếu điều kiện ta thấy x = -1; x = 3 thoả mãn 
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = -1 và x= 3
11.3. Bài tập vận dụng
Giải các phương trình: 
a) 	(1)
	Hướng dẫn: Tạo ra thừa số chung đưa (1) về phương trình tương đương 
 	ĐS: x = 
b) 	ĐS: x = - 1
c) 	ĐS: x = 0 
Kết luận chương II
Nội dung chủ yếu của chương này trình bày các phương pháp giải phương trình vô tỷ, trong mỗi phương pháp đều trình bày các ví dụ để làm nổi rõ đặc điểm phương pháp và minh họa quá trình tìm lời giải bài toán.
Trong phần trình bày các phương pháp giải phương trình vô tỷ, khóa luận đặc biệt quan tâm đến việc rèn luyện kỹ năng tìm lời giải bài toán và kỹ năng giải bài toán. Điều này đã được thể hiện qua các ví dụ minh họa.
Chương III
 Kiểm chứng sư phạm
3.1. Mục đích kiểm chứng sư phạm
 -Vận dụng phương pháp tìm lời giải bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua hệ thống các phương pháp giải phương trình vô tỷ.
- Kiểm nghiệm tính hiệu quả của việc sử dụng các ví dụ trong các phương pháp giải phương trình vô tỷ nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. 
3.2. Nội dung kiểm chứng sư phạm
	Kiểm chứng sư phạm tiến hành trong khoảng thời gian thực tập cuối khoá và được thực hiện ở khối 10 trường THPT Nguyễn Văn Trỗi - tỉnh Hà Tĩnh.
Kiểm chứng sư phạm gồm 2 bài: 
Bài 1: Phương pháp 3 và phương pháp 6 	- 2 tiết
Bài 2: Phương pháp 8 và phương pháp 11	- 2 tiết
3.3. Tổ chức kiểm chứng sư phạm 
	* Tác giả luận văn chọn đối tượng kiểm chứng là lớp 10A2 với 46 học sinh và lớp đối chứng là 10A1 cũng 46 học sinh. Qua điều tra thì thấy trình độ 2 lớp này là tương đương. 
	* Tác giả dựa vào các khâu "Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua hệ thống các phương pháp giải phương trình vô tỷ", soạn giáo án kiểm chứng và trực tiếp dạy kiểm chứng sư phạm. 
	* Cho học sinh lớp dạy kiểm chứng sư phạm và lớp đối chứng làm bài kiểm tra cùng đề. Chấm bài kiểm tra, thống kê điểm làm cơ sở để đánh giá. 
3.4. Đánh giá kết quả kiểm chứng sư phạm 
3.4.1. Kết quả định tính 
	Qua các giờ kiểm chứng cho thấy học sinh tiếp thu khá tốt các phương pháp giải phương trình vô tỷ mà giáo viên đã trình bày. Trong tiết học không khí học tập sôi nổi và hào hứng.
3.4.2. Kết quả định lượng
	Sau thời gian thực hiện các giờ dạy kiểm chứng, cho hai lớp làm bài kiểm tra sau đây với thời gian 2 tiết: 
	Câu 1: Giải phương trình: 
	 Câu 2: Giải phương trình: 
	Câu 3: Giải phương trình:
x2 + 
1. Mục đích bài kiểm tra và nhận xét cách làm bài của học sinh. 
a) Mục đích bài kiểm tra
Đánh giá tính hiệu quả của phương pháp dạy học giải bài tập mà luận văn đã trình bày (Phương pháp 3, 6, 8, 11)
Câu 1, sử dụng Phương pháp 11, chọn câu này nhằm kiểm tra học sinh khi thực hiện các phép biến đổi phương trình. 
Câu 2, sử dụng Phương pháp 3, chọn câu này nhằm kiểm tra xem học sinh có biết cách chuyển vế rồi bình phương hai vế hay không? Liệu học sinh có nhận ra được mối liên hệ giữa biểu thức ngoài dấu căn và các biểu thức trong dấu căn hay không? 
Câu 3, sử dụng Phương pháp 6 hoặc Phương pháp 8, phương trình này có thể đưa về phương trình đa thức hoặc hệ phương trình đối xứng kiểu hai. Với câu 3, có thể kiểm tra được xu hướng làm bài của học sinh, học sinh thường lựa chọn phương pháp nào?
b. Nhận xét cách làm bài của học sinh:
	+ Lớp đối chứng có 29 học sinh mắc sai lầm khi sử dụng phép biến đổi tương đương sau khi thay bởi ở câu 1. Lớp kiểm chứng có 10 học sinh mắc sai lầm này 
	+ Lớp đối chứng có 2 học sinh làm đúng câu 2, lớp kiểm chứng có 10 học sinh làm đúng câu này. Những học sinh của 2 lớp không làm được câu 2 là do họ không nhận ra mối liên hệ giữa biểu thức ngoài dấu căn và các biểu thức trong căn sau khi chuyển vế, luỹ thừa và rút gọn. 
+ Câu 3, phần lớn học sinh hai lớp làm đúng, tuy nhiên lớp đối chứng thường sử dụng phương pháp 6 còn lớp kiểm chứng thường sử dụng phương pháp 8. 
2. Bảng thống kê và tỷ lệ % (yếu- kém, trung bình, khá- giỏi) thu được sau khi chấm bài kiểm tra
Bảng 1: Thống kê điểm bài kiểm tra.
Điểm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tổng số bài
Lớp kiểm chứng
10A2
2
2
6
8
11
12
3
2
46
Lớp đối chứng
10A1
1
4
5
9
12
8
6
1
46
* Điểm trung bình bài kiểm tra của lớp kiểm chứng: 
 = 6,78
* Điểm trung bình bài kiểm tra của lớp đối chứng: 
 = 5,74
Bảng 2: Thống kê tỷ lệ % (yếu - kém, trung bình, khá - giỏi)
Xếp loại
(điểm )
Yếu - kém
(1, 2, 3, 4)
Trung bình
(5, 6)
Khá -giỏi
(7, 8, 9,10)
Lớp kiểm chứng
10A2
8,7%
(4 bài )
30, 4 %
(14 bài)
60,9%
(28 bài )
Lớp đối chứng
10A1
21, 7 %
(10 bài )
45, 6%
(21 bài )
32, 7 %
(15 bài )
Qua đó cho thấy chất lượng làm bài kiểm tra của lớp kiểm chứng cao hơn so với lớp đối chứng. Điều đó chứng tỏ rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh là bước quan trọng và cần thiết. 
Kết luận
Nội dung luận văn "Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày các phương pháp giải phương trình vô tỷ". Qua quá trình nghiên cứu, từ những kết quả thu được chúng tôi có thể kết luận. 
1. Luận văn đã góp phần làm sáng tỏ nội dung: "Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học giải bài tập toán"	
 2. Luận văn đã xây dựng được một hệ thống các phương pháp giải phương trình giải vô tỷ và lớp các ví dụ minh hoạ cho từng phương pháp theo hướng rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
3. Những nghiên cứu lý luận và thực tiễn đã chứng tỏ rằng giả thuyết khoa học của luận văn là chấp nhận được. Nhiệm vụ nghiên cứu đã hoàn thành.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Thái Hoè, Dùng ẩn phụ để giải toán, NXBGD, 2004.
[2] Nguyễn Thái Hoè, Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán NXBGD, 1995.
[3] Lê Văn Hồng (Chủ biên), Lê Ngọc Lan, Nguyễn Văn Thàng, Tâm lý học lứa tuổi và tâm lý học sư phạm, Hà Nội, 1995.
[4] Nguyễn Đinh Hùng, Bồi dưỡng tư duy lôgic cho học sinh trường THCS Việt Nam thông qua hệ thống câu hỏi và bài tập Đại số 7, Vinh, 1996.
[5] Phan Huy Khải, Toán nâng cao cho học sinh Đại số THPT tập 1, NXBHN, 2001. 
[6] Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn Toán, NXBĐHSP, 2003 
[7] Nguyễn Bá Kim (Chủ biên), Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Thường, Phương pháp dạy học môn toán, Phần hai: Dạy học những nội dung cơ bản, Nxb GD, 1994.
[8] G.Polia, Giải bài toán như thế nào, NXBGD, 1997. 
[9] Trần Quốc Thông, Rèn luyện và phát triển tư duy biện chứng cho học sinh qua dạy học Đại số và Giải tích lớp 11, Huế, 2001.
[10] Nguyễn Văn Thuận, Góp phần phát triển năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh đầu cấp THPT trong dạy học Đại số, Luận án tiến sĩ Giáo dục học.