Đề tài Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng một số phép biến hình để giải toán phổ thông

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ÁP DỤNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH ĐỂ GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG
PHẦN I: LÝ THUYẾT – VÍ DỤ – BÀI TẬP
Bài 1. Phép dời hình
Bài 2. Các phép dời hình trong mặt phẳng 
Bài 3. Các ví dụ thực tế
PHẦN II: LỜI GIẢI – HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ.
PHẦN I: LÝ THUYẾT – VÍ DỤ – BÀI TẬP
Bài 1. Phép dời hình
Đại cương về các phép dời hình:
Định nghĩa: 
	Phép biến hình (trong mặt phẳng) là một quy tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy. Điểm M’ gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó.
Thuật ngữ và kí hiệu:
Nếu ta kí hiệu một phép biến hình nào đó là F và điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép biến hình F thì ta viết M’ = F(M) hoặc F(M) = M’.
Với mỗi hình H, ta goi hình H’ gồm các điểm M’ = F(M), trong đó M thuộc hình H, là ảnh của H qua phép biến hình F, và viết H’ = F(H).
Tích của hai phép dời hình:
	Khi một phép biến hình f biến điểm M thành điểm M1, và phép bến hình g biến M1 thành M’ thì việc thực hiện liên tiếp hai phép biến hình f và g (theo thứ tự f trước, g sau) ta biến điểm M thành M’ và phép biến hình h như vậy biến M thành M’ được gọi là tích của hai phép biến hình f và g.
	Kí hiệu: g.f
	Ta có: f(M) = M1
g(M1) = M’
h(M) = (g.f)(M) = g[f(M)] = M’
Phép dời hình:
Định nghĩa: 
	Phép dời hình là một phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
	Người ta cũng nói: Phép dời hình là một phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.
Tính chất của phép dời hình:
	Định lí: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm ấy, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó.
BÀI 2. CÁC PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Phép tịnh tiến:
Định nghĩa: 
	Phép tịnh tiến theo vectơ u là một phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho 
	+ Kí hiệu: Tu, là vectơ tịnh tiến.
Định lí 1: 
	Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M’ và N’ thì M’N’ = MN.
Định lí 2: Phép tịnh tiến biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi.
d) Hệ quả: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó.
e) Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:
	Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ . Biết tọa độ của là (a; b). Giả sử điểm M(x; y) biến thành điểm M’(x’; y’). Khi đó ta có: 
Phép đối xứng trục:
Định nghĩa: Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua a.
+ Kí hiệu: Phép đối xứng qua đường thẳng a thường được kí hiệu là Đa. a là trục của phép đối xứng hay trục đối xứng.
Phép đối xứng trục là một phép dời hình.
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox: 
 Phép đối xứng trục Ox biến điểm M(x;y) thành điểm M’(x’; y’) thì 
d) Trục đối xứng của một hình: Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng trục Đd bieens H thành chính nó, tức là Đd(H) = H’.
3) Phép quay:
a) Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và góc lượng giác không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và (OM, OM’) = được gọi là phép quay tâm O góc quay .
+ Kí hiệu: 
b) Định lí: Phép quay là một phép dời hình.
4) Phép đối xứng tâm: 
a) Định nghĩa: Phép đối xứng qua điểm O là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với điểm M qua O, có nghĩa là 
+ Kí hiệu: Phép đối xứng qua điểm O thường được kí hiệu là ĐO. Phép đối xứng qua một điểm con goi là phép đối xứng tâm. O là tâm đối xứng 
b) Biểu thức toạ độ : Trong hệ tọa độ Oxy cho I(a; b). Nếu phép đối xứng tâm ĐI biến điểm M(x; y) thành điểm M’(x’; y’) thì: 
c) Tâm đối xứng của một hình: Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm ĐO biến hình H thành chính nó, tức là ĐO(H) = H’.
BÀI TOÁN 1:	
XÁC ĐỊNH CÁC PHÉP DỜI HÌNH. TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM, CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP DỜI HÌNH.
Việc xác định các phép dờ hình, dung ảnh của một điểm (của một hình) qua một phép dời hình có vai trò quan trọng trong việc giảI nhiều bào toán bằng các phép biến hình. Do vậy, ta cần lưu ý:
Nếu đường thẳng d là trung trực của đoạn MM’ thì M’ là ảnh của M trong phép đối xứng trục; đồng thời ta cũng có M và M’ là ảnh của nhau trong phép đối xứng trục d.
Nếu điểm I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ thì hai điểm M và M’ là ảnh của nhau trong phép đối xứng tâm I.
Nếu cho trước hai điểm A và B thì B là ảnh của A trong phép tịnh tiến theo . Nếu ABCD là hình bình hành thì C là ảnh của D trong phéptịnh tiến theo .
Nếu OA = OB thì B là ảnh của A trong phép quay tâm O, góc quay AOB theo hướng từ A đến B.
Nếu một phép dời hình f biến hai điểm phân biệt A và B của một đường thẳng d thành hai điểm phân biệt A’ và B’ của một đường thẳng d’ thì d’ là ảnh của d trong phép dời hình f. khi đó d’ = f(d).
Ngoài các tính chất chung của các phép dời hình, cần chú ý thêm là phép tịnh tiến hoặc phép đối xứng tâm biến một đường thẳng thành một đưởng thẳng song song (hoặc trùng) với đường thẳng đã cho.
Đói với các đường tròn có bán kính bằng nhau thì việc xác định phép dời hình biến hình nọ thành hình kia đước đưa về việc xác định phép biến hình tâm của đường tròn nọ thành tâm của đường tròn kia.
Ví dụ 1:
	Cho góc nhọn xOy, với xOy = , và một điểm M thuộc miền trong của góc ấy. Gọi M1, M2 theo theo thứ tự là ảnh của M qua phép đối xứng trục Ox, Oy.
Chứng mih rằng M1 và M2 là ảnh của nhau trong một phép đối xứng trục d và trục d đI qua một điểm cố định.
CMR M2 là ảnh của M1 trong một phép quay mà ta cần xác định tâm và góc quay.
Xét trường hợp .
Giải:
	M và M1 đối xứng nhau qua Ox cho ta : OM1 = OM (1)
 M và M2 đối xứng nhau qua Oy cho ta: OM2 = OM (2)
Từ (1) và (2) suy ra: OM1 = OM2 (3).
Từ (3) suy ra tam giác M1OM2 cân. Đường thẳng d đI qua O và vuông góc với M1M2 chính là trung trực của phép đối xứng biến điểm M1 thành M2 (hoặc biến M2 thành M1).
Do tính chất của phép đối xứng trục, ta có:
O1 = O2 và O2 = O3, nên O1 + O2 + O3 + O4 = 2(O1 + O2). Suy ra M1OM2 = 2
Từ (3) và (4) suy ra M2 là ảnh của M1 trong phép quay tâm O và góc quay có độ lớn là 
Khi , ba điểm M1, O, M2 thẳng hàng. Như vậy M1 và M2 là ảnh của nhau trong phép đỗi xứng tâm O hay cũng là phép quay tâm O, góc quay 1800.
Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M, N và P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC, D là điểm đỗi xứng của P qua M và E là điểm đỗi xứng của P qua N. Hãy xác định các phép dời hình biến điểm D thành điểm E?
Giải: 
 Ta có: MB = MA, MP = MD nên tứ giác ADBP là hình bình hành. Suy ra:
DA = BP và DA // BP.
Tương tự ta có: EA = CP và EA // CP.
Từ các kết quả trên ta suy ra DA = EA (1)
DA và EA cùng đi qua A và cùng song song với BC, theo tiên đề Ơclit thì 3 điểm D, A, E thẳng hàng (2).
Từ (1) và (2) suy ra A là trung điểm của đoạn thẳng DE.
Vậy ĐA(D) = E.
 Ta cũng có DE = BC và DE // BC hay . Vậy .
Theo kết quả của câu 1) ta có: AD = AE và . 
Vậy 
Bài 3: Cho hình vuông ABCD và một số thực . Xét hai điểm M, N thoả mãn các hệ thức vectơ: ; .
Xác định phép biến hình f biến điểm N thành điểm M.
Xác định các điểm ảnh f(A), f(B), f(C), f(D) trong phép biến hình trên đay.
Chứng minh .
Giải: 
Do 
 .
Vì nên AM = BN.
 (c.g.c) nên OM = ON và AOM = BON. Suy ra MON = 900.
Ta có: f(A) = D, f(B) = D, f(C) = B, f(D) = C.
Phép quay f biến: N thành M, A thành D. Nên trong phép quay này, DM là ảnh của AN.
Vậy .
Chú ý: Có thể giải câu c) như sau:
Từ đây chứng minh tích vô hướng .
BÀI TOÁN 2. 
SỬ DỤNG CÁC PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ CHỨNG MINH CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC.
Phương pháp: Ta có thể sử dụng tính chất của phép dời hình để giải nhiều bài toán chứng minh các tính chất hình học, chẳng hạn:
Để chứng minh sự bằng nhau (hai đoạn thẳng, hai góc, hai tam giác, hai đường tròn,) ta chỉ cần chỉ rõ chúng là ảnh của nhau trong một phép dời hình.
Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh chúng là ảnh của ba đường thẳng qua một phép dời hình.
Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta chứng minh chúng là ảnh của ba đường thẳng đồng quy trong một phép dời hình.
Để chứng minh hai đoạn thẳng song song, ta chứng minh chúng là ảnh của nhau qua một phép đối xứng tâm hoặc qua một phép tịnh tiến.
Để chứng minh hai đoạn thẳng vuông góc, ta chứng minh chúng là ảnh của hai đường thẳng vuông góc qua một phép dời hình.
Để chứng minh điểm J là trung điểm của doạn thẳng CD, ta chứng minh J là ảnh của trung điểm của đoạn thẳng AB trong phép dời hình biến Ab thành CD.
Bài toán 4: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi A’ là điểm đối xứng của đỉnh A trong phép đối xứng qua đường trung trực của cạnh BC. Chứng minh rằng điểm A’ nằm trên đường tròn (O).
Giải: Đường trung trực của cạnh BC đi qua tâm O của đường tròn (O; r). Phép đối xứng trục mà trục là đường trung trực của BC cho ta nên .
Do đó OA = OA’ = r, suy ra .
Bài toán 5: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác Am. Từ B kẻ đường thẳng song song với AM, cắt đường thẳng Ac tại D. Từ C kẻ đường thẳng song song với AM, cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh rằng: hai tam giác ADE và ABC bằng nhau.
Giải: Ta thấy các tam giác BAD và CAE cân tại A. Kẻ đường phân giác ngoài HK của góc A thì trong phép đối xứng qua trục HK, ta có: , , , nên . Suy ra .
Bài toán 6: Cho tam giác ABC, A’, B’ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA và D là điểm đối xứng của B’ qua A’.
Chứng minh BD // AC;
Tại sao hai đường thẳng AA’ và BD cắt nhau. Goi E là giao điểm của AA’ và BD. Chứng minh rằng A’ là trung điểm của đoạn thẳng AE.
Chứng minh CE // AB và D là trung điểm của doạn thẳng BE.
Giải: 
a) Xét phép đối xứng tâm A’, ta có:
ĐA’(B’) = D, ĐA’(C) = B, . Suy ra B’C // DB hay AC // BD.
b) Cũng trong phép đối xứng tâm A’ thì và .
Mà AA’ và CA là hai đường thẳng cắt nhau nên ảnh của chúng qua phép đối xứng tâm A’ là AA’ và BD cũng phảI cắt nhau và từ đây suy ra E là điểm đối xứng của A qua tâm A’ nên A’E = A’A.
Cũng trong phép đỗi xứng tâm A’ thì: , . Do đó . 
Suy ra AB // EC.
Trong câu b) ta đã chứng minh BE là ảnh của AC trong phép đối xứng tâm A’. Trong phép đối xứng này, ảnh của B’ là D mà B’ là trung điểm của AC và D phải là trung điểm của BE.
Bài toán 7: Cho tam giác ABC, vẽ về phía ngoài của tam giác ta dung các tam giác đều ABD, ACE, BCF. 
Chứng minh rằng BE = CD = AF.
Gọi I, J theo thứ tụ là trung điểm của các đoạn thẳng BE, CD. Chứng minh tam giác AIJ là tam giác đều.
Chứng minh ba đường thẳng BE, CD, AF đồng quy.
Dựng tam giác đều BKC (K khác F). Chứng minh rằng tứ giác AEKD là hình bình hành.
Giải:
Vì AD = AB, DAB = 600, 
 AC = AE, CAE = 60 0. Thực hiện phép quay tâm A, góc quay 600 thì:
, , . Suy ra CD = EB.
Tương tự chứng minh được BE = AF. Suy ra điều phải chứng minh.
Trong nên AI = AJ và JAI = 600. Suy ra tam giác ABC đều.
Gọi M là giao điểm của AF và BE. Ta chứng minh CD đi qua M.
 Thật vậy, trên BE ta lấy điểm M’ sao cho MM’ = AM.
Vì BE là ảnh của AF trong phép quay tâm C, góc quay 600 nên ta có AMM’ = 600. Điều này co nghĩa là . Như vậy, nếu thực hiện phép quay tâm A, góc quay 600, ta có: , , .
Do phép quay bảo toàn tính thẳng hàng nên từ sự thẳng hàng của ba điểm B, M’, E ta suy ra ba điểm D, M, C thẳng hàng hay CD đI qua M.
Thực hiện phép quay tâm B, góc quay 600 theo chiều dương của mặt phẳng, ta có: , , nên . Suy ra CA = KD mà CA = AE nên KA = EA (1)
Chứng minh tương tự, ta có: EK = AD (2).
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AEKD là hình bình hành.
BÀI TOÁN 3. 
SỬ DỤNG CÁC PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ TÌM TẬP HỢP ĐIỂM.
Phương pháp: Để tìm tập hợp các điểm M’, ta chỉ ra rằng M’ là ảnh của M trong một phép dời hình f mà tập hợp các điểm M’ là hình (H’), ảnh của hình (H) trong phép dời hình f trên đây.
Bài toán 8: Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định. Tìm tập hợp trực tâm H của tam giác khi đỉnh A di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải:
Sử dụng phép đối xứng trục:
Gọi H’ là giao điểm của AH với đường trong ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có: (cùng phụ với B)
 (cùng chắn cung BH’)
Suy ra 
Từ đây suy ra H là ảnh của H’ qua phép đối xứng trục BC. 
Khi A di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì H’ cũng di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Suy ra tập hợp các điểm H là đường tròn (O’), ảnh của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC qua phép đối xứng trục BC.
Sử dụng phép đối xứng tâm:
Gọi ĐO(A) = A’. Dễ thấy A’B // CH và A’C // BH. Suy ra tứ giác A’BHC là hình bình hành, duy ra H và A’ đối xứng nhau qua trung điểm I của BC.
Khi A di chuyển trên đường tròn (O) thì A’ cũng di chuyển trên đường tròn (O) và do đó H di chuyển trên đường tròn ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm I, trung điểm của cạnh BC.
Sử dụng phép tịnh tiến 
Gọi ĐO(A) = A’, I là trung điểm của BC.
Dễ thấy tứ giác A’BHC là hình bình hành nên I là trung điểm của AH. Kết hợp với O là trung điểm của AA’ trong tam giác AA’H thì OI là đường trung bình nên OI // AH và OI = AH/2. Suy ra .
 Đẳng thức này chứng tỏ H là ảnh của A trong phép tịnh tiến theo vectơ .
Vậy khi A di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì H di chuyển trên đường tròn (O’), ảnh của đường tròn (O) qau phép tịnh tiến theo vectơ . Dễ thấy OO’ = 2OI.
BÀI TOÁN 4. 
SỬ DỤNG CÁC PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN DUNG HÌNH.
Phương pháp: Việc dựng các hình thường được quy về việc dung các điểm, chẳng hạn để dung tam giác, đa giác thì ta cần duwngj các đỉnh của nó, việc dung đường ròn thường là việc dung và xác định tâm của nó. Trong hình học, một điểm được xác định bởi hai điều kiện, do vậy, ta thường căn cứ vào các điều kiện của điểm cần dung để xem xét nó là ảnh của một điểm điểm đã cho trong giả thiết, trong một phép dời hình f nào đó và thông thường ta sử dụng phương pháp dung hình bằng quỹ tích để xác định điểm cần dung.
Bài 9: Cho hai đường tròn (O) , (O’) và một đường thẳng d. Tìm trên đường thẳng d một điểm sao cho các tiếp tuyến kẻ từ điểm ấy đến các đường tròn
(O) và (O’) nhân đường thẳng d làm phân giác.
Giải:
Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d mà từ đó ta vẽ các tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) và các đường thẳng MA, MB tạo thành một góc nhận d làm phân giác. Dễ thấy MA và MB đối xứng với nhau qua đường thẳng d. Do vậy, thực hiện phép đối xứng trục là đường thẳng d thì .
Trong phép đối xứng này, đường tròn (O) biến thành đường tròn (O1) và điểm B thành điểm B’ và AB là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O’) và (O1).
Từ đó ta có cách dựng sau:
Dựng đường tròn (O1) là ảnh của đường tròn (O) trong phép đối xứng trục d.
Dựng tiếp tuyến chung B’A của hai đường tròn (O’) và (O1). Khi đó M là giao điểm của B’A và d.
Số điểm M cần tìm phụ thuộc vào số giao điểm của các đường tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O1) với đường thẳng d.
Bài 10: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A va B. Hãy dung qua A một cát tuyến d, cắt các đường tròn (O) và (O’) theo thứ tự tại các điểm M, N sao cho: A là trung điểm của MN.
Giải:
Do AM = AN nên ĐA(N) = M. Như vậy, điểm M thoả mãn hai điều kiện:
M thuộc đường tròn (O’),
M thuộc đường tròn (O1), ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm A.
Từ đó, ta suy ra cách dung:
Dựng đường tròn (O1) đối xứng với đường tròn (O) qua tâm A.
Dựng giao điểm M của hai đường tròn (O1) và (O’).
Kẻ đường thẳng AM, đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại N.
Ta co ngay AM = AN và cát tuyến AMN là cát tuyến cần dựng.
BÀI 3. PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
Phép vị tự:
Định nghĩa: Cho một điểm I cố định và một số . Phép biến hình biến mỗi điểm M trong mặt phẳng thành điểm M’ sao cho Gọi là phép vị tự tâm I, tỉ số k, kí hiệu V(O,k).
Từ định nghĩa ta suy ra:
Phép vị tự hoàn toàn xác định khi biết tâm vị tự và tỉ số vị tự.
Trong phép vị tự tâm I biến điểm M thành điểm M’ thì ba điểm M, M’ và I thẳng hàng.
	k > 0: khi đó M, M’ cùng phía đối với I;
 	k < 0: khi đó I nằm giữa hai điểm M và M’.
Khi k = 1, phép vị tự V(I,1) biến mọi điểm thành chình nó (phép đồng nhất).
Khi k = -1, ta có , I là trung điểm của đoạn thẳng MM’, phép vị tự V(I,-1) là phép đối xứng tâm I.
Tính chất của phép vị tự:
Tính chất 1: Phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tuỳ ý theo thứ tự thành M’, N’ thì và .
Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k:
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hang và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.
Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.
Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính .
c. Tâm vị tự của một hình: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tron kia.
Phép đồng dạng:
Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0), nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ tương ưúng của chúng ta luôn có M’N’ = k MN.
b) Nhận xét: 
- Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.
- Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số .
c) Tính chất:
Phép đồng dạng tỉ số k:
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.
Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.
Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính R.
d) Khái niệm hình đồng dạng: Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.
BÀI TOÁN 5: 
CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG.
Phương pháp: tương tự như phép dời hình, đối với phép vị tự và phép đồng dạng ta cũng có các loại bài tập:
Xác định các phép vị tự biến một hình (H) thành hình (H’). Trong loại này, ta cần xác định hai yếu tố là tâm và tỉ số vị tujw. Đối với phép đồng dạng ngoài tâm và tỉ số đồng dạng ta cần xác định thêm góc đồng dạng.
Sử dụng các phép vị tự và phép đồng dạng vào việc giảI các bài tập:
+ Chứng minh các tính chất hình học;
+ Tìm tập hợp điểm;
+ Dựng hình.
Bài 11: