Đề tài Sáng kiến kinh nghiệm Nhị thức Niutơn

LÔØI NOÙI ÑAÀU
Trong những năm gần đây trong các kì thi tú tài và thi vào các trường đại học và cao đẳng, đề thi thường cho ra các bài toán phải vận dụng đến công thức nhị thức Niutơn để giải các bài toán đó, do haïn cheá veà thôøi gian leân lôùp vaø ñoái töôïng hoïc sinh khoâng ñoàng ñeàu neân saùch giaùo khoa chæ ñöa ra moät soá tình huoáng cô baûn cuûa baøi toaùn naøy, vì vaäy hoïc sinh gaëp nhieàu haïn cheá veà kieán thöùc cuõng nhö khaû naêng phaân tích khi giaûi caùc baøi toaùn naøy .
Mặt khác theo chương trình mới, thì kiến thức ở chương trình 11 chỉ giải được một số dạng toán với số mũ nguyên.
Ñoái vôùi ñoái töôïng laø hoïc sinh khaù gioûi thì vieäc phaân daïng baøi toaùn naøy nhaèm naâng cao kieán thöùc vaø khaû naêng vận dụng kiến thức “ nhị thức Niutiơn” moät caùch hieäu quaû trong caùc kì thi laø thaät söï caàn thieát.
Tröôùc yeâu caàu ñoù toâi coá gaéng vieát chuyeân ñeà naøy vôùi caùc noäi dung nhö sau:
 NOÄI DUNG ÑEÀ TAØI:
Nhaéc laïi coâng thöùc nhị thức Niu – tơn và một vài chú ý khi khai triển công thức nhị thức Niu – Tơn.
Moät soá daïng toaùn nhị thức Niu – tơn thường gặp
Trong phần này, tôi trình bày một số bày toán cơ bản dành cho đối tượng là học sinh lớp 11 ( theo chương trình mới ) gồm các nội dung sau:
Khai triển nhị thức Niu – tơn, vận dụng kiến thức tam giác Pax – can trong khai triển nhị thức Niu – tơn.
Xác định số hạng trong khai triển nhị thức Niutơn
Xác định hệ số khai triển của một số hạng chứa xk.
Xác định tổng các hệ số khai triển của nhị thức NIutơn.
Phần kiến thức mở rộng:
Trong phần này, đề tài đề cặp đến một số bài toán có dạng khó hơn và bài toán mà kiến thức lớp 11 ( theo chương trình hiện nay ) không giải được :
Một vài dạng toán nhị thức Niutơn với a, b có số mũ hữu tỉ, số mũ là số thực.
Khai triển lủy thừa có nhiều số hạng
Xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn
Các bài toán chứng minh có liên quan đến hệ số khai triển nhị thức Niutơn
Các bài toán có liên quan đến đạo hàm và nhị thức Niutơn
Bài toán có liên quan đến tích phân và nhị thức Niutơn
Xin cảm ơn các thầy cô ở trường THPT Phước Thiền đã chân thành góp ý kiến cho tôi hoàn thành đề tài.
Mặt dù có nhiều cố gắng, nhưng do kinh nghiệm không nhiều nên thiếu sót là điều không tránh khỏi, mong quý thầy cô chân thành góp ý để tôi có kinh nghiệm tốt hơn trong công tác dạy học môn toán.
Chân thành cảm ơn
Phước thiền, ngày 25 tháng 11 năm 2008MUÏC LUÏC
A. LYÙ THUYEÁT NHÒ THÖÙC NEU-TÔN 	3
B. MOÄT SOÁ DAÏNG TOAÙN THÖÔØNG GAËP	4
Khai triển nhị thức Niutơn	5
Xác định một số hạng nào đó trong khai triển nhị thức Niutơn 	6
Xác định hệ số khai triển của một số hạng chứa xk 	8
Tính các hệ số khai triển.	10
C. MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ RỘNG	13
Một vài dạng toán nhị thức Niutơn với a, b có số mũ hữu tỉ, số mũ là số thực.	14
Khai triển lủy thừa có nhiều số hạng	18
Xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn	19
Các bài toán chứng minh có liên quan đến hệ số khai triển nhị thức Niutơn	21
Các bài toán có liên quan đến đạo hàm và nhị thức Niutơn	22
Bài toán có liên quan đến tích phân và nhị thức Niutơn	23
A. LYÙ THUYEÁT NHÒ THÖÙC NEU-TÔN
COÂNG THÖÙC:
TÍNH CHAÁT: Khi khai trieån nhò thöùc ta caàn ñeå yù:
ÔÛ veá phaûi coù n + 1 soá haïng, trong ñoù ñaàu tieân laø , cuoái cuøng laø, caùc vò trí coøn laïi laø tích an-kbk vôùi soá muõ cuûa a giaûm töø n ñeán 0 vaø soá muõ cuûa b taêng töø 0 ñeán n sao cho trong moãi soá haïng, toång soá muõ cuûa a vaø b phaûi baèng n töùc laø n – k + k = n.
Soá haïng thöù k + 1, kí hieäu: vôùi k = 0, 1, 2, . . ., n vaø coù daïng 
Heä soá trong khai trieån (1) coù tính chaát ñoái xöùng.
Chuù yù: .
KEÁT QUAÛ ÑAÙNG NHÔÙ:
Cho a = 1, b = 1 ta coù: .
Cho a = 1, b = -1 ta coù: .
Cho a = 1, b = x ta coù: . 
Cho a = 1, b = - x ta coù: .
Chuù yù:
Ñoái vôùi thì heä soá cuûa laø .
Ñoái vôùi tích thì heä soá cuûa laø vaø ñöôïc ñònh bôûi:
 (i + j = k).
Ñoái vôùi thì heä soá cuûa laø .
Tam giaùc Paxcan vaø heä soá khai trieån nhị thức Niu – tơn.
Lủy thừa
n của
(a + b)n
Tam giác Paxcan –
Hệ số khai triển (a + b)n
Ví dụ minh họa
1
1	1
(a + b)1 = 1a + 1b
2
1	2	1
(a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
3
1	3	3	1
(a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3
4
1	4	6	4	1
(a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4
5
1	5	10	10	5	1
(a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1 b5
6
1	6	15	20	15	6	1	
----------------------------------------------------------------
--
----------------------------------------------------
--------------------------------------------------
B. MOÄT SOÁ DAÏNG TOAÙN THÖÔØNG GAËP
Trong phần này, đề tài đề cặp đến một số bài toán thường gặp có liên quan đến kiến thức nhị thức Niutơn trong chương trình toán lớp 11 ( chương trình mới hiện nay ) như sau:
Khai triển nhị thức Niutơn
Xác định một số hạng nào đó trong khai triển nhị thức Niutơn 
Xác định hệ số khai triển của một số hạng chứa xk .
 Tính tổng các hệ số khai triển.
VAÁN ÑEÀ 1: Khai trieån nhò thöùc.
Ghi chuù: Khi khai trieån nhò thöùc , ta cần nắm được kĩ năng như sau:
Soá haïng tổng quát trong khai triển là : (0 £ k £ n).
Từ đó ta có các số hạng trong khai triển như sau: 
Khi k = 0 ta coù số hạng đầu thứ nhất là: 
Khi k = 1 ta có số hạng thứ hai là: 
Khi k = 2 ta có số hạng thứ 3 là: 
..
Khi k = n ta có số hạng thứ (n + 1) ( số hạng cuối )là: 
Chuù yù:
Neáu khai trieån thì ta cần chú ý qui tắc đang dấu soá haïng thöù nhaát k sẽ có dấu là : ( - 1 )k ( 0 £ k £ n ) . 
 	Ví duï: Khai trieån nhò thöùc sau: (2a + b)5	
	Giải
	 Áp dụng công thức nhị thức Niu – ton ta có:
	Nhận xét:
Trong khai triển trên ta đã vận dụng công thức (1), tuy nhiên trong một số khai triển nhị thức Niu – tơn với lũy thừa đủ nhỏ ta có thể vận dụng hệ số khai triển nhị thức trong tam giác Pax – can để khai triển như:
Từ tam giác Pax – can ta thấy hệ số khai triển lủy thừa 5 là:
	1	5	10	10	5	1
Þ (2a + b)5 = 1.(2a)5 + 5.(2a)4.b +10.(2a)3b2 + 10.(2a)2b3 + 5.2a.b4 + 1.b5
Bài tập:	
a) ;	b) ;	c) ;
	d) ;	e) ;	f) . 
VAÁN ÑEÀ 2: Tìm soá haïng thöù k + 1.
Trong dạng toán này, theo chương trình mới hiện nay sách giáo khoa không đưa ra kí hiệu số hạng tổng quát thứ (k + 1) trong khai triển (a + b)n , nên học sinh gặp nhiều lúng túng trong lập luận, để thuận tiện trong truyền đạt kiến thức tôi kí hiệu số hạng tổng quát thứ (k + 1) là Tk + 1 = 
Ví dụ 1 : Tìm soá haïng thöù bảy cuûa khai trieån nhò thöùc , x > 0. 
Giaûi:
Số hạng tổng quát thứ (k + 1) trong khai triển là: Tk + 1 = 
	Áp dụng cho k = 6, ta có: 
	Vậy số hạng thứ bày trong khai triển là: 
Baøi taäp töông töï: Tìm soá haïng thöù k chæ ra döôùi ñaây cuûa caùc khai trieån.
1). Thöù saùu cuûa	ÑS: .
2). Thöù möôøi ba cuûa 	ÑS: .
3). Thöù taùm cuûa 	ÑS: .
Ví dụ 2: Tìm soá haïng khoâng chöùa x cuûa khai trieån , x > 0. 
Giaûi: 
Caùch 1:
Caùch söû duïng kí hieäu soá haïng toång quaùt thöù (k + 1)
Soá haïng thöù k + 1: = .
Ñeå haïng töû khoâng chöùa x laø: Û k = 2
Vaäy soá haïng khoâng chöùa x laø: .
Caùch 2:
Ta coù: 	
	Ñeå haïng töû khoâng chöùa x laø: Û k = 2
Vaäy soá haïng khoâng chöùa x laø: .
Nhận xét:
Khi gặp đề bài có yêu cầu như trong ví dụ 2, học sinh cần chú ý : a0 =1, "a > 0 
Baøi taäp töông töï: Tìm soá haïng khoâng chöùa x cuûa caùc khai trieån.
1). , vôùi x ¹ 0.	ÑS: 924
2). , vôùi x > 0.	ÑS: 210
3). , vôùi x > 0. 	ÑS: 3168.
VAÁN ÑEÀ 3: Tìm heä soá cuûa một số haïng nào đó trong khai triển nhị thức.
Trong phần này học sinh cần nắm được số hạng của khai triển và hệ số của khai triển
Ví dụ: ta có thì số hạng thứ (k + 1) trong khai triển là .xk và hệ số khai triển của nó là 
Ví duï 1: Tìm heä soá cuûa x2 trong khai trieån nhò thöùc vôùi a, x ≠ 0.
Giaûi: 
Ñieàu kieän ñeå x2 xuaát hieän laø: Û k = 2.
Vaäy heä soá cuûa soá x2 laø .
Ví duï 2: Tìm heä soá cuûa x4 trong khai trieån 
P(x) = 
	Giaûi 
	Ta có:
	Để có số hạng chứa x4 trong khai triển P(x) thì :
	 hoặc hoặc hoặc 
	Û m = 2 hoặc n = 1 hoặc p = 0
	Þ Hệ số chứa x4 trong khai triển P(x) là := 8
	Nhận xét:
Trong một biểu thức đại số viết dưới dạng khai triển có dạng: (a, b, k là các số nguyên thỏa đk bài toán ). Thì hệ số của xak +b là ak và điều kiện để có xm là : a.k + b = m ( với a, b, k phải thỏa điều kiện nào đó của bài toán).
Trong ví dụ 2, nếu học sinh chú ý một chút thì thấy được x4 chỉ có trong các khai triển . Vì vậy ta chỉ cần tìm hệ số của x4 trong các khai triển và sau đó cộng lại các kết quả đó lại để xác định hệ số khai triển của x4 trong khai triển của P(x)
Baøi taäp töông töï: Tìm heä soá cuûa xk trong caùc khai trieån.
1). Cuûa x7 trong (2 – x)10.	ÑS: –960.
2). Cuûa x6 trong .	ÑS: 56.
3). Cuûa x3 trong .	ÑS: 15.
4). Cuûa x9 trong .	ÑS: 3003.
Ví dụ 2: Xác định hệ số cuûa soá haïng chöùc x11 trong khai trieån cho bieát toång caùc heä soá nhò thöùc baèng 1024. 
Giải
Ta có: 
Þ Tổng các hệ số của khai triển được xác định là:
Để có số hạng chứa x11 thì 2n – 3k = 11 Þ 3k = 2.10 – 11 = 9 Þ k = 3
Þ Hệ số khai triển của x11 là : 
Baøi taäp töông töï: Tìm heä soá cuûa xk trong caùc khai trieån.
1) Cuûa soá haïng chöùc x11 trong khai trieån cho bieát toång caùc heä soá nhò thöùc baèng 4096. 	HD: .
2) Cuûa soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån bieát toång caùc heä soá nhò thöùc thöù nhaát, nhì, ba baèng 46.	HD: .
VAÁN ÑEÀ 4: Tính toång caùc heä soá.
Ví dụ 1: 
Tính toång caùc heä soá cuûa khai trieån nhò thöùc .
 Tính A = 
Tính B = 
Giaûi:
Ta coù: = 
( Vôùi laø caùc heä soá cuûa xK ( 0 £ k £ 10 ) )
Þ Toång caùc heä soá trong khai trieån treân laø: 
 	 Cho x = 1 ta coù : 
Toång quaùt cuûa baøi toaùn treân laø :
 = ( Trong ñoù a , b laø hai soá thöïc cho tröôùc, Vôùi laø caùc heä soá cuûa xK ( 0 £ k £ n ) )
Tính A = 
Aùp duïng khai trieån (a + b)n cho a = 1; b = 2; n = 5 ta coù:
A = = (1 + 2 )5 = 243
B = 
Aùp duïng khai trieån (a + b)n cho a = 3; b = - 2; n = 5 ta coù:
B = ( 3 – 2)5 = 1
	Nhaän xeùt:
Dó nhieân khi hoïc sinh khoâng naém ñöôïc kieán thöùc veà nhò thöùc Niutôn hoïc sinh coù theå duøng maùy tính caàm tay ñeå tính giaù trị A vaø B, tuy nhieân trong tröôøng hôïp n lôùn thì việc tính như vậy là không khả thi.
Để vận dụng công thức nhò thöùc Niutơn (a + b)n để tính các giá trị như tổng A và B học sinh cần chú ý: trong công thức khai triển thì lủy thừa của a giảm từ n tới giá trị 0, lủy thừa của b tăng từ lủy thừa 0 đến n. Từ đó ta suy ra giá trị a, b, n cần áp dụng để tính tổng là bao nhiêu.
Trong khi tính B, học sinh chú ý đây là một tổng có đang dấu nên cẩn thận a hay b có dấu trừ.
	Ví vụ 2: Tính giaù trò caùc bieåu thöùc sau:
. 
. 
Giaûi:
Töø khai trieån nhò thöùc Newton 
Cho a = 1, b = - 1 ta coù: 
 Suy ra: (1).
Cho a = 1, b = 1 ta coù: (2)
Từ (1), (2) Þ . 
 Hay S = 64.
Töø khai trieån nhò thöùc Newton 
Cho a = 1, b = 1 ta coù: 
Do 
Þ P = 210 - = 772
Nhận xét:
Trong hai bài tính tổng trên, học sinh cần hiểu được rằng đề bài đưa ra không nhất thiết là tình tổng tất cả các hệ số trong công thức khai triển, mà có thể tính một số giá trị nào đó của khai triển, khi đó ta phải tìm ra qui luật tổng quát của tổng, từ đó vận dụng kiến thức một cách linh hoạt
Cần chú ý tới chỉ số để nắm được qui luật của tổng.
	Ví vụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau:
Giải
Từ khai triển (a + b)2n
Cho a = 1, b = -1, ta có: 
	Cho a = 1, b = 1, ta có:
Þ 
Þ điều phải chứng minh
Baøi taäp töông töï: 
Tính caùc toång sau.
1). 	HD: a = b = 1, n = 6, S = 64.
2). 	HD: a = b = 1, n = 9, S = 256.
3). 	HD: a = b = 1, n = 10, S = 386.
4). 	HD: a =1, b = 2, n = 5, D = 243.
5). 
	HD: a = 1, b = - 3, n = 6, E = 64. 
6). 	
	HD: a = 2, b = 3, n = 5, F = 3125.
7). 
	HD: a = 2, , n = 5, .
Tính toång caùc heä soá cuûa khai trieån caùc nhò thöùc.
1) 	ÑS:– 1 .
2) 	ÑS:243.
3) 	ĐS: 60
Chứng minh rằng: 
C. MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ RỘNG
Trong phần này, đề tài đề cặp đến một số bài toán có dạng khó hơn và bài toán mà kiến thức lớp 11 ( theo chương trình hiện ) không giải được :
Một vài dạng toán nhị thức Niutơn với a, b có số mũ hữu tỉ, số mũ là số thực.
Khai triển lủy thừa có nhiều số hạng
Xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn
Các bài toán chứng minh có liên quan đến hệ số khai triển nhị thức Niutơn
 Các bài toán có liên quan đến đạo hàm và nhị thức Niutơn
Bài toán có liên quan đến tích phân và nhị thức Niutơn
VẤN ĐỀ 1: Khai triển nhị thức Niutơn với số a, b có số mũ là hữu tỉ, số mũ thực:
Ví dụ 1: Tìm soá haïng khoâng chöùa caên cuûa khai trieån . 	
Giaûi:
Ta có :
Ñieàu kieän ñeå có số hạng khoâng chöùa caên laø: .
Vaäy soá haïng phaûi tìm laø: 
Baøi taäp töông töï: Tìm soá haïng khoâng chöùa caên cuûa caùc khai trieån.
1). .	ÑS: 60.
2). . 	ÑS: 4526 vaø 8. 
3). .	 	ÑS: T1, T4, T7, T10.	
Ví dụ 2: Tìm soá haïng chöùa x7 cuûa khai trieån 	
Giaûi: 
Ñeå x7 xuaát hieän laø: .
Vaäy soá haïng chứa x7 là .
Baøi taäp töông töï: Tìm soá haïng chöùa xk cuûa caùc khai trieån.
1). maø soá muõ cuûa x vaø y baèng nhau.	ÑS: .
2). laø soá haïng ñöùng ôû chính giöõa. 	ÑS: .
Ví dụ 3: Tìm heä soá cuûa x8 trong khai trieån nhò thöùc , x > 0 bieát raèng . (Khoái A – 2003).
Giaûi: 
Ta thaáy Þ n = 12.
 Ta cóo: . 
Ñeå x8 xuaát hieän thì: .
Vaäy heä soá cuûa x8 laø : .
Baøi taäp töông töï: Tìm heä soá cuûa xk trong caùc khai trieån.
1). Cuûa soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån nhò thöùc bieát raèng .	ÑS: n = 12, a6 = 792.
2). Cuûa soá haïng thöù möôøi ba cuûa khai trieån bieát heä soá cuûa soá haïng thöù ba trong khai trieån laø 105. HD: . 
3). Cuûa soá haïng chöùa x3 trong khai trieån bieát toång caùc heä soá nhò thöùc cuûa caùc soá haïng ñöùng ôû vò trí leû baèng 2048.
	HD: Toång heä chaün, leû baèng nhau Þ a8 = –264.
Ví dụ 3: Xaùc ñònh x ñeå soá haïng thöù tö trong khai trieån nhò thöùc: 
 ( a > 0 ).
Giaûi: Số hạng tổng quát thứ (k + 1) trong khai triển là:.
Vaäy: 
 .
Baøi taäp töông töï:
1). Xaùc ñònh n ñeå trong khai trieån nhò thöùc maø caùc heä soá cuûa:
a) Soá haïng thöù hai, thöù ba, thöù tö taïo thaønh moät caáp soá coäng.
b) Soá haïng thöù naêm, thöù saùu, thöù baûy taïo thaønh moät caáp soá coäng.
HD: Heä soá nhò thöùc a, b, c laø moät caáp soá coäng Û a + c = 2b.
ÑS: a) n = 7; b) n = 7 vaø n = 14.
2). Tìm n ñeå ba soá haïng ñaàu tieân cuûa khai trieån vôùi x > 0 taïo thaønh moät caáp soá coäng.	ÑS: n = 8.
3). Tìm x ñeå trong khai trieån maø soá haïng thöù ba baèng 240.	
	ÑS: x = 2.
4). Soá haïng thöù ba trong khai trieån khoâng chöùa x. Tìm x ñeå soá haïng aáy baèng soá haïng thöù hai trong khai trieån .	ÑS: x = 2.
5). Trong khai trieån cho bieát vaø soá haïng thöù tö baèng 20n. Tìm x vaø n. (Khoái A/2002).	ÑS: n = 7, x = 4.
Ví dụ 4 :Coù bao nhieâu soá haïng höõu tæ trong khai trieån .
Giaûi: 
Số hạng tổng quát thứ (k + 1) trong khai triển là: .
Ñeå Tk+1 laø soá höõu tæ, caàn phaûi coù: (1).
Töø (1) suy ra: m = 50 – 2p Þ p = 0, 1, . . ., 25.
Do ñoù k = 4p, vôùi p = 0, 1, . . ., 25.
Hay ta coù k = 0, 4, 8, 12, . . ., 100.
Vaäy coù 26 soá haïng höõu tæ trong khai trieån cuûa .
Baøi taäp töông töï: Coù bao nhieâu soá haïng höõu tæ trong caùc khai trieån.
1). .	ÑS: 34.
2). .	ÑS: 4.
3). .	ÑS: 13.
4). .	 ÑS: 9.
5). .	 ÑS: 6.
Khai triển lủy thừa có nhiều số hạng
Ví dụ:Tìm heä soá cuûa x9 trong khai trieån .
Giaûi: 
Ta thaáy .
Áp dụng khai triển nhị thức (a + b)5 với a = 1, b = 2x + 3x2
Ta có số hạng tổng quát thứ (k + 1) trong khai triển là:
.
Ñeå x9 xuaát hieän laø k + i = 9, vôùi 0 £ i £ k £ 8. 
Suy ra: Hêệ số của x9 trong khai triển là: 
.
Chú ý: Khi giải bài toán trên ta có thể áp dụng cho a = 1 + 2x, b = -3x2
Baøi taäp töông töï: Tìm heä soá cuûa:
1). x4 trong khai trieån .	ÑS: a5 = 19.
2). trong khai trieån .	ÑS: a6 = –51.
3). trong khai trieån .	ÑS: a6 = –266.
4). trong khai trieån .	ÑS: a8 = –19440.
5). trong khai trieån .	ÑS: i, k khoâng toàn taïi neân a = 0.
6). trong khai trieån . (Khoái A/2004).	ÑS: a5 = 238.
7). Cho goïi laø heä soá cuûa trong khai trieån thaønh ña thöùc cuûa . Tìm n ñeå . (Khoái D/2003).
	HD: .	
Heä soá lôùn nhaát trong khai triển nhị thức Niutơn.
Ví dụ 1: Trong các hệ số của khai triển (a + b)n ( n là số nguyên lớn hơn hoặc bằng 2 cho trước , k là số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n ). Tìm hệ số khai triển lớn nhất
	Giải
	Đặt ak = 
	Nếu ak £ ak + 1 Û 
	Nếu n là số nguyên dương lẻ Þ n – 1 là số tự nhiên chẳn
	Þ 
	Þ a1 £ a2 £ a3 £ .. £ 
	Þ hệ số có giá trị lớn nhất trong trường hợp này là: 
	Nếu n là số nguyên dương chẳn Þ 
	Þ a1 £ a2 £ a3 £ .. £ 
	Þ hệ số có giá trị lớn nhất trong trường hợp này là: 
	Vậy (n ÎN)
Ví dụ 2:Tìm heä soá lôùn nhaát trong khai trieån nhò thöùc .
Giaûi: 
Ta coù (0 £ k £ 12) Þ hệ số của xk trong khai triển là
Neáu 
 Û 
Þ a0 £ a1 £ a2 £ a3 £ .. £ a9 ³ a10 ³ a11 ³ a12
Þ Max k = 8 (nhaän).
 Vaäy heä soá lôùn nhaát laø .
Baøi taäp töông töï:
1). Tìm heä soá lôùn nhaát trong khai trieån .	ÑS: .
2). Tìm soá haïng lôùn nhaát trong khai trieån:
a) .	ÑS: .
b) .	ÑS: .
3). Tìm x > 0 sao cho soá haïng thöù 50 cuûa khai trieån laø lôùn nhaát.	
	HD: .
4). Tìm x sao cho soá haïng thöù 50 cuûa khai trieån coù giaù trò lôùn nhaát, bieát raèng x + y = 1 vaø x > 0, y > 0.
HD: (nhaän).
Caùc baøi toaùn chöùng minh.
Ví dụ: Chöùng minh raèng .
Giaûi: 
Ta coù 
Heä soá cuûa xn trong khai triển laø (1).
Hệ số của xn trong khai triển 
 laø, vôùi i + j = n (2).
Töø (1), (2) ta coù 
Hay , maø neân ta coù:
.
Baøi taäp töông töï: Chöùng minh caùc ñaúng thöùc:
1). .
	HD: cho x = – 1.
2). vôùi 5 £ k £ n.
	HD: .
3). , vôùi m £ k £ n.
	HD: .
4). .
	HD: , cho x = 3.
5). .
	HD: cho x = ± 3 roài coäng veá.
Bài toán có liên quan đến đạo hàm và nhị thức Niutơn:
Ví dụ: Tính tổng: 
S1 = 
Giải
Xét P(x) = (1 + x)100 = 
P'(x) = 100(1+ x)99 = 
Þ P' (1 ) = 100.299 = 
Þ S1 = 100.299
Nhận xét: Khi thấy bài toán tính tổng có dạng:S = , với là các hệ số khai triển của một nhị thức Niutơn nào đó thì ta vận dụng đạo hàm để tính tổng đó.
Bài tập tương tự:
1) Tính S2 = 
2 ) Tính S3 = 
3) Chứng minh rằng:
a) 
b) 
Bài toán có liên quan đến tích phân và nhị thức Niutơn
Ví dụ: 
	a) Tính 
	b) S = 
Giải
	a) Ta có:	
	b) Ta có: (1 + x)10 = 
	Lấy tích phân hai vế cận từ 0 đến 1 ta được:
	 = 
	= 
Þ S = 
	Bài tập tương tự:
	1) Tính A =
	ĐS:
	2) Tính B = 
	ĐS:
	3) Chứng minh rằng: