Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT môn Toán

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
(Thời gian làm bài 180’- Không kể thời gian phát đề)
MÔN THI: TOÁN
x2sin khi x¹0
0 khi x=0
Bài 1. ( 2 điểm)
 Cho hàm số f(x) = 
 Chứng minh rằng = f’(0).
y=x2-6x+5
y=0
Bài 2. ( 2 điểm)
 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền 
 khi quay quanh trục oy.
Bài 3. ( 2 điểm)
 Tìm m để bất phương trình: mx2 + mx + m -2 ³ 0 có nghiệm xÎ(1;2).
Bài 4. ( 2 điểm)
 Giải và biện luận phương trình: ç4x+1ç+2(m-1)çx-1ç=(m+1) 
 theo tham số m. 
Bài 5. ( 2 điểm)
 Giải phương trình: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = -
Bài 6. ( 2 điểm)
 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có:
 thì đều.
Bài 7. ( 2 điểm)
 Tìm giới hạn: 
Bài 8. ( 2 điểm)
 Giải và biện luận theo m bất phương trình: 
Bài 9. ( 2 điểm)
 Trong mặt phẳng oxy cho hypebol (H): và đường tròn (C): x2+y2=9.
Viết phương trình tiếp tuyến của (H) kẻ qua điểm M(3;1).
Viết phương trình tiếp tuyến chung của (H) và (C).
Bài 10. ( 2 điểm)
 Cho elip (E): và hai đường thẳng (d1): x-ky=0, (d2): kx+y=0. (d1) cắt
 elip (E) tại A và C, (d2) cắt elip (E) tại B và D.
 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD.
 ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
MÔN THI : TOÁN
Bài 1
2 điểm
 f’(0)= 
vì -ç∆xç£ ∆x sin£ç∆xç và (-ç∆xç)=(ç∆xç)=0
Þ Þ f’(0)=0 (1) 
Mặt khác: 
Đặt x=-t thì dx=-dt , với x=-p/4 thì t=p/4, với x=0 thì t=0
Þ- +
 = (2)
Từ (1) và (2) suy ra diều phải chứng minh.
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 2
2 điểm
-4
5
3
1
C
B
A
O
y
x
 Vẽ đồ thị hàm số y=x2-6x+5
Cung AB có phương trình x =
Cung BC có phương trình x =
Þ 
 = 64p 
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 3
2 điểm
 Gián tiếp loại bỏ f(x) = mx2 + mx + m -2 <0, "xÎ(1;2)
 Û m(x2+x+1)<2 Û m< "xÎ(1;2)
 Xét g(x) = "xÎ(1;2), g’(x) = hàm số nghịch biến trong khoảng (1 ;2).
Þ m £ Min 
Vậy m > thì bất phương trình có nghiệm "xÎ(1;2).
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 4
2 điểm
x³1
x£
 Điều kiện 4x2-3x-1³0 Û 
t³0
t¹2
Phương trình Û - (m+1) +2(m-1) = 0
Đặt t = điều kiện 
t2-(m-1)+2(m-1)=0
0£t¹2
Phương trình trở thành 
t1=2
t2=m-1
Giải ra ta được 
m³1
m¹3
 Nghiệm t2 thỏa mãn Û
 Theo cách đặt ta tính được x = 
m<1
m=3
Kết luận: . thì PT vô nghiệm
 . 1£m¹3 thì PT có nghiệm duy nhất x = 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 5
2 điểm
 Nhận thấy sin=0 Û x=k2p (kÎZ) không phải nghiệm của PT
PT Û 2cosxsin+2cos2xsin+2cos3xsin+2cos4xsin=-sin
 Û sin=0 Û =tp Û x= (tÎZ).
KL: x= (tÎZ).
0,25
0,50
0,50
Bài 6
2 điểm
 Ta có cosA+cosB+cosC+
 =³
³ 1+
³
³
Dấu ‘=’ xảy ra khi 
 Û A=B=C Û ∆ABC đều.
1,0
0,5
0,5
Bài 7
2 điểm
 Ta có : 
1,5
0,5
Bài 8
2 điểm
 Điều kiện x>-3
Bất PT Û (x-m) [x-1+log3(x+3)] ³ 0
Đặt f(x)= x-1+log3(x+3) f(x) đồng biến trong (-3;+¥)
f(0)=0, nên x³0 Û f(x) ³ f(0)=0 hay f(x) cùng dấu với x.
(x-m)x³0
 x>-3
Do đó BPT Û
-3<x£0
 x³m
Từ đó suy ra 
 Nếu m³0 thì nghiệm của BPT là: 
-3<x£m
 x³0
 Nếu -3<m<0 thì nghiệm của BPT là:
 Nếu m=-3 thì nghiệm là x³0. 
 Nếu m<-3 thì nghiệm là x³0. 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 9
2 điểm
1. Phương trình đường thẳng qua M có dạng : a(x-3)+b(y-1)=0 (a2+b2¹0).
9a2-b2=(3a+b)2
3a+b¹0
 Û ax+by-3a-b=0 đường thẳng này tiếp xúc với (H) Û
2b(b+3a)=0
3a+b¹0
 Û Û b=0 chọn a=1,b=0 PT tiếp tuyến là : x-3=0 
9=a2
çaç=3
a¹0
2. Xét tiếp tuyến cùng phương với oy có PT : x-a=0.
 Để đường thẳng nay tiếp xúc với (H) và (C) thì Û a=±3
Có hai tiếp tuyến chung thỏa mãn bài toán là x-3=0 và x+3=0.
Xét tiếp tuyến không cùng phương với oy có PT y=kx+b Û kx-y+b=0
Để đường thẳng nay tiếp xúc với (H) và (C) Û hệ sau có nghiệm:
9k2=b2+1
9k2+9=b2
 9k2-1=b2
 çbç=3 Û Hệ vô nghiệm.
 b¹0
KL: có 2 tiếp tuyến chung là: x-3=0 và x+3=0.
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 10
2 điểm
 Tọa độ giao điểm của (d1) và (E) là nghiệm của hệ :
 Û Þ AC2 = 
 Tọa độ giao điểm của (d2) và (E) là nghiệm của hệ :
 Û Þ BD2 = 
 Vì (d1) ^ (d2) nên AC ^ BD Þ 4S2 = AC2.BD2 = 
 Đặt x=k2³0, xét f(x)= , f’(x)=
 f’(0)=0 Û x=1.
 Chú ý rằng: 
+
0
-
+¥
1
0
f(x)
f’(x)
x
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên Þ Max khi x=0 Û k=0
 Min khi x=1 Û k=±1
Vậy Max SABCD=4 khi k=0, Min SABCD= khi k=±1.
0,50
0,50
0,25
0,25
0,50